罗格斯大学新伯朗士威校区-济南铁路公安局

人教版五年级数学下册知识点
第一单元 图形的变换
1、轴对 称图形：把一个图形沿着一条直线对折，两侧的图形可以完全重合，那么这个图形就是轴对称图形，这条
直线就是这个图形的对称轴。
2、轴对称的基本性质：对应点到对称轴的距离相等，对应点之间的连线 垂直于对称轴，对称轴两边的图形大小形
状完全相同。
3、等腰三角形有1条对称轴，等边三 角形有3条对称轴，长方形有2条对称轴，正方形有4条对称轴，等腰梯形
有1条对称轴，圆有无数条对 称轴。任意梯形和平行四边形不是轴对称图形。
5、旋转要明确绕点，角度和方向。
6、图形变换的基本方式是平移、对称和旋转。
旋转的三要素：方向、角度、中心点（定点） 。旋转只改变物体的位置，不改变物体的形状、大小。旋转点O点位
置不变。
7、钟表上共有12小格，每一格为300 。
8、画旋转图的方法：①找到旋转点，旋转点 不能动。②找到连接旋转点的两条线段，画出相应的对应点。③连接
各点标出符号。
第二单元 因数和倍数
1、如果a÷b表示两个数相除（a、b为整数，商是整数没有余数，b不能为0）则说a 能被b整除，b能整除a。也
就是说a是b的倍数，b是a的因数。如：12÷6=2，则说12能被6 整除，6能整除12，即2和6是12的因数。12
是2的倍数，也是6的倍数。因数和倍数是相互的不 能说12是倍数，6是因数应该说12是6的倍数等。谁是谁的
因数，谁是谁的倍数。
2、注意：为了方便，在研究因数和倍数时候，我们所说的数指的是整数（一般不包括0）
3、找因数的方法：①乘法②除法；找倍数：逐次乘以自然数。
4、一个数的因数的个数是有 限的，其中最小的因数是1，最大的因数是它本身。一个数的倍数的个数是无限的，其
中最小的倍数是它 本身，没有最大的倍数。一个数的最大因数和最小倍数是相等的都是他本身。
5、因数＜或=它本身、倍数＞或 = 它本身、 最大的因数=最小的倍数=它本身
6、2 的倍数特征：个位上是0、2、4、6、8的数都是2的倍数。自然数中，是2的倍数的数叫做偶数（0也是偶数 ），
也就是个位上是0、2、4、6、8的数。不是2的倍数的数叫奇数。也就是个位上是1、3、5、 7、9的数。
7、5的倍数特征：个位上是0或者5的数，是5的倍数。
8、3的倍数的特征：一个数各个数位上的数字的和是3的倍数，这个数就是3的倍数。
9、2和5的倍数特征：个位上是0的数，既是2的倍数，也是5的倍数。（就是10的倍数）。 10、2和3的倍数特征：个位上是0、2、4、6、8，而且各个数位上的数字的和是3的倍数，这个数既 是2的倍数，
也是3的倍数。(就是6的倍数)。
11、3和5的倍数特征：个位上是0或者 5，而且各个数位上的数字的和是3的倍数，这个数既是5的倍数，也是3
的倍数。（就是15的倍数） 。
12、2、3、5的倍数特征：个位上是0，而且各个数位上的数字的和是3的倍数，这个数同时是 2、3、5的倍数。（就
是30的倍数）能同时被2、3、5整除的最小两位数是30，最大两位数是9 0，最小三位数是120. 同时满足2.3.5的
倍数，实际是求2×3×5=30的倍数。
13、自然数按能否被2整除分成奇数和偶数，最小的偶数是0，最小的奇数是1，没有最大的奇数和偶数，最 小的
自然数是0。
14、奇数+、- 偶数=奇数 奇数+、- 奇数=偶数 偶数+、-偶数=偶数 奇数×奇数=奇数 质数×质数=合数
15、一个数，如果只有1 和它本身两个因数，这样的数叫做质数（或素数）；一个数，如果除了1和它本身还有别
的因数，这样的 数叫做合数（至少3个因数）。质数只有两个因数；而合数至少有三个因数。1既不是质数，也不是
合数 。
16、最小的质数是2，最小的合数是4 。2是偶数中惟一的质数称为偶质数；也是质数中唯一的偶数。
17、100以内找质数、合数的技巧 ：看是否是2、3、5、7、11、13…的倍数，是的就是合数，不是的就是质数。
1

18、100以内的质数：2、3、5、7、11、13、17、19、23 、29、31、37、41、
43、47、53、59、61、67、71、73、79、83、89、97 。（51、81、57 、87的因数除了1和本身，还有因数3；91
的因数除了1和本身还有因数7和13。所以它们是合数 。）
19、自然数按因数的个数分可分为质数、合数和1.
20、每个合数都可以写成几个 质数相乘的形式，这就叫分解质因数。用短除法分解质因数。质数相乘一定得合数。
如：72=2×2× 2×3×3。90=2×3×3×5
第三单元 长方体和正方体
一、长方体、正方体的认识
1、长方体是由6个长方形（特殊情况只有两个相对的面是正方形 ）围成的立体图形。在一个长方体中，相对的面
完全相同，相对的棱长度相等。
2、长方体有 6个面。有12条棱，相对（也可以说是平行）的4条棱的长度相等。长方体有8个顶点。长方体最多
有 8条棱的长度相等。
3、相交于一个顶点的三条棱的长度分别叫做长方体的长、宽、高。
4、长方体的棱长总和：（1）（长+宽+高）×4
（2）长×4+宽×4+高×4
5、（1）正方体的6个面是完全相同的正方形。
（2）正方体的12条棱长度都相等。
（3）有8个顶点。
6、正方体可以看成是长、宽、高都相等的长方体，或者叫立方体。所以正方体是特殊的长方体。 7、正方体的棱长总和=棱长×12（如果告诉一条铁丝长60厘米做成一个长方体或正方体，60就是长方 体或正方体
的棱长总和）
8、用棱长1cm的小正方体摆成稍大一些的正方体,至少需要8个小正方体。
二、长方体和正方体的表面积
1、表面积：长方体或正方体6个面的总面积，叫做它的表面积
2、长方体的表面积：
①长方体有“上”、“下”、“前”、“后”、“左”、“右”6个面。
②长方体的表面积=（长×宽＋长×高＋宽×高）×2 用字母表示：S=（ab＋ah＋bh）×2
③特殊长方体的表面积（有两个面是正方形）正方形的两个面完全相同，其余四个面完全相同。
3、正方体的表面积
正方体的表面积=棱长×棱长×6 用字母表示： S= 6a
2

4、表面积的常用单位有： 平方米、平方分米、平方厘米
相邻两个面积单位之间的进率是100 1m
2
=100dm
2
1 dm
2
=100 cm
2

5、生活实际
油箱、罐头盒等都是6个面；游泳池、鱼缸等都只有5个面；水管、烟囱等都只有4个面。粉刷教室只有4个面。
6、长方体或正方体每截断一次会增加两个截面，所以这时的两个物体的表面积大于原来物体的表面积。 长方体或
正方体底面的面积叫做底面积（也叫占地面积）。
7、长方体或正方体的长、宽、高同时扩大几倍，表面积会扩大倍数的平方倍。
（如长、宽、 高各扩大2倍，表面积就会扩大到原来的4倍；长、宽、高各扩大3倍，表面积就会扩大到原来的9
倍） 。
三、长方体和正方体的体积
1、体积：物体所占空间的大小叫做物体的体积。（就是看物体含有多少个体积单位）
2、常用的体积单位有： 立方米（m
3
）、 立方分米（dm
3
）、 立方厘米（cm
3
）
① 棱长是1 cm的正方体，体积是1 cm
3
。如手指头的大小。
② 棱长是1 dm的正方体，体积是1 dm
3
。如黑板擦和粉笔盒的大小。
③ 棱长是1 m的正方体，体积是1 m
3
。
相邻两个体积单位之间的进率是1000 1 m
3
=1000 dm
3
1 dm
3
=1000 cm
3

2

3、长方体的体积
长方体的体积=长×宽×高 用字母表示：V=abh
4、正方体的体积
正方体的体积=棱长×棱长×棱长 用字母表示：V= a
3
（a·a·a·也可以写作“a³”，读作“a的立方”，表示3个a
相乘）
5、底面积： 长方体或正方体底面的面积叫做底面积。
6、长方体和正方体的体积统一公式：
长方体或正方体的体积 = 底面积 × 高 ；用字母表示： V=Sh（横截面积相当于底面积，长相当于高）。
7、一个长方体的长、宽、高（或正方体的棱长） 分别扩大a倍，它的表面积就扩大a
2
, 长方体或正方体的长、宽、
高同时扩大几倍 ，体积就会扩大倍数的立方倍就是扩大a
3
倍。（如
长、宽、高各扩大2倍，体积就会 扩大到原
来的8倍）。（例如：一个长方体长、宽、高分别扩大3倍，它的表面积就扩大3×3=9倍， 体积扩大
3×3×3=27倍）

÷进率
8、低级单位 高级单位
×进率
1m=10dm 1dm=10cm 1m=100cm
1m²=100dm² 1dm²=100cm² 1m²=10000cm²
1m³=1000dm³ 1dm³=1000cm³ 1m³=1000000 cm³
1L=1000ml 1L=1 dm³ 1ml=1cm³
1t=1000kg 1kg=1000g
9、 一个长方体和一个正方体的棱长总和相等，但体积不一定相等。
10、 箱子、油桶、仓库等所能容纳物体的体积，通常叫做它们的容积。
11、 固体一般就用体积单位，计量液体的体积，如水、油等，常用容积单位升和毫升，也可以写成L和ml。
12、 1L=1 dm³ 1ml=1 cm³ 1L=1000ml
23、 长方体或正方体容器容积的计算方法，跟体积的计算方法相同。但要从容器里面量长、宽、高。 对于同一个
物体，体积大于容积。
13、把长方体或正方体截成若干个小长方体（或正方体）后，表面积增加了，体积不变。
14、容积的计算：
长方体和正方体容器容积的计算方法，跟体积的计算方法相同，但要从里 面量长、宽、高。（所以物体的体积大于
它的容积）。
15、排水法：（计算不规则物体的体 积）形状不规则的物体可以用排水法求体积，形状规则的物体可以用公式直接
求体积。排水法的公式：V 物体 =V现在－V原来，也可以V物体 =S×(h现在- h原来)，V物体 = S×h升高。

① 容器的底面积×上升那部分水的高度。

被浸没物体的体积等于
计算方法

上升那部分水的体积



16、把长方体或正方体截成若干个小长方体（或正方体）后，表面积增加了，体积不变。
17.正方体的展开图
正方体的平面展开图一共有11种。
3

② 放入物体后的体积—原来水的体积

第四单元 分数的意义和性质
1、在进行测量、分物或计算时，往往不能正好得到整数的结果，这里常用分数来表 示。一个物体、一个计量单位
或者一些物体都可以看作一个整体，也就是单位“1”。
2、把 单位“1”平均分成若干份，表示这样一份或几份的数叫做分数。（如：
7
表示把单位“1”平 均分成8份，表
8
示其中7份的数；还可以表示成：把7平均分成8份，表示其中1份的数）（ 把一根8米长的铁丝平均分成5分，
每段
81
米，每段占整根铁丝的）
55
71
的分数单位是，它有16个这样的
9
9
3、把单位“1”平均分 成若干份，表示这样一份的数叫做分数单位。（如：1
分数单位。）
4、分数与除法的关系：（被除数相当于分数的分子；除数相当于分数的分母）

被除数
被除数÷除数= =分子÷分母 （除数不能为0，分母也不能够为0）
除数

5、求一个数是另一个数的几分之几 用（除法）计算。求鹅的只数是鸭的几分之几用（鹅的只数）÷（鸭的只数）=
鹅的只数是鸭的几分之几 。
6、分子比分母小的分数叫做真分数。真分数小于1。
分子比分母大或分子和分母相等的分数叫做假分数。假分数大于1或等于1。
带分数由整数和真分数组成的分数。带分数大于1。
真分数＜1≤假分数
7、在a
中（a为非0自然数），当a<9时，它是真分数；当a≥9时，它是假分数；当a是9的倍数时 ，它能化成整
9
数。
8、假分数化成整数或带分数的方法是：当分子一定是分母的倍 数时，假分数可以化成整数：用分子除以分母。如：
1414
的分子是14，分母是7，14是 7的倍数，所以=14÷7=2。当分子不是分母的倍数时，化成带分数，用分子
77
14除以分母，商是带分数的整数部分，余数是分数部分的分子，分母不变。 如：=14÷3=4……2，分子 除以分母
3
14
2
商是4作带分数的整数部分，余数是2作分数部分的分子， 分母是原来的分母3，所以=14÷3=
4
。
3
3
9、分数的基本 性质：分数的分子和分母同时乘或者除以相同的数（0除外），分数的大小不变。这叫做分数的基本
性质 。
10、几个数公有的因数叫做它们的公因数。其中最大的叫做它们的最大公因数。两个数公有的倍数 ，叫做它们的公
倍数。其中最小的公倍数，叫做它们的最小公倍数。两个数的公倍数是它们的最小公倍数 的倍数。
11、求最大公因数和最小公倍数的方法：（1）列举法：就是把几个数的所有因数都写出来 ，通过对比、观察、找出
最大公因数。12的因数有：1、2、3、4、6、12。18的因数有：1、 2、3、6、9、18。12和18的公因数有：1、2、
3、6。12和18的最大公因数是6、最小 公倍数36
（2）分解质因数法：就是将几个数各自分解成质因数的形式，把公有的质因数相乘得到的 就是最大公因数。如：
12=2×2×3 18=2×3×3
12和18的最大公 因数是2×3=6。最小公倍数2×2×3×3=36（除了相同的还要乘以不同的）
4

（3）短除法：
如：12和18
12 18

12和18的最大公因数是2×3=6，最小公倍数是2×3×2×3=36
12 、公因数只有1的两个数，叫做互质数。相邻的两个自然数数一定互质。两个连续奇数一定互质。1和任何自然< br>数一定互质，任何两个质数一定互质，但互质的两个数不一定是质数。两个数分别除以他们的最大公因数， 所得商
互质。两个数的最大公约数与最小公倍数的乘积等于这两个数的乘积。
13、最大公因 数和最小公倍数的特殊求法：当两个数互质时，最大公因数是1，最小公倍数是它们的乘积；当两个
数成 倍数关系时，它们的最大公因数是较小数，最小公倍数是较大数。如：32是8的倍数，它们的最大公因数是8，
最小公倍数是32。（A÷B=6或A=6B说明A和B成倍数关系则最大公因数是较小数B，最小公倍 数是较大数A）
14、分数的分子和分母只有公因数1，像这样的分数叫做最简分数。
15 、把一个分数化成和它相等，但分子和分母都比较小的分数，叫做约分。约分和通分的根据是分数的基本性质。
15、分数大小比较：分母相同的分数看分子，分子越大，分数就越大；分子相同的分数看分母，分母越 小分数反而
越大。（1）约分可以一次性约分（用最大公因数分别去除分子、分母）
也可以逐 步约分（用公因数分别去除分子、分母）（2）、分数比较大小的一般方法：同分子比较；通分分比较；化
成小数比较
16、把异分母分数分别化成和原来分数相等的同分母分数，叫做通分。通分时要用分母 的公倍数（最好是最小公倍
数）做它们的公分母比较合适。
17、小数化成分数：看小数的位 数，小数表示是十分之几，百分之几，千分之几……的数，所以可以直接写成分母
是10、100、10 00……的分数，在化简。
18、分数化成小数的方法：
（1）利用分数的基本性质将分母化成整十整百…的分数
（2）利用分数与除法的关系，用分 子除以分母，除不尽时，要根据需要按“四舍五入”法保留几位小数。一般保
留两位小数。常用分数和小 数：
1131234
=0.5 =0.25 =0.75 =0.2 =0.4 =0.6 =0.8
2445555
135711
=0.125 =0.375 =0.625 =0.875 =0.05 =0.04。
8888202519、一个最简分数，如果分母中除了2和5以外，不含其他的质因数，就能够化成有限小数。如果分母中除 了2和
5以外，还含其他的质因数就不能够化成有限小数。
五、分数的加法和减法
1、同分母分数的加减法：同分母分数相加、减，分母不变，只把分子相加减。
2、异分母分 数的加减法：异分母分数相加、减，先通分，再按照同分母分数加减法的方法进行计算。异分母分数
不能 直接相加减是因为他们的分数单位不同。结果要约成最简分数。
3、分数加减混合运算的运算顺序与整 数加减混合运算的顺序相同。在一个算式中，如果含有括号，应先算括号里
面的，再算括号外面的；如果 只含有同一级运算，应从左到右依次计算。整数加法的交换律、结合律对于分数加法
同样适用。
4、四则混合运算的意义
加法：把两个数合并成一个数的运算
减法：已知两个加数的和与其中一个加数，求另一个加数的运算
乘法：求几个相同加数的和的简便运算，小数乘整数的意义与整数乘法意义相同
一个数乘纯小数就是求这个数的十分之几，百分之几…… 分数乘整数的意义与整数乘法意义相同
一个数乘分数就是求这个数的几分之几
5

除法：已知两个因数的积与其中一个因数，求另一个因数的运算
5、分子是1的分数，计算时只需将分母相乘的积作分母，分母相加减的结果作分子，可以速算出得数。
6、运算定律
（1）加法交换律：两个数相加，交换加数的位置，它们的和不变，即a+b=b+a 。
（2） 加法结合律：三个数相加，先把前两个数相加，再加上第三个数；或者先把后两个数相加，再和 第一个数相
加它们的和不变，即（a+b)+c=a+(b+c) 。
（3） 乘法交换律：两个数相乘，交换因数的位置它们的积不变，即a×b=b×a。
（4） 乘法结合 律：三个数相乘，先把前两个数相乘，再乘以第三个数；或者先把后两个数相乘，再和第一个数相
乘，它 们的积不变，即(a×b)×c=a×(b×c) 。
（5） 乘法分配律：两个数的和与一个数相乘 ，可以把两个加数分别与这个数相乘再把两个积相加，即(a+b)×c=a
×c+b×c 。
（6） 减法的性质：从一个数里连续减去几个数，可以从这个数里减去所有减数的和，差不变，即a- b-c=a-(b+c)
六、统计
1、常用的统计图：条形统计图，折线统计图，扇形统计图。
2、众数：一组数据中，出现的次数最多的数，是这组数据的众数。众数能够反映一组数据的集中情况。 多数水平。
在一组数据中，众数可能不止一个，也可能没有众数。
中位数：把一组数据按从小 到大的数序排列，在中间的一个数（或两个数的平均数）叫做这组数据的
中位数。中位数能够反映一组数 据的一般情况。中等水平。中位数的求法：1、按大小排列。2、如果
数据的个数是单数，那么最中间的 那个数就是中位数；如果数据的个数是双数，那么最中间的那两个
数的平均数就是中位数。
平 均数：一组数据的总和除以这组数据个数所得到的商叫这组数据的平均数。平均数的求法：总数÷总份数=平均< br>数，反映一组数据的平均水平。
3、条形统计图可以表示数量的多少。
折线统 计图分为：单式折线统计图和复式折线统计图。不仅可以表示数量的多少，还可以表示数量增减变化的
趋 势，便于比较。
4、打电话。打电话要分组，关键要把2来数，几分钟几个2，相乘之积含首数。 < br>一个合唱队共有15人，暑期有一个紧急演出，老师需要尽快通知到每一个队员，如果用打电话的方式，每 分
钟通知1人，要通知15人，最快要多少分钟？

1分钟 2分钟 3分钟 4分钟 5分钟

8人 16人
6

4人
1人 2人
时间 总人数
1分钟 1人
2分钟 1×2+1=3
3分钟 3×2+1=7
4分钟 7×2+1=15
5分钟 15×2+1=31
6分钟 31×2+1=63。。。。。。
如果要尽快通知30人，至少要5分钟。
如果要尽快通知50人，至少要6分钟。
七、数学广角 找次品 找次品的方法：一般把产品个数分成三份，其中两份数量要相等。利用最不利原则
去分析和考虑。
用天平找次品时，所测物品数目与测试的次数。有以下关系：
要辨别的物品数目
2 -----3（1×3）
4-----9（3×3）
10----27（9×3）
28-----81（27×3）
82-----243（81×3）
244—729（243×3）
保证能找出次品需要测的次数
1
2
3
4
5
6
。。。。。。。 。。。。。。。。
数目与测试的次数的关系：2～3个物体，保证能找出次品需要测的次数是1次
4～9个物体，保证能找出次品需要测的次数是2次
10～27个物体，保证能找出次品需要测的次数是3次
28～81个物体，保证能找出次品需要测的次数是4次
82～243个物体，保证能找出次品需要测的次数是5次
244～729个物体，保证能找出次品需要测的次数是6次

六、解决问题
1、求一个量是另一个量的几分之几的？
方法：用比较量除以标准量。注意：结果约成最简分数。
例：把5克糖放入20克水中，糖的重量占水的几分之几？糖的重量占糖水的几分之几？
解答 思路：第一问题是求糖的重量是水的几分之几应该用糖的重量去除以水的重量。而第二问题是求重量是糖水的重量的几分之几应该用糖的重量去除以糖水的重量。根据分析列式为：

51

520
204

51
5(205)

25

5
2、分数加减法应用题
例1：水果店里原有水果
3
22
吨，卖出吨后又运进吨。水果店现在有水果多少吨？
53
4
解答思路：由于每个分数都带上了单位，所以每个分数表示具体的数量。应该用我们以前学的整数应用题的解答方
法进行解答。
32245244061

4


5

3

60

60

60
< br>60
(吨
）
7

例2：五四班有 45人，有
21
的同学参加了语文兴趣小组，有的同学参加了数学兴趣小组，其余的参加了音、
53
体、美兴趣小组。参加音、体、美兴趣小组的同学占全班同学的几分之几？
解答 思路：本题的每个分数没有带单位，它表示量与量之间的关系。因此本题应把全班45人看作单位“1”进行思< br>考。
3、长方体正方体表面积、体积的应用
2115654
1
方法：根据题意学会画图进行分析思考，抓住重点词句，利用好其计算公式。
5315151 515
例1：给一个无盖长方体水缸抹水泥，从里面量得长8分米，宽4分米，深6分米；抹水泥的面< br>积是多少？
解答思路：这是关于长方体的表面积的应用，从无盖和抹水泥的面积中可以看出。在 计算时，由于无盖只算五个面。
8×4+8×6×2+4×6×2=176（平方分米）
例 2：学校有一个长方体沙坑，长2.4米，宽1.5米，深0.6米。如果每筐沙有0.03立方米，填满这个沙 坑要多少筐
沙？
解答思路：根据每筐沙有0.03立方米，可以看出本题是与长方体的体积有 关。应先求长方体沙坑的体积，看它的体
积里面有多少个0.03立方米，就求出了问题。
2.4×1.5×0.6÷0.03=72（筐）
例3：把一个长15厘米的长方体平均截成三个小正方体，表面积会增加多少平方厘米？



解答思路：根据画图观察，我们以现平均截成三小正方体后，每个小正方体的棱长 为（15÷3）厘米，而且表面积
增加了4个小正方形的面积。
15÷3=5（厘米） 5×5×4=100（平方厘米）
例4：把一个长20分米的长方体锯成5个同样大小的长方体，表面 积增加了160平方分米，原来这个长方体的体积
是多少立方分米？


解 答思路：根据画图观察，我们发现锯成5个同样大小的正方体后增加了8
个小正方形的面积，所每个小正 方形的面积为160÷8，根据长方体的体积公式底面积乘高。从而求出其体积。
160÷8×20=400（立方分米）
4、最大公因数和最小公倍数的应用
例1 ：五一班有48人，五二班有56人。如果把这两个班分成人数相等的小组，每组最多几人？一共可分几个小组？
解答思路：根据题意，要想两个班分成的人数相等，说明这个人数既是48的因数，也是56的因数，由 于是求每组
人数最多几人，所以是求它们的最大公因数。
48的因数有：1，2，3，4，6，8，12，16，24，48.
56的因数有：1，2，4，7，8，14，28，56。
48和56的最大公因数是8。所以每组人数最多是8人。
48÷8+56÷8=13（组）
例2：一个班有40多人，如果4个人一组或6个人一组都能刚好分完，这个班有多少人？
解 答思路：根据题意，4人一组或多或6人一组都能刚好分完，所这个班的人数既是4的倍数也是6的倍数。所以< br>是4和6的公倍数，并且是在40多的一个公倍数。
4的倍数：4，8，12，16，20，24，28，32，36，40，44，48。
6的倍数：6，12，18，24，30，36，42，48。
4 和6的公倍数有：12，24，36，48。
所以这个班有48人。
8

5、找次品
有一批零件共15个，其中有一个比其它零件轻一些， 你能用天平找出这个次品来吗？至少要几次一定能找到这个
次品？
解答：15个零件（5，5 ，5）先天平各放5个，如果不平衡，将其中轻的5个零件再分成（2，2，1），又将天平各
放2个， 如果不平衡，最后将轻的2个零件再分面（1，1）。这样至少三次就可以找出这个较轻的零件了。
七、旋转 （顺时针旋转和逆时针旋转。）













十、通分与约分
依据：分数的基本性质 用字母表示：
b
a

bc
ac

bc
ac
(a0,c0)
例1：将下面的分数约 成最简分数
662

3
181863
3
8

82

424

246

4
27< br>36

3
4



例2：将下面的各组分数进行通分
4
3
8
和
5

75
6

24
和
12< br>3339
77
8

83


24

24

24
5
6

54

20
510
64


24
12

24
十一、分数与小数的互化
小数化分数的方法：先将小数改写成分母是10、100、1000的分数，能约分的再约分。
例

0.04
4

441341742

1001004

25
3.4
10

5
或3.43
10
3
5
分数化成小数的方法：一般根据分数与除法的关系 ，用分子除以分母，除不尽的保留一定的小数位数。
例
3

325
75
0.75或
3
340.75
5
442 510046
560.83

9

长方体和正方体各部分计算方法：
长方体的棱长总和=（长+宽+高）×4 L=（a＋b＋h）×4
长=棱长总和÷4－宽 －高 a=L÷4－b－h
宽=棱长总和÷4－长 －高 b=L÷4－a－h
高=棱长总和÷4－长 －宽 h=L÷4－a－b
正方体的棱长总和=棱长×12 L=a×12
正方体的棱长=棱长总和÷12 a=L÷12
6、长方体或正方体6个面和总面积叫做它的表面积。
长方体的表面积=（长×宽＋长×高＋宽×高）×2 S=2（ab＋ah＋bh）
无底（或无盖）长方体表面积= 长×宽＋（长×高＋宽×高）×2
S=2（ab＋ah＋bh）－ab S=2（ah＋bh）＋ab
无底又无盖长方体表面积=（长×高＋宽×高）×2 S=2（ah＋bh）
正方体的表面积=棱长×棱长×6 S=a×a×6
6、物体所占空间的大小叫做物体的体积。
长方体的体积=长×宽×高 V=abh
长=体积÷宽÷高 a=V÷b÷h
宽=体积÷长÷高 b=V÷a÷h
高=体积÷长÷宽 h= V÷a÷b
进率： 1立方米＝1000立方分米＝1000000立方厘米
1立方分米＝1000立方厘米＝1升＝1000毫升
1立方厘米＝1毫升
1平方米=100平方分米=10000平方厘米
1平方千米=100公顷=1000000平方米




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