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人教版初中数学课本知识点归纳

余年寄山水

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2020年10月17日 10:06

最佳经验

本文由作者推荐

华中农业大学楚天学院-安全小知识手抄报

2020年10月17日发(作者：云曙芬)

人教版七年级上册数学课本知识点归纳
第一章有理数
（一）正负数
1．正数：大于0的数。
2．负数：小于0的数。
3．0即不是正数也不是负数。
4．正数大于0，负数小于0，正数大于负数。
（二）有理数
1．有理数：由整数和分数组成的数。包括：正整数、0、负整数，正分数、
负分数。可以写成两个整之比的形式。（无理数是不能写成两个整数之比的形
式，它写成小数形式，小数点后的数字是无限不循环的。如：π）
2．整数：正整数、0、负整数，统称整数。
3．分数：正分数、负分数。
（三）数轴
1．数轴：用直线上的点表示数，这条直线叫做数轴。（画一条直线，在直线上任取一点表示数0，这个零点叫做原点，规定直线上从原点向右或向上为正
方向；选取适当的长度为单位长度，以便在数轴上取点。）
2．数轴的三要素：原点、正方向、单位长度。
3．相反数：只有符号不同的两个数叫做互为相反数。0的相反数还是0。
4．绝对值：正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数；0的绝对
值是0，两个负数，绝对值大的反而小。
（四）有理数的加减法
1

1．先定符号，再算绝对值。
2．加法运算法则：同号相加，到相同符号，并把绝对值相加。异号相加，取
绝对值大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。互为相反数
的两个数相加得0。一个数同0相加减，仍得这个数。
3．加法交换律：a+b= b+ a 两个数相加，交换加数的位置，和不变。
4．加法结合律：（a+b）+ c = a +（b+ c ）三个数相加，先把前两个数相加，
或者先把后两个数相加，和不变。
5． a−b = a +（−b）减去一个数，等于加这个数的相反数。
（五）有理数乘法（先定积的符号，再定积的大小）
1．同号得正，异号得负，并把绝对值相乘。任何数同0相乘，都得0。
2．乘积是1的两个数互为倒数。
3．乘法交换律：ab= b a
4．乘法结合律：（ab）c = a （b c）
5．乘法分配律：a（b +c）= a b+ ac
（六）有理数除法
1．先将除法化成乘法，然后定符号，最后求结果。
2．除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数。
3．两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除，0除以任何一个不等
于0的数，都得0。
（七）乘方
1．求n个相同因数的积的运算，叫做乘方。写作a
n

。（乘方的结果叫幂，a
叫底数，n叫指数）
2

2．负数的奇数次幂是负数，负数的偶次幂是正数；0的任何正整数次幂都是
0。
3．同底数幂相乘，底不变，指数相加。
4．同底数幂相除，底不变，指数相减。
（八）有理数的加减乘除混合运算法则
1．先乘方，再乘除，最后加减。
2．同级运算，从左到右进行。
3．如有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行。
（九）科学记数法、近似数、有效数字。
第二章整式
（一）整式
1．整式：单项式和多项式的统称叫整式。
2．单项式：数与字母的乘积组成的式子叫单项式。单独的一个数或一个字母
也是单项式。
3．系数；一个单项式中，数字因数叫做这个单项式的系数。
4。次数：一个单项式中，所有字母的指数和叫做这个单项式的次数。
5．多项式：几个单项式的和叫做多项式。
6．项：组成多项式的每个单项式叫做多项式的项。
7．常数项：不含字母的项叫做常数项。
8．多项式的次数：多项式中，次数最高的项的次数叫做这个多项式的次数。
9．同类项：多项式中，所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫做
同类项。
3

10．合并同类项：把多项式中的同类项合并成一项，叫做合并同类项。
（二）整式加减
整式加减运算时，如果遇到括号先去括号，再合并同类项。
1．去括号：一般地，几个整式相加减，如果有括号就先去括号，然后再合并
同类项。
如果括号外的因数是正数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相同。
如果括号外的因数是负数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相反。
2．合并同类项：把多项式中的同类项合并成一项，叫做合并同类项。
合并同类项后，所得项的系数是合并前各同类项的系数的和，且字母部分不
变
第三章一元一次方程
分析实际问题中的数量关系，利用其中的相等关系列出方程，是用数学解决
实际问题的一种方法。
（一）方程：先设字母表示未知数，然后根据相等关系，写出含有未知数的
等式叫方程。
（二）一元一次方程。
1．一元一次方程：方程里只含有一个未知数（元），未知数的次数都是1，这
样的方程叫做一元一次方程。
2．解：求出的方程中未知数的值叫做方程的解。
（二）等式的性质
1．等式两边加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等。
如果a=b，那么a±c= b±c
4

2．等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等。
如果a=b，那么ac= bc；
如果a=b，（c‡0），那么a∕c= b∕c。
（三）解方程的步骤
解一元一次方程的步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项，未知数系数
化为1。
1．去分母：把系数化成整数。
2．去括号
3．移项：把等式一边的某项变号后移到另一边。
4．合并同类项
5．系数化为1
第四章图形认识初步
一、图形认识初步
1．几何图形：把从实物中抽象出来的各种图形的统称。
2．平面图形：有些几何图形的各部分都在同一平面内，这样的图形是平面图
形。
3．立体图形：有些几何图形的各部分不都在同一平面内，这样的图形是立体
图形。
4．展开图：有些立体图形是由一些平面图形围成的，将它们的表面适当剪开，
可以展开成平面图形，这样的平面图形称为相应立体图形的展开图。
5．点，线，面，体
①图形是由点，线，面构成的。
5

②线与线相交得点，面与面相交得线。
③点动成线，线动成面，面动成体。
二、直线、线段、射线
1．线段：线段有两个端点。
2．射线：将线段向一个方向无限延长就形成了射线。射线只有一个端点。
3．直线：将线段的两端无限延长就形成了直线。直线没有端点。
4．两点确定一条直线：经过两点有一条直线，并且只有一条直线。
5．相交：两条直线有一个公共点时，称这两条直线相交。
6．两条直线相交有一个公共点，这个公共点叫交点。
7．中点：M点把线段AB分成相等的两条线段AM与MB，点M叫做线段AB
的中点。
8．线段的性质：两点的所有连线中，线段最短。（两点之间，线段最短）
9．距离：连接两点间的线段的长度，叫做这两点的距离。
三、角
1．角：有公共端点的两条射线组成的图形叫做角。
2．角的度量单位：度、分、秒。
3．角的度量与表示：
①角由两条具有公共端点的射线组成，两条射线的公共端点是这个角的顶点。
②一度的160是一分，一分的160是一秒。角的度、分、秒是60进制。
4．角的比较：
①角也可以看成是由一条射线绕着他的端点旋转而成的。
②平角和周角：一条射线绕着他的端点旋转，当终边和始边成一条直线时，
6

所成的角叫做平角。始边继续旋转，当他又和始边重合时，所成的角叫做周
角。平角等于180度。周角等于360度。直角等于90度。
③平分线：从一个角的顶点引出的一条射线，把这个角分成两个相等的角，
这条射线叫做这个角的平分线。
④工具：量角器、三角尺、经纬仪。
5．余角和补角
①余角：两个角的和等于90度，这两个角互为余角。即其中每一个是另一个
角的余角。
②补角：两个角的和等于180度，这两个角互为补角。即其中一个是另一个
角的补角。
③补角的性质：等角的补角相等
④余角的性质：等角的余角相等

7

初一上册数学第一章“有理数”知识点小结（人教版）

8

初一上册数学第一章“有理数”练习题及答案（人教版）

17

初一上册数学第四章“图形初步认识”练习题及答案（人
教版）
http: 中国教育在线 2014-08-14

26

第五章相交线与平行线
一、相交线
相交线：如果两条直线只有一个公共点,就说这两条直线相交，该公共点叫做两直线的交点。
如
直线AB、CD相交于点O。
A D
C O B

对顶角：两条直线相交出现对顶角。顶点相同，角的两边互为反向延长线.，满足这种关系
的角，互为对顶角，对顶角相等。对顶角是成对出现的。

邻补角：有一条公共边，角的另一边互为反向延长线.满足这种关系的两个角，互为领补角。

邻补角与补角的区别与联系
 1.邻补角与补角都是针对两个角而言的，而且数量关系都是两角之和为180°
 2.互为邻补角的两个角一定互补，但是互为补角的两个角不一定是邻补角即：互补
的两个角只注重数量关系而不谈位置，而互为邻补角的两个角既要满足数量关系又
要满足位置关系。

领补角与对顶角的比较

二、垂线
30

垂直：当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，这两条直线互相垂直，其中
一条直线叫另一条直线的垂线，它们的交点叫垂足。
从垂直的定义可知，判断两条直线互相垂直的关键：要找到两条直线相交时四个交角中
一个角是直角。

a
垂直的表示：用“⊥”和直线字母表示垂直
例如：如图，a、b互相垂直,O叫垂足.a叫b的垂线，
b也叫a的垂线。则记为：a⊥b或b⊥a；
O
b
若要强调垂足，则记为：a⊥b, 垂足为O.

垂直的书写形式：如图，当直线AB与CD相交于O点，∠AOD=90°时，AB⊥CD，垂足
为O。
书写形式：
∵∠AOD=90°（已知）
A
∴AB⊥CD（垂直的定义）
反之，若直线AB与CD垂直，垂足为O，那么，∠AOD=90°。
书写形式：
D
C
∵ AB⊥CD （已知）
O
∴ ∠AOD=90° （垂直的定义）
应用垂直的定义：∠AOC=∠BOC=∠BOD=90°
B

垂线的画法：
如图，已知直线 l 和l上的一点A ,作l的垂线.

则所画直线AB是过点A的直线l的垂线.

B

工具：直尺、三角板
1放:放直尺,直尺的一边要与已知直线重合;
2靠:靠三角板,把三角板的一直角边靠在直尺上;
3移:移动三角板到已知点;
l
A
4画线:沿着三角板的另一直角边画出垂线.

垂线的性质：
1、同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直.
2、连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短,或说成垂线段最短。直线外
一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离。

三、同位角、内错角、同旁内角（出现在一条直线与两条直线分别相交的情形）
同位角：一边都在截线上而且同向，另一边
在截线同侧的两个角。
E
31

2
A
3
1
4
5
B
D

如∠1和∠5，∠4和∠8。

内错角：一边都在截线上而且反向，
另一边在截线两侧的两个角。
（两个角在两条截线内）
如∠3和∠5，∠4和∠6。

同旁内角：一边都在截线上而且反向，
另一边在截线同旁的两个角。
（两个角在两条截线内）
如∠3和∠6，∠4和∠5。

同位角、内错角、同旁内角的比较

四、平行线
平行线：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线。
平行线的表示:

我们通常用符号“”表示平行。

任意两条直线，有两种位置关系，一种是相交，另一种是平行。

平行线的画法：
32

已知直线a和直线外的一个已知点P,经过点P画一条直线与已知直线a平行。
P

●
一、帖(线）
二、靠(尺） a
三、移(点)
四、画(线）

平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行。
平行公理推论：如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行。
∵ b∥a b ∥ c ∴ a ∥c a
b
平行线具有传递性。 c

c
五、平行线的判定
1
a
判定方法1：两条直线被第三条直线所截，如果
同位角相等，那么这两条直线平行。
2
b
33

简单说成：同位角相等, 两直线平行

c
判定方法2：两条直线被第三条直线所截，如果
a
内错角相等，那么这两条直线平行.
3
简单说成：内错角相等，两直线平行.
2
b

c
判定方法3：两条直线被第三条直线所截，
a
如果同旁内角互补，那么这两条直线平行.
简单说成：同旁内角互补，两直线平行
3

4
b

在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行.

六、平行线的性质：
性质1：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等.
简单地说:两直线平行，同位角相等.

性质2：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等.
简单地说:两直线平行，内错角相等.

性质3：两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补.
简单地说:两直线平行，同旁内角互补.

七、命题、定理、证明
命题：判断一件事情的语句，叫做命题。命题由题设和结论两部分组成。题设是已知事项，
结论是由已知事项推出的事项。数学中的命题常可以写成“如果……那么……”的形式，“如
果”后的部分是题设，“那么”后的部分是结论。
如果题设成立，那么结论一定成立，这样的命题称真命题。命题成立，而结论不一定
成立，这样的命题称假命题。

定理：有些真命题是基本事实，它们的正确性是经过推理证实的，无需再次进行证明的，
这样的真命题叫定理。

证明：很多情况下，一个命题的正确性需要经过推理，才能作出判断，这个推理的过程叫
做证明。

九、平移
平移：在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，这样的图形运动称为平移。

34

平移的性质：经过平移，对应点所连的线段平行且相等，对应线段平行且相等，对应角相
等。

平移作图：
将线段AB平移，使点A与点D对应。

1、连结AD

2、过点B作AD的平行线

3、在平行线上作线段BC，使BC=AD

4、连结CD
第六章实数
一、平方根
算术平方根：如果一个正数x的平方等于a,即x
2
=a，那么这个正数x叫做a的算术平方根。
a的算术平方根记为
a
，读作“根号a”，a叫做被开方数。0的算术平方根是0。

平方根:如果一个数x的平方等于a,即x
2
=a （x可能为正数，也可能为负数），那么x就叫
做a的平方根(二次方根).

开平方：求一个数a的平方根的运算,叫做开平方.

平方与开平方互为逆运算。

平方根的表示方法:
如果x
2
=a (a≥0), 那么x =

a
，

a
读作“正负根号a”。

a
表示a的正的平方根。
-
a
表示 a的负的平方根。
规定：正数a的正的平方根
a

叫做a的算数平方根；0的算数平方根是0.
归纳：
1、正数有两个平方根，它们互为相反数；
2、0的平方根是0；
3、负数没有平方根。
35

2
例题1：
81
x
2250

方法: 1、把x
2
当作一个整体,求出x
2
=a;
2、再根据平方根的定义求x.

例题2： (1) 81的平方根是 ________ 。
(2)

81
的平方根是 ________ 。

二、立方根
立方根：若一个数的立方（三次方）等于a,那么这个数叫做 a 的立方根（三次方根）
若x 是 a 的立方根，则说明x
3
= a。a 的立方根记为： ,读作“三次根号a”。
3
根指数
a

3

被开方数

开立方：我们把求立方根的运算称之为开立方，它与立方运算是互逆的。
a
（1） 8 的立方根：
3
82
（2）- 64 的立方根：
3
-64-4

归纳：一个正数有一个正的立方根；一个负数有一个负的立方根；零的立方根是零。
平方根和立方根的异同点

三、实数
无理数：无限不循环小数称为无理数。（开方开不尽的数；含有π的数；有规律但不循环

的数。）如
2
，
3
等
实数：有理数和无理数统称实数。
36

实数与数轴：每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示；反过来，数轴上的每一点都表
示一个实数。即实数和数轴上的点是一一对应的。

归纳：1、a是一个实数，它的相反数为 -a
2、一个正实数的绝对值是它本身；一个负实数的绝对值是它的相反数；0的绝对
值是0。
（在实数范围内，相反数、绝对值的意义和有理数范围内的相反数、绝对值的意义完全一
样。）

第七章平面直角坐标系
一、有序数对
有序数对:把有顺序的两个数a与b组成的数对叫做有序数对,记做（a，b）。
利用有序数对，能准确表示一个位置，这里两个数的顺序不能改变。

37

二、平面直角坐标系
平面直角坐标系：平面内两条互相垂直、原点重合的数轴，组成平面直角坐标系。水平方
向的数轴称为x轴或横轴，习惯取向右的方向为正方向；竖直方向上的数轴称为y轴或纵
轴，习惯取向上的方向为正方向；两坐标轴的交点是平面直角坐标系的原点 .

① 条数轴 ②互相垂直 ③公共原点满足这三个条件才叫平面直角坐标系
注意:坐标轴上的点不属于任何象限。

平面直角坐标系中两条数轴特征：
（1）互相垂直（2）原点重合（3）通常取向上、向右为正方向
（4）单位长度一般取相同的

平面上点的表示：平面内任意一点P,过P点分别向 x、y轴作垂线，垂足在x轴、y轴上对
应的数a、b分别叫做点p的横坐标、纵坐标，
则有序数对（a，b）叫做点P的坐标,记为P（a，b）
注意:横坐标写在前,纵坐标写在后,中间用逗号隔开.

直角坐标系中点的坐标的特点:

三、用坐标表示平移
平移：把一个图形整体沿某一方向移动一定的距离，图形的这种移动，叫做平移。平移后
图形的位置改变，形状、大小不变。

我们先试一试：
在坐标中描出点A（-2，-3）并进行如下平移：
（1）将点A向右平移5个单位长度得到点A1，则点A1的坐标是________
38

（2）将点A向左平移3个单位长度得到点A2，则点A2的坐标是________
（3）将点A向右平移a(a>o)个单位长度得到点An，则点An的坐标是________ （4）
将点A向左平移a(a>o)个单位长度得到点An´，则点An 的坐标是_______

总结规律1:图形平移与点的坐标变化的关系
(1)左、右平移：
原图形上的点(x,y) ，向右平移a个单位，(x+a,y)
原图形上的点(x,y) ，向左平移a个单位，(x-a,y)
(2)上、下平移：
原图形上的点(x,y) ，向上平移b个单位，(x,y+b)
原图形上的点(x,y) ，向下平移b个单位，(x,y-b)

总结规律2：图形上点的坐标变化与图形平移间的关系
(1)横坐标变化,纵坐标不变：
原图形上的点(x,y) ，如果要得到(x+a,y)，要向右平移a个单位。
原图形上的点(x,y) ，如果要得到(x-a,y)，要向左平移a个单位。

(2)横坐标不变,纵坐标变化：
原图形上的点(x,y) ，如果要得到(x,y+b)，要向上平移b个单位。
原图形上的点(x,y) ，如果要得到(x,y-b)，要向下平移b个单位。

(3)横坐标、纵坐标都变化：
原图形上的点(x,y) ，如果要得到(x+a,y+b),要向右平移a个单位,向上平移b个单位；
原图形上的点(x,y) ，如果要得到(x+a,y-b),要向右平移a个单位,向下平移b个单位；
原图形上的点(x,y) ，如果要得到(x-a,y+b),要向左平移a个单位,向上平移b个单位；
原图形上的点(x,y) ，如果要得到(x-a,y-b),要向左平移a个单位,向下平移b个单位；

第八章二元一次方程组
一、二元一次方程组
二元一次方程：含有两个未知数,并且未知数的指数都是 1的方程叫做二元一次方程。
判断下例方程是不是二元一次方程：
(1) 3 - 2xy =1 （2）3y-2x =z+5 (3) 2x=1-3y
二元一次方程的解：使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值,叫做二元一次方程的
解。二元一次方程的解有无数个，可以理解为在一条直线上的点的坐标。
二元一次方程组：把含有两个未知数的两个一次方程合在一起，就组成一个二元一次方程
组。即两个二元一次方程组成的方程组称二元一次方程组。（两个方程中的未知数相同）
39

二元一次方程组的特点：
1.有两个未知数.(二元)
2.含未知数的指数都为1.(一次)
3.两个一次方程组成.(方程组)
二元一次方程组的解：二元一次方程组的两个方程的公共解,叫做二元一次方程组的解。二
元一次方程组的解只有一个，可以理解为两条直线相交点的坐标。

二、解二元一次方程组
代入消元法：将其中的一个方程中的某个未知数用含有另一个未知数的代数式表现出来，
再代入另一个方程，从而消去一个未知数，化二元一次方程组为一元一次方程。这种解方
程组的方法称为代入消元法，简称代入法。
思路：“消元”，即把“二元”变为“一元”。
例：用代入法解方程组
x－y=3 ①
3x－8y=14 ②
解:由①得,y=x－3 ③
把③代入②得
3x－8(x－3)=14 ,解这个方程得:x=2
把x=2代入③得:y=－1
所以这个方程组的解为:

x=2
y=－1

加减消元法:

两个二元一次方程中同一未知数的系数相反或相等时，将两个方程的两边分
别相加或相减，就能消去这个未知数，得到一个一元一次方程，这种方法叫做加减消元法，
简称加减法.

基本思路:

加减消元:

二元一元
主要步骤：
变形——同一个未知数的系数相同或互为相反数
加减——消去一个元
求解——分别求出两个未知数的值
写解——写出方程组的解

40

三、实际问题与二元一次方程组
例题：探究2（p99）综合运用6（p102）

分析：题中的量很多，并且相互关联，这时，我们可画一张示意图，把题中的条件在图中标出来，这样比较直，能帮助我们比较顺利地找出题中的相等关系。

四、三元一次方程组的解法
三元一次方程：方程组含有三个未知数，每个方程中含有未知数的项的次数都是1，并且
一共有三个方程，像这样的方程组叫三元一次方程组。

解三元一次方程组的基本思路：通过“代入”或“加减”进行消元，把“三元”化为“二
元”，使三元一次方程组转化为二元一次方程组，进而再转化为一元一次方程。

例：解下面两个三元一次方程组：

第九章不等式与不等式组
一、不等式及其解集
不等式：用不等号表示不相等关系的式子叫做不等式
不等号包括：
≥、 ≤、
>、< 、≠
不等式的解：使不等式成立的未知数的值叫不等式的解.
不等式的解集：一个含有未知数的不等式的所有解组成这个不等式的解集。求不等式的解
集的过程叫做解不等式。

不等式解集的表示方法：
41

第一种:用式子(如x>3),即用最简形式的不等式(如x>a或x第二种:利用数轴表示不等式的解集.

用数轴表示不等式的解集,应记住下面的规律:

大于向右画,小于向左画;

有等号(≥ ,
≤)画实心点,无等号(>,<)画空心圆.

二、不等式的性质
性质1 ：如果 a>b, 那么 a+c>b+c 或 a-c>b-c
即：不等式两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，不等号的方向不变.
性质2：如果a>b，c>0，那么ac>bc (或
ab

)
cc
即：不等式的两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变。
性质3：如果a>b，c<0，那么acab

）

cc
即：不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变。
试一试：
1.若-m>5，则m ____-5.
2.如果xy>0, 那么xy ____0.
3.如果a>-1,那么a-b _____-1-b.
4.-0.9＜-0.3,两边都除以(-0.3),得_______.
5.

7

8
x
1,两边都乘



8


，得______.

7

例已知a<0 ，试比较2a与a的大小。
解法一：∵2＞1，a＜0，
∴2a＜a（不等式的基本性质3）

解法二：在数轴上分别表示2a和a的点（a＜0），如图.2a位于a的左边，所以2a＜a
∵ 2a-a=a, 又∵ a＜0,
∴ 2a-a＜0,
∴2a

三、一元一次不等式
42

一元一次不等式：含有一个未知数，未知数的次数是1的不等式，叫做一元一次不等式。

例题：例1（p122）综合运用6（p126）

四、一元一次方程组
一元一次方程组：一般地,由几个同一未知数的一元一次不等式所组成的一组不等式,叫做
一元一次不等式组.

一元一次不等式组的解集：一般地，几个一元一次不等式的解集的公共部分,叫做由它们所
组成的一元一次不等式组的解集(不等式组的解)
有公共部分不等式组的解集
无公共部分不等式组无解
解不等式组：求不等式组的解集的过程，叫做解不等式组。
规律：1. 两大取大；
2.两小取小；
3.大小小大中间找；
4.大大小小解不了。
例题：复习巩固2（p130）要求：解不等式组并在数轴上表示出不等式组的解集。

第十章数据的收集、整理与描述
一、统计调查
统计表和统计图的区别：
统计表反映的数据准确且容易查找；
统计图很直观地表示出变化的情况，但往往不能看出准确数据。
在实际问题中常把统计表、统计图结合起来描述数据，要能根据不同问题选择适当的统
计图描述数据，以利于数据的分析，最终做出合理的决策。

全面调查：考察全体对象的调查叫做全面调查。
全面调查的步骤：1、明确调查问 2、确定调查对象 3、选择调查方法
4、展开调查,收集数据 5、整理数据 6、描述数据 7、得出结论
抽样调查:

采用调查部分对象的方式来收集数据, 根据部分来估计整体的情况, 叫做抽样
调查.
总体:

所要考察对象的全体叫做总体.
个体:

总体中每一个考察对象叫做个体。
样本:

从总体中所抽取的一部分个体叫做总体的一个样本.
样本容量:

样本中个体的数目。

例：要调查下面几个问题，你认为应该作全面调查还是抽样调查?
（1）检测某城市的空气质量
（2）调查一个村子所有家庭的收入
（3）调查一批重型导弹的杀伤半径
43

全面调查与抽样调查的比较

二、直方图
组距：把所有数据分成若干组，每个小组的两个端点之间的距离（组内数据的取值范围）
称为组距。
组数：组数=（最大值—最小值）组距
频数：对落在各小组内的数据进行累计，得到各小组内的数据的个数，叫做频数。
画一组数据的频率分布直方图，可以按以下的步骤进行：
（1）求极差，即数据中最大值与最小值的差.
（2）决定组距与组数：组距=极差组数.
（3）分组，通常对组内数值所在区间，取左闭右开区间，最后一组取闭区间.
（4）登记频数，计算频率，列出频率分布表.
（5）画出频率分布直方图.（纵轴表示频率／组距）
作频率分布直方图的方法：
（1）把横轴分成若干段，每一线段对应一个组的组距；
（2）然后以此线段为底作一矩形，它的高等于该组的频率组距；
这样得出一系列的矩形，每个矩形的面积恰好是该组上的频率，这些矩形就构成了频
率分布直方图．

44

新人教版八年级上册数学

知识点总结归纳

第十一章三角形
第十二章全等三角形
第十三章轴对称
第十四章整式乘法和因式分解
第十五章分式

第十一章三角形
1、三角形的概念
由不在同意直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。组
成三角形的线段叫做三角形的边；相邻两边的公共端点叫做三角形的顶点；
相邻两边所组成的角叫做三角形的内角，简称三角形的角。
2、三角形中的主要线段
（1）三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交
点间的线段叫做三角形的角平分线。
（2）在三角形中，连接一个顶点和它对边的中点的线段叫做三角形的中
线。
（3）从三角形一个顶点向它的对边做垂线，顶点和垂足之间的线段叫做
45

45

三角形的高线（简称三角形的高）。
3、三角形的稳定性 三角形的形状是固定的，三角形的这个性质叫做三角形的稳定性。三角形
的这个性质在生产生活中应用很广，需要稳定的东西一般都制成三角形的形
状。
4、三角形的特性与表示
三角形有下面三个特性：
（1）三角形有三条线段
（2）三条线段不在同一直线上三角形是封闭图形
（3）首尾顺次相接
三角形用符号“

”表示，顶点是 A、B、C的三角形记作“

ABC”，读作
“三角形ABC”。
5、三角形的分类
三角形按边的关系分类如下：
不等边三角形
三角形底和腰不相等的等腰三角形
等腰三角形
等边三角形
三角形按角的关系分类如下：
直角三角形（有一个角为直角的三角形）
三角形锐角三角形（三个角都是锐角的三角形）
斜三角形
钝角三角形（有一个角为钝角的三角形）把边和角联系在一起，我们又有一种特殊的三角形：等腰直角三角形。它
是两条直角边相等的直角三角形。
6、三角形的三边关系定理及推论
（1）三角形三边关系定理：三角形的两边之和大于第三边。
推论：三角形的两边之差小于第三边。
（2）三角形三边关系定理及推论的作用：
46

①判断三条已知线段能否组成三角形
②当已知两边时，可确定第三边的范围。
③证明线段不等关系。
7、三角形的内角和定理及推论
三角形的内角和定理：三角形三个内角和等于180°。
推论：
①直角三角形的两个锐角互余。
②三角形的一个外角等于和它不相邻的来两个内角的和。
③三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角。
注：在同一个三角形中：等角对等边；等边对等角；大角对大边；大边对
大角。8、三角形的面积=×底×高
多边形知识要点梳理

定义：由三条或三条以上的线段首位顺次连接所组成的封闭图形
叫做多边形。
凸多边形
凹多边形
正多边形：各边相等，各角也相等的多边形
分类2：叫做正多边形。
非正多边形：

1、n边形的内角和等于180°（n-2）。
1
2
多边形分类1：
多边形的定理 2、任意凸形多边形的外角和等于360°。
3、n边形的对角线条数等于12·n（n-3）

只用一种正多边形：3、4、6。
镶嵌拼成360度的角
只用一种非正多边形（全等）：3、4。
47

知识点一：多边形及有关概念
1、多边形的定义：在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫
做多边形.
（1）多边形的一些要素：
边：组成多边形的各条线段叫做多边形的边．
顶点：每相邻两条边的公共端点叫做多边形的顶点．
内角：多边形相邻两边组成的角叫多边形的内角，一个n边形有n
个内角。
外角：多边形的边与它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角。
（2）在定义中应注意：
①一些线段（多边形的边数是大于等于3的正整数）；
②首尾顺次相连，二者缺一不可;
③理解时要特别注意“在同一平面内”这个条件,其目的是为了排
除几个点不共面的情况,即空间多边形.
2、多边形的分类:
(1)多边形可分为凸多边形和凹多边形，画出多边形的任何一条边所在的
直线，如果整个多边形都在这条直线的同一侧，则此多边形为凸多边形，反
之为凹多边形（见图1）.本章所讲的多边形都是指凸多边形.

凸多边形凹多边形
图1

(2)多边形通常还以边数命名，多边形有
n
条边就叫做
n
边形．三角形、
四边形都属于多边形，其中三角形是边数最少的多边形．
知识点二：正多边形
各个角都相等、各个边都相等的多边形叫做正多边形。如正三角形、正
48

方形、正五边形等。

正三角形正方形正五边形正六边形正十二边形
要点诠释：
各角相等、各边也相等是正多边形的必备条件，二者缺一不可. 如四条
边都相等的四边形不一定是正方形，四个角都相等的四边形也不一定是正方
形，只有满足四边都相等且四个角也都相等的四边形才是正方形
知识点三：多边形的对角线
多边形的对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的
对角线. 如图2，BD为四边形ABCD的一条对角线。
要点诠释：
(1)从n边形一个顶点可以引(n－3)条对角线，将多边形分成(n－2)个三
角形。
(2)n边形共有
n个顶点，∴共有n(n-3)
条对角线。
证明：过一个顶点有n－3条对角线(n≥3的正整数)，又∵共有
条对角线，但过两个不相邻顶点的对角线重复了一次，∴凸n边形，
共有条对角线。
知识点四：多边形的内角和公式
1.公式：
证法1：在
个三角形，这
边形的内角和为

边形的内角和为.
2.公式的证明：
边形内任取一点，并把这点与各个顶点连接起来，共构成
个三角形的内角和为
.
49
，再减去一个周角，即得到

证法2：从
边形被分成
内角和，等于
边形一个顶点作对角线，可以作
个三角形，这
.
条对角线，并且
边形的个三角形内角和恰好是
证法3：在边形的一边上取一点与各个顶点相连，得
边形内角和等于这
角的度数，
即
要点诠释：
.
个三角形，
个三角形的内角和减去所取的一点处的一个平
(1)注意：以上各推导方法体现出将多边形问题转化为三角形问题来解决
的基础思想。
(2)内角和定理的应用：
①已知多边形的边数，求其内角和；
②已知多边形内角和，求其边数。
知识点五：多边形的外角和公式
1.公式：多边形的外角和等于360°.
2.多边形外角和公式的证明：多边形的每个内角和与它相邻的外角都是
邻补角，所以边形的内角和加外角和为
.
注意：n边形的外角和恒等于360°，它与边数的多少无关。
要点诠释：
(1)外角和公式的应用：
①已知外角度数，求正多边形边数；
②已知正多边形边数，求外角度数.
(2)多边形的边数与内角和、外角和的关系：
①n边形的内角和等于(n－2)·180°(n≥3，n是正整数)，可见多边形内
50

，外角和等于

角和与边数n有关，每增加1条边，内角和增加180°。
②多边形的外角和等于360°，与边数的多少无关。
知识点六：镶嵌的概念和特征
1、定义：用一些不重叠摆放的多边形把平面的一部分完全覆盖，通常把
这类问题叫做用多边形覆盖平面(或平面镶嵌)。这里的多边形可以形状相同，
也可以形状不相同。
2、实现镶嵌的条件：拼接在同一点的各个角的和恰好等于360°；相邻
的多边形有公共边。
3、常见的一些正多边形的镶嵌问题：
(1)用正多边形实现镶嵌的条件：边长相等；顶点公用；在一个顶点处各
正多边形的内角之和为360°。
(2)只用一种正多边形镶嵌地面
对于给定的某种正多边形，怎样判断它能否拼成一个平面图形，且不留
一点空隙？解决问题的关键在于正多边形的内角特点。当围绕一点拼在一起
的几个正多边形的内角加在一起恰好组成一个周角360°时，就能铺成一个平
面图形。
事实上，正n 边形的每一个内角为，要求k个正n边形各有
一个内角拼于一点，恰好覆盖地面，这样360°＝，由此导
出k＝
以用。
＝2＋，而k是正整数，所以n只能取3,4，6。因而，
用相同的正多边形地砖铺地面，只有正三角形、正方形、正六边形的地砖可
注意：任意四边形的内角和都等于
360°。所以用一批形状、大小完全相
同但不规则的四边形地砖也可以铺成
无空隙的地板，用任意相同的三角形也
51

可以铺满地面。
(3)用两种或两种以上的正多边形镶嵌地面
用两种或两种以上边长相等的正多边形组合成平面图形，关键是相关正
多边形“交接处各角之和能否拼成一个周角”的问题。例如，用正三角形与
正方形、正三角形与正六边形、正三角形与正十二边形、正四边形与正八边
形都可以作平面镶嵌，见下图：
又如，用一个正三角形、两个正方形、一个正六边形结合在一起恰好能
够铺满地面，因为它们的交接处各角之和恰好为一个周角360°。规律方法指
导
1．内角和与边数成正比：边数增加，内角和增加；边数减少，内角和减
少. 每增加一条边，内角的和就增加180°（反过来也成立），且多边形的内
角和必须是180°的整数倍.
2．多边形外角和恒等于360°，与边数的多少无关.
3．多边形最多有三个内角为锐角，最少没有锐角（如矩形）；多边形的
外角中最多有三个钝角，最少没有钝角.
4．在运用多边形的内角和公式与外角的性质求值时，常与方程思想相结
合，运用方程思想是解决本节问题的常用方法.
5．在解决多边形的内角和问题时，通常转化为与三角形相关的角来解决.
三角形是一种基本图形，是研究复杂图形的基础，同时注意转化思想在数学
中的应用.
经典例题透析
类型一：多边形内角和及外角和定理应用
1．一个多边形的内角和等于它的外角和的5倍，它是几边形？
总结升华：本题是多边形的内角和定理和外角和定理的综合运用.
只要设出边数，根据条件列出关于的方程，求出
常用的解题思路.
举一反三：
【变式1】若一个多边形的内角和与外角和的总度数为1800°，求这个多
边形的边数.
52

的值即可，这是一种

【变式2】一个多边形除了一个内角外，其余各内角和为2750°，求这个多
边形的内角和是多少？
【答案】设这个多边形的边数为，这个内角为

【变式3】一个多边形的内角和与某一个外角的度数总和为1350°，求
这个多边形的边数。
类型二：多边形对角线公式的运用
【变式1】一个多边形共有20条对角线，则多边形的边数是（）.
A．6 B．7 C．8 D．9
【变式2】一个十二边形有几条对角线。
总结升华：对于一个n边形的对角线的条数，我们可以总结出规律
条，牢记这个公式，以后只要用相应的n的值代入即可求出对角线的条数，
要记住这个公式只有在理解的基础之上才能记得牢。
类型三：可转化为多边形内角和问题

【变式1】如图所示，∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠
6=__________.

【变式2】如图所示，求∠A＋∠B＋∠C＋∠D
＋∠E＋∠F的度数。

53

， .

类型四：实际应用题
4．如图，一辆小汽车从P市出发，先到B市，再到C市，再到A市，最后返回P市，这辆小汽车共
转了多少度角？
思路点拨：根据多边形的外角和定理解决.

举一反三：
【变式1】如图所示，小亮从A点出发前进10m，向右转15°，再前进
10m，又向右转15°，…，这样一直走下去，当他第一次回到出发点时，一共
走了__________m.

【变式2】小华从点A出发向前走10米，向右转36°，然后继续向
前走10米，再向右转36°，他以同样的方法继续走下去，他能回到点A吗？
若能，当他走回点A时共走了多少米？若不能，写出理由。
【变式3】如图所示是某厂生产的一块模板，已知该模板的边AB∥
CF，CD∥AE. 按规定AB、CD的延长线相交成80°角，因交点不在模板上，不
便测量. 这时师傅告诉徒弟只需测一个角，便知道AB、CD的延长线的夹角是
否合乎规定，你知道需测哪一个角吗？说明理由.

思路点拨：本题中将AB、CD延长后会得到一个五边形，根据五边形内角和为540°，又由AB∥
CF，CD∥AE，可知∠BAE+∠AEF +∠EFC=360°，从
540°中减去80°再减去360°，剩下∠C的度数为
100° ，所以只需测∠C的度数即可，同理还可直接
测∠A的度数.

总结升华：本题实际上是多边形内角和的逆运算，关键在于正确添加辅
助线.
54

类型五：镶嵌问题

图。
(1)正方形和正八边形；
(2)正三角形和正十二边形；(3)正三
角形、正方形和正六边形。
思路点拨：只要在拼接处各多
边形的内角的和能构成一个周角，那
么这些多边形就能作平面镶嵌。
解析：正三角形、正方形、正六边形、正八边形、正十二边形的每
一个内角分别是60°、90°、12 0°、135°、150°。
(1)因为90＋2×135＝360，所以一个顶点处有1个正方形、2个正
八边形，如图(1)所示。
(2)因为60＋2×150＝360，所以一个顶点处有1个正三角形、2个
正十二边形，如图(2)所示。
(3)因为60＋2×90 ＋120＝360，所以一个顶点处有1个正三角形、
1个正六边形和2个正方形，如图(3)所示。
总结升华：用两种以上边长相等的正多边形组合成平面图形，实质
上是相关正多边形“交接处各角之和能否拼成一个周角”的问题。举一反三：
【变式1】分别用形状、大小完全相同的①三角形木板；②四边形木板；
③正五边形木板；④正六边形木板作平面镶嵌，其中不能镶嵌成地板的是( )A、
① B、② C、③ D、④
解析：用同一种多边形木板铺地面，只有正三角形、四边形、正六边形
的木板可以用，不能用正五边形木板，故
【变式2】用三块正多边形的木板铺地，拼在一起并相交于一点的各边
完全吻合，其中两块木板的边数都是8，则第三块木板的边数应是( )
A、4 B、5 C、6 D、8
【答案】A （提示：先算出正八边形一个内角的度数，再乘以2，
55

5．分别画出用相同边长的下列正多边形组合铺满地面的设计

然后用360°减去刚才得到的积，便得到第三块木板一个内角的度数，进而得
到第三块木板的边数）

练习
1．多边形的一个内角的外角与其余内角的和为600°，求这个多边形的边数．

2．n边形的内角和与外角和互比为13：2，求n．

3．五边形ABCDE的各内角都相等，且AE＝DE，AD∥CB吗？

4．将五边形砍去一个角，得到的是怎样的图形？

5．四边形ABCD中，∠A+∠B=210°，∠C＝4∠D．求：∠C或∠D的度数．

6．在四边形ABCD中，AB＝AC＝AD，∠DAC＝2∠BAC．
求证：∠DBC＝2∠BDC．

56

第十二章全等三角形
一、全等三角形
能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。一个三角形经过平移、翻折、
旋转可以得到它的全等形。
2、全等三角形有哪些性质
（1）：全等三角形的对应边相等、对应角相等。
（2）：全等三角形的周长相等、面积相等。
（3）：全等三角形的对应边上的对应中线、角平分线、高线分别相等。
3、全等三角形的判定
边边边：三边对应相等的两个三角形全等（可简写成“SSS”)
边角边:两边和它们的夹角对应相等两个三角形全等（可简写成“SAS”)
角边角:两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（可简写成“ASA”)
角角边:两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等（可简写成
“AAS”)
斜边.直角边：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可简写成
“HL”)
4、证明两个三角形全等的基本思路：

二、角的平分线：
1、（性质）角的平分线上的点到角的两边的距离相等.
2、（判定）角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上。
三、学习全等三角形应注意以下几个问题：
（1):要正确区分“对应边”与“对边”，“对应角”与 “对角”的不
同含义；
（2）：表示两个三角形全等时，表示对应顶点的字母要写在对应的位置上；
（3）：“有三个角对应相等”或“有两边及其中一边的对角对应相等”的两
个三角形不一定全等；
（4）：时刻注意图形中的隐含条件，如 “公共角” 、“公共边”、“对顶
角”
57

1、全等三角形的概念
能够完全重合的两个图形叫做全等形。
能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。两个三角形全等时，互相重
合的顶点叫做对应顶点，互相重合的边叫做对应边，互相重合的角叫做对应
角。夹边就是三角形中相邻两角的公共边，夹角就是三角形中有公共端点的
两边所成的角。
2、全等三角形的表示和性质
全等用符号“≌”表示，读作“全等于”。如△ABC≌△DE F，读作“三角
形ABC全等于三角形DEF”。
注：记两个全等三角形时，通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上。
3、三角形全等的判定
三角形全等的判定定理：
（1）边角边定理：有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（可
简写成“边角边”或“SAS”）
（2）角边角定理：有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（可
简写成“角边角”或“ASA”）
（3）边边边定理：有三边对应相等的两个三角形全等（可简写成“边边
边”或“SSS”）。
直角三角形全等的判定：
对于特殊的直角三角形，判定它们全等时，还有HL定理（斜边、直角边
定理）：有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可简写成“斜
边、直角边” 或“HL”）
4、全等变换
只改变图形的位置，二不改变其形状大小的图形变换叫做全等变换。
全等变换包括一下三种：
（1）平移变换：把图形沿某条直线平行移动的变换叫做平移变换。
（2）对称变换：将图形沿某直线翻折180°，这种变换叫做对称变换。
（3）旋转变换：将图形绕某点旋转一定的角度到另一个位置，这种变换
叫做旋转变换。
58

第十二章轴对称
一、轴对称图形
1. 把一个图形沿着一条直线折叠，如果直线两旁的部分能够完全重合，那么
这个图形就叫做轴对称图形。这条直线就是它的对称轴。这时我们也说这个
图形关于这条直线（成轴）对称。
2. 把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能与另一个图形完全重合，那
么就说这两个图关于这条直线对称。这条直线叫做对称轴。折叠后重合的点
是对应点,叫做对称点
知识回顾：
3、轴对称图形和轴对称的区别与联系
3、轴对称图形和轴对称的区别与联系
轴对称图形
A
轴对称
A'
图形
B
AC
B
CC'
B'
区别
(1)轴对称图形是指( )(1)轴对称是指( )
一个两个
图形
具有特殊形状的图形,
的位置关系,必须涉及
只对( )
一个
图形而言;
( )
两个
图形;
(2)对称轴( )
不一定
只有一条
(2)只有( )
一条
对称轴.
如果把轴对称图形沿对称轴
分成两部分,那么这两个图形
就关于这条直线成轴对称.
如果把两个成轴对称的图形
拼在一起看成一个整体,那
么它就是一个轴对称图形.
联系 
4.轴对称的性质
①关于某直线对称的两个图形是全等形。
②如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连
线段的垂直平分线。
③轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。
④如果两个图形的对应点连线被同条直线垂直平分，那么这两个图形关
于这条直线对称。
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二、线段的垂直平分线
1. 经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平
分线，也叫中垂线。
2.线段垂直平分线上的点与这条线段的两个端点的距离相等
3.与一条线段两个端点距离相等的点，在线段的垂直平分线上
三、用坐标表示轴对称小结：
在平面直角坐标系中，关于
x
轴对称的点横坐标相等,纵坐标互为相反数.关
于
y
轴对称的点横坐标互为相反数,纵坐标相等.
点（x, y）关于
x
轴对称的点的坐标为______.
点（x, y）关于
y
轴对称的点的坐标为______.
2.三角形三条边的垂直平分线相交于一点，这个点到三角形三个顶点的距离
相等
四、（等腰三角形)知识点回顾
1.等腰三角形的性质
①.等腰三角形的两个底角相等。（等边对等角）
②.等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。（三线
合一）
2、等腰三角形的判定：
如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等。（等角对
等边）
五、（等边三角形）知识点回顾
1.等边三角形的性质：
等边三角形的三个角都相等，并且每一个角都等于600 。
2、等边三角形的判定：
①三个角都相等的三角形是等边三角形。
②有一个角是600的等腰三角形是等边三角形。
3.在直角三角形中，如果一个锐角等于30
0
，那么它所对的直角边等于斜边的
一半。
1、等腰三角形的性质
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