创业学-英国驻华大使馆

9、约数与倍数
【约数问题】
例1 用1155个同样大小的正方形拼 成一个长方形，有______种不同的拼
法。（上海市第五届小学数学竞赛试题）
讲析：不论拼成怎样的长方形，它们的面积都是1155。
而长方形的面积等于长乘以宽。所以， 只要将1155分成两个整数的积，看
看有多少种方法。一般来说，约数都是成对地出现。
1155的约数共有16个。
16÷2=8（对）。
所以，有8种不同的拼法。
例2 说明：360这个数的约数有多少个？这些约数之和是多少？
（全国第三届“华杯赛”决赛第一试试题）
讲析：将360分解质因数，得
360=2×2×2×3×3×5=2
3
×3
2
×5。
所以，360的约数个数是：（3+1）×（2+1）×（1+1）=24（个）
这24个约数的和是：

例3 一个数是5个2，3个3，2个5，1个7的连乘积 。这个数当然有许
多约数是两位数，这些两位的约数中，最大的是几？
（全国第一届“华杯赛”决赛第一试试题）
讲析：这个数是2×2×2×2×2×3×3×3×5×5×7。
把两位数从99、98、……开始，逐一进行分解：
99=3×3×11； 98=2×7×7；
97是质数； 96=2×2×2×2×2×3。

发现，96是上面数的约数。
所以，两位数的约数中，最大的是96。
例4 有8个不同约数的自然数中，最小的一个是______。
（北京市第一届“迎春杯”小学数学竞赛试题）
讲析：一个自然数N，当分解质因数为：


因为8=1×8=2×4=2×2×2，
所以，所求自然数分解质因数，可能为：
2
7
，或2
3
×3，或2×3×5，……
不难得出，最小的一个是24。
【倍数问题】
例1 6枚1分硬币叠在一起与5枚2分 硬币一样高，6枚2分硬币叠在一
起与5枚5分硬币一样高，如果分别用1分、2分、5分硬币叠成的三 个圆柱体
一样高，这些硬币的币值为4元4角2分，那么这三种硬币总共有______枚。
（上海市第五届小学数学竞赛试题）
讲析：因为6枚1分的硬币与5枚2分的一样高，所以36枚1分的硬币与
30枚2分的一样高。
6枚2分的硬币与5枚5分的一样高，所以30枚2分的硬币与25枚5分
的一样高。
因此，36枚1分的硬币高度等于30枚2分的高度，也等于25枚5分的高
度。它们共有：
1×36+2×30+5×25=221（分）。
4元4角2分=442（分），442÷221=2。
所以，1分的硬币共36×2=72（枚） ，2分的硬币共30×2=60（枚），5
分的硬币共25×2=50（枚），即总共有182枚。

例2 从1、2、……、11、12中至多能选出_____ _个数，使得在选出的数
中，每一个数都不是另一个数的2倍。
（1990年全国小学数学奥林匹克初赛试题）
讲析：1、3、5、7、9、11是奇数，不可能 是任何整数的2倍。剩下的数
有2、4、6、8、10、12六个数，且6是3的2倍，10是5的2倍 。如取2，则
4、8、12就都不能取；如取4，则2、8不能取，故只可取12；如取8，则2、4不能取，故只可取8。所以至多能选取8个数。
例3 小明的两个衣服口袋中各有13张卡 片，每张卡片上分别写着1、2、
3、……13。如果从这两个口袋中各拿出一张卡片来计算它们所写两 数的乘积，
可以得到许多不相等的乘积，那么，其中能被6整除的乘积共有______个。
（北京市第九届“迎春杯”小学数学竞赛试题）
讲析：因为6=2×3，所以能被6整除的因数中，至少含有一个2和一个3。
当一边取6，另一边取1、2、……、13时均成立，有13个积；
当一边取7、8、9、10、11、12、13，另一边取12时，有7个积；
当一边取10，另一边取9时，有1个积。
所以，不相等的乘积中，被6整除的共有：
13+7+1=21（个）。
例4 设a与b是两个不相等的自然数。如果它们的最小公倍数是7 2，那么
a与b之和可以有______种不同的值。
（北京市第九届“迎春杯”小学数学竞赛试题）
讲析：因为72=2
3
×3
2
，它共有约数
（3+1）×（2+1）=12（个）
这12个约数，每个约数与72的最小公倍数都是72，a、b之和有12种不
同的值；
当a=2
2
×3
2
=36时，b可取2
3
=8或2
3
×3=24，a、b之和有2种不同的值；
当a=2
3
×3=24时 ，b可取3
2
=9或2×3
2
=18，a、b之和有2种不同的值。
当a=2×3
2
=18时；b可取2
3
=8，a、b之和有1种不同的值。

所以，满足条件的a与b之和共有17种不同的值。