石家庄学院教务系统-我的烦恼作文600字

杯赛题浅析之——奇数和偶数

整数中，能被2整除的数是偶数，反之是奇数，偶数可用2k表示 ，奇数可用2k+1
表示，这里k是整数.
关于奇数和偶数，有下面的性质：
（1）奇数不会同时是偶数；两个连续整数中必是一个奇数一个偶数；
（2）奇数个奇数和是奇数；偶数个奇数的和是偶数；任意多个偶数的和是偶数；
（3）两个奇（偶）数的差是偶数；一个偶数与一个奇数的差是奇数；
（4）若a、b为整数，则a+b与a-b有相同的奇数偶；
（5）n个奇数的乘积是奇数， n个偶数的乘积是2的倍数；顺式中有一个是偶数，
则乘积是偶数.
以上性质简单明了，解题时如果能巧妙应用，常常可以出奇制胜.
1.代数式中的奇偶问题
例1下列每个算式中，最少有一个奇数，一个偶数，那么这12个整数中，至少有几
个偶数？
□+□=□， □-□=□，
□×□＝□ □÷□＝□.
解 因为加法和减法算式中至少各有一个偶数，乘法和除法算式中至少各有二个偶
数，故这12个整数中至少有六个偶数.
例2 已知n是偶数，m是奇数，方程组
n

是整数，那么
（A）p、q都是偶数. （B）p、q都是奇数.

（C）p是偶数，q是奇数 （D）p是奇数，q是偶数
分析 由于1988y是偶数，由第一方程知p=x=n+198 8y，所以p是偶数，将其代
入第二方程中，于是11x也为偶数，从而27y=m-11x为奇数，所 以是y=q奇数，应
选（C）
例3 在1，2，3…，1992前面任意添上一个正号和负号，它们的代数和是奇数还
是偶数.
分析 因为两个整数之和与这两个整数之差的奇偶性相同，所以在题设数字前面都
添上正号和 负号不改变其奇偶性，而1+2+3+…+1992=
偶数 于是题设的代数和应为偶数.
2.与整除有关的问题
=996×1993为
例470个数排成一行，除了两头的两 个数以外，每个数的3倍都恰好等于它两边两
个数的和，这一行最左边的几个数是这样的：0，1，3， 8，21，….问最右边的一个
数被6除余几？
解 设70个数依次为a
1
,a
2
,a
3
据题意有
a
1
=0, 偶
a
2
=1 奇
a
3
=3a
2
-a
1
, 奇
a
4
=3a
3
-a2, 偶
a
5
=3a
4
-a3, 奇
a
6
=3a
5
-a4, 奇
………………
由此可知：
当n被3除余1时，a
n
是偶数；
当 n被3除余0时，或余2时，a
n
是奇数，显然a
70
是3k+1型偶数，所 以k必须是
奇数，令k=2n+1，则
a
70
=3k+1=3(2n+1)+1=6n+4.

解 设十位数，五个奇数位数字之和为a，五个偶数位之和为
b(10≤a≤35,10≤b≤35)，则a +b=45，又十位数能被11整除，则a-b应为0，11，
22（为什么？）.由于a+b与a- b有相同的奇偶性，因此a-b=11即a=28，b=17.
要排最大的十位数，妨先排出前四位数 9876，由于偶数位五个数字之和是17，现在
8+6=14，偶数位其它三个数字之和只能是17- 14=3，这三个数字只能是2，1，0.
故所求的十位数是9876524130.
例6 设a、b是自然数，且有关系式
123456789=（11111+a）（11111-b）， ①
证明a-b是4的倍数.
证明 由①式可知
11111（a-b）=ab+4×617 ②
∵a＞0,b＞0,∴a-b＞0
首先，易知a-b是偶数，否则11111(a-b)是奇 数，从而知ab是奇数，进而知a、b
都是奇数，可知(11111+a)及(11111-b)都为偶 数，这与式①矛盾
其次，从a-b是偶数，根据②可知ab是偶数，进而易知a、b皆为偶数，从而a b+4×617
是4的倍数，由②知a-b是4的倍数.
3.图表中奇与偶
例7 在3×3的正方格（a）和（b）中，每格填“+”或“-”的符号，然后每次将
表中任一行或一列的各 格全部变化试问重复若干次这样的“变号”程序后，能否从
一张表变化为另一张表.
解 按题设程序，这是不可能做到的，考察下面填法：
在黑板所示的2×2的正方形表格中，按题设程序“ 变号”，“+”号或者不变，或
者变成两个.

表(a)中小正方 形有四个“+”号，实施变号步骤后，“+”的个数仍是偶数；但表(b)
中小正方形“+”号的个数仍 是奇数，故它不能从一个变化到另一个.
显然，小正方形互变无法实现，3×3的大正方形的互变，更无法实现.
例8 将奇正数1， 3，5，7…排成五列，按右表的格式排下去，1985所在的那列，
从左数起是第几列？（此处无表）
解 由表格可知，每行有四个正奇数，而1985=4×496+1，因此1985是第497行的第一个数，又奇数行的第一个数位于第二列，偶数行的第一个数位于第四列，
所以从左数起，1 985在第二列.
例9 如图3-1，设线段AB的两个端点中，一个是红点，一个是绿点，在线段中 插入
n个分点，把AB分成n+1个不重叠的小线段，如果这些小线段的两个端点一个为红
点而 另一个为绿点的话，则称它为标准线段.
证明 不论分点如何选取，标准线段的条路总是奇数.
分析 n个分点的位置无关紧要，感兴趣的只是红点还是绿点，现用A、B分别表
示红、绿点；
不难 看出：分点每改变一次字母就得到一条标准线段，并且从A点开始，每连续改
变两次又回到A，现在最后 一个字母是B，故共改变了奇数次，所以标准线段的条数
必为奇数.

4.有趣的应用题
例10 图3-2是某一个浅湖泊的平面图，图中所有曲线都是湖岸.
（1）如果P点在岸上，那么A点在岸上还是在水中？
（2）某人过这湖泊，他下水时脱鞋， 上岸时穿鞋.如果有一点B，他脱鞋垢次数与
穿鞋的次数和是个奇数，那么B点是在岸上还是在水中？说 明理由.

解 （1）连结AP，显然与曲线的交点数是个奇数，因而A点必在水中.
（2）从水中经过一次陆地到水中，脱鞋与穿鞋的次数和为2，由于 A点在水中，氢
不管怎样走，走在水中时，脱鞋、穿鞋的次数的和总是偶数，可见B点必在岸上.
例11 书店有单价为10分，15分，25分，40分的四种贺年片，小华花了几张一元
钱， 正好买了30张，其中某两种各5张，另两种各10张，问小华买贺年片花去多
少钱？
分析 设买的贺年片分别为a、b、c、d（张），用去k张1元的人民币，依题
意有
10a+15b+25c+40d=100k,(k为正整数)
即 2a+3b+5c+8d=20k
显然b、c有相同的奇偶性.
若同为偶数，b-c=10 和a=b=5，不是整数；
若同为奇数，b=c=5和a=d=10,k=7.

例12 一个矩形展览厅被纵横垂直相交的墙壁隔成若干行、若干列的小矩形展览室，每相邻两室间都有若干方形门或圆形门相通，仅在进出展览厅的出入口处有若
干门与厅外相通， 试证明：任何一个参观者选择任何路线任意参观若干个展览室（可
重复）之后回到厅外，他经过的方形门 的次数与圆形门的次数（重复经过的重复计
算）之差总是偶数.
证明 给出入口处展览室记 “+”号，凡与“+”相邻的展览室记“-”号，凡与
“-”号相邻的展览室都记“+”号，如此则相邻 两室的“+”、“-”号都不同.
一参观者从出入口处的“+”号室进入厅内，走过若干个展览室又回 到入口处的
“+”号室，他的路线是+-+-…+-+-，即从“+”号室起到“+”号室止，中间“- ”、
“+”号室为n+1（重复经过的重复计算），即共走了2n+1室，于是参观者从厅外
进 去参观后又回到厅外共走过了2n+2个门（包括进出出入口门各1次）.设其经过
的方形门的次数是r 次，经过圆形门的次数是s，则s+r=2n+2为偶数，故r-s也为
偶数，所以命题结论成立.
例13 有一无穷小数A=0.a
1
a
2
a
3
…a
n
a
n+1
a
n+2
…其中a
i
(i=1 ,2)是数字，并且a
1
是奇数，
a
2
是偶数，a
3
等于a
1
+a
2
的个位数…，a
n+2
是a
n< br>+a
n+1
(n=1,2…,)的个位数，证明A是有
理数.
证明 为证明A是有理数，只要证明A是循环小数即可，由题意知无穷小数A的每
一个数字是由这个数字的前面 的两位数字决定的，若某两个数字ab重复出现了，即
0.…ab…ab…此小数就开始循环.
而无穷小数A的各位数字有如下的奇偶性规律：
A=0.奇偶奇奇偶奇奇偶奇……
又a是奇数可取1，3，5，7，9；
b是偶数可取0，2，4，6，8.
所以非 负有序实数对一共只有25个是不相同的，在构成A的前25个奇偶数组中，
至少出现两组是完全相同的 ，这就证得A是一循环小数，即A是有理数.

练 习

1.填空题
（1）有四个互不相等的自然数，最大数与最小数的差等于4，最大数与最小数的积
是一个奇数 ，而这四个数的和是最小的两位奇数，那么这四个数的乘积是______.
（2）有五个连续偶数，已知第三个数比第一个数与第五个数和的
偶数之和是____.
（3）能否把1993部电话中的每一部与其它5部电话相连结？
答____.
2.选择题
（1）设a、b都是整数，下列命题正确的个数是（ ）
①若a+5b是偶数，则a-3b是偶数；
②若a+5b是偶数，则a-3b是奇数；
③若a+5b是奇数，则a-3b是奇数；
④若a+5b是奇数，则a-3b是偶数.
多18，这五个
（A）1 （B）2 （C）3 （D）4
（2）若n是大于1的整数，则的值（ ）.
（A）一定是偶数 （B）必然是非零偶数
（C）是偶数但不是2 （D）可以是偶数，也可以是奇数
（ 3）已知关于x的二次三项式ax+bx+c（a、b、c为整数），如果当x=0与x=1时，
二次三 项式的值都是奇数，那么a（ ）
（A）不能确定奇数还是偶数 （B）必然是非零偶数
（C）必然是奇数 （D）必然是零
3. 试证明1
1986
2
+9
1986
+8
19 86
+6
1986
是一个偶数.

4.请用0到9十个不同的数字组成一个能被11整除的最小十位数.
5.有n 个整数，共积为n，和为零，求证：数n能被4整除
6.在一个凸n边形内，任意 给出有限个点，在这些点之间以及这些点与凸n边形顶
点之间，用线段连续起来，要使这些线段互不相交 ，而且把原凸n边形分为只朋角
形的小块，试证这种小三我有形的个数与n有相同的奇偶性.
7.一个四位数是奇数，它的首位数字泪地其余各位数字，而第二位数字大于其它各
位数字，第三位数字 等于首末两位数字的和的两倍，求这四位数.
8.试证：3+1能被2或2整除，而不能被2的更高次幂整除.
9.在1，2，3…，19 89之间填上“+”或“-”号，求和式可以得到最小的非负数是
多少？

练习参考答案
１．（１）３０．（最小两位奇数是１１，最大数与最小数同为奇数）
（２）１８０．设第一个偶数为ｘ，则后面四个衣次为ｘ＋２，ｘ＋４，ｘ＋６，
ｘ＋８．
（３）不能．
２．Ｂ．Ｂ．Ａ
３．１是奇数１，９
故最后为偶数． １９８６１９８６
n2
的个位数字是奇数１，而８
１９８６
，６
１９８６
都是偶数，
４．仿例５ １２０３４６５８７９．
５．设ａ
１< br>，ａ
２
，…，ａ
ｎ
满足题设即ａ
１
＋ａ
２< br>＋…＋ａ
ｎ
＝０ ①
ａ
１
·ａ
２
……ａ
ｎ
＝ｎ ②。假如ｎ为奇数，由 ②，所有ａ
ｉ
皆为奇数，但奇数个奇
数之和为奇数，故这时①不成立，可见ｎ只能为偶 数．由于ｎ为偶数，由②知ａ
ｉ
中必有一个偶数，由①知ａ
ｉ
中必有另一个偶 数．于是ａ
ｉ
中必有两个偶数，因而由
②知ｎ必能被４整除．

６．设小三角形的个数为ｋ，则ｋ个小三角形共有３ｋ条边，减去ｎ边形的ｎ条边
及重复计算的边数扣 共有（３ｋ＋ｎ）条线段，显然只有当ｋ与ｎ有相同的奇偶
性时，（３ｋ－ｎ）才是整数．
７ ．设这个四位数是由于１≤ａ＜ｄ，ｄ是奇数所以ｄ≥３于是ｃ＝２（ａ＋
ｄ）≥８，即ｃ＝８或ｃ＝９ ．因ｃ是偶数，所以ｃ＝８，由此得ａ＝１，ｄ＝３．又
因ｂ＞ｃ，所以ｂ＝９因此该数为１９８３．
８．当ｎ为奇数时，考虑（４－１）＋１的展开式；当ｎ为偶数时，考虑（２＋１）
ｎ
＋１的展开式．
９．除９９５外，可将１，２，…，１９８９所有数分为９９４对：（１，１９８９）（２，１９８８）…（９９４，９９６）每对数中两个数的奇偶性相同，所以
在每对数前无论放 置“＋”，“－”号，运算结果只能是偶数．而９９５为奇数，
所以数１，２，…，１９８９的总值是奇 数，于是所求的最小非负数不小于１，数
１可用下列方式求得：
１＝１＋（２－３－４＋５） ＋（６－７－８＋９）＋…＋（１９８６－１９８７
－１９８８＋１９８９）．


ｎ