七年级数学下册培优新帮手专题09含绝对值符号的一次方程试题新版新人教版
拯救冷库工人-剪纸的历史
庞葱与太子质于邯郸，谓魏王曰：今一人言市有虎，王信之乎？王曰：否。二人言市有虎，王信之
乎？王曰：寡人疑之矣。三人言市有虎，王信之乎？王曰：寡人信之矣。庞葱曰：夫市之无虎明矣，然而三人言而
成虎。
七年级数学下册培优新帮手专题09含绝对值符号的一次方程试题新版新
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阅读与思考
绝对值符号中含有未知数的一次方程叫含绝对值符
号的一次方程，简称绝对值
方程．解这类方程的基本思路是：脱去绝对值符号，将原方程转化为一元一次
方程
求解，其基本类型与解法是：
1．形如的最简绝对值方程
这类绝对值方程可转化为两个普通一元一次方程：或．
2．含多重或多个绝对值符号的复杂绝对
值方程
这类绝对值方程可通过分类讨论转化为最简绝对值方程求解．
解绝
对值方程时，常常要用到绝对值的几何意义、去绝对值符号法则、常用的
绝对值基本性质等与绝对值相关
的知识、技能与方法．
例题与求解
【例1】
方程的解是__________．
（四川省竞赛试题）
解题思路：设法脱去绝对值符号，将原方程转化为一般的一无一次方程求解．
【例2】 方程的整数解有（）．
A．2个 B．3个 C．5个
D．无穷多个
（“希望杯”邀请赛试题）
解题思路：借助数轴，从绝对值的几何意义入手能获得简解．
庞葱要陪太子到邯郸去
做人质，庞葱对魏王说：“现在，如果有一个人说大街上有老虎，您相信吗”“魏王说：“不相信。”庞葱说：“
如果是两个人说呢？”魏王说：“那我就要疑惑了。”庞葱又说：“如果增加到三个人呢，大王相信吗？”魏王说
：“我相信了。
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庞葱与太子质于邯郸，谓魏王曰：今一人
言市有虎，王信之乎？王曰：否。二人言市有虎，王信之乎？王曰：寡人疑之矣。三人言市有虎，王信之乎？王曰
：寡人信之矣。庞葱曰：夫市之无虎明矣，然而三人言而成虎。
【例
值．
3】已知：有理数、、满足，．并且，，．求的
（北京市“迎春杯”竞赛试题）
解题思路：本题关键在于确定、、的符号．三者的符
号有联系，可围绕其中一个
数分类讨论．
【例4】解下列方程：
（1）；
（天津市竞赛试题）
（2）；
（北京市“迎春杯”竞赛试题）
（3）．
（“祖冲之杯”邀请赛试题）
解题思路：解多重绝对值方程的基本方法是：根据绝对
值定义，从内向外化简
原方程；零点分段讨论法是解多个绝对值方程的有效手段．
【例5】已知，求的最大值与最小值．
（江苏省竞赛试题）
解题
思路：已知等式可化为：，再根据绝对值的几何意义来探求、的取值范围，
进而可得的最大值与最小值．
【例6】当时，试判定关于的方程的解的情况．
（上海市竞赛试题）
解题思路：由于，且，就有，进而计算．
能力训练
庞葱要陪太子到邯郸去做
人质，庞葱对魏王说：“现在，如果有一个人说大街上有老虎，您相信吗”“魏王说：“不相信。”庞葱说：“如
果是两个人说呢？”魏王说：“那我就要疑惑了。”庞葱又说：“如果增加到三个人呢，大王相信吗？”魏王说：
“我相信了。
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庞葱与太子质于邯郸，谓魏王曰
：今一人言市有虎，王信之乎？王曰：否。二人言市有虎，王信之乎？王曰：寡人疑之矣。三人言市有虎，王信之
乎？王曰：寡人信之矣。庞葱曰：夫市之无虎明矣，然而三人言而成虎。
A级
1．方程的解是_______________．
（重庆市竞赛试题）
2．方程的解是_______________
，方程的解是
_______________．
3．已知，那么__________．
（北京市“迎春杯
”竞赛试题）
4．巳知，那么的值为__________．
（“希望杯”邀请赛试题）
5．若方程的解分别是、，则__________．
（“希望杯”邀请赛试题）
6．满足（）的有理数和，一定不满足的关系是
（ ）．
A． B． C． D．
7．有理数、满足，则（
）．
A． B． C．
D．
8．若关于的方程无解，只有一个解，有两个解，则，，的大小关系是
（）．
A． B． C． D．
（“希望杯”邀请赛试题）
9．方程的解的个数为（）．
A．不确定 B．无数个 C．2个
D．3个
庞葱要陪太子到邯郸去做人质，庞葱对魏王说：“现在，如果有一个人说大街上有老
虎，您相信吗”“魏王说：“不相信。”庞葱说：“如果是两个人说呢？”魏王说：“那我就要疑惑了。”庞葱又
说：“如果增加到三个人呢，大王相信吗？”魏王说：“我相信了。
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庞葱与太子质于邯郸，谓魏王曰：今一人言市有虎，王信之乎？王曰：否。二人言市有虎，王信之乎？
王曰：寡人疑之矣。三人言市有虎，王信之乎？王曰：寡人信之矣。庞葱曰：夫市之无虎明矣，然而三人言而成虎
。
（“祖冲之杯”邀请赛试题）
10．若关于的方程有三个整数解，则的值是（）．
A．0 B．2 C．1
D．3
（全国初中数学联赛试题）
11．解下列方程：
（1）； （2）； （3）；
（五城市联赛试题）
（4）．
（全国通讯赛试题）
12．求关于的方程（）的所有解的和．
（陕西省竞赛试题）
B级
1．关于的方程的解是，则的值是__________；关于的方程的解是，
则有理数
的取值范围是__________．
2．若，则满足条件的整数的值共有
__________个，它们的和是
__________．
（“希望杯”邀请赛试题）
3．若，，则使成立的的取值范围是__________．
（武汉市选拔赛试题）
4．已知且，那么__________．
5．若有
理数满足方程，那么化简的结果是（）．
A．1 B． C． D．
庞葱要陪太子到
邯郸去做人质，庞葱对魏王说：“现在，如果有一个人说大街上有老虎，您相信吗”“魏王说：“不相信。”庞葱
说：“如果是两个人说呢？”魏王说：“那我就要疑惑了。”庞葱又说：“如果增加到三个人呢，大王相信吗？”
魏王说：“我相信了。
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庞葱与太子质于邯郸，谓魏王曰：今一人言市有虎，王信之乎？王曰：否。二人言市有虎，王信之乎？王曰：寡人
疑之矣。三人言市有虎，王信之乎？王曰：寡人信之矣。庞葱曰：夫市之无虎明矣，然而三人言而成虎。
6．适合关系式的整数的值有（）．
A．0 B．1 C．2
D．大于2的自然数
7．如果关于的方程有实根．那么实数的取值范围是
（
）．
A． B． C． D．
（武汉市竞赛试题）
8．巳知方程有一个负根，而没有正根，那么的取值范围是（）．
A． B． C．
D．
（全国初中数学联赛试题）
9．设、为有理数，且方程有三个不相等的解，求的值．
（“华罗庚金杯”邀请赛试题）
10．当满足什么条件时，关于的方程有一解？有无数多解？无解？
（江苏省竞赛试题）
11．
用符号“㊉”定义一种新运算：对于有理数、（，），有，已知，求的
值．
（北京市“迎春杯”竞赛试题）
专题09 含绝对值符号的一次方程
例1 x＝－10
提示：x－5＝±（－5－2x），解得x＝－10或x＝0（舍去）．
例2 C提示：用
数轴表示，方程中未知数x表示到－1与3的距离之和等于4的整
数值，分别是－1，0，1，2，3．
例3由得，∴，．
庞葱要陪太子到邯郸去做人质，庞葱对魏王说：“现在
，如果有一个人说大街上有老虎，您相信吗”“魏王说：“不相信。”庞葱说：“如果是两个人说呢？”魏王说：
“那我就要疑惑了。”庞葱又说：“如果增加到三个人呢，大王相信吗？”魏王说：“我相信了。
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庞葱与太子质于邯郸，谓魏王曰：今一人言市有虎，王信之乎？王曰
：否。二人言市有虎，王信之乎？王曰：寡人疑之矣。三人言市有虎，王信之乎？王曰：寡人信之矣。庞葱曰：夫
市之无虎明矣，然而三人言而成虎。
又x，y异号，y，z同号，
故当y＝2，x＝－3时，z＝1，即x＋y＋z＝0；
当y＝－2，x＝3时，z＝－3，即x＋y＋z＝－2．
综上可知x＋y＋z的值为0或－2．
例4（1）或
（2）提示：当x＜－3时，原方程化为，解得x＝－5；
当－3≤x＜1时，原方
程化为，解得x＝－1；
当x≥1时，原方程化为，解得x＝3；
故原方程的解是x＝－5，－
1，3．
例5提示：由绝对值的几何意义知，当－2≤x≤1且－1≤y≤5时，
有，
故当x= －2, y=－1时,x+y有最小值为－ 3;
当X=1时,y=5时,x+y有最大值为6.
例6 分2种情况考虑:
当且仅当m≠1时,其解为，这是m满足的条件为，即0≤m<1,不符合-1≤m<0的条件,
故应
舍去.
同理,有②得m>0时,方程有唯一的解.但不符合-1≤m<0.故方程无解.
A级
1．
x=11
提示:原方程可化为5x+6=6x-5或5x+6=5-6x.分两种情况讨论.
2．或
3．
0
或-1
4．
5
5．
2004
提示:x₁=1002+1002² x₂=1002-1002²
庞葱要陪太子到邯郸去
做人质，庞葱对魏王说：“现在，如果有一个人说大街上有老虎，您相信吗”“魏王说：“不相信。”庞葱说：“
如果是两个人说呢？”魏王说：“那我就要疑惑了。”庞葱又说：“如果增加到三个人呢，大王相信吗？”魏王说
：“我相信了。
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庞葱与太子质于邯郸，谓魏王曰：今一人
言市有虎，王信之乎？王曰：否。二人言市有虎，王信之乎？王曰：寡人疑之矣。三人言市有虎，王信之乎？王曰
：寡人信之矣。庞葱曰：夫市之无虎明矣，然而三人言而成虎。
6．A提示:a
7．C
8．A
9．B
10．C提示:用筛选法
11． ⑴ｘ=-1 或ｘ=-3
⑵ｘ=4
⑶或ｘ=2
⑷提示:X<-1;-，, X≥2 四种情况分别去掉绝对值符号解方程,当考虑到
时,原方程化为 ,
即1=1,这是一个恒等式,说明凡是满足的x值都是方程的
解.
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提示
(0
B级
1.
-1 a≥0 提示:由得
2.
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3.
b≤x≤a
a×1≥0,即a≥0
提示用绝对值得几何意义解
a＜-1时,原式=1,当-1
1 或-1
提示: 当
5.
D
6.
C
7.
D
提示由绝对值的几何意义知-2≤3X≤4
提示用绝对值得几何意义求解
庞葱要陪太子到邯郸去做人质，庞葱对魏王说：“现在
，如果有一个人说大街上有老虎，您相信吗”“魏王说：“不相信。”庞葱说：“如果是两个人说呢？”魏王说：
“那我就要疑惑了。”庞葱又说：“如果增加到三个人呢，大王相信吗？”魏王说：“我相信了。
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庞葱与太子质于邯郸，谓魏王曰：今一人言市有虎，王信之乎？王曰
：否。二人言市有虎，王信之乎？王曰：寡人疑之矣。三人言市有虎，王信之乎？王曰：寡人信之矣。庞葱曰：夫
市之无虎明矣，然而三人言而成虎。
8.
C提示:当a＞1时,方程有一负根;当a＜1时,方程有一正根.
b+3,b-3都是非负的,而且如果其中有一个为零,则得3个解;如果都不是
9.
提示:若
零,则得4个解,故b=3
10.
提示:由绝对值的几
何意义知:当-3＜a＜3时,方程有一解;当a=±3时,方程有无
穷多个解;当a>3或a＜-3时
,方程无解.
11.
根据题意:解得
x=±2003
做人质，庞葱对魏王说：“现在，如果有一个人说大街上有老虎，您相信吗”“魏王说：“不相信。”庞
葱说：“如果是两个人说呢？”魏王说：“那我就要疑惑了。”庞葱又说：“如果增加到三个人呢，大王相信吗？
”魏王说：“我相信了。
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庞葱要陪太子到邯郸去