七年级数学专题训练07 整式的加减(附答案)
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七年级数学专题训练07 整式的加减
阅读与思考
整
式的加减涉及许多概念，准确地把握这些概念并注意它们的区别与联系是解决有关问
题的基础，概括起来
就是要掌握好以下两点：
1．透彻理解“三式”和“四数”的概念
“三式”指的是单项式、
多项式、整式；“四数”指的是单项式的系数、次数和多项式
的系数、次数．
2．熟练掌握“两种排列”和“三个法则”
“两种排列”指的是把一个多项式按某一字母的升
幂或降幂排列，“三个法则”指的是
去括号法则、添括号法则及合并同类项法则．
物以类聚，
人以群分．我们把整式中那些所含字母相同、并且相同字母的次数也相同的
单项式作为一类——称为同类
项，一个多项式中的同类项可以合聚在一起——称为合并同类
项．这样，使得整式大为简化，整式的加减
实质就是合并同类项．
例题与求解
[例1] 如果代数式ax
5
＋bx<
br>3
＋cx－5，当x＝－2时的值是7，那么当x＝7时，该式的
值是______．
(江苏省竞赛试题)
解题思路：解题的困难在于变元个数多，将x两个值代入，从寻找两个多项式的联系入
手．
[例2] 已知－1＜b＜0，0＜a＜1，那么在代数式a－b，a＋b，a＋b
2
，a
2
＋b中，对于
任意a，b对应的代数式的值最大的是( )
A．a＋b B．a－b C．a＋b
2
D．a
2
＋b
(“希望杯”初赛试题)
解题思路：采用赋值法，令a＝
式子．
[例3] 已知x＝2，y＝－4时，代数式
ax
2
＋
代数式3ax－24by
3
＋4986的值．
(北京市“迎春杯”竞赛试题)
解题思路：一般的想法是先求出a，b的值，这是不可能的．
解本例的关键是：将给定
的x，y值分别代入对应的代数式，寻找已知与待求式子之间的联系，整体代入
求值．
[例4] 已知关于x的二次多项式a(x
3
－x
2
＋3x
)＋b(2x
2
＋x)＋x
3
－5．当x＝2时的值为－
17，求当
x＝－2时，该多项式的值．
(北京市“迎春杯”竞赛试题)
解题思路：解题的突破口是根
据多项式降幂排列、多项式次数等概念挖掘隐含的关于a，
b的等式．
[例5] 一条公交线
路上起点到终点有8个站．一辆公交车从起点站出发，前6站上车
100人，前7站下车80人．问从前
6站上车而在终点下车的乘客有多少人？
(“希望杯”初赛试题)
解题思路：前7站上车总人数等于第2站到第8站下车总人数．本例目的是求第8站
11
，b＝－，计算四个式子的值，从中找出值最大的
22
11
by＋5＝1
997，求当x＝－4，y＝－时，
22
下车人数比第7站上车人数多出的数量．
[例6] 能否找到7个整数，使得这7个整数沿圆
周排列成一圈后，任3个相邻数的和
等于29？如果，请举出一例；如果不能，请简述理由．
(“华罗庚金杯”少年邀请赛试题)
解题思路：假设存在7个整数a
1
，a
2
，a
3
，a
4
，a
5
，a
6<
br>，a
7
排成一圈后，满足题意，由
此展开推理，若推出矛盾，则假设不成立．
能力训练
A级
1．若－4x
m2
y
3
与
－
2
x
3
y
7
－
2n
是同类项，m2
＋2
n
＝______．
3
(“希望杯”初赛试题) 2．当x＝1，y＝－1时，ax＋by－3＝0，那么当x＝－1，y＝1时，ax＋by－3＝____
__．
(北京市“迎春杯”竞赛试题)
3．若a＋b＜0，则化简|a＋b－1|－|3－a－b|的结果是______．
4．已
知x
2
＋x－1＝0，那么整式x
3
＋2x
2
＋2002的
值为______．
2xy3z32,
5．设
则3x－
2y＋z＝______．
x4y5z36,
(2013年全国初中数学联赛试题)
6．已知
A＝a
2
＋b
2
－c
2
，B＝－4a
2
＋
2b
2
＋3c
2
，若A＋B＋C＝0，则C＝( )．
A．5a
2
＋3b
2
＋2c
2
B．5a
2
－3b
2
＋4c
2
A．3a
2
－3b
2
－2c
2
A．3a
2
＋b
2
＋4c
2
7．同时都有字母a，b，c，且系数为1的7次单项式共有( )．
A．4个
B．12个 C．15个 D．25个
(北京市竞赛题)
8．有理数a，b，c在数轴上的位置如图所示：
b a 0
第8题图
c
则代数式|a|－|a＋b|＋|c－a|＋|b－c|化简后的结果是为(
)．
A．－a B．2a－2b C．2c－a D．a
9．已知a＋b＝0，a≠b，则化简
ba
(a＋1)＋(b＋1)得( )．
ab
A．2a B．2b C．＋2 D．－2
－－
1
0．已知单项式0.25x
b
y
c
与单项式－0.125x
m1y
2n1
的和为0.625ax
n
y
m
，求abc的值
．
11．若a，b均为整数，且a＋9b能被5整除，求证：8a＋7b也能被5整除．
(天津市竞赛试题)
B级
1．设a＜－b＜c＜0，那么|a＋b|＋|b＋c|
－|c－a|＋|a||＋b|＋|c|＝______．
(“祖冲之杯”邀请赛试题)
2
．当x的取值范围为______时，式子－4x＋|4－7x|－|1－3x|＋4的值恒为一个常数，
这个值是______．
(北京市“迎春杯”竞赛试题)
<
br>3．当x＝2时，代数式ax
3
－bx＋1的值等于－17，那么当x＝－1时，代数式
12ax－3bx
3
－5的值等于______．
4．已知(x＋5)
2<
br>＋|y
2
＋y－6|＝0，则y
2
－
1
xy＋x2
＋x
3
＝______．
5
(“希望杯”邀请赛试题) <
br>5．已知a－b＝2，b－c＝－3，c－d＝5，则(a－c)(b－d)÷(a－d)＝______
．
6．如果对于某一特定范围内x的任意允许值，P＝|1－2x|＋|1－3x|＋…＋|1－9x
|＋
|1－10x|的值恒为一个常数，则此值为( )．
A．2 B．3
C．4 D．5
(安徽省竞赛试题)
7．如果(2x－1)
6
＝a
0
＋a
1
x＋a
2
x
2
＋a
3<
br>x
3
＋a
4
x
4
＋a
5
x
5
＋a
6
x
6
，那么a
0
＋a
1
＋a
2
＋a
3
＋a
4
＋a
5
＋a
6
等于______；a
0
＋a
2
＋a
4
＋a6
等于______．
A．1，365 B．0，729 C．1，729
D．1，0
(“希望杯”邀请赛试题)
8．设b，c是整数，当x依次取1，3，6，11
时，某学生算得多项式x
2
＋bx＋c的值分
别为3，5，21，93．经验证，只有
一个结果是错误的，这个错误的结果是( )．
A．当x＝1时，x
2
＋bx＋c＝3
B．当x＝3时，x
2
＋bx＋c＝5
C．当x＝6时，x
2
＋bx＋c＝21
D．当x＝11时，x
2
＋bx＋c＝93
(武汉市选拔赛试题)
9．已
知y＝ax
7
＋bx
5
＋cx
3
＋dx＋e，其中a，b，
c，d，e为常数，当x＝2时，y＝23；
当x＝－2时，y＝－35，那么e的值是( )．
A．－6 B．6 C．－12 D．12
(吉林省竞赛试题)
10．已知a，b，c三个数中有两个奇数，一个偶数，n是整数，如果s＝(a＋n＋1)·(b
＋
2n＋2)(c＋3n＋3)，那么( )．
A．s是偶数
B．s是奇数
C．s的奇偶性与n的奇偶性相同 D．s的奇偶性不能确定
(江苏省竞赛试题)
11．(1)如图1，用字母a表示阴暗部分的面积；
(2)如图2，用字母a，b表示阴暗部分的面积；
(3)如图3，把一个长方体礼品盒用丝
带打上包装(图中虚线为丝带)，打蝴蝶结的部分需
丝带(x－y)cm，打好整个包装需用丝带总长度
为多少？
a
x
a
a a
a
b
b
图1
图2
y
z
图3
12．将一个三位数
abc
中间数码去掉，成为一个两位数
ac
，且满足
abc
＝9
ac
＋
4c
，
如155＝9×15＋4
×5．试求出所有这样的三位数．
专题07答案 整式的加减
例1 －17
例2 B
例3
1998提示：由已知得4a－b＝996，待求式＝－3×（4a－b）＋4986.
例4 原多项
式整理得：（a＋1）x
3
＋（2b－a）x
3
＋（3a＋b）x－5..又
由题意知，该多项式为
二次多项式，故a＋1＝0，得a＝－1.把a＝－1，a＝2代入得：4（2
b＋1）＋2×（b
－3）－5＝－17.
解得b＝－1，故原多项式为－x
2
－4 x－5.
当x＝－2时，－x
2
－4 x－5＝－4＋8－5＝－1.
例5 设前
7站上车的乘客数量依次为a
1
，a
2
，a
3
，a
4
，a
5
，a
6
，a
7
人，从第2站到第8站下<
br>车的乘客数量依次为b
2
，b
3
，b
4
，b
5
，b
6
，b
7
，b
8
人，则a
1
＋a
2
＋a
3
＋a
4
＋a
5
＋a
6
＋a
7
＝b
2
＋b
3
＋b
4
＋b
5
＋b
6
＋b
7
＋b
8
.又∵a1
＋a
2
＋a
3
＋a
4
＋a
5
＋a
6
＝100，∴b
2
＋b
3
＋b
4
＋b
5
＋
b
6
＋b
7
＝80，即100＋a
7
＝80＋b
8
，前6站上车而在终点下车的人数为b
8
－a
7
＝100－
80＝20（人）.
例6
如图，由题意得a
1
＋a
2
＋a
3
＝29,
a
2
＋a
3
＋a
4
＝29,
…
a
6
＋a
7
＋a
1
＝29,
a
7
＋a
1
＋a
2
＝29,
将上述7
式相加得，3（a
1
＋a
2
＋a
3
＋a
4
＋a
5
＋a
6
＋a
7
）＝29×7.
∴a
1
＋a
2
＋a
3
＋a
4
＋a
5
＋a
6
＋a
7
＝67
2
.
3
这与a1
＋a
2
＋a
3
＋a
4
＋a
5
＋a
6
＋a
7
为整数矛盾.
故不存在满足题设要求的7个整数.
A级
1. 29 2. －6 3. －2 4.2003
5. 10
提示：3 x－2 y＋z＝2×（2 x＋y＋3 z）－（x＋4 y＋5
z）＝2×23－36＝46－36＝10.
6. C
7. C 提示：设满足条
件的单项式为a
m
b
n
c
p
的形式，其中m，n，p为自然
数，且m＋n＋p
＝7.
8. C 9. D
10. 1.2
提示：由题意得b＝m－1＝n，c＝2 n－1＝0，0.625 a＝0.25＋（－0.125）.
11. 提示：8 a＋7 b＝8（a＋9 b）－65 b.
B级
1.
－a＋b＋c
2. ≥
4
1 提示：x的系数之和为零，须使4－7
x≤0且1－3 x≤0.
7
1
x y＋x
2
＋x
3
5
3. 22
4. －94 提示：由（x＋5）
2
＋|
y
2
＋y－6|=0得x＝－5，y
2
＋y＝6. y
2
－
＝y
2
＋y＋（－5）
2
＋（－5）
3
＝6＋25－125＝－94.
5. －
1
2
6. B
提示：利用绝对值的几何意义解此题. x的取值范围在
1
1
与之间
8
7
7. A提示：令x＝1，可得a
0
＋a
1
＋a
2
＋a
3
＋a
4
＋a
5
＋a
6
＝[2×1－1]
6
=1①
令x＝－1，可得a
0
－
a
1
＋a
2
－a
3
＋a
4
－a
5
＋a
6
＝[2×（－1）－1]
6
＝3
6
＝729②
①＋②，得2（a
0
＋a
2
＋a
4
＋a
6
）＝730，即a
0
＋a
2
＋a
4
＋a
6
＝365.
8. C 9. A
10. A
提示：原式＝a＋b＋c＋6n＋6是偶数.
11. 提示：（1）4.5πa
2
S阴影＝
1
（a＋a＋a）
2
＝4.5πa
2
2
1
11
11
（2）ab－
b
2
＋
πb
2
S阴影＝（a＋a）b－（b
2
－
πb
2
）
44
2
22
1
11
＝a b－b
2
＋
πb
2
4
22
（3）3 x＋3 y＋2
z 总长1＝2 x＋4 y＋2 z＋（x－y）＝3 x＋3 y＋2 z.
12.
因为
abc
＝100 a＋10
b＋c，
ac
＝10a＋c.由题意得100a＋10b＋c＝9（10a＋c）＋4c.
化简得5（a＋b）＝6c（0≤a，b，c≤9，且a≠0）
又∵5是质数，故
a1,2,3,4,5,6,
c5,
，从而
b5,4,3,2,1,0,
ab6,
则符合条件
的
abc
＝155，245，335，425，515，605.