郑州牧业高等专科学校-幼儿园保健工作计划

关键词数学游戏数学发展数学教育摘要游戏与数学作为两项人
类活动具有许多共同的 特点，这种共性主要体现在它们的性质、结构
以及实践等三个方面。 数学与游戏之间的关系是相互渗透、相
互统一的关系。 游戏的精神一直伴随着数学的成长和发展， 成
为数学发展的主要动力之一；并从以下几个方面影响了数学的发展游
戏激发了许多重要数学思 想的产生，游戏促进了数学知识的传播，游
戏是数学人才发现的有效途径。 此外，游戏还在数学教育中起
着非常重要的作用。 一．数学与游戏的关系 一般认为，游
戏是一个广泛的概念，它包括任何一种旨在消遣时光或寻求娱乐的活
动。 而数学则是带有艺术风度的智力工作，同时是具有巨大的
实用价值的科学。 数学总是和逻辑在一起 ，数学家在从事研究
时一般不是戏谑的，因为严谨和认真是人们对数学的一种追求，游戏
对于数 学的作用至多起激发兴趣和调节情绪的作用。 然而，事
实上情况并非那么简单。 考察一下数学与游戏的关系，我们发
现游戏与数学的关系非常密切。 无论从数学知识的本身，还是
数学活动的过程，如从事数学活动的人们的动机、方法等方面都可发
现游戏的因素。 首先 ，就数学知识本身来说，在传统数学领域
和现代数学领域中都可发现大量赏心悦目的具有游戏性质的内容 和
问题。 在算术中，毕达哥拉斯学派对于完全数和亲和数等数字
的奇特性的研究，以及用 石块的游戏列出的有趣定理都具有游戏的性
质。 在代数中，三次方程早已出现在公元前1900 ----1600年巴
比伦的泥板书中，当时并没有实际的问题导致三次方程，显然巴比伦

人把这个问题当作消遣。 公元前3世纪阿基米德提出群牛问题
导致包含8个未知数的代数不定方程组。 5—6世纪《张丘建算
经》中记载的百鸡问题导致3元不定方程组。 几何学中的游戏
趣题 更是花样繁多，如由勾股定理所编制的大量趣题、古希腊人研究
的角的三等分、倍立方体和化圆为方三大 几何作图问题以及对割圆曲
线等奇异曲线的研究、用相同形状的图形铺满整个平面的问题，等等。
许多深奥的、严肃的数学也带有游戏的情趣。 例如，从16世纪
以来，在微积分中人们对 大量种类的奇形怪状的曲线的研究显然带有
娱乐的性质。 最早纯粹关于消遣性数学问题的书籍出现 于17世
纪，其后200年中，数学中的游戏及迷题的种类和数量大增。 在
此时期人们的 兴趣大都集中在数字的奇特性、单纯的几何迷题、算术
故事问题、魔术方块、赌博等游戏。 到了1 9世纪，人们的兴趣
开始转向一些现代数学领域，如拓扑学、组合几何、图论、逻辑学、
概率论 等，其中研究对象性质的奇特性、推理方法的迷惑性、以及各
种组合问题和几何图形操作的灵活多变性等 都是给人以乐趣的、带有
游戏色彩的问题。 其次，数学作为一项人类活动，自古以来一
直 是一个享有特权的人类智力活动领域，被看成是人类智力的象征。
它能使参与者产生情感方面的体验，给人乐趣。 因此，许多人
不单是因为数学有用而研究 数学，他们的出发点则是把数学作为一种
自娱自乐的游戏，一种高级的心理追求和精神享受。 许多数学
思想是人们锲而不舍地思索一个令人迷惑的概念或问题的结果。
有些人可以就一 些问题和趣题连续工作几个小时，甚至花费几天、几

年的时间去探讨那起初从表面上看来 不过是消遣的东西，直至细枝末
节，以求得彻底解决。 例如，几何学起源于实际的需要，然而
几何学的繁荣发展却开始于古希腊。 尽管希腊人把几何看作 与
对于世界本质的思索一样严肃的事，但实际上希腊人却把几何当作智
力游戏对待，他们的大部 分工作本质上都具有游戏的性质──远离功
利，满足好奇心和求知欲，有闲人的消遣，比如他们把大部分 的精力
都集中在许多单纯的几何迷题上。 可以说数学只是希腊人的一
个高级玩具，而并非一个有用的工具。 数学即游戏的观念在19
世纪数学变为一种职业以后仍然在发挥作用，实际上这种观念一直持
续到现代。 在此，引用爱因 斯坦于1918年4月所讲的一段意味
深长的话许多人爱好科学，是因为科学给了他们异呼寻常的智力上 的
快感，对于这些人科学是一种特殊的娱乐；还有许多人之所以把他们
的智力奉献给科学祭坛， 为的是纯粹的功利。 如果把这两类人
都赶出神圣的殿堂，那么，这里的人就会大为减少…爱因斯坦 的这段
描述在科学殿堂活跃的人们的话同样也适用于数学。 著名数学
家哈代曾说激励数学 家做研究的主要动力是智力上的好奇心，是谜团
吸引力，正如希尔伯特所说问题就在那里，你必须解决它 。 正
是这种永不满足的激情吸引了大批的人献身于数学，从而导致了大量
问题离奇地绽开 数学的嫩牙。 可以说数学在其成长和发展中一
直伴随着游戏的精神。 这种数学即游戏观念并 非出于偶然，从
本质上作一番考察，我们会发现数学与游戏具有许多共同的特点，它
们的关系是 相互渗透、相互统一的关系，这种统一主要体现在活动的

性质、结构的形式以及实践三个 方面。 首先，数学与游戏作为
两项人类活动具有许多共同的性质特征。 有些社会学家曾经对
游戏进行了深入的分析，以下性质是游戏的基本特征[1] 1．游
戏 是一种自由活动，自由在希腊语中的意思是无报酬的，即活动本身
是为了锻练，而不是为了从中获取利益 。 2．游戏在人类的发展
中起着一定的作用。 幼儿从游戏中丰富情感、获得知识、发展
智力和能力，从而为将来的竞争和生活作准备。 成年人玩游戏
则是为了体验解放、回避和放松、满足好奇心等感觉。 3．游戏
不是玩笑，作游戏必须相当认真。 不认真对待的人是在糟蹋游
戏。 4．游戏就象艺术工作一样，在深思熟虑、实施以及取得成
功的过程中能够得到巨大的乐趣。 5．通过游戏规则可以创造一
种新秩序和充满和谐韵律的世界。 6．游戏有自己独立的时间和
空间。 …… 显然，数学作为一项人类的活动也具有以上所
有的特点，从这一点来讲，数学的确是一种游戏。 其次，数学
与游戏的系统结构也有共同的形式。 数学具有演绎体系或称为
公理化系统，这 种系统由不加定义的概念原始概念，不加证明的命题
公理组成。 其中原始概念的含义由公理体现出来。 任何游
戏在一开始都是介绍一些对象或部件，一系列的规则 ，这些对象或部
件的作用由那些规则所决定。 两者的相似是显然的，它们的差
异只是叫法 不同而已，数学中的不加定义的概念对应着游戏中的对象
或部件，公理对应着游戏的规则，数学中的定理 则对应着游戏过程中
的每一状态。 两个系统中都有定义，也都有证明。 例如，

以下字母游戏的系统可以用数学的语言描述[4] 不加定义的概
念字母，和。 定义指任何由若干和若干个组成的字母串。 公
理 1如果字母串的最后一个字母是，则可在最后加上字母。
2如果已有，则可以加上变为，此称为加倍法则。 3如果在字母
串中出现三个相连的情况，即可用一个来代替 4如果出现，则
一局结束。 定理由，必然导出 证明→公理2→公理2→公
理1→公理3 正是由于数学与游戏的形式结构 的相似，20世纪
初数学哲学中形式主义学派的代表人物希尔伯特．有一个极端的观点
数学是根 据某些简单规则使用毫无意义的符号在纸上进行的游戏。
第三，数学与游戏的实践也有共同的特征。 任何人在开始做游
戏时，都必须对它的规则有 一定的了解，将各部件的相互联系弄清楚，
就象数学的初学者那样，用同样的方法比较并建立该理论中的 基本元
素之间的相互作用，这些就是游戏和数学理论的基本练习。 无
论在数学中还是在游戏中，较深层次的、更复杂的步骤和策略的运用
都需要特殊的洞察力。 在玩高级游戏的过程中，总是有问题出
现，人门总想要在从未探索过的游戏情境中用首创的方法来解决， 这
对应于数学理论中未解决的问题的研究。 在创造新游戏的过程
中，需要设计情境，给出新颖的策略和创造性的游戏方式。 将
其与创 立新的数学理论相类比的话，就相当于提出新颖的思想和方法，
并将之应用于其它未解决的问题，从而更 深刻地揭示现实生活中某些
至今尚不明了的真理。 因此，从广义上来讲，可以说数学是一
种游戏，只不过这种游戏要涉及到科学、哲学、艺术等更广泛的人类

文化范围。 从狭义上说，数学中的游戏是指那些具有娱乐和消
遣性质的并带有数学因素的游戏和智力难题。 正 是由于数学与
游戏之间的共性，许多问题和内容很难说是应归于纯数学研究还是归
于有趣的智力 游戏；更难于区分人们对于数学的兴趣是由于数学中的
游戏因素，还是由于数学的其他因素。 总之 ，数学中有游戏的
精神，游戏中有数学的思想，要想在两者之间画出一道严格分明的界
限是不 可能的。 二．游戏对数学发展的影响 既然数
学与游戏是如此紧密的联系在一起，因此在某种 程度上可以说，游戏
精神是数学发展的主要动力之一。 人们从事数学活动，就是在
进行某 种趣味四溢的游戏，数学中的游戏因素给数学带来了无穷的魅
力，从而吸引了一代又一代人的目光，大大 加速了数学的发展。
因而，不论是数学家还是一般的游戏者都促进了数学事业的发展。 此外，游戏对数学的发展还表现在另外三个方面游戏激发了许多重要
数学思想的产生，游戏促进了数 学知识的传播，游戏是数学人才发现
的有效途径。 1．游戏激发了许多重要数学思想的产生。 数
学史上经常出现这种情况，许多数学思想起源于对于一些令人迷惑不
解的问题的锲而不舍地探 索，这些问题往往从表面上看来不过是供人
消遣的游戏而已，甚至看来与数学的情境毫无关系，然而最后 问题的
解决却产生令人意想不到的新的数学思想。 例如，自古以来，
悖论出现在广泛的学科范围，包括文学、科学、数学。 不管什
么类型的 悖论，其中的创造性和令人困惑的推理都充满了趣味和给人
异乎寻常的智力上的快感。 特别地，数 学的悖论不仅可以供人

娱乐，而且还是很好的智力练习和发现的乐土，许多数学学科的完 善
都与悖论有关，如实数理论、微积分、集合论等。 可以说数学
中几乎每一门学科都或多或少受到游戏精神的激发而得到发展。
最典型的例⑹歉怕事邸⑼悸酆妥楹鲜 概率论直接起
源于一个关于赌博的游戏。 17世 纪，法国的一个名为德．梅勒
的职业赌徒针对赌博中常常遇到怎样合理分配赌注问题，向著名数学
家帕斯卡请教，这个问题常常称为点子问题，即两个赌徒中谁先积满
一定数目的点谁就赢得一局；如果 在一局结束以前离开赌场，他们应
该如何分配赌注？帕斯卡和费马在通信中各自解决了这个问题。
对于这个问题的解决和研究标志着不同于以往确定性数学的一种崭
新的数学方法—概率论的诞生 ，它把纯粹偶然事件的表面上的无规律
性置于规律、秩序和规则之下，从而成为人类的根本知识之一，并 具
有广泛应用价值。 正如拉普拉斯所说这门起源于靠运气取胜的
游戏的科学，竟然成了人类知识的最重要的一部分 图论也是一
门起源于游戏的学科，它起源于欧拉关于哥尼斯堡七桥问题的研究。
哥尼斯堡 是东普鲁士首府，普莱格尔河横贯其中，上有七座桥将河中
的两个岛和河岸连接，一个散步者怎样才能走 遍七座桥而每座桥只经
过一次？当时大多数人都把这当作有趣的娱乐，但是欧拉发现这个问
题可 以导向一个另外的契机，他抓住了这个契机并加以发展。
1735年，欧拉向圣彼得堡科学院提交 了一篇论文，欧拉把这个问题
的物理背景变换并简化为一种数学设计称作图或网络即把每一块陆
地用一个点来代替，将每一座桥用连接相应的两个点的一条线来代替，

从而相当于得到一 个图。 欧拉证明了这个问题没有解。 欧
拉指出欧几里得几何并不适用于这个问题，因为桥不涉及大小，也不
能用量化计算来解决。 相反地，这问题属于位置几何莱布尼茨
描述拓扑学时首先使用的名称。 所以，哥尼斯堡七桥问题的 解
决远远超出了它的娱乐价值，由此提出的新思想则开辟了数学的一个
新的领域—图论。 当然游戏娱乐对于图论的作用并没有到此为
止，此后许多著名的数学游戏成为图论和拓扑学发展的催化剂 和导引，
如哈密尔顿问题绕行世界问题、四色猜想等。 另一个与游戏密
切相关的学科是组合数学。 组合数学是研究任意一组离散性事
物按照一定规则安排或配置方法的数学。 二十世纪以前，人们< br>主要从游戏的角度来研究组合数学，例如中国的魔方、纵横图、巴歇
砝码问题、柯可曼女生问题、 欧拉36名军官问题等等。 这些问
题推动人们去思考，它们的解答也常常是机智和精巧的。 在这
个过程中，人们得到了组合数学中一般的存在性定理和计数原理，如
抽屉原理、母函数方法 、递归关系解法、容斥原理等。 事实上，
数学学科中一些最伟大的成就，象射影几何、数论、拓扑 学、对策论
等无不受到游戏精神的影响。 总之，由游戏的精神激发出来的
数学对象是无止境的。 当人们以自愿而嬉笑的心境，而不是以正式的科学常有的严肃认真的背景来看待一门学科时，这种精神就能
使科学有效地取得进展。 这是因为在解决和创造智力题或游戏
的过程中，人们可以不受传统理论概念或方法论的束缚，完全自由地
显示他的想象力和发挥他的创造力。 正因为如此，游戏成为严

肃数学的出发点，有时成为某些学科产生和发展的催化剂。 2．游
戏对于数学的另一作用是促进了数学知识的传播。 游戏之所以
具有难以抗拒的魅力 的一个很重要的原因是游戏所涉及的问题和内
容有趣迷人、浅显易懂。 另外又不需要过多的预备知 识，只要
掌握一般的基本知识，初学者即可登堂入室，理解某一门学科的许多
的重要内容。 正象读过几部侦探小说的人会情不自禁地觉得自
己已有了足够的本领，可以帮助警方破案一样。 因此数学游戏
常被用来作为严肃数学的一种表现方式，使之更易理解和更具趣味。
游戏在数学普及和传播中的有效性一直伴随数学的成长和发展过程
中。 在人们津津乐道、相互传诵游戏的过程中，也将有关的数
学知识和数学思想传送给四面八方的人。 下面是历史上这一倾
向的几个典型例子 成书于公元前1700年的古埃及的阿默士纸
草书 也称纸草书是为当时的贵族和祭祀阶层所作的数学普及性的一
个问题集有人说是教科书，其中有些问题是 以有趣的歌谣或故事的形
式编写而成。 因此流传很广，如第79题关于几何级数的加法问
题又演变成我去圣地爱弗斯等歌谣流传于欧洲几个国家。 欧几
里得也在已经失传的一本名为《纠错 集》的书中使用了一组有趣的谬
论，作为激励他的学生进入正确思维过程的手段。 阿基米德在他的《数沙粒者》一书开始就说过去有个叫吉伦的国王，他认为沙粒
的数量是无限的……，这种以游 戏的方式来处理数学的情境的目的就
是使他的思想更为人们所理解和接受。 中世纪意大利数学家斐
波那契的《算盘书》是一本广泛流传于欧洲各国的著作，这本书流传

的原因除了 它的内容实用之外，还因为把数学内容寓于生动有趣的游
戏之中，如兔子繁殖问题、蓄水池问题、野兔和 猎狗、七个老妇等几
乎成为家喻户晓、人人皆知的数学游戏。 此书唤起了欧洲人对
于数学的兴趣和重视，为以后欧洲数学的复兴奠定了基础。 在
世界各 地都曾经流传一些著名的数学游戏，如古代中国的韩信点兵、
百鸡问题、七巧板、大衍求一术该问题被多 种数学著作改头换面地采
用。 古印度的莲花问题、蜜蜂问题…… 从19世纪末期开
始，由于人们意识到游戏在数学知识的普及与传播中的独特的作用，
关于数学游戏的收集、编造以及解答 等方面的研究受到空前地重视，
在众多的研究者中，影响最大的是美国科普作家马丁．加德纳的工作，< br>他曾在美国的著名科普杂志《科学美国人》上主持数学游戏专栏。
他工作的特点是把许多数学思想或知识寓于各种奇妙有趣的故事和
问题之中。 这些题目初 看似乎很难，有时冥思苦索，百思不得
其解，但如果放开思路，打破框框，从各种角度去考虑，也许很快 就
会有所突破，具有啊呵！灵机一动的特点。 这些妙趣横生的作
品使数以百万计的人陶醉于数学乐园之中。 以后这些趣题被汇
集成册以各种文字出版多次，其影响广泛而又持久。 最近，英
国数学家 康韦．Ｈ．等人在所作的《数学游戏获胜的方法》一书中说
马丁．加德纳比任何人将更多的数学带给了千 百万人。 这句话
在肯定了马丁．加德纳的贡献的同时，也道破了游戏对于数学传播的
有效性。 3．游戏也常常成为数学人才发现的有效途径，从而成
为他们进入数学研究的踏脚石。 历史上许多 数学家是由于解决

了某个游戏难题而发现自己具有数学潜能，从此放弃其他选择而献身< br>数学。 高斯在数学史上是与阿基米德、牛顿等人并列的数学家，
有数学王子之称，他填补了 古典数学家遗留的许多空白，而又为现代
数学开辟了许多意义深远的新道路。 高斯成为数学告别过去走
向现代的一个象征。 这样一位大数学家以数学为职业却是由于
在 他19岁那年解决了一个长期困扰数学界的、带有游戏色彩的几何
作图难题——用尺规作出了一个正十七 边形，这一成功使他对自己的
数学才能有更加明确的认识，于是，他毅然放弃自己所喜爱的语言学
而投身于数学。 著名的法国概率学家西米尔．泊松年青时曾经
为找到一个适合自己的职业而大伤 脑筋，他的父亲要他学医或法律，
但他缺少这方面的欲望。 正在苦苦寻觅之时，一道趣题使他意
识到自己的习性和兴趣倾向于数学方面。 以此为开端，他开始
了数学研究生涯。 一道游戏趣题而成为他一生的转折点[7]。
一般来说，许多具有数学潜能的人往往从小表现出对游戏的迷恋和酷
爱，以及在解决方法上的灵活和机 智。 所以游戏往往成为检测
一个人的数学和推理能力的一个标准。 如果说上述例子还不足< br>以说明这一点的话，还可以举出许多涉足过游戏的数学家名字对赌博
痴迷终生的意大利数学家卡尔 达诺；由魔术师成为20世纪有影响力
的美国数理统计学家戴康尼斯 ；从小就以玩游戏出名的英国 数
学家康韦、此外还有莱布尼茨、伯努利、哈密尔顿、冯-诺伊曼、游
戏成为自我检测数学才能 的试金石。 现在各种数学竞赛中包含
许多数学游戏，这种做法实际上也是基于游戏可用于选拔数学 人才的

理念。 三．游戏在数学教育中的作用 古往今来的数学教育
的理论和实践都已证明游戏对于数学教育具有极大的价值。 对
此，马 丁．加德纳曾经作了相当正确的评价唤醒学生的最好的办法是
向他们提供有吸引力的数学游戏、智力题、 魔术、笑话、悖论、打油
诗或那些呆板的教师认为无意义而避开的其他东西。 具体说来，
游戏在数学教育中的有效性主要表现在以下三个方面 首先，游
戏是数学内容获得的有效方法之一。 因为游戏为不同年龄层次
的人提供了这样的 机会——通过具体的经验去为今后所必须学习的
内容作准备。 例如折纸的游戏，折纸的对象是一个 正方形的纸
张，留在正方形的纸张上的折痕揭示出大量几何的对象和性质相似、
轴对称、心对称 、全等、相似形、比例、以及类似于几何分形结构的
迭代。 折纸的过程也极具启发性开始用一个正 方形二维物体的
纸张来折一个立体三维物体．如果折出了新的东西,那么折纸的人就
把这个立体 摊开并研究留在正方形纸上的折痕。 这个过程包含
了维数的变动。 一个二维物体到三维物体，又回到二维，这就
跟投影几何的领域发生了关系[3]。 其次，游戏与 数学结构的相
似性保证了游戏有利于数学思维的培养，从而使学生更深刻地理解数
学的精神。 例如，计算机游戏可以发展几何的空间感觉和意识；
某些棋类或字母游戏提供了公理系统的体验，从而使 游戏成为学生从
具体过度到抽象数学证明的桥梁。 通过游戏也会使学生体会到
数学的另一 种精神数学不是一门一成不变的课程，数学知识也不是绝
对的真理，数学是人类心灵的自由创造。 或者说数学思想是人

的想象力的虚构物和创造物。 数学世界独立于我们的现实世界 ，
尽管它和现实世界以不可思议的对应联系起来，并成为人类认识自然
界和认识人类社会自身的 有效工具。 这正是数学的奇妙所在。
最后，游戏可以培养正确的数学态度。 这一点主要体现在两个
方面。 一方面，游戏是培养好奇心的有效方法之一，这是由游
戏的 性质决定的——趣味⑶俊⒘钊诵朔堋⒕哂刑粽叫缘取闷嫘挠治
剿魇窒蟮陌旅靥峁┝饲看蟮亩Ｈ绻
敲词
挥卸杂谡饷叛
敖且幌罴
艽庞
Э频那苛倚巳ず吞剿魑粗
杩喽郝墓ぷ 鳌Ｐ矶嗍
侍獾暮闷嫘模
铱级阅骋晃侍庾餮芯渴保
胄『⒆油嫘峦婢咭谎男酥拢仁谴泻闷娴 木龋谏衩乇唤铱
笥钟蟹⑾值南苍谩? 另一方面，游戏还可以培养培养学生养成乐
意吸取不同的思路、勇于创造的研究态度。 许多研究人员都为
游戏和不同思路之间的关系之密切提供了大量的事例[3]。 例如，
一 个小女孩玩积木时，可能会尝试着用不同的组合方法来观察把一块
积木放在另一块上面时，摆多少块可以 不到下来。 她边玩边对
自己的设想进行判断，充分发挥了她的主动性和创造性。 并且，
她还可以用从游戏中所获得的思路和方法去解决其他的问题。
在游戏时所用的不同 思路就是在为某种任务或问题寻找解决方案，因
此，可以说游戏是研究的最高形式。 爱因斯坦在1 954年说过的
一句话就指出了这一点[3]要获得最终的或逻辑的概念的愿望，也就
是玩一场 结果不明的游戏的感情基础。 ……这种组合游戏看来
就是创造性思维的重要表现形式。 对于 数学教育来说，游戏的

方法并不能代替一切，但如果在正规严肃的教学方法之外多为学生 提
供机会参加一些游戏，或至少提供一本好的数学游戏选集，即在教学
中掺入游戏的精神，那么 数学教育将会起到事半功倍的效果。 游
戏可以使任何水平的学生都从自己的最佳观测点面对每一个题材。
学生除了学到数学的 内容，体验数学的思维方式，还可以培养正确的
学习态度不同的思路、创造、动力、兴趣、热情、喜悦… …。 总
之，游戏对数学的教育价值和重要意义是不容忽视的。 四．结
语 综上所述我们看到，游戏对于数学的发展产生了重要影响，
并在数学教育中起着重要的作用。 所以 ，从理论上探讨数学与
游戏的关系对数学的进一步发展乃至当今数学教育研究都具有深刻
的启迪 作用和借鉴价值。 当然应当指出，游戏本身并不是数学
的终点，它不能完全取代对所有数学活动的 分析，数学是一种多边的
人类活动，数学中的游戏娱乐、美学欣赏、哲学思考、实用价值探索
等 因素是如此紧密地交织在一起，只要拆散和剔除任何一个可能不合
我们个人爱好的方面，都将给数学带不 可估量的损失。 只有认
真研究和总结数学发展中的各种因素，才能客观地、全面地认识和评
价数学，从而促进数学事业的研究和发展。 本文中所论述的是
数学与游戏的关系中的一个方面， 即数学中的游戏因素及其对数学发
展的影响。 还有许多方面有待于去探索和总结，例如数学对于< br>游戏的影响、计算机进入游戏王国及其对于数学的影响，怎样把游戏
的方法引入数学教育中，…… 等等，都是有待于进一步探讨的问题