初二数学课本答案
陈公弼传-结婚典礼
初二数学课本答案
1.
如图5—19,已知CE、CB分别是△ABC和△ADC的中线,且AB=AC.求证:CD=2CE.
分析 用加倍法.为了证明CD=2CE,考虑CE是△ABC底边AB上的中
线,故把CE延长
到F,使CF=2CE,把原来证CD=2CE转化为证明CD=CF,如此把线段“
倍半”的数量关系转
化为证两条线段的相等关系.
证明
如图5—20,延长CE至F,使EF=CE,连结BF,可证△EBF≌△EAC.
∴BF=AC=AB=BD.
又∠CBF=∠CBA+∠ABF=∠BCA+∠CAB=∠CBD,BC公用,
∴△CBF≌△CBD.(SAS)
∴CF=CD,即2CE=CD.
3. 如图5—22,在△ABC中,BD=DC,ED⊥DF.求证:BE+CF>EF.
分析 本题算延长FD到G,使FD=DG,构造新△EDG,通过证明△BDG≌△CD
F,达到转
移线段位置的目的(如图5-22将BE+CF转移为BE+BG,将EF转移为EG)
证明 延长FD到G,使DG=DF,连结BG.
∵∠BDG=∠CDF,BD=DC.
∴△BDG≌△CDF
∴BG=CF
连结EG
∵ED⊥DF,又DG=DF
∴EG=EF
在△EBG中,BE+BG>EG,
∴BE+CF>EF.
5.(本题8分)如图,直线y =
kx+6与x轴y轴分别相交于点E,F.
点E的坐标为(- 8, 0), 点A的坐标为(-
6,0). 点P(x,y)是第二象限内的直线上的一个
动点。
(1).求K的值; (2).当点P运动过程中,试写出△OPA的面积S与x的函数关系式,并写出自变量x的取值
范
围;
(3).探究:当P运动到什么位置(求P的坐标)时,△OPA的面积为27/8,并说明理由
y
F
E
x
A O
6、已知:如图,P是正方形ABCD内点,∠PAD=∠PDA=15
0
.
A
求证:△PBC是正三角形.(初二)
P
B
7、设P是正方形ABCD一边BC上的任一点,PF⊥AP,CF平分∠DCE.
求证:PA=PF.(初二)
A D
F
B
P C E
D
C
8、已知:△ABC是正三角形,P是三角形内一点,PA=3,PB=4,PC=5.
求:∠APB的度数.(初二)
9.如图,在△ABC中,
∠ABC=60°,AD、CE分别平分∠BAC、∠ACB,求证:AC=AE+CD.
A
E
O
B
C
D
10.如图,AD是△ABC的角平分线,∠B=2∠C,∠1=∠C,
点E在AC上.
求证:AC=AB+BD.
B
1
A
E
D
C
.证明:
∵∠4=∠1+∠C,∠1=∠C,
∴∠4=2∠C.
∵∠B=2∠C,
∴∠B=∠4.
„„„„„„„„ 1分
∵AD
是
△ABC
的角平分线,
∴∠2=∠3.
∵AD=AD,
∴
△
ABD
≌△
AED. „„„„„„„„ 3分
∴AB=AE,BD=ED. „„„„„„„„ 4分
∵∠1=∠C,
∴ED=EC. „„„„„„„„ 5分
∴EC=BD.
∴AC=AE+EC=AB+BD. „„„„„„„„ 6分
00
11、△ABC中,AB=AC,∠BAC=90,D、E在BC上,且∠DAE=45,
若BD=3,CE=4
求DE的长。
A
B
1
A
2
3
4
E
C
D
B
D E
C
解:作点B关于AD的对称点,连结OD、OE、OA
∴∠BAD=∠OAD,AB=AO,BD=OD
∵∠BAC=90°,∠DAE=45°
∴∠BAD+∠CAE=∠OAD+∠OAE
∴∠CAE=∠OAE
∵AB=AC,∴AC=AO
在△OAE与△CAE中,
AO=AC
∠OAE=∠CAE
AE=AE
∴△OAE≌△CAE(SAS)
∴∠AOE=∠C 又∵∠B=∠AOD
OE=CE
∴∠DOE=∠B+∠C=90°
∴DE=
ODOE
=
BDCE
=5
12.已知:如
图,且
B△ABC
中,
ABC45°
,
CDAB
于<
br>D
,
EAC
BE
平分
ABC
,
于
E
,与
CD
相交于点
F,H
是
BC
边的中点,连
结
DH
与
BE
相交于点
G
.
(1)求证:
BFAC
;
(2)求证:
CE
2222
1
BF
;
2
(3)
CE
与
BG
的大小关系如何?试证明你的结论.
(1)证明:
∵CDAB
,
ABC45°
,
∴△BCD
是等腰直角三角形.
∴BDCD<
br>.
在
Rt△DFB
和
Rt△DAC
中,
∵DB
F90°BFD
,
DCA90°EFC
,且
BFDEF
C
,
∴DBFDCA
.又
∵BDFCDA90°
,
BDCD
,
∴Rt△DFB≌Rt△DAC
.
∴BFAC
.
(2)证明:在
Rt△BEA
和
Rt△BEC
中
∵BE
平分
ABC
,
∴ABECBE
.又
∵BEBE,BEABEC90°
,
∴Rt△BEA≌Rt△BEC
.
∴CEAE
∴CE
1
AC
.又由(1),知
BFAC
,
2
11
ACBF<
br>.
22
(3)
CEBG
.证明:连结
CG
.
又
H
是
BC
边的中点,
∵△BCD
是等腰直角三
角形,
∴BDCD
.
∴DH
垂直平分
BC
.
∵CG
是斜边,
CE
是直角边,
∴BGCG
.在
Rt△CEG
中,
∴CECG
.
∴CEBG
13.(10分)
(1)如图①,A、B、C三点在同一直线上,分别以AC,BC
为边在AB的同侧作等边△ACD
和等边△BCE,连接AE、BD,M、N分别为AE、BD的中点,
连接CM、CN、MN.则△CMN的形状
是________三角形;
(2)如图②,A、B、C三点在同一直线上,分别以AC,BC为边在AB的同侧作等腰Rt△A
CD
和等腰Rt△BCE.∠ACD=∠BCE=90°,连接AE、BD,M、N分别为AE、BD的
中点,连接
CM、CN,MN.则△CMN的形状是______三角形;
(3)
如图③,在图②的基础上,将△BCE绕点C旋转一定的角度,其它条件不变,请将
图形补充完整.试判
断△CMN的形状,并说明理由.
14.(12分)一次函数y=x+
4与x轴、y轴分别交于A、B两点,E为OA上一动点,D为OB
的延长线上一动点,且AE=BD
(1)当E为OA中点时,求C点坐标.
(2)当E运动到x轴正半轴上,仍有A
E=BD,过E作EF⊥AB于F,
化?若不变,请求出其值;若变化,请求其变化范围.
FC
的值是否变
AB
15、已知:以△ABC的两边AB、AC为边向外作等腰△ADB和等腰△AEC,且AB
=AD,AC=AE,
∠BAD=∠EAC,DC、BE交于O .
(1)求证:DC=BE
(2)若△ADB与△ACE均为等边三角形,求∠BOC的度数
(3)若∠BOC=150°,AD=10,求△ABD的面积.
A
D
E
O
C
B
(1)证明:∵∠BAD=∠EAC
∴∠DAC=∠BAE
在△DAC与△BAE中,
AD=AB
∠DAC=∠BAE
AC=AE
∴△DAC≌△BAE(SAS)
∴DC=BE
(2)∵△DAC≌△BAE
∴∠1=∠2
∴∠BOC=∠OCE+∠OEC=∠ACE+∠AEC
又∵△ACE是正△,∴∠ACE=∠AEC=60° ∴∠BOC=120°
(3)过点B作BP⊥AD,垂足为P
∵△DAC≌△BAE,∴∠3=∠4
∴∠BOC=∠OBD+∠BDO=∠ABD+∠ADB=150°
∴∠DAB=30°
又∵BP⊥AD
1
AB 又∵AB=AD=10
2
1
∴BP=5 ∴S
△
ABD
=BP×AD=25
2
∴BP=
16.已知:如图,平面直角
坐标系xOy中,点A、B的坐标分别为A(4,0),B(0,-
4),P为y轴上B点下方一点,P
B=m(m>0),以AP为边作等腰直角三角形APM,其中
PM=PA,点M落在第四象限。
(1)求直线AB的解析式;
(2)用m的代数式表示点M的坐标;
(3)若直线
MB与x轴交于点Q,判断点Q的坐标是否随m的变化而变化,写出你的
结论并说明理由。
解:(1)设直线AB的解析式为y=kx+b(k≠0).
则
4kb0
,解得
k1
b4
<
br>b4
∴直线AB的解析式为y=x-4
(2)作MN⊥y轴于点N.(见图5)
图5
∵△APM为等腰直角三角形,PM=PA,
∴∠APM=90°
∴∠OPA+∠NPM=90°
∵∠NMP+NPM=90°
∴∠OPA=∠NMP
又∵∠AOP=∠PNM=90°,
∴△AOP≌△PNM。(AAS)
∴OP=NM,OA=NP
∵PB=m(m>0),
∴NM=m+4,ON=OP+NP=m+8.
∵点M在第四象限,
∴点M的坐标为(m+4,-m-8)
(3)答:点Q的坐标不变.
解法一:由(2)得NM=m+4,NB=NP+PB=m+4.
∴NB=NM
∵∠BNM=90°
∴∠MBN=45°
∴∠QBO=45°,∠OQB=90°-∠QBO=45°
∴OQ=OB=4
∵点M在第四象限,点B在y轴的负半轴上,
∴点Q在x轴的负半轴上
∴无论m的值如何变化,点Q的坐标都为(-4,0)
解法二:设直线MB的解析式为y=nx-4(n≠0)
2分
3分
4分
5分
6分
∵点M(m+4,-m-8)在直线MB上,
∴
m8n(m4)4
整理,得
(m4)nm4
∵m>0
∴
m40
解得
n1
∴直线MB的解析式为
yx4
5分
6分 ∴无论m的值如何变化,点Q的坐标都为(-4,0)
17.如图,等腰直角三角
形ABC中,∠BAC=90°,D、E分别为AB、AC边上的点,
AD=AE,AF⊥BE交BC于
点F,过点F作FG⊥CD交BE的延长线于点G,交AC于点M。
(1)求证:△EGM为等腰三角形;
(2)判断线段BG、AF与FG的数量关系并证明你的结论。
解:(1)∵等腰直角三角形ABC中,∠BAC=90°,(见图6)
图6
∴AC=AB,∠ACB=∠ABC=45°.
又∵AD=AE,∠CAD=∠BAE.
∴△ACD≌△ABE.(SAS)
∴∠1=∠2
∵∠BAC=90°,∴∠3+∠2=90°.
∵FG⊥CD,∴∠1+∠4=90°.
∴∠3=∠4.
∴∠GEM=∠GME
1分
∴EG=MG,△EGM为等腰三角形. 2分
(2)答:线段BG、AF与FG的数量关系为BG=AF+FG 3分
证法一:过点B作AB的垂线,交GF的延长线于点N(见图6)
∵BN⊥AB,∠ABC=45°.
∴∠FBN=45°=∠FBA
∵FG⊥CD
∴∠BFN=∠CFM=90°-∠DCB
∵AF⊥BE
∴∠BFA=90°-∠EBC,∠5+∠2=90°
由(1)可得∠DCB=∠EBC,
∴∠BFN=∠BFA.
又∵BF=BF.
∴△BFN≌△BFA.(ASA)
∴NF=AF,,∠N=∠5.
又∵∠GBN+∠2=90°
∴∠GBN=∠5=∠N
∴BG=NG
又∵NG=NF+FG,
∴BG=AF+FG
证法二:设CD、BE的交点为N,连结AN(见图7),先证AF=BN,再证FG=NG。
6分
5分
4分
图7
证法三:过点C作AC的垂线,交AF的延长线于点H(见图8)。先证AH=BE,再证
FM=FH。
图8
18.如图,已知直线OA的解析式为y=x,直线AC垂直x轴
于点C,点C的坐标为(2,0),直线OA关于直线AC的
对称直线为AB交x轴于点B.
(1)写出点A及点B的坐标;
(2)如图,直线AD交x轴与点D,且△ADB的面积为1,
求点D的坐标;
(3)作OE⊥AD于点E,交AC于点H,作BF⊥AD于点F,
求证:OE=AF,并直接写出点H的坐标.
解:(1)A(2,2),B(4,0) „„„„„„„„2分
(2)∵AC⊥BD于点C,AC=2,S
△
ADB
=1,
∴S
△
ADB
=
H
OC
A
E
D
F
B
x
y
11
BD·AC =BD×2=1.
22
∴BD=1.
„„„„„„„„3分
∴OD=O
B-
BD=4-1=3.
∴D(3,0) „„„„„„„„4分
(3)由直线OA的解析式为y=x,可知
OC=AC.
又∠ACO=90°,
∴∠OAC=∠AOC=45°.
∵直线OA关于直线AC的对称直线为AB,
∴∠BAC=∠OAC=45°,OA=BA.
∴∠OAB=90°.
∴∠2=90°-∠OAE.
A
y
在△AOE中,∠OEA=90°,
1
2
H
C
E
D
F
B
xO
∴∠1=90°-∠OAE.
∴∠1=∠2.
在△AOE≌△ABF中,
∠1=∠2
∠OEA=∠AFB=90°
OA=BA
∴△AOE≌△ABF. „„„„„„„„5分
∴OE=AF.
„„„„„„„„6分
H(2,1)
„„„„„„„„7分
19
.如图,在
△ABC
中,
B60
.
(1)请你用直
尺和圆规分别作出
BAC
和
BCA
的平分线
AD
和CE
,
分别交BC和AB于点D、E,
AD
与
CE
相
交于点
F
.
(2)请你判断并写出
FE
与
FD
之间的数量关系,
然后证明关系成立.
B
AC
解:(1)作图,必须用圆规。否则扣分„„„„„„4分
(2)
F
E
与
FD
之间的数量关系为
FEFD
.„„„„„5分
证法一:过点
F
分别作
FG⊥AB
于点
G
,
FH⊥
BC
于点
H
.„„„„„6分
∵
B60
,
且
AD
,
CE
分别是
BAC
,
BCA
的平分线,
∴
FGFH
. „„„8分
B
E
∴
GEF601
,
又
HDFB1
601
,
∴
GEFHDF
.„„„„„11分
2360
,„„„„„10分
G
F
4
3
D
H
A
1
2
图
C
∴
△EGF≌△DHF
.
∴
FEFD
.„„„„„12分
证法二: 如图,在
AC
上截取
AGAE
,连结
FG
.„„„„„6分
∵
12
,
AF
为公共边,可证
△AEF≌△AGF
.
∴
AFEAFG
,
FEFG
.„„„„„7分
由
B60
,
AD,CE
分别是
BAC
,BCA
的平分线,
可得
2360
.„„„„„9分
∴
AFECFDAFG60
.
∴
CFG60
.„„„„„10分
由
34<
br>及
FC
为公共边,可得
△CFG≌△CFD
. „„„„„11分
∴
FGFD
.
∴
FEFD
.„„„„„12分
20.
图1、图2中,点C为线段AB上一点,△ACM与△CBN都是等边三角形.
(1)
如图1,线段AN与线段BM是否相等?证明你的结论;
(2)
如图2,AN与MC交于点E,BM与CN交于点F,探究△CEF的形状,并证明你
的结论.
B
E
F
1
2
A
G
4
3
D
C
图1 图2
21.如图,直线O
C、BC的函数关系式分别是y
1
=x和y
2
=-2x+6,动点P(x,0
)在OB上运动
(0
1
>y
2
?
(2)设△COB中 位于直线m左侧部分的面积为s,求出s与x之间函数关系式.
(3)当x为何值时,直线m平分△COB的面积?(10分)
21题:(1)解方程组
yx
x2
得
y2x6
y2
∴C点坐标为(2,2);
„„3分
(2)作CD⊥x轴于点D,则D(2,0).
①s=
2
1
x(0
2
②s=-x+6x-6(2
则点P只能在线段OD,即0
故
11
x=3×,解之得x=
3
.„„4分
22
2
22.已知如图AE=AC,EFBC交AB于E交AC于F,EC平分∠FED,求证:AD⊥CE。
23.
(10分)
08年5月12,四川省汶川等地发生强烈地震。在抗震救灾中,
甲、
乙两重灾区急需一批大型挖掘机,甲地需25台,乙地需23台;A、B两省
获知情况后慷慨相助,分别
捐赠挖掘机26台和22台并将其全部调往灾区.若从
A省调运一台挖掘机到甲地要耗资0.4万元,到
乙地要耗资0.3万元;从B省调
运一台挖掘机到甲地要耗资0.5万元,到乙地要耗资0.2万元.设
从A省调往甲
地
x
台,A、B两省将捐赠的挖掘机全部调往灾区共耗资
y万元.
(1)求出
y
与
x
之间的函数关系式及自变量
x
的取值范围;
(2)若要使总耗资不超过15万元,有哪几种调运方案?
(3)怎样设计调运方案能使总耗资最少?最少耗资是多少万元?
A省捐赠
26台
甲灾区
需25台
B省捐赠
22台
乙灾区
需23台
23.
⑴
y=0.4X+0.3(26-X) +0.5(25-X) +0.2〔23-(26-X)〕
=19.7-0.2X (1≤X≤25)
⑵ 19.7-0.2X≤15
解得:X≥23.5 ∵ 1≤X≤25
∴ 24≤X≤25
即有2种方案,方案如下:
方案1:A省调运24台到甲灾区,调运2台到乙灾区,
B省调运1台到甲灾区,调运21台到乙灾区;
方案2:A省调运25台到甲灾区,调运1台到乙灾区,
B省调运0台到甲灾区,调运22台到乙灾区;
⑶ y
=19.7-0.2X,
y是关于x的一次函数,且y随x的增大而减小,要使耗资
最少,则x取最大值25。
即:
y
最小
=19.7-0.2×25=14.7(万元)
24某市的A县和B县春季育苗,急需化肥分别为90吨和60吨,该市的C县和
D县分
别储存化肥100吨和50吨,全部调配给A县和B县.已知C,D两县运化肥到A,B两县的<
br>运费(元/吨)如下表所示.
(1)设C县运到A县的化肥为x吨,求总运费W(元
)与x(吨)的函数关系式,并写
出自变量x的取值范围;
(2)求最低总运费,并说明总运费最低时的运送方案.
[分析]
利用表格来分析C,D两县运到A,B两县的化肥情况如下表.
则总运费W(元)与x(吨)的函数关系式为
W=35x+40(90-x)+30(100
-x)+45[60-(100-x)]=10x+4800.
自变量x的取值范围是40≤x≤90.
解:(1)由C县运往A县的化肥为x吨,则C县运往B县的化肥为(100-x)吨.
D县运往A县的化肥为(90-x)吨,D县运往B县的化肥为(x-40)吨.
由题意可知
W=35x+40(90-x)+30(100-x)+45(x-40)=10x+4800.
自变量x的取值范围为40≤x≤90.
∴总运费W(元)与x(吨)之间的函数关系式为
w=1Ox+480O(40≤x≤9O).
(2)∵10>0,
∴W随x的增大而增大.
∴当x=40时,
W
最小值
=10×40+4800=5200(元).
运费最低时,x=40,90-x=50(吨),x-40=0(吨).
∴当总运费最低时,
运送方案是:C县的100吨化肥40吨运往A县,60吨运往B县,D
县的50吨化肥全部运往A县.
25.(2009年河北)某公司装修需用A型板材240块、B型板材180块,A型板材规格是60
cm×30
cm,B型板材规格是40 cm×30 cm.现只能购得规格是150 cm×30
cm的标准板材.一张标
准板材尽可能多地裁出A型、B型板材,共有下列三种裁法:(图15是裁法一
的裁剪示意
裁法一 裁法二 裁法三
A
60
单位:cm
30
150
B
40
A型板材块数
B型板材块数
1
2
2
m
0
n
设所购的标准板材全部裁完,其中按裁法一裁x张、按裁法二裁y
张、按裁法三裁z张,且所裁出的A.B两种型号的板材刚好够用.
(1)上表中,m =
,n = ;
(2)分别求出y与x和z与x的函数关系式;
(3)若用Q表示所购标准板材的张数,求Q与x的函数关系式,
并指出当x取何值时Q最小,此时按三种裁法各裁标准板材
多少张?
【关键词】函数的运用
【答案】解:(1)0 ,3.
1
(2)由题意,得
x2y240
,
∴
y120x
.
2
2x3z180
,∴
z60
2
x
.
3
12
(3)由题意,得
Qxyzx120x60x
.
23
1
整理,得
Q180x
.
6
1
120x
2
由题意,得
2
60x
3
解得
x≤90.
【注:事实上,0≤x≤90 且x是6的整数倍】
由一次函数的性质可知,当x=90时,Q最小.
此时按三种裁法分别裁90张、75张、0张.
26、南方A市欲将一批容易变质的水果运往
B市销售,共有飞机、火车、汽车三种运输方
式,现只可选其中一种,这三种运输方式的主要参考数据如
下表所示:
运输工具 图中速度(kmh)
飞机
火车
汽车
200
100
50
途中费用(元km) 装卸费用(元)
16
4
8
1000
2000
1000
装卸时间(h)
2
4
2
若这批水果在运输(包括装卸)过程
中的损耗为200元h,记A、B之间的距离为
x
km。
(1)如果用W
1
、W
2
、W
3
分别表示使用飞机、火车、汽车的运输时的总支出费用
(包
括损耗),求出W
1
、W
2
、W
3
与
x
之间的函数关系式;
(2)应采用哪种运输方式,才能使运输时的总支出最少?
27.如图,△ABC中,D为BC的中点,DE⊥BC交∠ BAC的平分线于E,EF⊥
AB,
交AB于F,EG⊥AC,交AC的延长线于G,试问:BF与CG的大小如何?
证明你的
结论。
、答:相等。
„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„ 1分
证明:∵AE是∠BAC的平分线,且EF⊥AB于F,EG⊥AC于G
∴EF=EC
„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„ 4分
连EB、EC,∵ED⊥BC于D,D是BC的中点,∴EB=EC „„„„ 8分
∴Rt△EFB≌Rt△EGC,∴BF=CG „„„„„„„„„„„„„„ 10分
28. (本题8分)已知:如图,平面直角坐标系中,A(1,0)
,B(0,1),C(-1,0),
过点C的直线l绕点C旋转,交y轴于点D,交线段AB于点E.
(1)求∠OAB的度数及直线AB的解析式;
(2)若△OCD 与△BDE的面积相等,
① 求直线CE的解析式;
y
②
若y轴上一点P满足∠APE=45°,请直接写出P点的坐标.
D
1
B
E
A
1
x
28.解:(1)见图23,∵
A
(1,0),
B
(0,1),
C
O
∴
OA=OB=
1.
∵ ∠
AOB=
90°,
∴ ∠
OAB=
45°.- - - - -- - - - - - - - -
- 1分
设直线
AB
的解析式为
ykxb
.
∵
A
(1,0),
B
(0,1),
则
kb0,
b1.
解得
k1,b1.
∴
直线
AB
的解析式为
yx1
.- - - - - - - - -
- - - - - - - 2分
(2)①解:设直线
CE
的函数解析式为
ymxn
.
则
D
(0,
n
),且0<
n
<1,
BD
=
1-
n
.
∵
C
(-1,0),
∴
mn0
,直线
CE
的函数解析式可化为
ynx
n
.- - - -4分
∵
点
E
为直线
CE
与线段
AB
的交点,
∴
点
E
的坐标是方程组
解得
E(
ynxn ,
的解.
yx1
1n2n
,)
.- - - - - - - -
- - - - - - - - - - - - 5分
n1n1
∵
S
OCD
S
BDE
,点
E
在第一象限,
11
∴
OCODBDx
E
.
22
111n
∴
1n(1n)
.
22n1
整理,得
n(n1)(n1)
2
.
1
解得
n.
- - - - - - - - - - - - - -
- -- - - - - - - - - - - 6分
3
1
经检验,
n
是原方程的解.
3
11
∴直线
CE
的解析式为
yx.
- -
- - - - - - - - - - - - -- - - 7分
33
②
P
点的坐标为(0,0). - - - - - - - - - - - - - - -
- - - - -8分