辽宁科技学院-教师入党转正申请书

华罗庚学校数学课本：二年级

第一讲速算与巧算
一、“凑整”先算
1.计算：（1）24+44+56
（2）53+36+47
解：（1）24+44+56=24+（44+56）
=24+100=124
这样想：因为44+56=100是个整百的数，所以先把它们的
和算出来.
（2）53+36+47=53+47+36
=（53+47）+36=100+36=136
这样想：因为53+47=100是个整百的数，所以先把+47带
着符号搬家，搬到+36前面；然后再把53+47的和算出来.
2.计算：（1）96+15
（2）52+69
解：（1）96+15=96+（4+11）
=（96+4）+11=100+11=111
这样想：把15分拆成15=4+11，这是因为96+4=100，可凑
整先算.
（2）52+69=（21+31）+69
=21+（31+69）=21+100=121
这样想：因为69+31=100，所以把52分拆成21与31之和，
再把31+69=100凑整先算.
3.计算：（1）63+18+19
（2）28+28+28
解：（1）63+18+19
=60+2+1+18+19
=60+（2+18）+（1+19）
=60+20+20=100
这样想：将63分拆成63=60+2+1就是因为2+18和1+19可以
凑整先算.
（2）28+28+28
=（28+2）+（28+2）+（28+2）-6
=30+30+30-6=90-6=84
这样想：因为28+2=30可凑整，但最后要把多加的三个2
减去.

1，3，5，7，9
2，4，6，8，10
3，6，9，12，15
4，8，12，16，20等等都是等差连续数.
1. 等差连续数的个数是奇数时，它们的和等于中间
数乘以个数，简记成：
（1）计算：1+2+3+4+5+6+7+8+9
上册
第一讲速算与巧算
第二讲数数与计数（一）
下册
第一讲机智与顿悟
第二讲数数与计数
第三讲数数与计数（二）
第四讲认识简单数列
第五讲自然数列趣题
第三讲速算与巧算
第四讲数与形相映
第五讲一笔画问题
=5×9
=45
中间数是5
共9个数
（2）计算：1+3+5+7+9
=5×5 中间数是5
=25 共有5个数
（3）计算：2+4+6+8+10
=6×5
=30
中间数是6
共有5个数
第六讲找规律（一）
第七讲找规律（二）
第八讲找规律（三）
第九讲填图与拆数
第十讲考虑所有可能情况（一）
第十一讲考虑所有可能情况（二）
第十二讲仔细审题
第十三讲猜猜凑凑
第十四讲列表尝试法
第十五讲画图凑数法
第六讲七座桥问题
第七讲数字游戏问题（一）
第八讲数字游戏问题（二）
第九讲整数的分拆
第十讲枚举法
第十一讲找规律法
第十二讲逆序推理法
第十三讲画图显示法
第十四讲等量代换法
第十五讲等式加减法
附：第一讲重量的认识
附：第二讲长度的认识
附：第三讲时间的认识（上）
附：第四讲时间的认识（下）
（4）计算：3+6+9+12+15
=9×5 中间数是9
=45 共有5个数
（5）计算：4+8+12+16+20
=12×5 中间数是12
=60 共有5个数
2. 等差连续数的个数是偶数时，它们的和等于首数
与末数之和乘以个数的一半，简记成：
（1）计算：
1+2+3+4+5+6+7+8+9+10
=（1+10）×5=11×5=55
共10个数，个数的一半是5，首数是1，末数是10.
（2）计算：
3+5+7+9+11+13+15+17
=（3+17）×4=20×4=80
共8个数，个数的一半是4，首数是3，末数是17.
（3）计算：
2+4+6+8+10+12+14+16+18+20
二、改变运算顺序：在只有“+”、“-”号的混合算式中，运
=（2+20）×5=110
共10个数，个数的一半是5，首数是2，末数是20.
算顺序可改变
四、基准数法
计算：（1）45-18+19
（2）45+18-19
解：（1）45-18+19=45+19-18
=45+（19-18）=45+1=46
这样想：把+19带着符号搬家，搬到-18的前面.然后先算
19-18=1.
（2）45+18-19=45+（18-19）
=45-1=44
这样想：加18减19的结果就等于减1.
三、计算等差连续数的和
相邻的两个数的差都相等的一串数就叫等差连续数，又叫
等差数列，如：
1，2，3，4，5，6，7，8，9
（1）计算：23+20+19+22+18+21
解：仔细观察，各个加数的大小都接近20，所以可以把每
个加数先按20相加，然后再把少算的加上，把多算的减去.
23+20+19+22+18+21
=20×6+3+0-1+2-2+1
=120+3=123
6个加数都按20相加，其和=20×6=按20计算就少加
了“3”，所以再加上“3”；19按20计算多加了“1”，所以再
减去“1”，以此类推.
（2）计算：102+100+99+101+98

解：方法1：仔细观察，可知各个加数都接近100，所以选
100为基准数，采用基准数法进行巧算.
102+100+99+101+98
=100×5+2+0-1+1-2=500
方法2：仔细观察，可将5个数重新排列如下：（实际上就
是把有的加数带有符号搬家）
102+100+99+101+98
=98+99+100+101+102
=100×5=500
可发现这是一个等差连续数的求和问题，中间数是100，
个数是5.
习题一
1.计算：（1）18+28+72
（2）87+15+13
（3）43+56+17+24
（4）28+44+39+62+56+21
2.计算：（1）98+67
（2）43+28
（3）75+26
3.计算：（1）82-49+18

3.解：（1）82-49+18=82+18-49
=100-49=51
（2）82-50+49=82-1=81
（减50再加49等于减1）
（3）41-64+29=41+29-64
=70-64=6
4.解：（1）99+98+97+96+95
=100×5-1-2-3-4-5
=500-15=485
（ 每 个 加 数 都 按 100 算 ， 再 把 多 加 的 减 去 ） 或
99+98+97+96+95=97×5=485
（2）9+99+999=10+100+1000-3
=1110-3=1107
5.解：（1）5+6+7+8+9
=7×5=35
（2）5+10+15+20+25+30+35
=20×7=140
（3）9+18+27+36+45+54
=（9+54）×3=63×3=189
（4）12+14+16+18+20+22+24+26=（12+26）×4=38×4=152
6.解：（1）53+49+51+48+52+50=50×6+3-1+1-2+2+0
=300+3=303
（
0-2+1+4
=800+4=804
7.解：方法1：原式=21+21+21+15=78
方法2：原式=21×4-6=84-6=78
方法3：原式=（1+2+3+4+5+6）×3+15=21×3+15=63+15=78

第一行白方块5个，黑方块4个；
第二行白方块4个，黑方块5个；
第三、五、七行同第一行，
第四、六、八行同第二行；
但最后的第九行是白方块5个，黑方块4个.可见白方块总
数比黑方块总数多1个.
白方块总数：5+4+5+4+5+4+5+4+5=41（个）
黑方块总数：4+5+4+5+4+5+4+5+4=40（个）
再一种方法是：
每一行的白方块和黑方块共9个.
共有9行，所以，白、黑方块的总数是：
9×9=81（个）.
由于白方块比黑方块多1个，所以白方块是41个，黑方块
是40个.
例2图2－3所示砖墙是由正六边形的特型砖砌成，中间有
个“雪花”状的墙洞，问需要几块正六边形的砖（图2－4）
才能把它补好？

（1）3面涂色的小立方体共有1个；
（2）4面涂色的小立方体共有4个；
（3）5面涂色的小立方体共有3个.
例4如图2－7所示，一个大长方体的表面上都涂上红色，
然后切成18个小立方体（切线如图中虚线所示）.在这些
切成的小立方体中，问：］
（1）1面涂成红色的有几个？
（2）2面涂成红色的有几个？
（3）3面涂成红色的有几个？
解：仔细观察图形，并发挥想像力，可知：
（1）上下两层中间的2块只有一面涂色；
（2）每层四边中间的1块有两面涂色，上下两层共8块；
（3）每层四角的4块有三面涂色，上下两层共有8块.最后
检验一下小立体总块数：
2+8+8=18（个）.
（2）82-50+49
（3）41-64+29
4.计算：（1）99+98+97+96+95
（2）9+99+999
5.计算：（1）5+6+7+8+9
（2）5+10+15+20+25+30+35
（3）9+18+27+36+45+54
（4）12+14+16+18+20+22+24+26
6.计算：（1）53+49+51+48+52+50
（2）87+74+85+83+75+77+80+78+81+84
计 算 ：
7.
1+2+3+4+5+6+1+2+3+4+5+6+1+2+3+4+5+6+1+2+3+4+5
习题一解答
1.解：（1）18+28+72=18+（28+72）=18+100=118
2
）
解：仔细观察，并发挥想象力可得出答案，用七块正六边
形的砖可把这个墙洞补好.如果动手画一画，就会看得更
清楚了.
例3将8个小立方块组成如图2－5所示的“丁”字型，再将表
面都涂成红色，然后就把小立方块分开，问：
（1）3面被涂成红色的小立方块有多少个？
（2）4面被涂成红色的小立方块有多少个？
2.图2－9所示的墙洞，用1号和2号两种特型 砖能补好吗？
若能补好，共需几块？
习题二
1.如图2－8所示，数一数，需要多少块砖才能把坏了的墙
补好？
87+74+8 5+83+75+77+80+78+81+84=80×10+7-6+5+3-5-3+

第二讲数数与计数（一）
数学需要观察.大数学家欧拉就特别强调观察对于数学发
现的重要作用，认为“观察是一件极为重要的事”.本讲数数
与计数的学习有助于培养同学们的观察能力.在这里请大
家记住，观察不只是用眼睛看，还要用脑子想，要充分发
挥想像力.
例1数一数，图2－1和图2－2中各有多少黑方块和白方
块？
（2）87+15+13=（87+13）+15
=100+15=115
（3）43+56+17+24
=（43+17）+（56+24）
=60+80=140
（4）28+44+39+62+56+21
=（28+62）+（44+56）+（39+21）
=90+100+60=250
2.解：（1）98+67=98+2+65
=100+65=165
（2）43+28=43+7+21=50+21=71
或43+28=41+（2+28）=41+30=71
（3）75+26=75+25+1=100+1=101
（3）5面被涂成红色的小立方块有多少个？
解：如图2－6所示，看着图，想像涂色情况.当把整个表
面都涂成红色后，只有那些“粘在 一起”的面（又叫互相接
触的面），没有被涂色.每个小立方体都有6个面，减去没
涂色的面数，就得涂色的面数.每个小立方体涂色面数都
写在了它的上面，参看图2－6所示.
3.图2－10所示为一块地板，它是由1号、2号和3号三种不
同图案的瓷砖拼成.问这三种瓷砖各用了多少块？
4.如图2－11所示，一个木制的正方体，棱长为3寸，它的

解：仔细观察图2－1，可发现黑方块和白方块同样多.因
为每一行中有4个黑方块和4个白方块，共有8行，所以：
黑方块是：4×8=32（个）
白方块是：4×8=32（个）
再仔细观察图2－2，从上往下看：

六个面都被涂成了红色.如果沿着图中画出的线切成棱长
为1寸的小正方体.
（发挥想像力）：
习题二解答
1.解：用10块砖可把墙补好，可以从下往上一层一层地数

5.解：同上题（1）8块；（2）24块；（3）24块；
（4）8块；（5）64块.
6.解：3面被涂成绿色的小正方体共有16块，就是图2—18
中有“点”的那些块（注意最下层有2块看不见）.

第十四层6个
第十五层5个
第十六层4个
第十七层3个
第十八层2个
第十九层1个
总数1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+9+8+7+6+5+4+3+2+1
=（1+2+3+4+5+6+7+8+9+10）+（9+8+7+6+5+4+3+2+1）
=55+45=100（利用已学过的知识计算）.
（2）方法2：如图3－3所示：从上往下，沿折线数
求：（1）3面涂成红色的有多少块？
（2）2面涂成红色的有多少块？
（3）1面涂成红色的有多少块？
（4）各面都没有涂色的有多少块？
（5）切成的小正方体共有多少块？
5.图2－12所示为棱长4寸的正方体木块，将它的表面全染
成蓝色，然后锯成棱长为1寸的小正方体.

7.解：分类数一数可知，围成小猫的 那条绳子比较长.因为
小狗身体的外形是由32条直线段和6条斜线段组成；小猫
身体的外形是由32条直线段和8条斜线段组成.
共1+2+2+1+2+2=10（块）.
如果用铅笔把砖画出来（注意把砖缝对好）就会十分清楚
了，如图2－15所示.
2.解：仔细观察，同时发挥想像力可知需1号砖2块、2号
砖1块，也就是共需（如图2－16所示）
第三讲数数与计数（二）
例1数一数，图3－1中共有多少点？
第一层1个
第二层3个
第三层5个
第四层7个
问：（1）有3面被染成蓝色的多少块？
（2）有2面被染成蓝色的多少块？
（3）有1面被染成蓝色的多少块？
（4）各面都没有被染色的多少块？
（5）锯成的小正方体木块共有多少块？
6.图2－13所示为一个由小正方体堆成的“塔”.如果把它的
外表面（包括底面）全部涂成绿色，那么当把“塔”完全拆
开时，3面被涂成绿色的小正方体有多少块？
1+2=3（块）.
3.解：因为图形复杂，要特别仔细，最好是有次序地按行
分类数，再进行统计：
第五层9个
第六层11个
第七层13个
第八层15个
第九层17个
第十层19个
总数：1+3+5+7+9+11+13+15+17+19=100（利用已学过的
知识计算）.
（3）方法3：把点群的整体转个角度，成为如图3－4所示
的 样 子 ， 变 成 为 10 行 10 列 的 点 阵 . 显 然 点 的 总 数 为
10×10=100（个）.
7.图2－14中的小狗与小猫的身体的外形是用绳子分别围
成的，你知道哪一条绳子长吗？（仔细观察，想办法比较
出来）. 4.解：（1）3面涂色的有8块：它们是最上层四个角上的4
块和最下层四个角上的4块.
（2）2面涂色的有12块：它们是上、下两层每边中间的那
块共8块和中层四角的4块.
（3）1面涂色的有6块：它们是各面（共有6个面）中心的
那块.
（4）各面都没有涂色的有一块：它是正方体中心的那块.
（5）共切成了3×3×3=27（块）.
或是如下计算：
8+12+6+1=27（块）.
第一层1个
第二层2个
第三层3个
第四层4个
第五层5个
第六层6个
第七层7个
第八层8个
第九层9个
第十层10个
第十一层9个
第十二层8个
第十三层7个
想一想：
①数数与计数，有时有不同的方法，需要多动脑筋.
②由方法1和方法3得出下式：
1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+9+8+7+6+5+4+3+2+1=10×10
即等号左边这样的一串数之和等于中间数的自乘积.由此

解：（1）方法1：如图3－2所示从上往下一层一层数：

我们猜想：

1=1×1
1+2+1=2×2

共3个.以 OD 边为公共边的锐角有：∠DOE，∠DOF 共2
个.以 OE 边为一边的锐角有：∠EOF 只1个.
锐角总数5+4+3+2+1＝15（个）.
②用图示法更为直观明了：如图3－10所示，锐角总数为：
5+4+3+2+1=15（个）.

③注意，例2和例3的情况极其相似.虽然例2是关于线段
的，例3是关于角的，但求总数时，它们有同样的数学表
达式.同学们可以看出，一个数学式子可以表达表面上完
全不同的事物中的数量关系，这就是数学的魔力.
1+2+3+2+1=3×3
1+2+3+4+3+2+1=4×4
1+2+3+4+5+4+3+2+1=5×5
1+2+3+4+5+6+5+4+3+2+1=6×6
1+2+3+4+5+6+7+6+5+4+3+2+1=7×7
1+2+3+4+5+6+7+8+7+6+5+4+3+2+1=8×8
1+2+3+4+5+6+7+8+9+8+7+6+5+4+3+2+1=9×9
1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+9+8+7+6+5+4+3+2+1=10×10
这样的等式还可以一直写下去，能写出很多很多.
同学们可以自己检验一下，看是否正确，如果正确我们就
发现了一条规律.
③由方法2和方法3也可以得出下式：
1+3+5+7+9+11+13+15+17+19=10×10.
即从1开始的连续奇数的和等于奇数个数的自乘积 .由此
我们猜想：
1+3=2×2
1+3+5=3×3
1+3+5+7=4×4
1+3+5+7+9=5×5
1+3+5+7+9+11=6×6
1+3+5+7+9+11+13=7×7
1+3+5+7+9+11+13+15=8×8
1+3+5+7+9+11+13+15+17=9×9
1+3+5+7+9+11+13+15+17+19=10×10
还可往下一直写下去，同学们自己检验一下，看是否正确，
如果正确，我们就又发现了一条规律.
例2数一数，图3－5中有多少条线段？
解：（1）我们已知，两点间的直线部分是一条线段.以 A
点为共同端点的线段有：
ABACADAEAF5条.
以 B 点为共同左端点的线段有：
BCBDBEBF4条.
以 C 点为共同左端点的线段有：
CDCECF3条.
以 D 点为共同左端点的线段有：
DEDF2条.
以 E 点为共同左端点的线段有：
EF1条.
总数5+4+3+2+1=15条.
（2）用图示法更为直观明了.见图3－6.
∠BOF 共4个.
以 OC 边为公共边的锐角有：∠COD，∠COE，∠COF
想一想：①由例2可知，一条大线段上有六个点，就有：
总数=5+4+3+2+1条线段.由此猜想如下规律（见图3－7）：

总数5+4+3+2+1=15（条）.

习题三
1.书库里把书如图3－16所示的那样沿墙堆放起来.请你数
一数这些书共有多少本？想一想：①由例3可知：由一点发出的六条射线，组成的
锐角的总数=5+4+3+2+1（个）， 由此猜想出如下规律：（见
图3－11～15）
两条射线1个角（见图3－11）
2.图3－17所示是一个跳棋盘，请你数一数，这个跳棋盘
上共有多少个棋孔？

还可以一直做下去.总之，线段总条线是从1开始的一串连
续自然数之和，其中最大的自然数比总数小1.我们又发现
了一条规律.它说明了点数与线段总数之间的关系.
②上面的事实也可以这样说：如果把相邻两点间的线段叫
做基本线段，那么一条大线段上的基本线段数和线段总条
数之间的关系是：
线段总条数是从1开始的一串连续自然数之和，其中最大
的自然数等于基本线段的条数（见图3－8）.基本线段数
线段总条数
三条射线2+1个角（见图3－12）
四条射线3+2+1个角（见图3－13） 3.数一数，图3－18中有多少条线段？
4.数一数，图3－19中有多少锐角？

五条射线4+3+2+1个角（见图3－14）
还可以一直写下去，同学们可以自己试试看.
例3数一数，图3－9中共有多少个锐角？
解：（1）我们知道，图中任意两条从 O 点发出的射线都
组成一个锐角.
所以，以 OA 边为公共边的锐角有：
∠LAOB，∠AOC，∠AOD，∠AOE，
∠AOF 共5个.
以 OB 边为公共边的锐角有：∠BOC，∠BOD，∠BOE，

六条射线5+4+3+2+1个角（见图3－15）
总之，角的总数是从1开始的一串连续自然数之和，其中
最大的自然数比射线数小1.
②同样，也可以这样想：如果把相邻两条射线构成的角叫
做基本角，那么有共同顶点的基本角和角的总数之间的关
系是：
5.数一数，图3－20中有多少个三角形？
6.数一数，图3－21中有多少正方形？角的总数是从1开始的一串连续自然数之和，其中最大的
自然数等于基本角个数.
习题三解答
1.解：方法1：从左往右一摞一摞地数，再相加求和：

10+11+12+13+14+15+14+13+12+11+10
=135（本）.
方法2：把这摞书形成的图形看成是由一个长方形和一个
三角形“尖顶”组成.
长方形中的书10×11=110
三角形中的书1+2+3+4+5+4+3+2+1=25
总数：110+25=135（本）.
2.解：因为棋孔较多，应找出排列规律，以便于计数.
仔细观察可知，图中大三角形 ABC 上的棋孔的排列规律
是（从上往下数）：1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，
12，13，另外还有三个小三角形中的棋孔的排列规律是1，
2 ， 3 ， 4 ， 所 以 棋 孔 总 数 是 ：
（ 1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+11+12+13 ） + （ 1+2+3+4 ）
×3=91+10×3=121（个）.
3.解：方法1：按图3－22所示方法数（图中只画出了一部
分）

以 OG 边和 OH，GH 两边构成的三角形仅有：△OGH1
个；
三角形总数：7+6+5+4+3+2+1=28（个）.
（2）方法2：显然底边 AH 上的每一条线段对应着一个三
角形，而基本线段是 7 条，所以三角形总数为：
7+6+5+4+3+2+1=28（个）.
6.解：最小的正方形有25个，
由4个小正方形组成的正方形16个；
由9个小正方形组成的正方形9个；
由16个小正方形组成的正方形4个；
由25个小正方形组成的正方形1个；
正方形总数：25+16+9+4+1=55个.
第四讲认识简单数列
我们把按一定规律排列起来的一列数叫数列.
在这一讲里，我们要认识一些重要的简单数列，还要学习
找出数列的生成规律；学会把数列中 缺少的数写出来，最
后还要学习解答一些生活中涉及数列知识的实际问题.
例1找出下面各数列的规律，并填空.
（1）1，2，3，4，5 ， ，，8，9，10.
（2）1，3，5，7，9 ， ，，15，17，19.
（3）2，4，6，8，10 ， ，，16，18，20.
（4）1，4，7，10 ， ，，19，22，25.

例5找出下面数列的规律，并填空：
1，3，7，15，31 ， ，，255，511.

为止（见表四（2））.
解：规律是：后一个数减前一个数的差是逐渐变大的，差
的变化规律是个等比数列，后一个差是前一个差的2倍.
另外，原数列的规律也可以这样看：后一个数等于前一个
数乘以2再加1，即后一个数=前一个数×2+1.
例6找出下面数列的生成规律，并填空.
1，4，9，16，25 ， ，，64，81，100.
解：这是自然数平方数列，它的每一个数都是自然数的自
乘积 .如： 1=1×1， 4=2×2， 9=3×3， 16=4×4，
25=5×5，
可见73是第11项.
例9一天，爸爸给小明买了一包糖，数一数刚好100块.爸
爸灵机一动，又拿来了10个纸盒，接着说：“小明，现在
你把糖往盒子里放，我要求你在第一个盒子里放2块，第
二个盒子里放4块，第三个盒子里放8块，第四个盒子里放
16块，……照这样一直放下去.要放满这10个盒，你说这
100块糖够不够？”小朋友，请你帮小明想一想？
解：小朋友，你是不是以为100块糖肯定能够放满这10个
纸盒的了！下面让我们算一算，看你想得对不对（见表四
（3））.表四（3）
，64=8×8，81=9×9，100=10×10.
若写成下面对应起来的形式，就看得更清楚.
自然数列：
↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓
自然数平方数列：
例7一辆公共汽车有78个座位，空车出发.第一站上1位乘
客 ，第二站上2位，第三站上3位，依此下去，多少站以后，
车上坐满乘客？（假定在坐满以前，无乘客下 车，见表四
（1））
可见100块糖是远远不够的，还差1946块呢！这可能是你
没有想到的吧！其实，数学中还有很多很多奇妙无比的故
事呢.
习题四
1.从1开始，每隔两个数写出一个自然数，共写出十个数
来.
2.从1开始，每隔六个数写出一个自然数，共写出十个数
来.
3.在习题一和习题二中，按题目要求写出的两个数列中，
除1以外出现的最小的相同的数是几？
4.自2开始，隔两个数写一个数：2，5，8，……，101.
可以看出，2是这列数的第一项，5是第二项，8是第三项，
等等.问101是第几个数？
5.如图4－1所示，“阶梯形”的最高处是4个正方形叠起来的
高度，而且整个图形包括了 10个小正方形.如果这个“阶梯
放满10个盒所需要的糖块总数：
线段总数：7+6+5+4 +3+2+1=28（条）.
方法2：基本线段共7条，所以线段总数是：
7+6+5+4+3+2+1=28（条）.
4.解：按图3－23的方法数：
角的总数：7+6+5+4+3+2+1=28（个）.
5.解：方法1：（1）三角形是由三条边构成的图形.
以 OA 边为左公共边构成的三角形有：△OAB，△OAC，
△OAD，△OAE，△OAF，△OAG，△OAH，共7个；
以 OB 边为左公共边构成的三角形有：△OBC，△OBD，
（5） 5，10，15，20 ， ，，35，40，45.

注意：自然数列、奇数列、偶数列也是等差数列.
例2找出下面的数列的规律并填空.
1，1，2，3，5，8，13 ， ，，55，89.
解：这叫斐波那契数列，从第三个数起，每个数都是它前
面的两个数之和 .这是个有重要用途的数列 .8+13=21，
13+21=34.所以：
空处依次填：
例3找出下面数列的生成规律并填空.
△OBE，△OBF，△OBG，△OBH，共6个；
以 OC 边为左公共边构成的三角形有：△OCD，△OCE，
△OCF，△OCG，△OCH，共5个；
以 OD 边为左公共边构成的三角形有：△ODE，△ODF，
△ODG，△ODH，共4个；
以 OE 边为左公共边构成的三角形有：△OEF，△OEG，
△OEH，共3个；
以 OF 边为左公共边构成的三角形有：△OFG，△OFH，
共2个；
1，2，4，8，16 ， ，，128，256.
解：它叫等比数列，它的后一个数是前一个数的 2
倍.16×2=32，32×2=64，所以空处依次填：
例4找出下面数列的规律，并填空.
1，2，4，7，11 ， ，，29，37.
解：这数列规律是：后一个数减前一个数的差是逐渐变大
的，这些差是个自然数列：
方法2：由上表可知，车上的人数是自1开始的连续自然数
相加之和，到第几站后，就加到几，所以只要加到出现78
时，就可知道是到多少站了，
1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+11+12=78（人）
可见第12站以后，车上坐满乘客.
例8如果第一个数是3，以后每隔6个数写出一个数，得到
一列数：3，10，17，……，73.这里3叫第一项，10叫第
二项，17叫第三项，试求73是第几项？
解：从第1项开始，把各项依次写出来，一直写到73出现
形”的高度变为12个小正方形叠起来那样高，那么，整个
图形应包括多少个小正方形？
6.如图4－2所示，把小立方体叠起来成为“宝塔”，求这个
小宝塔共包括多少个小立方体？

+8×10+9×10
=（1+2+ 3+4+5+6+7+8+9）×10
7.开学的第一个星期，小明准备发起成立一个趣味数学小
组，这时只有他一个人.他决定第二个星期吸收两名新组
员，而每个新组员要在进入小组后的下一个星期再吸收两
可见两个数列中最小的相同数是22.
4.解：经仔细观察后可以看出，这是一个等差数列，后一
个数比前一个数大3，即公差是3.下面再多写出几项，以
便从中发现规律：（表四（4））
①在盒子里有：
4+1+4=9（个）.
②这一串珠子总数是：
1+1+1+2+1+3+1+4+1+5+1+6+1+7+1
=1+2+3+4+5+6+7+（1+1+1+1+1+1+1+1）
=28+8=36（个）.
第五讲自然数列趣题
再仔细观察可知：
第二项=第一项+1×公差，即5＝2+1×3；
第三项=第一项+2×公差，即8=2+2×3；
本讲的习题，大都是关于自然数列方面的计数问题，解题
的思维方法一般是运用枚举法及分类统计方法，望同学们
能很好地掌握它.
例1小明从1写到100，他共写了多少个数字“1”？
解：分类计算：
“1”出现在个位上的数有：
1，11，21，31，41，51，61，71，81，91共10个；
“1”出现在十位上的数有：
10，11，12，13，14，15，16，17，18，19共10个；
“1”出现在百位上的数有：100共1个；
共计10+10+1=21个.
例2一本小人书共100页，排版时一个铅字只能排一位数
字，请你算一下，排这本书的页码共用了多少个铅字？
解：分类计算：
从第1页到第9页，共9页，每页用1个铅字，共用1×9=9（个）；
从第 10页到第 99页，共 90页，每页用 2个铅字，共用
2×90=180（个）；
第100页，只1页共用3个铅字，所以排100页书的页码共用
铅字的总数是：
9+180+3=192（个）.
习题四解答
1.解：可以先写出从1开始的自然数列，再按题目要求删
去那些不应该出现的数，就得到答案了：
习题五解答
1.解：分类计算，并将有数 字“1”的数枚举出来.
即1，4，7，10，13，16，19，22，25，28
可以看出，这是一个等差数列，后面一个数比前面一个数
大3.
2.解：仿习题1，先写前面的几个数如下：
可以看出，1，8，15，22，……也是一个等差数列，后面
4个星期后小组的总人数：
1+2+4+8=15（人）.
8.解：列表如下： 解：（见图5—1）先按题要求，把1到100的一百个自然数
全部写出来，再分类进行计算：
如图5—1所示，宽竖条带中都是个位数字，共有10条，数
字之和是：
（1+2+3+4+5+6+7+8+9）×10
的一个数比前面的一个数大7.按照这个规律，可以写出所
有的10个数：
1，8，15，22，29，36，43，50，57，64.
解：观察习题一和习题二两个数列：
3.
一个细胞经过10次分裂变为1024个.
9.解：仔细观察可知，这串珠子的排列规律是：
白黑白黑白黑白黑白黑白黑白黑白
1,1,1,2,1,3,1,4,1,5,1,6,1,7,1,
=45×10
=450.
窄竖条带中，每条都包含有一种十位数字，共有9条，数
字之和是：
1×10+2×10+3×10+4×10+5×10+6×10+7×10
“1”出现在个位上的数有：
1，11，21，31，41，51，61，71，81，91 ，
101，111，121，131，141，151，161，171，181，191
共20个；
“1”出现在十位上的数有：
10，11，12，13，14，15，16，17，18，19
110，111，112，113，114，115，116，117，118，119
共20个；
“1”出现在百位上的数有：
100，101，102，103，104 ，105，106，107，108，109，
110，111，112，113，114，115，116，117，118，119，
1 20，121，122，123，124，125，126，127，128，129，
130，131 ，132，133，134，135，136，137，138，139，
140，141，142，1 43，144，145，146，147，148，149，
1+3+6+10+15+21=56（个 ）.
7.解：列表如下：
例3把1到100的一百个自然数全部写出来，用到的所有数
字的和是多少？
4.一本书共200页，如果页码的每个数字都得用一个单独
的铅字排版（比如，“150”这个页码就需要三个铅字“1”、
“5”和“0”），问排这本书的页码一共需要多少个铅字？
问从1至100的所有自然数中有多少个这样的两位数？
6.像“101”这个三位数，它的个位数字与百位数字调换以
后，数的大小并不改变，问从100至200之间有多少个这样
的三位数？
7.像11、12、13这三个数，它们的数位上的各个数字相加
之和是（1+1）+（1+2）+（1+3）=9.问自然数列的前20
个数的数字之和是多少？
8.把1到100的一百个自然数全部写出来，用到的所有数字
的和是多少？
9.从1到1000的一千个自然数的所有数字的和是多少？
=45×10
＝450.
另外100这个数的数字和是1+0+0=1.
所以，这一百个自然数的数字总和是：
450+450+1=901.
顺便提请同学们注意的是：一道数学题的解法往往不只一
种，谁能寻找并发现出更简洁的解法来，往往标志着谁有
更强的数学能力.比如说这道题就还有更简洁的解法，试
试看，你能不能找出来？
习题五
1.有一本书共200页，页码依次为1、2、3、……、199、
200，问数字“1”在页码中共出现了多少次？
2.在1至100的奇数中，数字“3”共出现了多少次？
3.在10至100的自然数中，个位数字是2或是7的数共有多
少个？
名新组员，求开学4个星期后，这个小组共有多少组员？
8.图4－3所示为细胞的增长方式.就是说一个分裂为两个，
再次分裂变为4个，第三次分裂为8个，……照这样下去，
问经过10次分裂，一个细胞变成几个？ 第四项=第一项+3×公差，即11=2+3×3；
9.图4－4所示是一串“黑”、“白”两色的珠子，其中有一些
第五项=第一项+4×公差，即14=2+4×3；
珠子在盒子里，问
…………
由于101=2+33×3；
可见，101是第34项，即第34个数.
5.解：仔细观察可发现，这个“阶梯形”图形最高处是4个小
（1）盒子里有多少珠子？
（2）这串珠子共有多少个？
正方形时，它就有4个台阶，整个图形包括的小正方形数
为：
1+2+3+4=10.
所以最高处是12个小正方形时，它必有12个台阶，整个图
形包括的小正方形数为：
1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+11+12=78（个）.
6.解：从上往下数，小宝塔共有六层.仔细观察可发现如下
规律（表四（5））：
所以六层小立方体的总数为：
5.像“21”这个两位数，它的十位数字“2”大于个位数字“1”，

15 0，151，152，153，154，155，156，157，158，159，
160，161，162，163，164，165，166，167，168，169，
170，171，172，173，174，175，176，177，178，179，
180，181，182，183，184，185，186，187，188，189，
190，191，192，193，194，195，196，197，198，199
共100个；
数字“1”在1至200中出现的总次数是：
20+20+100=140（次）.
2.解：采用枚举法，并分类计算：
“3”在个位上：3，13，23，33，43，53，63，73，83，93
共10个；
“3”在十位上：31，33，35，37，39共5个；
数字“3”在1至100的奇数中出现的总次数：
10+5=15（次）.
3.解：枚举法：12，17，22，27，32，37，42，47，52，
57，62，67，72，77，82，87，92，97共18个.
4.解：分段统计，再总计.
页数 铅字个数
1～9共9页
1×9=9（个）（每个页码用1个铅字）
10～90共90页 2×90=180（个）（每个页码用2个铅字）
100～199共100页
个铅字）
3×100=300（个）（每个页码用3 所以从1～1000的所有自然数的所有数字之和为：
27×500+1=13501.
若再补个0（并不影响题目的答案）还可以写出一个类似
的算式：
0+99=99；
因此共得出50个99.而一个99的数字和是：9+9=18；
50个99的数字和是：18×50=900，再加上100这个数的数字
和是1+0+0=1，就得出从1到100的所有自然数的数字之和
为901.
照以上方法列出算式就非常简洁：
（9+9）×50+1=901.
9.解：（见图5—2）写出1～1000的自然数列的头、尾和中
间的几部分，并在1的前面加个“0”；
又因为9+9+9=27，
1+0+0+0=1，

（3）前十个点群，所有点的总数是：
1+4+7+10+13+16+19+22+25+28=145（个）
例2图6—2表示“宝塔”，它们的层数不同，但都是由一样

解：（1）数一数，“宝塔”每层包含的方砖块数：
可见各层的方砖块数组成自然数平方数列，按此规律，第
五层应包含的方砖块数是：
大的小三角形摆成的.仔细观察后，请你回答：
（1）五层的“宝塔”的最下层包含多少个小三角形？
（2）整个五层“宝塔”一共包含多少个小三角形？
（3） 从第（1）到第（10）的十个“宝塔”，共包含多少
个小三角形？
解：（1）数一数“宝塔”每层包含的小三角形数：
5×5=25（块）.
（2）整个五层“宝塔”共包含的方砖块数应是从1开始的前
五个自然数的平方数相加之和，即：
1+4+9+16+25=55（块）.
（3）根据上面得到的规律，可求出十层宝塔所包含的方
砖的块数：
习题六
1.观察图6—4中的点群，请回答：
（1）方框内的点群包含多少个点？
（2）第 10个点群中包含多少个点？
可见1，3，5，7是个奇数列，所以由这个规律猜出第五层
应包含的小三角形是9个.
（2）整个五层塔共包含的小三角形个数是：
1+3+5+7+9=25（个）.
（3）每个“宝塔”所包含的小三角形数可列表如下：
（3）前十个点群中，所有点的总数是多少？
第200页共1页 3×1=3（个）（这页用3个铅字）
总数：9+180+300+3=492（个）.
5.解：列表枚举，分类统计：
10 1个
2021 2个
303132 3个
个
个
个
个
个
9个
总数1+2+3+4+5+6+7+8+9=45（个）.
6.解：枚举法，再总计： 101，111，121，131，141，151，161，171，181，191
共10个.
7.解：分段统计（见表五（1）），再总计：
总的数字相加之和：45+45+10+2=102.
8.解：按题意，试着写出从1到100的自然数中的头、尾和
中间的几部分：1，2，3，……，48，49，50，51，……，
96，97，98，99，100.仔细观察可知：
解：数一数可知：前四个点群中包含的点数分别是：
1，4，7，10.
可见，这是一个等差数列，在每相邻的两个数中，后一个
数都比前一个数大3（即公差是3）.
（1）因为方框内应是第（5）个点群，它的点数应该是
10+3=13（个）.
（2）列表，依次写出各点群的点数，
可知第（10）个点群包含有28个点.
例3下面的图形表示由一些方砖堆起来的“宝塔”.仔细观
察后，请你回答：
（1）从上往下数，第五层包含几块砖？
（2）整个五层的“宝塔”共包含多少块砖？
（3）若另有一座这样的十层宝塔，共包含多少块砖？
（1）方框内的点群包含多少个点？
（2）第（10）个点群中包含多少个点？
（3）前十个点群中，所有点的总数是多少？

第六讲找规律（一）
例1观察下面由点组成的图形（点群），请回答：

由此发现从第（1）到第（10）共十个“宝塔”所包含的小
三角形数是从1开始的自然数平 方数列前十项之和：
2.观察下面图6—5中的点群，请回答：
（1）方框内的点群包含多少个 点？
（2）推测第10个点群中包含多少个点？
（3）前10个点群中，所有点的总数是多少？
3.观察图6—6中的点群，请回答：
（1）方框内的点群包含多少个点？
（2）推测第10个点群包含多少个点？
（3）前十个点群中，所有点的总数是多少？

4.图6—7所示为一堆砖.中央最高一摞是10块，它的左右两
边各是9块，再往两边是8块、7块、6块、5块、4块、3块、
2块、1块.
问：（1）这堆砖共有多少块？
（2）如果中央最高一摞是10O 块，两边按图示的方式堆
砌，问这堆砖共多少块？

3.解：（1）数一数，前四个点群包含的点数分别是：4，8，
12，16.
不难发现，这是一个等差数列，公差是4，可以推出，第5

则看不见的砖块总数为：
个点群（即方框中的点群）包含的点数是：
16+4=20（个）.
5.图6—8所示为堆积的方砖，共画出了五层.如果以同样的
（2）下面依次写出各点群的点数，可得第10个点群的点
数为40.
第七讲找规律（二）
例1仔细观察下面的图形，找出变化规律，猜猜在第3组的
右框空白格内填一个什么样的图？
解：图7—5的？处应填.▲注意观察第1组和第2组，每组
都是由三对小图形组成；而每对小图形都是由一个“空白”
的和一个“黑色”的小图形组成；而且它俩的排列顺序都是
“空白”的在左边，“黑色”的在右边.
再按着第1、第2、第3组的顺序观察下去，可发现 每对小
图形在各组中的位置的变化规律：它们都在向左移动，当
一对小图形移动到最左边后，下一步它就回到了最右边.
按这个移动规律，可知图7—5中第3组“？”处应填：.▲
图7—6的？处应填□0. 仔细观察可发现第1组和第2组中
间的部分都是由三个小图形构成的.构成的规律是：当你
按照第1、第2、第3组的顺序观察时，6个小图形都在向左
移动，而且移动的同时又在重新分组和组合，但排列顺序
保持不变，当某一个小图形移动到了最左边时，下一步它
就回到了最右边.按这个规律可知图7—6中第3组中间“？”
处是：△ 0.
例3观察图7—7的变化，请先回答：在方框（4）中应画出
怎样的图形？
7—3）. 再答按（1）、（2）、（3）、……的顺序数下去，第（10）个
方框中是怎样的图形？
方式继续堆积下去，共堆积了10层，问：
（1）能看到的方砖有多少块？
（2）不能看到的方砖有多少块？
（3）前十个点群的所有的点数为：
4.解：从最简单情况入手，找规律：

解：仔细观察图7—1，可知：
第1组左边是个大菱形，右边是个小菱形.
第2组左边是个大三角形，右边是个小三角形.
其规律是：每组中左右两边图形的形状相同，大小不同.
都是左边的图形大，右边的图形小.
猜出答案：第3组中右边空白格内应填个小长方形.（如图
习题六解答
1.解：（1）数一数，前四个点群包含的点数分别是：1，5，
9，13.
不难发现，这是一个等差数列，公差是4，可以推出，第5
个点群包含的点数是：
13+4=17（个）.
（2）下面依次写出各点群的点数，可得第10个点群的点
数为37.
（3）前十个点群的所有点数为：

按着这种规律可求得：
（1）当中央最高一摞是10块时，这堆砖的总数是：
1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+9+8+7+6+5+4
+3+2+1
=10×10=100（块）.
（2）当中央最高一摞是100块时，这堆砖的总数是：
1+2+3+……+98+99+100+99+98+……+3+2+1
=100×100=10000（块）.
5.解：（1）数一数，前五层中各层可见的方砖数是：1，3，
5，7，9
不难发现，这是一个奇数列.照此规律，十层中可见的方
砖总数是：
1+3+5+7+9+11+13+15+17+19
仔细观察图7—2可知：
第1组左边是个圆，而且左半圆涂有阴影线.右边是左边的
阴影半圆顺时针旋转后放置的.
第2组左边是个等腰三角形，而且左半部（直角三角形）
涂有阴影线，右边是左边阴影直角三角形顺时针旋转后放
置的.
其规律是：每组的右边格内的图形都是左边图形左边的一
半，顺时针旋转放置后成为右边图形.
猜出答案：第3组中右框内应填个阴影小长方形.如图7—4
示.
解：先按（1）、（2）、（3）、……的顺序仔细观察，可发现：
方框中的箭头是按逆时针方向旋转的；方框中的其他小图
形，如□、 和也都是按逆时针方向旋转的.
也就是说，方框连同内部的所有小图形作为一个整体在按
逆时针方向旋转.
2.解：（1）数一数，前4个点群包含的点数分别是：
1，4，9，16.
不难发现，这是一个自然数平方数列.所以第5个点群（即
方框中的点群）包含的点数是：
5×5=25（个）.
（2）按发现的规律推出，第十个点群的点数是：
10×10=100（个）.
（3）前十个点群，所有的点数是：
=100（块）.
（2）再想一想，前五层中，各层不能看到的方砖数是：
第一层0块；第二层1块；第三层4块；
第四层9块；第五层16块；
不难发现，1，4，9，16是自然数平方数列，按照此规律
把其余各层看不见的砖块数写出来（如下表）：
例2按顺序仔细观察图7—5、7—6的形状，猜一猜第3组的
“？”处应填什么图？ 因此，方框（4）中的小图形应画成图7—8状.再按已找到
的规律，进一步可发现图形的变化是有“周期性”的，也就
是说，每过4个方框后，同样的图形又重新出现一次.如，
你可看到第（1）和第（5）是完 全一样的；因此，你可以
想像得到，第（2）和第（6）及第（10）个图形应当是完

< br>全一样的.即第（10）个方框中的图形应是图7—9所示的
样子.
例4观察图7—10的变化，请先回答：
第（4）、（8）个图中，黑点在什么地方？
第（10）、（18）个图中，黑点在什么地方？
解：（1）按图7—10中（1）、（2）、（3）、……的顺序仔细
观察，可发现黑点位置的变化规律：

2.仔细观察图7—15，找找变化规律，猜猜在第3组的空白
格内填一个什么样的图？
3.仔细观察图7—16，找找变化规律，猜猜在第3组的空白
格内填一个什么样的图？

9.仔细观察下列图形的变化，请先回答：
①在方框（4）中应画出怎样的图形？
②再按（1）、（2）、（3）、……的顺序数下去，第（10）个
方框是怎样的图形？
8.答：（见图7—30）.
①先按（1）、（2）、（3）、……的顺序仔细观察，可以发现：
在（1）中，*在左上角，在（2）中它在右上角，在（3）
中它在右下角，……可见它在沿顺时针方向转动.
其他三个小图形，即□、○、 ，也和*一样都在沿着顺时
针方向转动.
发现规律：因方框中的每个小图形的位置的变化都是按顺
在（1）中，黑点在最上面第一条横线上；
在（2）中，黑点下降了一格，在上面第二条横线上；
在（3）中，黑点又下降了一格，在中间一条线上了.
按黑点位置的这种变化可推测出：
在（4）中，黑点又下降一格，它的位置应如图7—11所示.
继续观察下去：
在（5）中，黑点下降到最下面的一条横线上；
在（6）中，黑点开始往上升一格；
在（7）中，黑点再上升一格，按着黑点位置的这种变化
可推测出：
在（8）中，黑点又上升一格，它的位置应如图7—12所示.
（2）进一步仔细观察图7—10（1）～（9），可发现黑点位
置变化的“周期性”规律：也就是说，每隔8个小图，黑点
又回到原来的位置.
因为2+8=10，2+8+8=18.
所以第（10）、（18）个小图中，黑点的位置应与第（2）
个小图相同，见图7—13所示.

时针方向旋转，可以说，方框连同内部的小图形 及整体在
4.按顺序仔细观察下列图形，猜一猜第3组的“？”处应填什
么图？
5.按顺序仔细观察下列图形，猜一猜第3组的“？”处应填什
么图？

1.答：（见图7—23）.
2.答：（见图7—24）.
3.答：（见图7—25）.
习题七解答
按顺时针方向旋转.
②进一步猜想，根据所发现的规律进一步推测可知，第（4）
个方框中的图形的样子.
③按（1）、（2）、（3）、……的顺序仔细观察，进一步还可
发现，图形的变化是有“周期性”的，也就是说，每过4个
方框后，完全同样的图形又重新出现，如第（1）、（5）、
（9）个图形是完全一样的.因为2＋4＋4=10，所以第（10）
个方框内的图形与第（2）完全相同.
9.答：（见图7—31）

6.按顺序仔细观察下列图形，猜一猜第3组的“？”应填什么
图？

4.答（见图7—26）.
5.答：（见图7—27）.

第八讲找规律（三）
数学家看问题，总想找规律.我们学数学，也要向他们学
习.找规律，要从简单的情况着手，仔细观察，得到启示，
大胆猜想，找出一般规律，还要进行验证，最后还需要证

7.按顺序仔细观察下列图形，猜一猜第3组的“？”应填什么
图？

明 （在小学阶段不要求同学们进行证明）.
例1沿直尺的边缘把纸上的两个点连起来，这个图形就叫
做线段.这两个点就叫线段的端点，如图8—1—1所示.不难
看出，线段也可以看成是直线上两点间的部分.如果一条
直线上标出11个点，如图8—1—2所示，任何两点间的部
分都是一条线段，问共有多少条线段.
6.答：（见图7—28）.
8.仔细观察下列图形的变化，请先回答：
习题七
1.仔细观察图7—14，找找变化规律，猜猜在第3组的空白
格内填一个什么样的图？
①在方框（4）中应画出怎样的图形？
②再按（1）、（2）、（3）、……的顺序数下去，第（10）个
方框是怎样的图形？

7.答：（见图7—29）.
解：先从简单的情况着手.

（ 1）画一画，数一数：（见图8—1—3）
（2）试着分析：
2个点，线段条数：1=1
3个点，线段条数：3=2+1
4个点，线段条数：6=3+2+1
5个点，线段条数：10=4+3+2+1

图8-2
（2）试着分析：
直线条数最多交点数

所切刀数切出的块数
01
12=1+1
24=1+1+2
37=1+1+2+3
411=1+1+2+3+4
（3）大胆猜想：把一张大饼切若干刀时，切成的最多块
数等于从1开始的一串自然数相加之和加1.其中最大的自
然数等于切的刀数.
（4）进行验证：见图8—5对大饼切5刀的情况用两种方法
求解，看结果是否一致，若一致则更增强了对猜想的信心.

4.如图8—9所示，将自然数从小到大沿三角形的边成螺旋
状，排列起来，2在第一个拐弯处，4在第二个拐弯处，7
在第三个拐弯处，……，问在第十个拐弯处的自然数是
几？
（3）大胆猜想：一条直线上有若干点时线段的条数总是
从1开始的一串自然数相加之和，其中最大的自然数比点
数小1.
（4）进行验证：对于更多点的情况，对猜想进行验证，
看猜想是否正确，如果正确，就增加了对猜想的信心.如：
10
21=1
33=2+1
46=3+2+1
510=4+3+2+1
（3）大胆猜想：若干条直线相交时，最多的交点数是从1
开始的一串自然数相加之和，其中最大的自然数比直线条
数小1.
（4）进行验证：见图8—3.取6条直线相交，画一画，数
一数，看一看最多交点个数与猜想的是否一致，若相符，
则更增强了对猜想的信心.
①数一数：16块.
②算一算：1+1+2+3+4+5=16（块）.
（5）应用规律：把大饼切10刀时，最多切成的块数是：
1+1+2+3+4+5+6+7+8+9+10
=1+55
=56（块）.
5.如图8—10所示为切大饼的示意图.切一刀只有一种切
法，切两刀有2种切法，切三刀有4种切法，……，问切十
一刀有多少种切法（规定：三刀或三刀以上不能切在同一
点上，如图8—11所示）？
6个点时：对不对？
——对.见图8—1—4.
线段条数：5+4+3+2+1=15（条）.
（5）应用规律：应用猜想到的规律解决更复杂的问题.
当直线上有11个点时，线段的条数应是：
10+9+8+7+6+5+4+3+2+1=55（条）.
习题八
1.如图8—6所示，直线上有13个点，任意两点间的部分都
构成一条线段，问共构成多少条线段？
习题八解答
例2如图8—2中（1）～（5）所示两条直线相交只有1个交
点，3条直线相交最多有3个交点，4条直线相交最多有6
个交点，……那么，11条直线相交最多有多少交点？
解：从简单情况着手研究：
（1）画一画、数一数
用猜想的算法进行计算：最多交点数应是
5+4+3+2+1=15（个）.
（5）应用规律：应用猜想到的规律解决更复杂的问题.当
有11条直线相交时，最多的交点数应是：
10+9+8+7+6+5+4+3+2+1=55（个）.
例3如图8—4所示，一张大饼，切1刀最多切成2块，切2
刀最多切成4块，切3刀最多切成7块，……问切10刀最多
切成多少块？
解：从最简单情况着手研究.
（1）画一画、数一数
2.如图8—7所示，两条直线最多有一个交点，三条直线最
多有三个交点，四条直线最多有六个交点，……，问十三
条直线最多有几个交点？
3.图8—8所示为切大饼示意图，已知切1刀最多切成2块，
切2刀最多切成4块，切3刀最多切成7块，……，问切12
刀最多切成多少块？
1.解：利用例1得到的规律可知：一条直线上有若干点时，
线段的条数是从1开始的一串自然数相加之 和，其中最大
的自然数比点数小1.
1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+11+12
=78（条）.
2.解：利用例2得到的规律可知，有若干条直线相交时，
最多的交点数是从1开始的一串自然数相加之和，其中最
大的自然数比直线条数小1.
1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+11+12
=78（个）.
3.解：利用例3得到的规律可知，把一张大饼切若干刀时，
切成的最多块数，等于从1开始的一串自然数相加之和加
1，其中最大的自然数等于切的刀数.
1+1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+11+12
=1+78
=79（块）.
（2）试着分析： 4.解：方法1：观察图8—12，仔细分析找规律.

第一个拐弯处2=1+1
第二个拐弯处4=1+1+2
第三个拐弯处7=1+1+2+3
第四个拐弯处11=1+1+2+3+4
第五个拐弯处16=1+1+2+3+4+5
发现规律：拐弯处的数是从1开始的一串自然数相加之和
再加1，在第几个拐弯处，就加到第几个自然数.
所以第十个拐弯处的数是：
1+ 1+2+3+4+5+6+7+8+9+10=56.
方法2：由于此题比较简单，把图形画出来（图8 —12），
按要求把自然数排列在三角形的边上，答案也是56.

填进各类图形.这不仅可以提高运算能力，而且更能促使
你积极地去思考问题、分析问题，使你的智力得到更好地
发展.
例1请你把1、2、3这三个数填在图中的方格中，使每
行、每列和每条对角线上的三个数字之和都相等.

后，尝试几次是不难得出这种答案的.
例3如下面图9—9所示有八张卡片.卡片上分别写有1、2、
3、4、5、6、7、8八个数.现在请你重新按图9—10进行排
列，使每边三张卡片上的数的和等于：①13，②15.

4就不能填到中间的小圆圈中了.

解：①要使每边三张卡片上的数相加之和等于13时，就要
将13分拆成三个数之和.
以上的分拆是分两步进行的.
可以看出，因为8+5=13，所以8和5不能填在同一边（若把
8和5填在同一边，再加上第三个数时必然会大于13，这不
符合题目要求），也就是说，要把8和5分别填在相对的两
个角上的方格里.如图9—11所示.
②要使每边三张卡片上的数相加之和等于15时，就要将15
分拆成三个数之和：
习题九
1.在图9—15，9—16中，只能用图中已有的三个数填满其
余的空格，并要求每个数字必须使用3次，而且每行、每
列及每条对角线上的三个数之和都必须相等.
2.把10、12、14这三个数填在图9—17的方格中，使每行、
每列和每条对角线上的 三个数之和都相等.
解：这样想，如果每行的三个数分别是1、2、3，每列的
三个数也分别是1、2、3，那么自然满足每行、每列的三
个数之和相等这个条件的要求.试着填填看.有图9—2、图
9—3和图9—4三种不同的填法，检查一下，只有图 9—4
的填法，满足对角线上的三个数之和与每行、每列三数之
和相等这个条件的要求.
5.解：对简单的情况，仔细观察、分析，大胆猜想，找出
规律，用于解决复杂的情况.如图8—13所示：切一刀，1
种切法：1=1
切两刀，2种切法：2=1+1
切三刀，4种切法：4=1+1+2
大胆猜想，切四刀的切法数应为：
1+1+2+3=7种切法.
进行验证（实际切切看）：
例2请把1～9九个数字填入图9—5中，要求每行、每列和
每条对角线上三个数的和都要等于15.
以上的分拆也是分两步进行的.
可以看出，因为8+7=15，所以8和7不能填在同一边，也就
是说，要把8和7分别填在相对的两个角的方格里，如图
9—12所示.
例4图9—13是由八个小圆圈组成的，每个小圆圈都有直线
与相邻的小圆圈相接连.请你把1、2、3、4、5、6、7、8
八个数字分别填在八个小圆圈内，但相邻的两个数不能填
入有直线相连的两个小圆圈（例如，你在最上头的一个小
圆圈中填了5，那么4和6就不能填在第二层三个小圆圈中
应用得到的规律，求得切十一刀的不同切法数为：
1+1+2+3+4+5+6+7+8+9+10
=1+55
=56（种）.
了）.
解：答案如图9—14所示.中间的两个圈只能填1和8，是这
样分析出来的 ：在1、2、3、4、5、6、7、8这八个数字中，
个不相邻的数.中间的两个小圆圈，每个都有六条线连着
六个小圆圈，每个小圆圈中恰好能填一个与它不相邻的数.
第九讲填图与拆数
填图是一种运算游戏，它要求把一些数字按照一定的规则
中心的空格中，而其他八个数字应当填到周边的方格中.
上面图9—6就是一个符合要求的解答，把5填在中心空格
其余的数每个都有两个相邻的数，如4有两个相邻的数2
和3，所以在1至8这八个数中4只有五个不相邻的数，这样
6.图9—21是由四个三角形组成的，每个三角形上都有三
在九个小圆圈中，让每个三角形上的三个数之和都是15.
7.图9—22是由四个扁而长的 圆圈组成的，在交点处有8个
小圆圈.请你把1、2、3、4、5、6、7、8这八个数分别填
在8个小圆圈中.要求每个扁长圆圈上的四个数字的和都
只有“1”和“8”这两个数，各有一个相邻 的数，也就是有六 个小圆圈.请你把1、2、3、4、5、6、7、8、9这九个数填
5.图9—2 0中有三个大圆，在大圆的交点上有六个小圆圈.
请你把1、2、3、4、5、6六个数分别填在六个小 圆圈里，
要求每个大圆上的四个小圆圈中的数之和都是14.
3.在图9—18中，三个圆圈 两两相交形成七块小区域，分
别填上1～7七个自然数，在一些小区域中，自然数3、5、
7三个数已填好，请你把其余的数填到空着的小区域中，
要求每个圆圈中四个数的和都是15.
4.与第3题的图相似，只是已经把1、4、6三个数填好，请
你继续把图9—19填满.

解：从1～9这九个数字中，5是处于中间的一个数，而4
与6，3与7，2与8，1与9之和都正好是10.所以5应当填在

等于18.

4.解：模仿第3题解法拆数：
要填2、3、5、7.
15-4-6=5，5=2+3
15-1-6=8，8=3+5

18=8+7+2+1
18=8+5+2+3
18=7+6+4+1
18=6+5+4+3
即得到四组数：（8，7，2，1）、（8，5，2，3）、（7，6，4，
1）、（6，5，4，3），把它们填入扁长圆圈时，注意适当调
整，就可以得出题目的答案如图9—35所示.

再将这些茶杯与2角钱的茶盘搭配，同时去掉那些与前面
相同的价钱：
最后数一数，共有10种不同价钱的茶具.这些价钱是1元6
角，1元5角，1元4角，1元3角，1元1角，1元，9角，8角，
6角，5角.
例3将无法区分的7个苹果放在三个同样的盘子里，允许有
习题九解答
1.解：因为空格中只能用4、6、8填，不难看出左上角的
空格只能填6，见图9—23.同样道理，右下角也只能填6，
见图 9—24.下一步就能容易地填满其他空格了（见图
9—25）.
15-1-4=10，10=3+7
所以，应把3填在中心的小区域，见图9—32.

的盘子空着不放.问共有多少种不同的放法？
解：用数字代表盘子里的苹果数，用由3个数字组成的数
组表示不同的放置方式.如（7，0，0）表示：一个盘子里
放7个苹果，而另外两个盘子里都空着不放.各种可能的放
置情况如下：
（7，0，0）
（6，1，0）
（5，2，0），（5，1，1）
（4，3，0），（4，2，1）
第十讲考虑所有可能情况（一）
有些数学题，要求把符合条件的算式或得数全部找出来；
5.解：如图9—33所示，因为要求大圆上的四个小圆圈中
在图9—16中，显然右下角应填7，见图9—26.而右上角应
填5，见图9—27.这样其他空格随之就可以填满了，见图
9—28.
的四个数之和等于14，所以就要把14分拆成四个数相加之
和，而且按题目要求这四个数要在1、2、3、4、5、6中选
取；14=6+5+2+1，
14=6+4+3+1，
14=5+4+3+2.
若漏掉一个，答案就不对.做这种题，特别强调有秩序的
思考.
例1从2个5分硬币、5个2分硬币、10个1分硬币中，拿出1
角钱来，有多少种不同的拿法？
解：找出所有不同的搭配情况，共10种见下表.
（3，3，1），（3，2，2）
数一数，共有8种不同的放法.
例4把一个整数表示成若干个小于它的自然数之和，通常
叫做整数的分拆.问整数4有多少种不同的分拆方式？
解：分拆时，使自然数按由大到小的顺序出现.可以看出，
共有4种不同的分拆方式：
4=3+1
4=2+2
4=2+1+1
4=1+1+1+1.
例5邮局门前共有5级台阶.若规定一步只能登上一级或两
级，问上这个台阶共有多少种不同 的上法？
2.解：模仿例1的填法.首先将10、12、14三个数的中间数
12填在中心方格中，并使一条对角线上的三个数都是12，
见图9—29，第二步再按要求填满其他空格就容易了，见
图9—30.

6.解：先将15分拆成三个数之和，并且要求各数在1、2、
3、4、5、6、7、8、9这九个数中选取.用二步分拆法：
15=9+6=9+5+1
15=8+7=8+4+3
15=7+8=7+6+2
3.解：这样想，图9—18中还空着四个小区域需要填入四
个数：1、2、4、6.还可看出中心的一个小区域属于三个
圆圈，这里应填哪个数呢？下面用拆数方法来分析确定.
先见图9—18中的圆圈Ⅰ，圆中已有两个数5和7，所以空
着的两个小区域应填的两个数之和为15-5-7=3.再将3分拆
成3=1+2，但是在1和2中应把哪一个填到中心的小区域里，
现在还不能肯定下来.
再看圆圈Ⅱ，圆中已有两个数5和3，15-5-3=7，而7=1+6，
即可把7分拆成7 =1+6.
最后看圆圈Ⅲ，15-3-7=5，而5=1+4.至此可以看出，应该
把“1”填在中心的小区域了（见图9—31）.
以上三式把九个数都用上了.这样（9，5，1）、（8，4，3）
和（7，6，2）就可以分别填入角上的3个三角形中.再注
意到中间的三角形的三个小圆圈分属于角上的3个三角
形，所以从三组中各取一个数重新组成一组填入中间三角
形，如取（9，4，2），填出下面的结果，见图9—34.注意
此题填法不惟一，你还能想出别种填法吗？
例25个茶杯的价钱分别是9角、8角、6角、4角和3角，3
个茶盘的价钱分别是7角、5角和2角；如果一个茶杯配一
个茶盘，一共可以配成多少种不同价钱的茶具？
解：采取“笨”办法进行搭配.先把各种不同价钱的茶杯都
配上一个7角钱的茶盘，得出不同价钱的茶具如下：
解：如图10—1，同时用数组表示不同的上法.
（1，1，1，1，1）表示每步只上一级，只有1种上法.

7.解：因为题目要求扁长圆圈上的四个数之和等于18，所
以就要将18分拆成四个不相等的整数之和，而且各数要从
1～8这八个数中选取.如：
将这些茶杯与5角钱的茶盘搭配，又可得出一些不同价钱
的茶具，但要注意去掉那些与前面相同的价钱：
见图10—2，①（2，1，1，1）②（1，2，1，1）
③（1，1，2，1）④（1，1，1，2）
表示有一步上两个台阶，其他几步都各上一个台阶，共有
四种上法.

5分、5分5+5=10（分）（即1角）
5分、10分5+10=15（分）（即1角5分）
5分、50分5+50=55（分）（即5角5分）
10分、10分10+10=2O（分）（即2角）
10分、50分10+50=60（分）（即6角）
共有9种不同的钱数.
8.解：把所有的情况都列举出来：4张3分邮票可组成4种
邮资：
见图10—3，①（2，2，1），②（1，2，2），
③（2，1，2）.
表示有两步各上两个台阶，有一步上一个台阶，这种上法
共有3种.因此，上台阶共有1+4+3=8种不同的上法.
习题十
1.现有5分币一枚，2分币三枚，1分币六枚，若从中取出6
分钱，有多少种不同的取法？
2.从1个5分，4个2分，8个1分硬币中拿出8分钱，你能想
出多少种不同的拿法？
3.把3个无法区分的苹果放到同样的两个抽屉里，有多少
种不同的放法？
4.把4个苹果放到同样的2个抽屉里，有多少种不同的放
法？
5.整数6有多少种不同的分拆方式？
6.用分别写着1，2，3的三张纸片，可以组成多少个不同
的三位数？
3.解：有2种不同的放法.第1种放法：3个苹果全放在一个
抽屉里，另一个抽屉空着不放；第2种放法：2个苹果放在
一个抽屉里，1个苹果放在另一个抽屉里；注意：在每种
放法中，必有一个抽屉里的苹果数等于或大于2.
4.解：有3种不同的放法.
第1种放法：甲抽屉中放4个，乙抽屉中不放；
第2种放法：甲抽屉中放3个，乙抽屉中放1个；
第3种放法：甲、乙抽屉中各放2个苹果；
注意：这三种放法中，无论哪种放法，都必有一个抽屉里
的苹果数等于或大于2.
5.解：6的不同分拆方式共有10种，它们是：
①拆成两个数之和：
6=5+1=4+2=3+3
②拆成三个数之和：
6=4+1+1=3+2+1=2+2+2
③拆成四个数之和：
6=3+1+1+1=2+2+1+1
④拆成五个数之和：
6=2+1+1+1+1
⑤拆成六个数之和：
7.一个盒中装有七枚硬币，两枚1分的，两枚5分的，两枚
1角的，一枚5角的，每次取出两枚，记下它们的和，然后
放回盒中.如此反复地取出和放回，那么记下的和至多有
多少种不同的钱数？
8.一个外国小朋友手中有4张3分邮票和3张5分邮票.请你
帮他算一算，他用这些邮票可以组成多少种不同的邮资？
习题十解答
6=1+1+1+1+1+1.
6.解：可以组成6个不同的三位数.下面是用选择填空法组
数；见图10－5.
3分，6分，9分，12分.
3张5分邮票可组成3种邮资：
5分，10分，15分.
两种邮票搭配可组成12种邮资：
3+5=8（分）3+10=13（分）
3+15=18（分）6+5=11（分）
6+10=16（分）6+15=21（分）
9+5=14（分）9+10=19（分）
9+15=24（分）12+5=17（分）
12+10=22（分）12+15=27（分）
共可组成4+3+12=19种不同的邮资.
第十一讲考虑所有可能情况（二）
例1象右边竖式那样十位数字和个位数字顺序相颠倒的一
对二位数相加之和是99，问这样的两位数共有多少对？
解：不难看出，这样的两位数共有4对，它们是：（18，81），
（27，72），（36，63），（45，54）.

44、55、66、77、88、99九个.其中11和22都不能由一对
倒序数相加得到.其他各数的倒序数是：
33：12和21…………………………………………1对
44：13和31…………………………………………1对
55：14和41、23和32……………………………2对
66：15和51、24和42……………………………2对
77：16和61、25和52、34和43…………………3对
88：17和71、26和 62、35和53…………………3对
99∶18和81、27和72、36和63、45和54…4对
总数=1+1+2+2+3+3+4=16对.
例3规定：相同的字母代表同一个数字，不同的 字母代表
不同的数字.请问，符合下面的算式的数字共有多少组？
解：分两步做.第一，先找出被乘数的个位数字 A 和乘数
A 相乘时，积的个位数是 A 的所有可能情况：
第二，从中选出能满足题目要求的数：积的十位数字和被
乘数的十位数字 B 相同.经试验可知：
可得两组数字作为答案：
第一组 A=5，B=2，C=1；
第二组 A=5，B=7，C=3；
再看0×0，1×1，显然不符合题目要求，而6×6经试验也不
符合题目要求.
所以最后的答案就是2组.
例4把整数10分拆成三个不同的自然数之和共有多少种不
同的分拆分式？
1.解：有5种不同的取法.（见下表）
7.解：列举出两枚硬币搭配的所有情况：
硬币算式和钱数
1分、1分1+1=2（分）
1分、5分1+5=6（分）
2.解：有7种不同的拿法.（见下表） 1分、10分1+10=11（分）（即1角1分）
1分、50分1+50=51（分）（即5角1分）
例2一些十位数字和个位数字相同的二位数可以由十位数
字和个位数字不同的两个二位数相加得到，如 12+21=33
（人们通常把12和21这样的两个数叫做一对倒序数）.问
在100之内有多少对这样的倒序数？
解：十位数字和个位数字相同的二位数有：11、22 、33、
例5将1、2、3、4、5填入下图11－1的五个空格中，使横
行和竖行的三个数 之和相等.问共有多少种不同的填法？

数所组成的数组有多少个？
9.（1，1，8）是一个和为10的三元自然数组.如果不考虑
顺序，那么和为10的三元自然数组有多少个[注意：“不考
虑顺序”的意思是指如（1，1，8）与（1，8，1）是相同
解：3填在中间格中，和=9，见图11－2.
1填在中间格中，和=8，见图11－3.
的三元自然数组]？

19=8+6+5.
6.解：把每一个十位数字大于个位数字的二位数都写出
来：
10
20，21
30，31，32

②对这一问，如果你还像上面那样算就错了.正确地算法
应该是：5-1-4=0（只）

习题十一解答
1.解：①共有9对，它们是：
1 ，2，3，4，5，6，7，8，9
9 ，8，7，6，5，4，3，2，1
②共有7对，它们是：
△3，4，5，6，7，8，9
9 ，8，7，6，5，4，3
2.解：共有4对.
40，41，42，43
50，51，52，53，54
60，61，62，63，64，65
70，71，72，73，74，75，76
80，81，82，83，84，85，86，87
90，91，92，93，94，95，96，97，98
总数=1+2+3+4+5+6+7+8+9
=45（个）.
7.解：把两个数相乘积为144的所有情况列举出来为：
为什么呢？听到“叭”地一声响，其他4只会被吓飞的，这
叫“隐含的条件”，在题目中虽没有明确地说出来，解题时
却要考虑到.
例2要把一个篮子里的5个苹果分给5个孩子，使每人得到1
个苹果，但篮子里还要留下一个苹果，你能分吗？
其中相差为10的两个数是18和8.
8.解：把不完全相同的三个自然数相乘得24的情况全列举
出来：
1×1×24 =241×4×6=24
5填在中间格中，和=10，见图11－4.经试验，2和4不能填
在中间格中，所以共有三种不同的填法.
习题十一
1.想一想，下面算式中的△和□中，各有多少对不同的填
法？
2.见下式，满足下式的两个二位数，共有多少对？
1×2×12=242×2×6=24
1×3×8=242×3×4=24
所以，若不计数组中数字的顺序，所有乘积为24的三个数
所组成的数组有：
（1，1，24）；（1，2，12）；（1，3，8）；
（1，4，6）；（2，2，6）；（2，3，4）.共6组.
9.解：将10分拆成三个不完全相同的自然数之和：
10=1+1+810=2+2+6
10=1+2+710=2+3+5
10=1+3+610=2+4+4
10=1+4+510=3+3+4
所以和为10的三元自然数组共有8个：
（1，1，8）；（1，2，7）；（1，3，6）；
（1，4，5）；（2，2，6）；（2，3，5）；
解：能.最后一个苹果留在篮子里不拿 出来，把它们一同
送给一个孩子.这是因为“篮子里留下一个苹果和每个孩
子分得一个苹果”这两个条件并不矛盾（见图12—3）.
例3两个父亲和两个儿子一起上山捕猎，每人都捉到了一
只野兔.拿回去后数一数一共有兔3只.为什么？

3.解：见图11－6，经试验，共有4种不同的填法，它们是：
3.见图11—5，将1、2、3、4、5、6六个数填在下图中的
黑点处，使每条线的三个数之和相等，共有多少种不同的
填法？
（2，4，4）；（3，3，4）.

解：“两个父亲和两个儿子”实际上只是3个人：爷爷、爸
爸和孩子.“爸爸”这个人既是父 亲又是儿子.再数有几个爸
爸几个儿子时，把他算了两次.这是数数与计数时必须注
意的（见图 12—4）.
例4一个小岛上住着说谎的和说真话的两种人 .说谎人句
句谎话，说真话的人句句是实话.假想某一天你去小岛探
险，碰到了岛上的三个人 A、B 和 C.互相交谈中，有这样
一段对话：
A 说：B 和 C 两人都说谎；
B 说：我没有说谎；
C 说：B 确实在说谎.
小朋友，你能知道他们三个人中，有几个人说谎，有几个
人说真话吗？
第十二讲仔细审题
4.解：4种，它们是：
20=9+8+3
20=9+7+4
4.把整数20分拆成不大于9的三个不同的自然数之和，有
多少种不同的分拆方式？
5.把整数19分拆成不大于9的三个不同的自然数之和，有
多少种不同的分拆方式？
6.十位数字大于个位数字的二位数共有多少个？
7.两个整数之积是144，差为10，求这两个数.
8.三个不完全相同的自然数的乘积是24.问由这样的三个
20=9+6+5
20=8+7+5.
5.解：5种，它们是：
19=9+8+2
19=9+7+3
19=9+6+4
19=8+7+4
解数学题很关键的一步是审题.如果把题目看错了，或是
把题意理解错了，那样解题肯定是得不出正确的答案来的.
什么叫审题？扼要地讲，审题就是要弄清楚：未知数是什
么？已知数是什么？条件是什么？
有一种类型的数学题叫“机智题”.在这一讲要通过解这种
题体会如何审题.
例1①树上有5只小鸟，飞起了1只，还剩几只？
②树上有5只小鸟，“叭”地一声，猎人用枪打下来1只，树
上还剩几只？
解：①5-1=4（只），树上还剩4只小鸟.

解：这是并不难的一道逻辑推理问题.怎样解答这个问题
呢？有的人一定会列成下面形式的表格，想由此把所有的
可能情况都判断出来，认为这样就可以得到答案了.
人说谎说真话
A__________
B__________
C__________
但是，如果你也真的这样做的话，你是无论如果得不出答
案的，因为从这道题目所给出的条件中根本无法判断出某
一个人是说谎还是说真话.你这样解题，说明你把解题的
目标（未知数）改变了.请你再看一下，题目问的是什么？
题目并没有问“谁说谎，谁说真话”？而是在问“几个人说
谎，几个人说真话？”正确的答案是不难得到的：因为 B
和 C 两人说的话正好相反，所以一定有一个人说谎，另
一个人说真话；由此又可知道，他们两人不可能都说谎，
所以 A 必定说谎.于是可知3个人有2个人说谎，有一个人
说真话.
例5如图12—5，三根火柴棍可以组成一个等边三角形，再
加三根火柴棍，请你组成同样大小的四个等边三角形. 是这种错误是很不容易被自己发现的.只有在解题的过程
中，通过对自己的失败的解法加以总结，再与题目中所给
出的已知条件加以对照，才有可能发现自己“不自觉”的错
误想法.
解：请你先不要继续往下看，自己想一想能不能用六根火
柴棍组成四个同样大小的等边三角形？
通常，很多人在解这题时，往往自己给自己多加了一个限
制条件：“在平面上组成等边三角形”.但是，仔细看看，
原题并没有限制你在平面上解题.由于给自己多加了一个
条件，他们的思想就会被限制在平面上解题，那就无论如
何也解不出来.这也是把题意理解错了的一种情况.
习题十二
1.①一个学生花2角钱买了2个练习本，花5角钱能买几个
练习本？
②在上学的路上2个学生拾到了2角钱，问5个学生捡到多
少钱？
2.桌上放着一堆糖果，两个母亲和两个女儿，还有一个外
祖母和一个外孙女，每人拿了一块，这堆糖果就被拿完了，
而这堆糖只有3块.这是为什么？
3.天上飞着几只大雁：两只在后，一只在前；一只在后，
两只在前；一只在两只中间，三只排成一条线.请你猜猜
看，天上共有几只雁？
4.小强带了5元钱上街，他到书店买了3本书，应付一元五
角钱，可是售货员找给他五角钱，你说售货员一定错了
但是，如图12—6所示，只要把思维从平面扩大到立体空
间，你就能轻而易举找到问题的答案.
例6一笔画出由四条线段连接而成的折线把九个点串起
来，你能做到吗？（见图12—7）.
吗？
5.一栋大楼内有60盏灯，关掉其中的一半后，还剩下多少
盏灯？
6.大海中有一个小岛，小岛上住着的100名妇女中有一半
人只戴一只耳环.余下的妇女中一半人戴两只耳环，另一
半人不戴耳环.问这100名妇女共戴有多少只耳环？
7.有一人一天读20页书，第三天因病没读，其他日子都按
计划读了书.问第十二天他读了多少页书？
解：先不要往下看，你先画画试试.你可能会画出类似于
下面的各种各样的折线来，但你很快会发现，它们都不是
符合题目要求的答案（见图12—8）.
8.一家文具店卖某种文具，文具的价钱是：五个是2元，
五十个是3元，而五百个、五千个、五万个都是3元.问五
十万个是几元？
9.王老师有一个孩子，李老师也有一个孩子，两位老师共
总结一下画过的折线的特点，显然这些线段都没有超出这
9个点所决定的正方形.
再仔细看看已知条件，问题里并没有这一条限制，画线段
的时候没有不让你超出这个正方形.明白了这点，就不难
得到正确的答案了（见图12—9）.

有多少个孩子？
10.一个长方形，剪掉一个角时，剩下的部分还有几个角？
11.图中12—10正方体形的纸盒六个面的正中都有一个洞
口，旁边放着三根圆木棍，洞口的直径能容棍子通过去.
请你将三根木棍从三个洞口穿到另外 三个洞口，而且每根
棍子穿好后就不再拔出来，你能做得到吗？

3.解：天上只有3只大雁（见图12—15）.
4.解：不能说售货员找错了钱.很可能是小强买东西时给售
货员的钱是2元一张的，所以售货员给小强找回五角钱，
售货员找的钱是对的.
5.解：60盏灯.60-0=0.关掉灯后灯还在大楼里.
6.解：100只耳环.因为50+50=100（只）.
7.解：20页.“第三天因病没读书”并不影响第十二天仍按计

12.一家冷饮店规定，喝完汽水后，用4个空汽水瓶可以换
1瓶汽水.老师带着32个学生进店后，他只买了24瓶汽水.
问每个学生能喝到一瓶汽水吗？
13.两条直线垂直相交，可以组成4个直角，如图12—11所
示，那么三根直线相交时最多能组成多少个直角呢？
划读书.
8.解：“五十万个”是4元（一个字一元钱）.
对这道题进行审题时，很可能被以往的经验和知识影响，
把“五个”、“五十个”等作为数量 词，为了得出价钱，总想
回想一下开始的想法也是属于把题意理解错了的情况，但
14.图12—12有12个点.请你用一笔画出由五条线段连接成
的折线，把12个点串起来.

猜测后面的名词是什么，从而得出问的文具的价钱.实际
上这家商店卖的是刻有“五”、“十”、“百”、“千”、“万”
等
字的字模.心理 学上，把这种情况叫做“负迁移”规律干扰人
15.图12—13有16个点，请你用一笔画出由六条线 段连接
成的折线，把16个点串起来.
们准确地审题.
［注］：一个人掌握了某些知识后，当他用这些知识以某
种智力活动方式去解决某一问题时，这个应用过程就是心
理学上所说的“迁移”.迁移就是已经学得的东西在新情景
中的应用.在审题中，也就是已有 知识、经验对解题的影
响.如果影响是积极的、起促进作用的，就叫“正迁移”；如
果影响是消极的，起干扰作用的，就叫“负迁移”.
9.解：可能是1个，也可能是2个.当王老师和李老师是一对
夫妻时，只有一个孩子当王老师和李老师不是一家人时，
共有2个孩子.
习题十二解答
1.解：①花5角钱买5个练习本.
②无法回答.因为在路上捡钱是偶然的，人数多不一定能
多捡到钱.这和多花钱就能多买练习本不是同样的问题.
2.解：因为只有三个人：外祖母、母亲和女孩（人物关系
见图12—14）.
10.解：可能是5个角，也可能是4个角，也可能是3个角.
如图12—16所示：

11.解：能.见图12—17.
如果只想把棍子穿两个对面的洞口，穿进一根棍子后，另
两根棍子就会因为被挡住而无法再穿进去，仔细看题目，
并没有要求小棍穿“对面”洞口的条件.只有把小棍穿过相
邻的两个洞口，方可能解决问题.
12.解：能够使每个学生都喝到一瓶汽水.
因为用4个空瓶可换1瓶汽水，写成算式就是：
1瓶汽水=4个空瓶
因为汽水=1瓶中的汽水+1个空瓶
得1瓶中的汽水=3个空瓶
所以24+24÷3=24+8=32汽水
上面的1汽水=3空瓶是较隐蔽的条件，审题时，只要细心
寻找，并加以适当的演算是可以发现的.
13.解：12个直角.把思维从平面扩大到空间，就能容易得
到答案（见图12—18）.

次猜中；凑，也不一定凑得准．那不要紧，再猜再凑，对
于比较简单的问题，最后总能凑出答案来．
数学家说，猜猜凑凑也是一种数学方法，它的正式的名字
叫“尝试法”．有时，它还是一种极为有效的方法，数学上
的有些重大的发现往往都是大数学家们大胆地猜出来的．
猜，要大胆；凑，要细心．要知道猜的对不对，还要根据
题目中的条件进行检验．
例1小明心中想到三个数，这三个数的和等于这三个数的
积，你知道小明想的三个数都是什么吗？
解：猜——小明想的三个数是1、2、3．
检验：1+2+3=6
1×2×3=6
所以1+2+3=1×2×3
对了！

100-99=1（个）馒头，分给3个小和尚，这样和尚总人数
为33+3=36人，与已知有100个和尚不符，不对！
大和尚的人数减少些．若是有30个大和尚，分3×30=90个
馒头，还剩10个馒头，可以分给3×10=30个小和尚，这样
和尚总数是30+30=60人．
还必须减少大和尚的人数．若是有25个大和尚，分3×25=75
个馒头，还剩100-75=25个馒头，可以分给3×25=75个小和
尚．这样和尚总数是25+75=100人，对了．
所以答案是大和尚25人，小和尚75人．
例5甲、乙、丙三个小朋友在操场跑步．甲2分钟跑一圈，
乙3分钟跑一圈，丙5分钟跑一圈．如果他们三人同时从同
一起点起跑，问多少分钟后他们三人再次相遇？
解：猜与凑．
先猜过6分钟后，甲跑了3圈，乙跑了2圈，他们在起跑点
又相遇了．再看丙是否与他俩相遇呢？丙5分钟跑一圈，6
分钟跑了1圈多一点，错过了，丙没能与甲、乙相遇在一
起．
若再过6分钟，即12分钟后，甲和乙又相遇了．但是丙还
不能与甲、乙相遇；因为：
12÷5=2（圈）……2
即丙跑了2圈又多一些．
这样，已看出一个规律来了，能够估计出若起跑后经过5
个6分钟，即6×5=30分钟，这时丙跑了30÷5=6圈整，这样
丙就能够与甲、乙相遇了．
例6有人问孩子年龄，回答说：“比父亲的岁数的一半少9
岁”．

再猜父亲48岁，
则儿子：48÷2-9=24-9=15岁
检验父龄：
15×3+3=45+3=48岁，对了！
所以答案是：父亲年龄48岁，儿子年龄15岁．
习题十三
1．林林心里想到三个数，它们的和是12，又知道第二个
数比第一个大1，第三个又比第二个大1．请猜出林林心中
想的这三个数各是几？
2．一群老头去赶集，买了一堆大鸭梨，一人一梨多一梨，
一人2梨少3梨，几个老头几个梨？
3．图13－2中算式里的小动物各代表什么数？需要注意的
是有规定：相同的动物代表相同的数字，不同的动物代表
不同的数字．
解：猜 由 +—— 可猜=3=1，=2 ；
又由 + 可猜=4=1 ，=3；
检验：+ ○=2+3=5，对了！
14.解：列出两种画法（如图12—19和图12—20所示）. 所以=1，=2 ，=3．
例3一些老人去赶集，买了一堆大鸭梨，一人一梨多一梨，
一人两梨少两梨，问几个老人几个梨？
解：猜——可以先从小数猜起．2个老人3个梨．检验：2
个老人3个梨符合一人一梨多一梨的条件．
但是不是符合另一个条件呢？
15.解：见图12—21. 先看：若一人分两个梨，2个老人就需要有4个梨，因为假
设3 个梨，这样就会还少4-3=1个梨，这不符合少两梨的条
件．
再猜：若是3个老人4个梨呢？显然这符合第一个条件．再
第十三讲猜猜凑凑
看第二个条件是不是也符合呢？若是一个老人分2个梨，3
个老人就需要有6个梨，假设有4个梨，这样就少6-4=2个
梨，对了！
所以最后答案就是3个老人4个梨．
例4100个和尚分100个馒头，大和尚每人分3个馒头，小和
尚3人分1个馒头，恰好分完．问大和尚、小和尚各多少人？
解：这是一道古代的算题．
有些数学题可以用猜猜凑凑的方法求出答案．猜，很难一
猜——若是大和尚33人，就要分3×33=99个馒头，还剩
又问父亲年龄，回答说：“比孩子的岁数的3倍多3岁”．求
父亲和孩子的年龄各是多少岁？
解：猜猜凑凑——要找到对题中的两句话都适合的年龄．
先猜父亲40岁，
则儿子年龄是：40÷2-9=20-9=11（岁）
4．游泳 池中男孩戴蓝帽，女孩戴红帽．一个男孩说：“我
看见的蓝帽与红帽一样多”；一个女孩说：“我看见的 蓝帽
比红帽多一倍．”你知道游泳池中有几个男孩，有几个女
孩吗？

检验父龄：
11×3+3=33+3=36岁，不对！
再猜父亲42岁，
则儿子：42÷2-9=21-9=12（岁）
检验父龄：
12×3+3=36+3=39（岁），不对！
再猜父亲44岁，
则儿子：44÷2-9=22-9=13岁
检验父龄：
13×3+3=39+3=42岁，不对！
再猜父亲46岁，
则儿子：46÷2-9=23-9=14岁
检验父龄：
5．如果在一个小本子里每页贴一片树叶，就多出4片树叶．
如果在每页贴2片树叶就会空出6页．问这个小本子共多少
页，树叶有多少片？
6．小虎是趣味数学小组的成员．有人问小虎今年几岁，
他编了一道有趣的数学题回答说：“爷爷、爸爸和我，三
个人年龄的和是120岁，爷爷比爸爸大30岁，爷爷和爸爸
的年龄之和刚好比我大100岁，你猜我今年几岁？”请猜出
小虎、爸爸和爷爷各是多少岁？
14×3+3=42+3=45岁，不对！ 7．图13－4所 示的方格中，已填好了数字5，请你把其余

的空格填好．使每行每列的三个数之和都是7 ．（空格中只
能填自然数）
8．有21个装铅笔的盒子，其中7盒是满的，7盒是半满的，
7盒是空的．现在要把这些铅笔连同盒子平均奖给三个学

若每页贴2片树叶，14片树叶需要14÷2=7页就够了，还空
10-7=3页，不符合题目中空6页的条件．
再猜——如果小本子有12页，树叶12+4=16片，当每页贴2
片树叶时，只需要16÷2=8页就够了，还空12-8=4页，也不
对！
再猜——如果小本子有14页，则树叶14+4=18片，当每页
贴2片树叶时，只需要18÷2=9页就够了，还空14-9=5页，
也不对！
再猜——如果小本子有16页，树叶16+4=20片时，只需要
20÷2=10页就够了，还空16-10=6页，对了！
所以本题答案是小本子16页，树叶20片．

经学过的知识相结合，就能较快地、较准确地猜出正确的
答案了．
第十四讲列表尝试法
对于比较复杂的问题，可以采用列表法进行尝试．
例1老大、老二、老三兄弟三人岁数之和是32岁，老大的
岁数比老二大3岁，而且老大的岁数是老三的2倍，问兄弟
三人各几岁？
解：进行 列表尝试：如果老三5岁，按题意可推算出老大
生，使每人分得的铅笔和盒子数都一样多，怎样分？
提示：①总数是21个盒，每人应当平分7个盒．
②7盒满的等于14盒半满的铅笔，再加本来就是半满的7
盒，合计共有21个半满盒铅笔，平均分给三人，每人分得
的铅笔应折合成7个半满盒．

5×2=10岁，老二10-3=7岁……
由表1和表2，同时满足题目中两个条件 的数是，小明5个
球，小方7个球．
注意：解这道题，依题意列出了两个表格，从而得出了问
题答案，这样就更加拓宽了列表尝试法的使用范围．
例5某学校的学生去郊游，中午开饭时，两个学生合用1
只饭碗，三个学生合用1只菜碗，四 个学生合用1只汤碗，
由表可知，老大14岁，老二11岁，老三7岁．
例2一次数学测验共10题，小明都做完了，但只得到29分．
因为按规定做对一题得5分，做错一题扣掉2分．你知道小
明做错了几道题吗？
解：列表尝试，见表十四（2）．
共用了65只碗，问共有多少学生？
解：一边猜， 一边列表，可求出有60个学生．见表十四（5）．
注意，在这道题的猜猜凑凑的过程中，得数越来越接 近答
案．
6．解：猜，需要有一般的生活常识，猜的数要大致上符
合人们的生活实际．
先猜——爷爷80岁，爸爸30岁，小虎10岁，这样三个人年
龄之和就是120岁，这符合第一个条件，看能不能满足第
二个条件“爷爷比爸爸大80-30=50岁，不符合30的条件，
不对！
再猜——若是爷爷70岁，爸爸40岁呢？这样三个人的和还
习题十三解答
1．解：因为三个4之和是12，可见这三个数应该都与4相
差不多．猜想，第一个是3，第二个数应当是4，第三个数
应当是5．
检验：3+4+5=12，对了！
2．解：猜想是3个老头4个梨．这样，若每个人分2个梨时，
就需要有2×3=6个梨，6-4=2，少2个梨，不对！若再凑一
下数，减去1个梨，即只有3个梨，不就是少三个梨了吗！
但是这样又不符合一人一个多一个的条件了．
那么再猜若是4个老头5个梨，一人分2个，需要有2×4=8
个梨，还少8-5=3个梨，对了！
3．解：先看第一式：因5=1+4=2+3，
所以先猜公鸡=1，鸭=4；
再看第二式：因为鸭=4，只有母鸡=4才能使第二式成立，
但是这不符合题目规定的条件，说明猜错了！
再猜，公鸡=2，鸭=3，那么母鸡=5第二式也对了．
再看第三式：这里母鸡和公鸡相加，即5+2=7，对了！
4．解：先要仔细审题，搞清题意．这道题中有一个隐含
的条件是：无论是那个男孩还是那个女孩，他们自己都看
不见自己的帽子是什么颜色．明白了这点，就不难知道，
当男孩说：“我看见的蓝帽与红帽一样多”时，实际上游泳
池中的蓝帽比红帽多一个，也就是男孩比女孩多1人．由
同样的道理可知，当女孩说：“我看见的蓝帽比红帽多一
倍”时，实际上就是，假如女孩去掉1个人，男孩人数就是
女孩的2倍．
把题意搞清后，再用猜猜凑凑的方法，不难得到正确的答
案：男孩4人，女孩3人．
5．解：猜——如果小本子有10页，那么由第一个条件，
就应该有10+4=14片树叶．再看看能不能满足第二个条件：
是120岁，但是70-40=30岁符合刚才的第二条．
再看能不能符合第三个条件呢？
70+40-10=100岁
对了！爷爷和爸爸的年龄之和比小虎的年龄刚好大100岁．
所以最后答案是爷爷70岁，爸爸40岁，小虎10岁．
7．解：注意对这道题，猜要有个合理的顺序．显然第二
列上，第一、二行的两个空格都应填1，同样第三行上，
第一、三列的两个空格也都应填1．为了使每行每列的三
个数之和都是7，最简单的填法是其余的4个空格都填3．
这就是一种符合要求的填法．
8．解：①经仔细审题，按题意画出下表：
②经猜测、试填，同时联系第7题，可填得出符合条件的
分配方法．
注意：由第7、8两题联系起来可看出，猜和凑的过程和已

由表中可见，小明做错了三道题．
例3甲乙二人岁数之和是99岁，甲比乙大9岁，而且甲的岁
数的两个数字互相交换位置后恰是乙的岁数，问甲乙各多
少岁？
解：列表尝试：甲+乙=99（岁），见表十四（3）．
由上表可知，甲54岁，乙45岁．
例4如果小方给小明一个玻璃球，两人的玻璃球数相等；
如果小明给小方一个玻璃球，则小方的玻璃球数就是小明
的两倍．问小明、小方原来各有几个玻璃球？
注意：人数的取值是从“12”人开始的，其他各值也都是12
的倍数，想一想，这是为什么？
例6240元钱平均分给若干人．正在分时，有一个人离开了，
因而现在每人多分了1元．问现在有多少人？
解：列表尝试．因为若240人分240元，每人分得1元；若
是120人分，每人分得2元……见表十四（6）．
由上表可看出若是16人分240元，则每人分15元；若是走
了1人剩15人分钱，则每人分得16元多分了1元，符合题目
条件．可见现在人数是15人 ．

注意：这道题的答案是在尝试过程中发现的，答案的获得
几乎是“出乎意料”的．

再取70试一下，差不多了，但还不行；
又取72试试．这次可以了，好，就是小孩72人，再推知大
人28人，因此，用这种“摆动取值法”尝试几次也可找出正
确答案了．
习题十四
1．在一次数学考试中规定：做对一道题得5分，做错一道
题扣3分．小伟做了10道题共得了34分，请问他做对了几
道题？
2．小燕今年10岁，爸爸40岁，爸爸的年龄是小燕的4倍．
几年以后，爸爸的年龄正好是小燕的2倍？
3．今年弟弟8岁，哥哥14岁，当两人的年龄之和是48岁时，
两人年龄各几岁？
4．松鼠采松子，晴天每天采20个，雨天每天采12个，共
采了112个，平均每天采14个．问其中雨天是多少？
5．100个人吃92个馒头，大人一人吃2个，小孩两人吃1
个，恰好吃完．问大人、小孩各多少人？
6．兄弟两人去钓鱼，共钓了52条，其中弟弟钓的鱼是哥
哥的2倍多1条，问两人各钓了多少条鱼？
7．10元币和5元币共45张，合计350元．10元币多少张？
5元币多少张？
8．幼儿园把一批桔子分给小朋友．如果分给大班的学生
每人5只余10只；如果分给小班的学生每人8只缺2只．已
知小班比大班少3人，问这批桔子有多少只？

6．解：采用列表尝试法，见表十四（12）．
总条数=哥哥钓鱼条数+弟弟钓鱼条数 =哥哥钓鱼条数+2×哥哥钓条数+1条．
②每个头下画上两条腿：
注意：用列表尝试“取 数”时，可任意取．一般说来在尝试
的过程中可以发现一些具有规律性的东西，利用它可使你
更快、更准确地得到答案．
4．解：采用列表尝试法：
一、先求采松子的天数
①因为每天平均采14个，共采了112个，所以可以首先求
出共采了多少天？
数一数，共有20条腿，比题中给出的腿数少26-20=6条腿．
112÷14=8（天）
②如果还没学到除数是两位数的除法，这一步也可以用猜
猜凑凑的方法（即尝试法）：
若采5天，能采14×5=70个松子，少了；
若采10天，能采14×10=140个松子，多了；
若采8天，能采14×8=112个松子，对了！
可以发现，尝试法的“取数”过程实际上是个“来来回回”
地、“反反复复”地凑数的过程．
二、再求有几个雨天：见表十四（10）．
哥哥钓了17条，弟弟钓了35条．
7．解：采用列表尝试法，见表十四（13）．总钱数=10元
×10元币张数+5元×5元币张数
10元币25张，5元币20张．
8．解：采用列表尝试法：
③给一些鸡添上两条腿，叫它变成兔．边添腿边数，凑够
26条腿．
每把一只鸡添上两条腿，它就变成了兔，显然添6条腿就
变出来3只兔．这样就得出答案，笼中有3只兔和7只鸡．
例2一辆自行车有2个轮子，一辆三轮车有3个轮子．车棚
里放着自行车和三轮车共10辆，数数车轮共有26个．问自
行车几辆，三轮车几辆？
解：发挥想像力和创造力，你可以画一个简图代表车身，
见图15－2（1）、（2）、（3）．
①先画10个车身：
桔子总数=5×大班人数+10；
桔子总数=8×小班人数-2；
习题十四解答
1．解：列表尝试法．见表十四（7）．
注意：计算小伟得分的算式是5×对题数-3×错题数=得分．
小班人数=大班人数-3；

注意：12×雨天数+20×晴天数=共采松子数，由上表可知，
共有6个雨天．
5．解：采用列表尝试法求解，见表十四（11）．
计算大人和小孩吃馒头的总数的算式是：
2×大人数+小孩数÷2=吃的馒头数．
列表如下： ②在每个车身下配上两个轮子，它就成了自行车：
③数一数共20个车轮，比题中给出的轮子数少26-20=6个
轮子，在自行车下面添轮子，每添一个轮子，这个自行车
就成了三轮车．边添边凑数，凑出26个轮子出来．
由上表可知，小伟做对了8道题．
2．解：采用列表尝试法见表十四（8）．
注意：爸爸年龄÷小燕年龄=倍数
12人-9人=3人．（符合题意）
可见有70个桔子．
第十五讲画图凑数法
例1一只鸡有一个头2只脚，一只兔有一个头4只脚．如果
一个笼子里关着的鸡和兔共有10个头和26只脚，你知道笼
子里有几只鸡、有几只兔吗？

最后数一数，共有6辆三轮车，4辆自行车．注意，用这种
画图凑数法解题，很直观，也比较快，为了使解题速度更
快，可以把三个步骤合起来，就能得出答案．
例3一只蛐蛐6条腿，一只蜘蛛8条腿．现有蛐 蛐和蜘蛛共
10只，共有68条腿．问蛐蛐几只，蜘蛛几只？
解：此题要想个更简单的办法，见 图15－3（1）、（2）．
①先画10个头，在每个头下写上数字“6”，代表6只腿，－
－即先假设10只都是蛐蛐，则如：
注意，为了尽快试出正确答案，“取数”时可以采用“来回
由上表可知爸爸60岁，小燕30岁时爸爸年龄是小燕年龄的
2倍，也就是30-10=20年后，爸爸年龄是小燕的2倍．
3．解：采用列表尝试法，见表十四（9）．
摆动取值法”，即从两边逐步向中心靠拢的取值方法．比
如，先设小孩100人．试一下，不对；那再设小孩50人，
试一下，还不对；
再 取接近50和100中间数的76试一下，还不行；
解：这是古代的民间趣题，叫“鸡兔同笼”问题．见 图15
－1（1）、（2）、（3）．
①先画10个头：

②数一数，算一算，6×10=60，即共有60条腿，比题中给
出的腿数少68-60=8条腿，所以就要在下面再添腿，每在

条腿，就使一只鸡变成兔．

数头一共三百六，数腿一共八百九，多少猎手多少狗？”
4．把99粒棋子放在两种型号的17个盒子里，每个大盒子
里放12粒，每个小盒子里放5粒，恰好放完．问大、小盒
子各多少个？
5．数学竞赛试卷共有10道题，做对一题得10分，做错一
题扣2分．小明最终得了76分．问他做对了几题，做错了
几题？
6．鸡和兔共100只，兔的脚数比鸡的脚数多40只．问鸡、
兔各几只？
7．鸡兔共有脚140只；若将鸡数与兔数互换，则脚数变为
160只脚；问原有鸡兔各几只？
①算一算，共放了多少粒棋子？
17×5=85粒．
一个头下添2条腿（写个“2”），它就变成了一只蜘蛛，共
添上8条腿，就使总腿数凑够68条腿了．
数一数，共变出了7只兔：14÷2=7．
最后数一数，笼中共有7只兔，4只鸡．
方法2：
①把11只全部看成鸡，共有2×11=22条腿．
②比题中给出的腿数少了36-22=14条腿．
③给一只鸡添2条腿使它变成一只兔，共变成：
14÷2=7只（兔）．
④再算出鸡数为：11-7=4只（鸡）．

②比题中给出的棋子数少多少？
99-85=14粒．
习题十五解答
1．解：用画图凑数法，见图15－6（1）、（2）、（3）．
①先画11个示意头：
②在每个头下面画上两条腿，就是11×2=22（条）腿．
比题中给出的腿数少30-22=8条腿．
③给有的鸡添上两条腿，使它变成兔，边添腿边数数，凑
够30条腿为止．
③换盒子：把小盒里的棋子倒在大盒子里，同时往大盒子
里再加
12-5=7粒（棋子）
凑出99粒棋子，只需换出
14÷7=2个（大盒子）．
最后数一数，共有4只蜘蛛，6只蛐蛐．
解这道题时，我们用数字代表腿数，使我们省去了画“腿”
的麻烦．其实，也可以完全省去画图，我们只要把解题想
法和算式摘出来就行了！
第一步，先把10只全部看成是蛐蛐，那么一共就有：
6×10=60条腿．
第二步，算一算少了多少条腿？
少了68-60=8条腿．
第三步，把一个蛐蛐给它添上2条腿，使它变成了蜘蛛，
例5今有五分的和一角的两种汽车票，共10张，总钱数是
七角五分．问每种各几张？
解：方法1：分步列式法：
若10张全是5分的，钱数应为：
5×10=50分，即5角．
比题中给的钱数少：75-50=25分．
每给一张5分车票加5分，它就变成了1张1角车票了，共变
出：
25÷5=5张（1角车票）
5分车票有10-5=5张（5分车票）．
方法2：用画图凑数法．见图15－5（1）、（2）．
可以变成几只蜘蛛呢？
8÷2=4只（蜘蛛），
第四步，再算出蛐蛐的只数出来：
10-4=6只（蛐蛐）．
这样一来，我们就不必借助于画图的直观形象，也可以解
这类题目了．如果能这样，我们的思维能力就又提高一步
了！特别重要的是，我们这样就可以不用“凑数”的尝试方
法了．
例4笼中有兔又有鸡，数数腿36，数数脑袋11，问几只兔
子几只鸡？
解：方法1：先用画图凑数法解，见图15－4（1）、（2）、
（3）．
①先画11个头：
①先都画成5分的：

④再算出小盒子数：
17-2=15个（小盒子）．
②算一算共5×10=50分（即5角）．
比题中给的钱数少75分-50=25分．
③给有些5分车票加钱，使它变成1角的，凑出总钱数与题
目相符合．
最后数一数，可知1角的车票5张，5分的车票5张．
数一数，共有4只兔，7只鸡．
2．解：这道题因为数字较大，画图太麻烦，就用分步列
算式的方法解：
①把35个头全看成是鸡，共有2×35=70条腿．
②比题中给出的腿数少了94-70=24条腿．
③给一只鸡添上2条腿使它变成一只兔，共变成24÷2=12
只兔．
④再算出有35-12=23只鸡．
3．解：人有两条腿一个头，狗有四条腿一个头，采用分
步列式法解这道题：
①全看成人：
习题十五
1．笼中有兔又有鸡，数数腿三十整，数数脑袋一十一，
几只兔子几只鸡？ ②比题中腿数少了：
890-720=170条腿．
2×360=360×2=720条腿．
5．解：用画图凑数法，见图15—8（1）、（2 ）．
①用“点”代表题，点下写“10”表示这道题做对了．
数一数，10道都做对了应当得：
10×10=100分．
②但是小明只得了76分，说明他有的题做错了，因做错一
道题不但不能得10分，还要扣2分所以就要从满分中减去
10+2=12分，得100-12=88分，以下类推：

数一数，有8道做对了，得80分；有2道题做错了扣4分，
总分=得分-扣分，即：80-4 =76分．
6．解：若兔50只，鸡50只，兔脚比鸡脚多：
（4-2）×50=100只，多 了！
若兔40只，鸡60只，兔脚比鸡脚多：
40×4-60×2=40只，对了！
因此有兔40只，鸡60只．
7．解：若鸡和兔各25只，则共有25×2+25×4=150只脚．
②再在头下填腿：
2．今有雉兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问雉
兔各几何？
（这是一道古代趣题．雉，即野鸡，“各几何”是各多少的
意思．）

③给“人”添腿变成“狗”：
170÷2=85只狗．
④再求出人数：360-85=275个人．
4．解：因为盒子数较大，画省略图．见图15—7（1）、（2）． ③数一数，共有2×11=22条腿．还少36-22=14条腿，每添2 3．有一首中国民谣：“一队猎手一队狗，二队排着一起走，

若鸡20只，兔30只，总脚数：
20×2+30×4=160只．
若鸡30只，兔20只，总脚数为：
30×2+20×4=140只．
可见原有鸡30只，兔20只．
下册
把它们写出来就是：
0+1+2+3+4+5+6+7+8+9=45
0×1×2×3×4×5×6×7×8×9=0
所以，应当重视特例．
例6两个数的和比其中一个数大17，比另一个数大15，你
知道这两个数都是几？你由此想到一般关系式吗？
第一讲机智与顿悟

例9一位画家想订做一个像框，用来装进他的立体画．他
画了一张像框的尺寸图拿给你看（右图），请你帮他算算，
需要多长的材料才能做好？（画家说，材料粗细要求一
样，形状尺寸一定要按图示加工，拐角部分都要做成直
角）．

卖葱的一 想：“8分+2分就是1角”．他就同意全部卖了．但
是卖后一算账，发现赔了不少钱．小朋友，你知道 为什么
吗？
8．一天鲍勃用赛车送海伦回家．汽车在快车道上急驶．
鲍勃看到前面有辆大卡车．灵机一动，突然向海伦提出了
一个巧妙的问题．鲍勃说：“海伦，你看！前面那辆大卡
车开得多快！但是我们可以超过它．假定现在我们在它后
面正好是1500米，它以每分钟1 000米的速度前进，而我用
每分钟1100米的速度追赶它，我们这样一直开下去，到时
候肯定会从后面撞上它．但是，海伦，请你告诉我，在相
撞前一分钟，我们与它相距多少米？”聪明的海伦略加思
考立刻回答了鲍勃的问题．小朋友，你也能回答吗？
9．小明家附近有个梯形公园，公园中有 4棵树排成了一行，
如图所示．小明每天放学回家都要到公园里去玩一会儿．
有一天，他玩着玩着突然想出了一个问题：“能不能把公
解：这两个数就是17和15．
因为它们的和比15大17，又比17大15．
由一个特例联想、推广到一般，是数学思维的特点之一．
此题可能引起你如下联想：
数学需要踏实与严谨，也含有机智与顿悟．
例1在美国把5月2日写成52，而在英国把5月2日写成25．
问在一年之中，在两国的写法中，符号相同的有多少天？
解：一年中两国符号相同的日子共有12天．
它们是：一月一日11七月七日77
二月二日22八月八日88
三月三日33九月九日99
四月四日44十月十日1010
五月五日55十一月十一日1111
六月六日66十二月十二日1212
注意由差异应当想到统一，有差异就必须有统一，仔细想
一想这道题就会有所领悟．
例2有一个老妈妈，她有三个男孩，每个男孩又都有一个
妹妹，问这一家共有几口人？
解：全家共有5口人．妹妹的年龄最小，她是每一个男孩
的妹妹．如果你列出算式：
1个妈妈+3个男孩+3个妹妹=7口人那就错了．
为什么呢？请你想一想．
例3小明给了小刚2支铅笔，他们俩的铅笔数就一样多了，
问小明比小刚多几支铅笔？
解：小明比小刚多4支铅笔．
注意，可不是多2支；如果只多2支的话，小明给小刚后，
小刚就反而比小明多2支，不会一样多了．
例4小公共汽车正向前跑着，售票员对车内的人数数了一
遍，便说道，车里没买票的人数是买票的人数的2倍．你
知道车上买了票的乘客最少有几人吗？
和-15=17，
那么和=15+17．
一般和=一个数+另一个加数，
或写成：和-一个加数=另一个加数，
或写成：被减数-减数=差，
也可写成：被减数-差=减数．
解：不管多长的材料，像框也无法做成．
从每一部分来说，这个图看来是合理的，但从整体上看，
园分成大小和形状都相同的4块，而且每一块上保留一棵
树？”回到家以后，他又和爸爸妈妈一块儿讨论，终于像
这个图是“荒谬的”、“失调的”．用一句普通的话说，就是
小明想的那样分好了，小明非常高兴．小朋友，你也回家
“有点不对劲的”．请你注意，对现实生活觉得有点不对劲
与爸爸妈妈讨论讨论，看能不能分好？
的感觉是创造性的起因．

以上这些都是你从课本上学过的内容，这里不过是把它们
联想到一起罢了．
学数学要注意联想，学会联想才能融会贯通．
例7小明和小英一同去买本，小明买的是作文本，小英买
的是数学本．已知小英买的数学本的本数是小明买的作文
本的2倍．又知一本作文本的价钱却是一本数学本的价钱
的2倍，请问他俩谁用的钱多？
解：他俩花的钱一样多．
可以这样想：因为作文本的价钱是数学本的2倍，所以把
买作文本的钱用来买数学本，同样多的钱所买到的本数应
该是作文本的2倍，这刚好与题意相符．可见两人花的钱
一样多．
结论是隐含着的，推理就是要把它明明白白地想通，写出
来的推理过程就叫“证明”，这是同学们现在就可以知道
的．
例8中午放学的时候，还在下雨，大家都盼着晴天．小明
对小英说：“已经连续三天下雨了，你说再过36小时会出
太阳吗？”小朋友你说呢？
习题一
1．如右图所示，若每个圆圈里都有五只蚂蚁，问右图中
一共应有多少只蚂蚁？
10．小莉在少年宫学画油画．一天，他找到了一块中间有
个 圆孔的纸板．他想把这块板分成两块，重新组合成一块
调色板，如下图，小朋友看该怎么切才好呢？
注意：回顾由第9题到第10题的解题思路，这里有一个克
服“思维定势”的问题．在做第9 题时，你可能费了很大劲，
把大梯形这样划分，那样划分，试来试去，最终得到了满
意的结果．

2．一个课外小组活动日，老师进教室一看，来参加活动
的学生只占教室里全体人数的一半．老师很生气．你知道
这天共来了多少学生吗？
3．小林和小蓉两人口袋里各有10元钱．两人去书店买书．
买完书后发现，小林花去的钱正好和小蓉剩下的钱数一样
多．请问，现在他们两人一共还有多少钱？
4．满满一杯牛奶，小明先喝了半杯；然后添水加满，之
后再喝去半杯；再一次添水加满，最后把它全部喝完．请
问小明一共喝了多少杯牛奶多少杯水？
5．小黄和小兰想买同一本书．小黄缺一分钱，小兰缺4
角2分钱．若用他俩的钱合买这本书，钱还是不够．请问
这本书的价钱是多少？他俩各有多少钱？
6．一个骑自行车的人以每小时10公里的速度从一个城镇
出发去一个村庄；与此同时，另一个人步行，以每小时5
公里的速度从那个村庄出发去那个城镇．经过一小时后他
们相遇．问这时谁离城镇较远，是骑车的人还是步行的
人？
7．有人去买葱，他问多少钱一斤．卖葱的说：“1角钱1
斤．”买葱的说：“我要都买了．不过要切开称．从中间切
断，葱叶那段每斤2分，葱白那部分每斤8分．你卖不卖？”
做完了第9题后这种思考问题的方式方法就可能深深地在
你的头脑中扎根了．当你着手解第10题时，你可能还是沿
着原来的思路，按原来的思维方式处理面临的新问题，这
种情况心理学上就叫做“思维定势”．
思维定势不利于创造性的发挥，从这个意义上讲，有人说
学习的最大障碍是头脑中已有的东西，是有一定道理的，
你在做第10题时，对此大概也有体会了吧！今后要以此为
训．
对本讲其它各题，在你做完以后也希望你做一些回顾和总
结，以便发现些更有价值的东西，使 自己变得更聪明起来．
解：不会出太阳．因为从中午起再过36个小时正好是半夜．
而阴雨天和夜里是不会出太阳的．
解：最少1人．因为售票员和司机是永远不必买票的，这
是题目的“隐含条件”．有时发现“隐含条件”会使解题形势
注意：解题的第一要义是首先明确“问什么”，而且要紧紧
抓住“问什么”？“问什么”是思考目标，这就好比小朋友走
豁然开朗．
着来上学，学校是你走路的目的，试想，如果你走路没有
例5大家都知道：一般说来，几个数的和要比它们的积小，
目标，结果会怎样？本题迷惑人的地方就是想用阴天下雨
如2+3+4比2×3×4小．那么请你回答：0、1、2、3、4、5、
把你的注意力从应当思考的目标引开，给你的思维活动造
6、7、8、9这几个数相加的和大还是相乘的积大？
成干扰．学会删繁就简，抓住目标，将会大大地提高你的
解：和大．注意：“0”是个很有特点的数．
解题效率．
①0加到任何数上仍等于这个数本身；
②0乘以任何数时积都等于0；

习题一解答
1．解：一共只有5只蚂蚁．如右图所示，每一个圆圈里都
有五只蚂蚁．

间的孔中去．（见图）
前一块4行，每行3个点，共3×4个点．
后一块4行，每行2个点，共2×4个点．
第二讲数数与计数
两块的总点数=3×4+2×4．
因为不论人们怎样数，原图中总的点数的多少都是一定
的，不会因为数数的方法不同而变化．所以应有下列等式
成立：
3×4+2×4=5×4．
仔细观察图和等式，不难发现其中三个数的关系：
3+2=5
所以上面的等式可以写成：
3×4+2×4=（3+2）×4
也可以把这个等式调过头来写成：
点的总数是：
5+5+5+5=5×4．
方法2：从左至右一列一列地数，见下图．
点的总数是：4+4+4+4+4=4×5．
（3+2）×4=3×4+2×4．
这就是乘法对加法的分配律．
如果用字母 a、b、c 代表三个数，那么乘法对加法的分配
律可以表示成下面的形式：
（a+b）×c=a×c+b×c
分配律的意思是说：两个数相加之和再乘以第三数的积等
于第一个数与第三个数的积加上第二个数与第三个数的
积之和．
进一步再看，分配律是否也适用于括号中是减法运算的情
况呢？请看下面的例子：

解：方法1：从上至下一层一层地数，见上右图．
第一层4×2个
第二层4×2个
第三层4×2个
三层小长方体的总个数（4×2）×3个．
方法2：从左至右一排一 排地数，见下图．
2．解：只来了一名学生．教室里共有两人，另一个人是
老师，所以说学生占教室里全体人数的一半．
3．解：他们两人此时一共还有10元．如下图所示．
从数数与计数中，可以发现重要的算术运算定律．
例1数一数，下面图形中有多少个点？
4．解：小明共喝了一杯牛奶和一杯水．因为原来就有一
杯牛奶，最后喝光了；后来又加了两次水，每次半杯，合
起来是一杯水，最后也喝光了．
5．解：这本书的价钱就是4角2分钱．小黄有4角1分钱（所
以买书还差1分），小兰1分钱都没有，所以他若买这本书，
还差4角2分钱；小兰若是有1分钱的话，他俩的钱合起来
也就够买这本书了．
6．解：相遇后，两人就在一处了，此时二人离城自然一
样远．
7．解：按照买葱人的说法，葱叶那段每斤2分，葱白那段
每斤8分，合起来确是1角．但是这样合起来后是2斤卖1
角，不再是一斤1角钱，所以卖葱的人赔了钱．
8．解：相撞前一分钟赛车落后卡车100米．
海伦思考的窍门是倒着想．鲍勃的赛车比卡车每分钟快
100米（即1100米-1000米=100米），所以碰车前的1分钟它
们相距100米．
9．解：划分方法如右图所示．
解：方法1：从上到下一行一行地数，见下图．

第一排2×3个
第二排2×3个
第三排2×3个
第四排2×3个
四排小长方体的总个数为（2×3）×4．
若把括号中的2×3看成是一个因数，就可以运用乘法交换
律，写成下面的形式：4×（2×3）．
因为不论人们怎样数，原图中小长方体的总个数是一定
的，不会因为数数的方法不同而变化．把两种方法连起来
看，应有下列等式成立：（4×2）×3=4×（2×3）．
这就是说在三个数相乘的运算中，改变相乘的顺序，所得
的积相同．
或是说，三个数相乘，先把前两个数相乘再乘以第三个数，

计算（3-2）×4和3×4-2×4．
解：（3-2）×4=1×4=4
3×4-2×4=12-8=4．
两式的计算结果都是4，从而可知：
（3-2）×4=3×4-2×4
这就是说，这个分配律也适用于一个数与另一个数的差与
第三个数相乘的情况．
如果用字母 a、b、c（假设 a>b）表示三个数，那么上述
事实可以表示如下：（a-b）×c=a×c-b×c．
正因为这个分配律对括号中的“+”和“-”号都成立，于是，
通常人们就简称它为乘法分配律．
例2数一数，下左图中的大长方体是由多少个小长方体组
成的？
或者先把后两个数相乘，再去乘第一个数，积不变，这就
是乘法结合律．
如果用字母 a、b、c 表示三个数，那么乘法结合律可以表
示如下：（a×b）×c=a×（b×c）．
巧妙地运用乘法交换律、分配律和结合律，可使得运算变
得简洁、迅速．
从数数与计数中，还可以发现巧妙的计算公式．
例3数一数，下图中有多少个点？
因为不论人们怎样数，点数的多少都是一定的，不会因为
数数的方法不同而变化．所以应有下列等式成立：
5×4=4×5
从这个等式中，我们不难发现这样的事实：
两个数相乘，乘数和被乘数互相交换，积不变．
每一块都是个小梯形，四个小梯形大小相等，形状相同．
小梯形和大梯形之间是大小不等、形状相似．
10．解：方法不止一种．
①从中切下一条，倒换个位置放进去．（见图）
这就是乘法交换律．
正因为这样，在两个数相乘时，以后我们也可以不再区分
哪个是乘数，哪个是被乘数，把两个数都叫做“因数”，因
此，乘法交换律也可以换个说法：
两个数相乘，交换因数的位置，积不变．
如果用字母 a、b 表示两个因数，那么乘法交换律可以表
示成下面的形式：a×b=b×a．
方法3：分成两块数，见右图．
解：方法1：从上至下一层一层地数，见下图．
② 在需要开孔的位上开一个小圆孔，把切下的部分填到中

以项数的积的一半．或是写成下面 的文字式：
和=（首项+末项）×项数÷2
习题二
这个文字式通常又叫做等差数 列求和公式．
总点数=1+2+3+4+5+6+7+8+9=45．
方法2：补上一个同样的三角形点群（但要上下颠倒放置）
和原有的那个三角形点群共同拼成一个长方形点群，则显
然有下式成立（见下图）：
三角形点数=长方形点数÷2
因三角形点数=1+2+3+4+5+6+7+8+9
而长方形点数=10×9=（1+9）×9
代入上面的文字公式可得：
1+2+3+4+5+6+7+8+9
=（1+9）×9÷2=45．
由图可见，有下列等式成立：
进一步把两种方法联系起来看：
梯形点数=长方形点数÷2．
因为梯形点数=2+3+4+5+6
而长方形点数=8×5=（2+6）×5
方法1是老老实实地直接数数．
方法2可以叫做“拼补法”．经拼补后，三角形点群变成了
长方形点群，而长方形点群的点数就可以用乘法算式计算
出来了．
即1+2+3+4+5+6+7+8+9
=（1+9）×9÷2．
这样从算法方面讲，拼补法的作用是把一个较复杂的连加
算式变成了一个较简单的乘除算式了．这种方法在700多
年前的中国的古算书上就出现了．
再进一步，若脱离开图形（点群）的背景，纯粹从数的方
面找规律，不难发现下述事实：
这个等式的左边就是一个等差数列的求和式，它的首项是
2，末项是6，公差是1，项数是5．这样这个等式的含义就
可以用下面的语言来表述：
等差数列前几项的和等于首项加末项之和乘以项数的积
的一半．
这个等式的左边就是从1开始的连续自然数相加之和，第
一个数1又叫首项，最后一个数9叫末项，共有9个数又可
以说成共有9项，这样，等式的含义就可以用下面的语言
来表述：
从1开始的连续自然数前几项的和等于首项加末项之和乘
写成下面较简化的文字式：
和=（首项+末项）×项数÷2
这就是等差数列的求和公式．
例5数一数，下图中 有多少个小三角形？
等式左边就表示一个等差数列的前几项的和，它的首项是
1，末项是7，公 差是2，项数是4．这样这个等式的含义也
就可以用下面的语言来表述：
等差数列前几项的和等于首项加末项之和乘以项数之积
的一半．
写成较简单的文字式：
和=（首项+末项）×项数÷2．
（1+2+3+4）×2=20．
发现一个等式：
1+2+3+4＝（1+4）×4÷2．
2．解：方法1：从上至下一行一行地数，再相加， 得：
1+2+3+4+5+6+7+8+9+10=55．
方法2：用拼补法，如图所示：
代入上面的文字式，可得：
2+3+4+5+6=（2+6）×5÷2
与例1类似，我们用拼补法得到了一个计算梯形点群总点
数的较为简单的公式．
再进一步，若脱离开图形（点群）的背景纯粹从数的方面
大三角形中所含=平行四边形所含÷2
平行四边形所含=8×4=（1+7）×4（个）
大三角形中所含=1+3+5+7=16
代入上述文字式：
1+3+5+7＝（1+7）×4÷2
这样，我们就得到了一个公式：
小三角形个数=（第一层的数+最末层的数）×层数÷2
脱离开图形的背景，纯粹从数的方面 进行考察，找找规律，
4．数一数，下图中共有多少个小三角形？
例4数一数，下图中有多少个 点？
解：方法1：从上至下一层一层地数，见下图：
总点数=2+3+4+5+6=20．
方法2：补上一个同样的梯形点群，但要上下颠倒放置，
和原图一起拼成一个长方形点群如下图所示：

解：方法1：从上至下一层一层地数，见下图．
下列各题至少用两种方法数数与计数．
1．数一数，下图中有多少个点？

小三角形总数=1+3+5+7=16个．
方法2：补上一个同样的图形，但要上下颠倒放置、和原
来的一起拼成一个大平行四边形如下图所示．
显然平行四边形包含的小三角形个数等于原图中的大三
角形所包含的小三角形个数的两倍，即下式成立．

2．数一数，下图中的三角形点群有多少个点？
3．数一数，下图中有多少个小正方形？
找找规律，不难发现下述事实： 不难发现下述事实：
得5×4=20．
习题二解答
1．解：方法1：从上至下一行一行地数，共4行每行5个点，
方法2：分成两个三角形后再数，见下图．得：

想一想，这种头尾相加的巧妙求和方法和前面的“拼补法”
有联系吗？
例12求8+16+24+32+…+792+800的和．
解：可先提公因数
例537×48×625
11×10÷2=55．
发现一个等式：
1+2+3+4+5+6+7+8+9+10=（1+10）×10÷2．
3．解：方法1：从上至下一层一层地数，得：5×4=20．
方法2：做阶梯形切割，分两部分数，见右图．
=37×（3×16）×625 注意37×3=111
=（37×3）×（16×625）
=111×10000
=1110000
例627×25+13×25
=40×25
=1000
例7123×23+123+123×76注意123=123×1；再
（1+2+3+4）×2=20．
=123×23+123×1+123×76
=123×（23×1+76）
=123×100
=12300
发现一个等式：
1+2+3+4=（1+4）×4÷2．
4：解：方法 1：从上至下一层一层地数（图略）得：
20×10=200．
方法2：分成两个三角形来数：
（1+3+5+7+9+11+13+15+17+19）×2
=200．
发现一个等式：
1+3+5+7+9+11+13+15+17+19
第三讲速算与巧算
例881+991×9 把81改写（叫分解因
这样，第25排就比第1排多48个座位，
48=2×24．
所以第1排的座位数是：70-48=22．
再按等差数列求和公式计算剧院的总座位数：
和=（22+70）×25÷2
=92×25÷2
=1150．
=9×9+991×9 数）为9×9是为了下
=（9+991）×9 一步提出公因数9
=1000×9
=9000
例9111×99
=111×（100-1）
=111×100-111
=11100-111
=10989
例1023×57-48×23+23
=23×（57-48+1）
=23×10
=230
例11求1+2+3+…+24+25的和．
利用上一讲得到的乘法运算定律和等差数列求和公式，可
以使计算变得巧妙而迅速．
例12×4×5×25×54
=（2×5）×（4×25）×54
=10×100×54
律和结合律）
=54000
例254×125×16×8×625
=54×（125×8）×（625×16） （利用了
交换律和结合律）
=54×1000×10000
例35×64×25×125 将64分解为2、4、8
（利用了交换
解：此题是求自然数列前25项的和．
方法1：利用上一讲得出的公式
和=（首项+末项）×项数÷2
1+2+3+…+24+25
=（1+25）×25÷2
=26×25÷2
=325
方法2：把两个和式头尾相加（注意此法多么巧妙！）
计算下列各题：
1．4×135×25
2．38×25×6
3．124×25
4．132476×111
5．35×53+47×35
6．53×46+71×54+82×54
7．①11×11
③1111×1111
⑤
8．①12×14
③15×17
⑤19×15
9．①11×11
③13×13
⑤15×15
②13×17
④17×18
⑥16×12
②12×12
④14×14
⑥16×16
②111×111
④11111×11111
习题三
提公因数123
逆用乘法分配律，
=（27+13）×25 这样做叫提公因数
8+16+24+32+…+792+800
=8×（1+2+3+4+…+99+100）
=8×（1+100）×100÷2
=8×5050
=40400
例13某剧院有25排座位，后一排都比前一排多2个座位，
最后一排有70个座位，问这个剧院一共有多少个座位？
解：由题意可知，若把剧院座位数按第1排、第2排、第3
排、…、第25排的顺序写出来，必是一个等差数列．
那么第1排有多少个座位呢？因为：
第2排比第1排多2个座位，2=2×1
第3排就比第1排多4个座位，4=2×2
第4排就比第1排多6个座位，6=2×3

⑦17×17
⑨19×19
①15×15
③35×35
⑤55×55
⑦75×75
⑨95×95

⑧18×18
10．计算下列各题，并牢记答案，以备后用．
②25×25
④45×45
⑥65×65
⑧85×85
11．求1+ 2+3+…+（n-1）+n 之和，并牢记结果．
12．求下列各题之和．把四道题联系起来看，你 能发现具
有规律性的东西吗？
①1+2+3+…+10
②1+2+3+…+100
③1+2+3+…+1000
④1+2+3+…+10000
13．求下表中所有数的和．你能想出多少种不同的计算方
法？
习题三解答
1．解：4×135×25=（4×25）×135
=100×135=13500．
2．解：38×25×6=19×2×25×2×3
=19×（2×25×2）×3
=19×100×3
=1900×3=5700．
3．解：124×25=（124÷4）×（ 25×4）
=31×100=3100．
4．解：132476×111
=1324 76×（100+10+1）
．
或用错位相加的方法：
=5×（2×4×8）×25× 125 的连乘积是关键一
=（5×2）×（4×25）×（8×125） 步．
=10×100×1000
=1000000

⑦75×75=7×8×100+25=5625
⑧85×85=8×9×100+25=7225
⑨95×95=9×10×100+25=9025
要牢记以上方法和结果．要知道，孤立的一道题不好记，

10
总和=20×（1+2+3+4+5+6+7+8+9+10）-100
=20×55-100
=1000．
方法4：找规律，先从简单情况开始
5．解：35×53+47×35=35×（53+47）
=35×100=3500．
6．解：53×46+71×54+82×54
=（54-1）×46+71×54+82×54
=54×46-46+71×54+82×54
=54×（46+71+82）-46
=54×199-46
=54×（200-1）-46
=54×200-54-46
=10800-100
=10700．
7．解：①11×11=121
②111×111=12321
③1111×1111=1234321
④
⑤
．
8．解：①12×14=12×（10+4）
=12×10+12×4
=12×10+（10+2）×4
=12×10+10×4+2×4
10．解：①15×15
=15×（10+5） 式子
=15×10+15×5
=15×10+（10+5）×5
注意矩形框中
但有规律的一整套的东西反而容易记住！
11．解：有的同学问：“n 是几？”
老师告诉你：“n 就是末项，你说是几就是几”．用头尾相
加法求，自然数列的前 n 项之和．

可见原来数字方阵的所有数的和=10×10×10=1000．看！
1 2．解：请注意规律性的东西．
①1+2+3+…+10
=（1+10）×10÷2=55
②1+2+3+…+100
=（1+100）×100÷2=5050
③1+2+3+…+1000
=（1+1000）×1000÷2=500500
④1+2+3+…+10000
=（1+10000）．
13．解：方法1：仔细观察不难发现把每列（或每行）的
10个数相加之和按顺序排列起来构成一个等差数列，它就
方法多么简捷；数学多么微妙！
第四讲数与形相映
形和数的密切关系，在古代就被人们注意到了．古希腊人
发现的形数就是非常有趣的例子．
例1最初的数和最简的图相对应．
-11
多次运用乘法分配
=（12+4）×10+2×4
=15×10+10×5+5×5
=（15+5）×10+5×5
-11
律（或提公因数）
=160+8
=168
②13×17=13×（10+7）
=13×10+13×7
多次运用乘法分配
=13×10+（10+3）×7
=13×10+10×7+3×7
=（13+7）×10+3×7
=200+21
=221
发现规律：求十几乘以十几的积的速算方法是：用一个数
上它们个位数字的积．
=625
用这个方法计算下列各题：
③15×17=（15+7）×10+5×7
=220+35=255
④17×18=（17+8）×10+7×8
=250+56=306
⑤19×15=240+45=285
⑥16×12=180+12=192．
9．解：作为十几乘以十几的特例，以下各小题的结果请
牢牢记住：
③35×35=3×4×100+25=1225
④45×45=4×5×100+25=2025
⑤55×55=5×6×100+25=3025
⑥65×65=6×7×100+25=4225

202010
2010
例3古希腊数学家毕达哥拉斯发现了“形数”的奥秘．比如
他把1，3，6，10，15，…叫做三角形数．因为用圆点按
这些数可以堆垒成三角形，见下图．
发现规律：几十五的自乘积就是十位数字和十位数字加1
的积，再在其后写上25．
如15×15的积就是1×2再写上25得225．
25×25的积就是2×3再写上25得625．
用这个方法写出其他各题的答案如下：
律（或提公因数）
=
=225
②25×25
=25×（20+5）
=25×20+25×5
=25×20+（20＋5）×5
=25×20+20×5+5×5
注意矩形框中
式子
所以原题数字方阵的所有数相加之和为：
550+450=1000．
方法3：仔细观察可发现，若以数字10所在的对角线为分
界线，将该数字方阵折叠之后，它 就变成下述的三角形阵
（多么巧妙！）
是：
55，65，75，85，95，105， 115，125，135，145
∴总和=（55+145）×10÷2=1000．
方法2： 首先各行都按第一行计数，得10行10列数字方阵
的所有数之和为55×10=550．但第二行比 第一行多10，第
三行比第一行多20，…，第十行比第一行多90．总计共多：
10+20+30+40+50+60+70+80+90=450．
这是古希腊人的观点，他们说一切几何图形都是由数产生
的．
例2我国在春秋战国 时代就有了“洛图”（见下图）．图中也
是用“圆点”表示数，而且还区分了偶数和奇数，偶数用实
心点表示，奇数用空心点表示．你能把这张图用自然数写
出来吗？见下图所示，这个图又叫九宫图．
=（25+5）×20+5×5
加上另一个数的个位数，乘以10（即接着添个“0”），再加
=

第二个数：4=1+3
毕达哥拉斯还从圆点的堆垒规律，发现每一个三角形数，
都可以写成从1开始的 n 个自然数之和，最大的自然数就
是三角形底边圆点的个数．
第一个数：1=1
第二个数：3=1+2
第三个数：6=1+2+3
第四个数：10=1+2+3+4
第五个数：15=1+2+3+4+5
第三个数：10=1+3+6
第四个数：20=1+3+6+10
第五个数：35=1+3+6+10+15．
例6五面体数，见下图．
仔细观察可以发现，五面体的每一层的圆点个数都是四角
因为点数不会因计数方法不同而变，所以得出：
4+2×4+1=52．
把上面的几个等式连起来看，进一步联想下去，可以猜到
一个一般的公式：
2+2×2+1=32
3+2×3+1=42
4+2×4+1=52
…
n+2×n+1=（n+1）．
利用这个公式，也可用于速算与巧算．
如：9+2×9+1=（9+1）=10=100
99+2×99+1=（99+1）

=100=10000．

10．写出前10个四面体数．
11．写出前10个五面体数．
12．按不同的方法对下图中的点进行数数与计数，得出一
系列等式，进而猜想出一个公式来，从中体会数与形之间
的微妙关系．如：
…
第 n 个数：1+2+3+4+5+…+n
形数，因此五面体数可由几个四角形数相加得到：
第一个数：1=1
第二个数：5=1+4
第三个数：14=1+4+9
因为点数不会因计数方法不同而变，所以得出：

习题四
请你照此继续做下 去．（可参考本讲例7）
13．模仿例7，用不同的方法分别对下两图中的点进行数
数与计数，先得出一系列等式，进而猜想出一个重要的公
式．
指定的三角形数．比如第100个三角形数是：
例4毕达哥拉斯还发现了四角形数，见下图．因为用圆点
按四角形数可以堆垒成正方形，因此它们最受
毕达哥拉斯及其弟子推崇．
第四个数：30=1+4+9+16
第五个数：55=1+4+9+16+25．
例7按不同的方法对图中的点进行数数与计数，可以得出
一系列等式，进而可猜想到一个重要的公式．
由此可以使人体会到数与形之间的耐人导味的微妙关系．

1．第25个三角形数是几？
2．第50个三角形数是几？
3．第1000个三角形数是几？
4．三角形数的奇偶性是很有规律的，
方法1：先算空心点，再算实心点：
2+2×2+1．
第一个数：1=12=1
第二个数：4=22=1+3
第三个数：9=32=1+3+5
第四个数：16=42=1+3+5+7
第五个数：25=52=1+3+5+7+9
…
第 n 个数：n2=1+3+5+9+…+（2n-1）．
四角形数（又叫正方形数）可以表示成自然数的平方，也
可以表示成从1开始的几个连续奇数之和．奇数的个数就
等于正方形的一条边上的点数．
例5类似地，还有四面体数见下图．
方法1：先算空心点，再算实心点：
3+2×3+1．
方法2：把点图看成一个整体来算：4．
6．第99个与第100个三角形数的和等于多少？
7．每一个四角形数（或叫正方形数）（除1外）都能拆成
两个三角形数吗？比如，100是哪两个三角形数的和？
8．第8个三角形数恰是第6个四角形数，因为
你还能试着找到一个这样的例子吗？（这事比较困难）
因为点数不会因计数方法不同而变，所以得出：
2+2×2+1=32．
想一想，这是为什么？
5．观察下列图形，你能发现什么？ 1．解：1+2+3+…+25
=（1+25）×25÷2=325．
2．解：1+2+3+…+50
=（1+50） ×50÷2=1275．
3．解：1+2+3+…+1000
=（1+1000）×1000 ÷2=500500．
4．解：观察前几个三角形数的构成，就可以发现其中的
规律：
第1个数=1…奇数；
第2个数=第1个数+2…奇数+偶数=奇数；
第3个数=第2个数+3…奇数+奇数=偶数；
第4个数=第3个数+4…偶数+偶数=偶数；
第5个数=第4个数+5…偶数+奇数=奇数．
5．解：相邻的两个三角形之和是一个四角形数（或叫正
方形数），或是说，一个四角形数，可以拆成两个三角形
数之和．
仔细观察可发现，四面体的每一层的圆点个数都是三角形
数．因此四面体数可由几个三角形数相加得到：
第一个数：1
方法1：先算空心点，再算实心点：
4+2×4+1．
方法2：把点图看成一个整体来算52．
9．请你试着画一画五角形数和六角形数的图形．并试着
把第 n 个五（六）角形数拆成以1为首页、有 n 项的等差
数列之和的形式．
习题四解答
方法2：把点图看作一个整体来算32．

因为点数不会因计数方法不同而变，所以得出：
3+2×3+1=42．

11．解：
或者根据第6题，=第100个四角形数=100×100=10 000．
7．解：能拆．100=55+45．
8．解：寻找这样的例子比较困难．有人找到第49个三角
形数是第35个四角形数，因为：
（49+1）×49÷2=1225=35．
9．解：五角形数如下图所示：
12．解：继续做下去，见下两图．

方法1：分4块数：
3+2×3×4+4．
方法2：看成一个整体：（3+4）2．
得等式：
3+2×3×4+4=（3+4）．
经过反复试画，小明得到了初步结论：图中的（1）、（3）、
（5）能一笔画成；（2）、（4）、（6）不能一笔画成.真奇怪！
小明发现，简单的笔画少的图不一定能一笔画得出来.而
复杂的笔画多的图有时反倒能够一笔画出来，这其中隐藏
着什么奥秘呢？小明进一步又提出了如下问题：
如果说一个图形是否能一笔画出不决定于图的复杂程度，
那么这事又决定于什么呢？
能不能找到一条判定法则，依据这条法则，对于一个图形，
不论复杂与否，也不用试画，就能知道是不是能一笔画
成？
第一个数：1=l
第二个数：5=1+4
进一步猜出一般公式：
a+2×a×b+b=（a+b）．
或 a+2ab+b=（a+b）．
先从最简单的图形进行考察.一些平面图形是由点和线构
成的.这里所说的“线”，可以是直线段，也可以是一段曲线.
而且为了明显起见，图中所有线的端点或是几条线的交点
都用较大的黑点“●”表示出来了.
首先不难发现，每个图中的每一个点都有线与它相连；有
第三个数：12=1+4+7
第四个数：22=1+4+7+10
第五个数：35=1+4+7+10+13
六角形数如下图所示：
第五讲一笔画问题
一天，小明做完作业正在休息，收音机中播放着轻松、悦
耳的音乐.他拿了支笔，信手在纸上写了“中”、“日”、
“田”
几个字.突然，他脑子里闪出一个念头，这几个字都能一
笔写出来吗？他试着写了写，“中”和“日”可以一笔写成
（没有重复的笔划），但写到“田”字，试来试去也没有成
功.下面是他写的字样.（见下图）
的点与一条线相连，有的点与两条线相连，有的点与3条
线相连等等.
其次从前面的试画过程中已经发现，一个图能否一笔画成
不在于图形是否复杂，也就是说不在于这个图包含多少个
点和多少条线，而在于点和线的连接情况如何——一个点
在图中究竟和几条线相连.看来，这是需要仔细考察的.第
一组（见下图）
（1）两个点，一条线.
把上面的几个等式连起来看，进一步联想下去，可猜想出
一个一般的公式：
13．解：见图（a）和图（b）
这可真有意思！由此他又联想到一些简单的图形，哪个能
一笔画成，哪个不能一笔画成呢？下面是他试着画的图样.
（见下图）
两个端点都只与一条线相连，中间点与两条线连.
第一组的两个图都能一笔画出来.
方法1：
分4块数：2+2×2×3+3．
第一个数1=1
第二个数6=1+5
第三个数15=1+5+9
第四个数28=1+5+9+13
第五个数45=1+5+9+13+17．
10．解：
方法2：看成一个整体：
（2+3）

得等式：2+2×2×3+3=（2+3）．
（但注意第（2）个图必须从一个端点画起）第二组（见
下图）
（1）五个点，五条线.
A 点与一条线相连，B 点与三条线相连，其他的点都各与
两条线相连.
每个点都只与一条线相连.
（2）三 个点.

下图）

③与三条线相连的有哪些点？
④与四条线或四条以上的线相连的有哪些点？
2.若把与奇数条线相连的点叫做奇点，把与偶数条线相连
的点叫偶点，那么请你回答：
①有0个奇点（即全部是偶点）的图形有哪些？
②有2个奇点的图形有哪些？
（2）六个点，七条线.（“日”字图）
A 点与 B 点各与三条线相连，其他点都各与两条线相连.
（1）这是“品”字图形，它由三个正方形构成，它们之间
没有线相连.
（2）这是古代的钱币图形，它是由一个圆形和中间的正
方形方孔组成.圆和正方形之间没有线相连.
第五组的两个图形叫不连通图，显然不能一笔把这样的不
连通图画出来.
进行总结、归纳，看能否找出可以一笔画成的图形的共同
特点，为方便起见，把点分为两种，并分别定名：
第二组的两个图也都能一笔画出来，如箭头所示那样画.
即起点必需是 A 点（或 B 点），而终点则定是 B 点（或 A
点）.
第三组（见下图）
（1）四个点，三条线.
把和一条、三条、五条等奇数条线相连的点叫做奇点；把
和两条、四条、六条等偶数条线相连的点叫偶点，这样图
中的要么是奇点，要么是偶点.
提出猜想：一个图能不能一笔画成可能与它包含的奇点个
数有关，对此列表详查：
从画图的过程来看：笔总是先从起点出发，然后进入下一
个点，再出去，然后再进出另外一些点，一直到最后进入
终点不再出来为止.由此可见：
①笔经过的中间各点是有进有出的，若经过一次，该点就
与两条线相连，若经过两次则就与四条线相连等等，所以
中间点必为偶点.
②再看起点和终点，可分为两种情况：如果笔无重复地画
完整个图形时最后回到起点，终点和起点就重合了，那么
这个重合点必成为偶点，这样一来整个图形的所有点必将
都是偶点，或者说有0个奇点；如果笔画完整个图形时最
后回不到起点，就是终点和起点不重合，那么起点和终点
必定都是奇点，因而该图必有2个奇点，可见有0个或2个
奇点的连通图能够一笔画成.
三个端点各与一条线相连，中间点与三条线相连.
（2）四个点，六条线.
每个点都与三条线相连.
（3）五个点，八条线.
点 O 与四条线相连，其他四个顶点各与三条线相连.
第三组的三个图形都不能一笔画出来.
第四组（见下图）
（1）这个图通常叫五角星.
五个角的顶点各与两条线相连，其他各点都各与四条线相
连.
习题五
③有4个或4个以上奇点的图形有哪些？
④连通图形有哪些？不连通图形有哪些？
3.如果笔在纸上连续不断、又不重复地一笔画成的图形叫
一笔画，自己动笔实际画画看，然后回答：
①哪些图形能够一笔画成？
②哪些图形不能一笔画成？
4.把以上各向联系起来看，进行归纳，找出规律然后回答：
①如果把各部分连结在一起的图 形叫做连通图形，那么能
一笔画出的图形必定是连通图形；而不是连通图形必定不
能一笔画出.这句话说得对吗？
②有0个奇点（即全部是偶点）的连通图形一定可以一笔
画出来（画时可以以任一点为起点，最后必能回到该点），
这句话对吗？
③只有两个奇点的连通图形也能一笔画出来，但要注意画
时必须以一个奇点为起点，而以另一个奇点为终点，这句
话对吗？
④奇点个数超过两个的图形不能一笔画出来 .这句话对
吗？
5.从画图过程的角 度，进一步理解所发现的一些规律.
1.下面的各个小图形都是由点和线组成的.请你仔细观察
后回答：
1.解：见下图
①与一条线相连的点有：（在图中画成黑点，下同.）
②与两条线相连的点有：

从此表来看，猜想是对的.下面试提出几点初步结论：
①不连通的图形必定不能一笔画；能够一笔画成的图形必
定是连通图形.
②有0个奇点（即全部是偶点）的连通图能够一笔画成 .
（画时可以任一点为起点，最后又将回到该点）.
③只有两个奇点的连通图也能一笔画成（画时必须以一个
奇点为起点，而另一个奇点为终点）；
④奇点个数超过两个的连通图形不能一笔画成.最后，综
合成一条判定法则：
有0个或2个奇点的连通图能够一笔画成，否则不能一笔画
成.
习题五解答
（2）由一个圆及一个内接三角形构成.
三个交点，每个点都与四条线相连（这四条线是两条线段
和两条弧线）.
（3）一个正方形和一个内切圆构成.
正方形的四个顶点各与两条线相连，四个交点各与四条线
相连.
（四条线是两条线段和两条弧线）.
第四组的三个图虽然比较复杂，但每一个图都可以一笔画
成，而且画的时候从任何一点开始画都可以.第五组（见
能够一笔画成的图形，叫做“一笔画”.
用这条判定法则看一个图形是不是一笔画时，只要找出这
个图形的奇点的个数来就能行了，根本不必用笔试着画来
画去.
看看下面的图可能会加深你对这条法则的理解.

③与三条线相连的点有：
①与一条线相连的有哪些点？
②与二条线相连的有哪些点？
④与四条及四条以上的线相连的点有：

你是怎样试的呢？你不可能真到哥尼斯堡 城去，像当年的
游人那样亲自步行过桥上岛.因为你并没有离开自己的教
室，你坐在教室里，在你的面前没有河流，没有小岛，也
没有桥，但在你面前却有一张图！
可是，这又是一张什么样的图呢？图上并没河流、小岛和
小桥的原样，只是用一些线条来代表它们，但却明白无误
地显示出了它们之间的位置关系和连接方式.可以说，这
是一张为了做数学而舍弃了许多无关的真实内容而抽象
出来的“数学图”.
这样的抽象过程非常重要，这种抽象思维对于学习数学来
讲非常重要.
也许你是用铅笔尖在图上画来画去进行试验的吧！好！你
2.解：①有0个奇点（即全部是偶点）的图形是：（1）、（5）、
（10）；
②有2个奇点的图形是：
（2）、（3）、（6）、（7）；
③有4个奇点的图形是：（4）、（9）
有6个奇点的图形是：（8）.
④（1）～（10）是连通图形，（11）不是连通图形.
3.解：①一笔画有：
（1）、（5）、（10）、（2）、（3）、（6）、（7）.
②不能一笔画出的图形是：
（4）、（8）、（9）、（11）.
4.解：①对；②对；③对；④对.
5.解：（略）请看书.
做得很好！为什么这样说呢？因为当你这样做的时候，就
发挥了自己的想像力：你在无意中把自己想像成了一个小
笔尖.你把小笔尖在七桥图上画来画去，想像成了你自身
的经历，有位教育家曾说“强烈而活跃的想像是伟大智慧
不可缺少的属性”.看来你并不缺少这种想像力！
让我们再好好地想一想，刚才你把小笔尖在七桥图上画来
画去，想像成你自己过桥的亲身经历，这不就是把过桥问
题和一笔画问题联系在一起了吗？用一句数学上常用的
话说，这就是把实际生活中的问题转化成了数学问题，下
面的图把这种转化过程详细地画了出来.
在下页左图中把陆地想像成了几大块.这对过桥问题并不
产生影响.
在下页右图中进一步把陆地块缩小，同时改用线段代表小
桥，这也不改变过桥问题的实质.

西.就像在七桥问题中，陆地和岛的大小、桥的宽窄和长
短都是与问题无关的东西.
最后，再把解决七桥问题的要点总结一下：
①把陆地和岛缩小画成点，把桥画成线，这样就把原图变
成了简单的几何图形了.
②如果这种由点和线组成的图形是一笔画，人就能一次通
过所有的桥；如果这种图形不能一笔画成，人就不能一次
通过所有的桥.
③由前述判定法则可知，有0个奇点或2个奇点的图形是一
笔画，超过两个奇点时，图形就不能一笔画出来.
模仿这种思路，也能解决类似好多问题.
习题六
1.学习欧拉，先将过桥问题转化为一笔画问题，再进行判
断（见下图）.
过桥问题：
可否一次通过的桥（每座桥只能走一次）？
例：

（每座小桥最多只准走一次，陆地上可以重复地来回走）
3.在我国着名数学家陈景润写的《数学趣谈》一书中，有
下面的这样一道题，大意是说：在 法国的首都巴黎有一条
河，河中有两个小岛，那里的人们建了15座桥把两个小岛
和河岸连接起来，如下图所示，请你说一说，从任一岸出
发，一次连续地通过所有的桥到达另一岸，可能吗？（每
座桥只能走一次）
仿此例依次判断出：

4.下图所示为一座售货厅.问顾客从入口进去时，能够一次
不重复地走遍各个门吗？请说明你的理由.
如果售厅出口在4号房间由你设计再开一个门，使 顾客从
入口进去后一次不重复地走遍各个门，再从4号房间出售
厅，你打算在哪里再开一个门？
第六讲七座桥问题
二百五十年前，有一个问题曾出现在普通人的生活中，向
人们的智力挑战，使得很多人冥思苦想.在相当长的一段
时间里，很多人都想解决它，但他们都失败了.
今天，我们小学生也要大胆地研究研究它.
这个问题叫做“七座桥问题”.
当时，德国有个城市叫哥尼斯堡.城中有条河，河中有个
岛，河上架有七座桥，这些桥把陆地和小岛连接起来，这
样就给人们提供了一个游玩的好去处（见下图）.俗话说，
“人是万物之灵”，他们就是在游玩时候想出了这样一个问
题：
如果在陆地上可以随便走，而对每座桥只许通过一次，那
么一个人要连续地走完这七座桥怎么个走法？
习题六解答
1.解：见下图
过桥问题：
这样七桥问题就得到了圆满的解决.
这种解法是大数学家欧拉找到的.这种简化也就是一种抽
好动脑筋的小朋友请先不要接着往下读，你也试一试，走
一走.
象过程.所谓“抽象”就是在解决实际问题的过程中，舍弃与
问题无关的方方面面.而只抓住那个能体现问题实质的东
2.下图是乡间的一条小河，上面建有六座桥，你能一次不
重复地走遍所有的小桥吗？
可否一次通过所有的桥
（每座桥只能走一次）
在下面左图中，进一步把陆地和岛都用小圆圈代表，这已
是“几何图形”了，但还是显得复杂.
在下面右图中，圆进一步缩成了点.这样它变成了只由点
和线构成的最简单的几何图形了.经过上面这样的一番简
化，七桥问题的确就变成了上右图（即为第五讲习题1中
的图（9））是不是能一笔画成的问题了.很容易看出图中
共有4个奇点，由上一讲得到的判定法则可知，它不能一
笔画成，因而人们根本不能一次连续 不断地走过七座桥.

当出口在4号房间时，如再在1号和3号房间之间开一个门，
则从1号房间开始后就能一次不重复地走遍各个门 .因为
点1变成了奇点，点4仍为奇点， 而整个图形只有2个奇点，
因此可以从1号房间进，4号房间出.见下图（进入售货厅
后先从1号房间进入3号房间即可）.
分析表格中的数分上下两排，每一排的数各有自己的规律.
上排的数
这样最后一个数应是13+5=18.下排的数是从5开始依次加
4，加6，加8得
这样下排最后一个数应是23+10=33.
解：
例5在空格中填入合格的数.
第七讲数字游戏问题（一）
数字游戏问题是数学游戏中的一类.它要求从数字以及数
字间的运算中发现规律，然后按照这个规律去填数或填写
运算符号.解决这一类问题的关键是寻找规律、发现规律.
一、找规律填写数列里面的数
例1 在中填入适当的数.
一笔画问题：
2.解：见下两图，可知不能一次不重复地走遍所有的小桥，
因为下右图有4个奇点.
1928374□
分析题中共有8个数，前7个已经知道.最后一个需要填写.8
个数中 1+9=10， 2+8=10， 3+7=10，所以最后两个数是
4+=10.这样，□里应填6.
解：1928374
例2 在中填入适当的数.
可否一笔画成图形（笔不能抬起，不能重复）
3.解：由于通过两岛之中任何一个岛的桥的数目都是偶
数，而通过两岸的任一个岸的桥的数目都是奇数，这就表
示由任一个岸出发，都存在一条路，使人们将所有的桥都
只走一次而到达另外一个岸.画出图来就能一目了然了.见
下图.
分析题中的数是按照从大到小的规律排列的.每两个数为
一组，每两
这道题也可以这样分析：15-1=14，14-2=12，12-1=11，
11-2=9，9-1=8，8-2=6，6-1=5.
解：
例3在（）里填数.
（）
分析观察发现2+0=2，0+2=2，2+2=4，2+4=6，4+6=10.
即前两个数相加的和是后面的数 .这样最后一个数应是
因为图中共有两个奇点，且奇点均为岸，是一笔画.
所以人们可以一次通过所有的桥，每座桥只走一次，由一
岸到另一岸.
4.解：从入口进入售货厅后，也就是从1号房间开始不能
一次不重复地走遍各个门，因为虽然整个图形（见下图）
只有2个奇点，但点1是偶点.
6+10=16.（）里应填16.
解：（16）
二、找规律填写表格中的数
例4在空格中填入合适的数.
解：
图表中的填数一般来说，既要注意横排，也要注 意竖排.
分析数字分成三组，前二组中的三个数字的和是
20∶7+12+1=20 ， 8+9+3=20 ， 所 以 第 三 组 中 应 是
□+2+5=20，空格中的数是13.
解：
例6在空格中填入合适的数.

分析1九个数分成三组，第一组中有8+18=2×13，即第一
个数与第三个数的和是中间那个数的二倍，同样第三组中
16+30=2×23.所以中间一组2×□=12+24 ，中应填18.
分析 2将这九个数横的作一排，第一排中有8+4=12，
12+4=16. 即 后 面 的 数 比 前 面 的 数 大 4. 第 三 排 中 有
18+6=24，24+6=30，后面的数比前面的数大6.再看第二排
应是13+5=1 8，18+5=23，所以空格中应填18.

大部分问题是横竖结合寻找规律.
三、找规律填写图形中的数
例7在空白处填入合适的数.
分析每个图中都有三个圈，每个圈中填有数字.这三个数

8.

第八讲数字游戏问题（二）
一、填写算式中的数
例1 ，★，用代表三个数，有：
○++ ○=15，★+★+★=12，
△ + +=18 ，+★+= （）
填出（）中的数.
分析上面算式中的○、★、△分别代表三个数.根据三个相
同加数的和分别是15、12、18，可知○=5，★=4，=6，
又5+4+6=15，所以（）内应填15.

例5在合适的地方填写“+”或“-”，使等式成立.
123456=2.
分析按上题方法试加减，发现无论如何也得不到2，于是
想到是否其中有一个两位数，而两位数只能是12，再试就
能够成功.
解：12-3+4-5-6=2.
例6从+、-、×、÷、（）中挑选合适的符号，填入适当的地
方，使下面等式成立.
①55555=1
②55555=2
③55555=3
④55555=4.
分析在加减乘除运算中，有5÷5=1，（5+5）÷5=2，5-5=0
这样几个基本关系，充分利用它们就可以使等式成立，一
般来说一个式子可以有多种表达形式.
解：①5÷5+（5-5）×5=1
（5+5）÷5-（5÷5）=1
②（5+5）÷5+5-5=2
5-（5+5+5）÷5=2
③5÷5+（5+5）÷5=3
5-5÷5-5÷5=3
④（5+5+5+5）÷5=4
5-5÷5+5-5=4.
字之间有某种关系.分析第一个图发现6-5=1，1×2=2，分
析第二个图同样有7-4=3，3×2=6，所以第三个图应该是
8-3=5，5×2=10.第三个图中空白处应填10.
解：
9. 解：=5，★ ，=4=6，
○+★ +=（15），
例2把2，3，4，6，7，9分别填到下面六个圆圈中，使三
个算式成立.
+ ○=10 ， -=5 ， +=8，
分析1在2、3、4、6、7、9中相加等于8的只有2和6，先把
2、6填在第三个算式中，剩下的就可填成3+7=10，9-4=5.
分析2六个数中9最大，而9不能填在第1或第3个算式中，
从以上几种填数游戏中，我们发现填数的过程就是找规律
习题七解答
1.解：.每三个数一组，前后两组数是对称排列的.
所以把9填在第2个算式中作被减数.其余的就好填了.
解：3+7=10，9-4=5，2+6=8.
例3把1～8八个数字分别填入图中八个空格中，使图上四
边正好组成加、减、乘、除四个等式. 的过程.在找规律中一是要注意数字排列的顺序，看清它
们所在的位置.二是把已经知道的数字进行简单变形，如
相加，相减，乘2，乘3，除2等.三是发现规律之后按这个
规律进行运算求出所需要的结果.
2.解： .从第3个数开始，后面的数是它前面两个数的
和.4+6=10，6+10=16，10+16=26，16+26=42，
∴26+42=68.

三、填写竖式中的数
例7在下列竖式中的空白处填入适当的数，使算式成立.

3.解：

.从第2个数开始，后面的数是它前面的数依次
加2，4，6 ，8，10，12得到的，即4+2=66+4=1010+6=16，
找规律填数：
习题七
16+8=24，24+10=34
∴34+12=46.
，2，3，3，2，1，4，5，6，6，5，□.
，6，10，16，26，42 ，.
，6，10，16，24，34 ，.
4.
4.解：
的数为10·
5.解：14.每个图中，圈左边的数减去圈右边的数再加上圈
上边的数得到圈里的数.
6.解：
5.
.把横线下面图中的两个数相加减去三角形中的
，每一竖排中的三个数按上、下、中的顺
序依次排列，所以第3列中最下面一个数是8，第4列中间
分析观察这幅图，用8个数组成四个等式.从左上角开始先
作减法和除法，得出结果之后再分别作加法和乘法得到右
下角的数字.所以问题的关键是左上角的数字与右下角的
数字.它们应该是较大的且能够作乘法与除法的数 .即8和
6，不妨取左上角是8，右下角是6，再试填其他数字.也可
取左上角是6，右下角是8，再试填其他数字.
解：
分析先观察①，这是一个减法算 式，被减数是三位数，减
数是两位数，差是1.而最小的三位数100与最大的两位数
99的差 正好是1（容易知道，只有这一种情形）.
再看②，两个两位数的和是191.分析两个加数的十位数
字，它们都必须为9，还要求两个个位数字的和进位才满
足9+9+1=19.这时两个个位 数字的和是11，11可以写成
11=9+2=8+3=7+4=6+5.
数就得到正方形里的 数.
7.解：在上排圆中，从第2个数开始是把它前面的数依次
加上2，3，4，5得到.在下排圆中，从第2个数开始是依次
把它前面的数依次加上4，6，8，10得到.
6.
8.解：16.从右上方开始，顺时针方向旋转，依次加上1，2，
3，4，5得到后面的数.
9.解：21.从左上方开始.逆时针方向旋转，依次加上1，3，
7. 5，7，9得到后面的数.

二、填写运算符号
例4在合适的地方填写“+”或“-”，使等式成立.
123456=1.
分析把六个数分组，试加会发现1+2+3+5=11，4+6=10，
这样在4，6前面填上“-”，其他地方填上“+”，等式成立.
解：1+2+3-4+5- 6=1.

例8右面算式中九个字母分别代表1～9九个数字，试找出
字母 M 和 H 分别所代表的数字.

7.在+、-、×、÷中挑选合适的符号填入适当的地方，使下
列等式都等于3.
33333=3
33333=3
33333=3
8.根据所给的数字和符号排出算式：

第九讲整数的分拆

例1小兵和小军用玩具枪做打靶游戏，见下图所示.他们每
人打了两发子弹.小兵共打中6环，小军共打中5环.又知没
有哪两发子弹打到同一环带内，并且弹无虚发.你知道他
俩打中的都是哪几环吗？
36=6×6=6=1+3+5+7+9+11
49=7×7=7=1+3+5+7+9+11+13
64=8×8=8

=1+3+5+7+9+11+13+15
81=9×9=9

=1+3+5+7+9+11+13+15+17
100=10×10=10

=1+3+5+7+9+11+13+15+17+19.
观察上述各式，可得出如下猜想：
一个完全平方数可以写成从1开始的若干连续奇数之和，
这个平方数就等于奇数个数的自乘积 （平方）.
解：已知小兵两发子弹打中6环，要求每次打中的环数，
分 析 九 个 字 母 分 别 代 表 1 ～ 9. 在 个 位 数 字 上
1+2+3+4+5+6+7+8+9=45，所以 M=5，同时向十位进4.这
时十位上8个字母中没有 M，所以十位上的数字和是40，
再加上个位进来的四个10.结果是44.所以 H=4.
解：M=5，H=4.
=3+2（答案不惟一）.
2.★=5，因为○=5个.
习题八
1.把2、3、13、18分别填入下面○里，使等式成立.
- = + ○.
2. 、、★分别代表三个不等于0的数字，并且 ★=×，
△ + +=○-- .，那么★代表的数字是多少
3.把1～9九个数字填在○里，（每个数字只能用1次），组成
三道正确的算式.
+ ○=， ○-= ○ ， ×=○.
内填上合适的数字.
5.在右式空的格处填上合适的数使算式成立.
6.从左下角的4开始，依次在数字间填上“+”或“-”，使最
后
结果等于10.
+5=9，8-7=1，2×3=6.
5.
例2某个外星人来到地球上，随身带有本星球上的硬币1
分、2分、4分、8分各一枚，如果他想买7分钱的一件商品，
他应如何付款？买9分、10分、13分、14分和15分的商品
呢？他又将如何付款？
解：这道题目的实质是要求把7、9、10、13、14、15各数
按1、2、4、8进行分拆.
7=1+2+4
9=1+8
10=2+8
13=1+4+8
14=2+4+8
检验：把11×11=121，和12×12=144，两个完全平方数分
拆，看其是否符合 上述猜想.
121=1+3+5+7+9+11+13+15+17+19+21
144=1+3+5+7+9+11+13+15+17+19+21+23
结论:上述猜想对121和144两个完全平方数是正确的.
例5从1～9九个数中选取，将11写成两个不同的自然数之
和，有多少种不同的写法？
解：将1～9的九个自然数从小到大排成一列：
1，2，3，4，5，6，7，8，9.
分析先看最小的1和最大的9相加之和为10不符合要求.
但用次大的2和最大的9相加，和为11符合要求，得11=2+9.
逐个做下去，可得11=3+8，11=4+7，11=5+6.
可见共有4种不同的写法.
例6将12分拆成三个不同的自然数相加之和，共有多少种
不同的分拆方式，请把它们一一列出.
解：可以做如下考虑：若将12分拆成三个不同的自然 数之
和，三个数中最小的数应为1，其次是2，那么第三个数就
应是9得：12=1+2+9.
下面进行变化，如从9中取1加到2上，
又得12=1+3+8.
继续按类似方法变化，可得下列各式：
12=1+4+7=2+3+7，
12=1+5+6=2+4+6.
12=3+4+5.
共有7种不同的分拆方式.
例7将21分拆成四个不同的自然数相加之和，但四个自然
数只能从1～9中选取，问共有多少种不同的分拆方式，请
你一一列出.
解：也可以先从最大的数9考虑选取，其次选8，算一算21-
（9+8）=4，所以接着只能选3和1.这样就可以得出第一个
分拆式：21=9+8+3+1，
以这个分拆式为基础按顺序进行调整，就可以得出所有的
不同分拆方式：

可将6分拆6=1+5=2+4；同理，要求小军每次打中的环数，
可将5分拆5=1+4=2+3.
由题意：没有哪两发子弹打到同一环带内并且弹无虚发，
只可能是：
小兵打中的是1环和5环，小军打中的是2环和3环.
习题八解答

6.
+3-3+3-3=3；3×3÷3+3-3=3；3+3÷3-3÷3=3.
8.
15=1+2+4+8
外星人可按以上方式付款.
例3有人以为8是个吉利数字，他们得到的东西的数量都能
要够用“8”表示才好.现有200块糖要分发给一些人，请你
帮助想一个吉利的分糖方案.
解：可以这样想：因为200的个位数是0，又知只有5个8
相加才能使和的个位数字为0，这就是说，可以把200分成
5个数，每个数的个位数字都应是8.
这样由8×5=40及200-40=160，
可知再由两个8作十位数字可得80×2=160即可.
最后得到下式：88+88+8+8+8=200.
例4试将100以内的完全平方数分拆成从1开始的一串奇数
之和.
解：1=1×1=1=1（特例）
4=2×2=2=1+3
9=3×3=3=1+3+5
16=4×4=4=1+3+5+7
25=5×5=5=1+3+5+7+9

长方形面积最大？（边长为1厘米的正方形的面积叫做1
平方厘米）.
21=7+6+5+3}以7开头的分拆方式有1种
∴共有11种不同的分拆方式.
26=8+7+6+5}以8开头的分拆方式共1种不同的分拆方式
总数为：
10+10+8+4+1=33种.
总结：由例4明显看出，欲求出所有的不同的分拆方式，
例8从1～12这十二个自然数中选取，把26分拆成四个不同
的自然数之和.
必须使分拆过程按一定的顺序进行.
习题九
1.把15分拆成不大于9的两个整数之和，有多少种不同的
分拆方式，请一一列出.
2.将15分拆成不大于9的三个不同的自然数之和有多少种
不同分拆方式，请一一列出.
3.将15分拆成三个不同的自然数相加之和，共有多少种不
同的分拆方式，请一一列出.
4.将15分拆成不大于9的四个不同的自然数之和，有多少
种不同的分拆方式，请一一列出.
5.将15分拆成四个不同的自然数之和，有多少种不同的分
拆方式，请一一列出.
6.把15个玻璃球分成数量不同的4堆，共有多少种不同的
分法？（此题是美国小学数学奥林匹克试题）.
7.七只箱子分别放有1个、2个、4个、8个、16个、32个、
64个苹果.现在要从这七只箱子里取出87个苹果，但每只
箱子内的苹果要么全部取走，要么不取，你看怎么取法？
8.把100个馒头分装在七个盒里，要求每个盒里装的馒头
的数目都带有6字，想想看，应该怎样分？
9.把1000个鸡蛋放到五只筐子里，每只筐子里的鸡蛋数都
由数字8组成，请你想一想该怎样分？
10.美国硬币有1分、5分、10分和25分四种.现有10枚硬币
价值是1元钱，其中有3枚25分的硬币.问余下的硬币有哪
几种，每种各有多少枚？（此题是美国小学数学奥林匹克
试题）.
11.（1，1，8）是一个和为10的三元自然数组.如果不考虑
数字排列的顺序，即把（1，1，8）与（1，8，1）及（8，
1，1）看成是相同的三元自然组.那么和为10的自然数组
共有多少个？
4.解：共6种.
15=9+3+2+1
15=8+4+2+1
15=7+5+2+1
=7+4+3+1
15=6+5+3+1
=6+4+3+2
5.解：同第4题答案.
6.解：同第4题答案.
7.解：可这样想：总数要87个，最先取数最多的一箱64个
苹果，这样还差87-64=23个苹果；再取则不能取装有32
个苹果的那箱，只能取装有16个的那箱，这样还差23-16=7
个苹果；再取装有1个、2个、4个的三箱苹果，正好：
87=64+16+4+2+1.
8.解：从已有经验中可知6×6=36，这样就可以把每个盒里
装6个馒头，共装6个盒，还有一个盒装100-36=64个馒
头.64个这个数，刚好含有数字6，满足题目要求.
即得100=64+6+6+6+6+6+6.
9.解：仿例7解法，得下列分拆式：
1000=888+88+8+8+8.
10.解：由于有3枚25分的硬币，它们的价值是：
25×3=75（分）.
所以其余的7枚硬币的价值是：
100-75=25（分）.
将25分拆成7个数之和，（注意没有各数不同的限制）
25=1+1+1+1+1+10+10.
所以这7枚硬币是5枚1分，2枚10分.
11.解：共8个.它们是（1，1，8），（1，2，7），（1，3，6），
（1，4，5），（2，2，6），（2，3，5），（2，4，4），（3，3，
4）.
习题九题答
1.解：共有2种不同的分拆方式：
15=9+6
15=8+7
2.解：共8种.
第十讲枚举法
例1如下图所示，已知长方形的周长为20厘米，长和宽都
是整厘米数，这个长方形有多少种可能形状？哪种形状的
3.解：共12种.

解：由于长方形的周长是20厘米，可知它的长与宽之和为
10厘米.下面列举出符合这个条件的各种长方形.
（注意，正方形可以说成是长与宽相等的 长方形）.
下面把5种长方形按实际尺寸大小一一画出来，见下面图
（1）～（5）.

例2如右图所示，ABCD 是一个正方形，边长为2厘米，沿
着图中线段从 A 到 C 的最短长度为4厘米.问这样的最短
路线共有多少条？请一一画出来.

可见满足题目要求的搭配是：四个5分币，八个1角币.
例6小虎给4个小朋友写信.由于粗心，在把信纸装入信封
时都给装错了.4个好朋友收到的都是给别人的信.问小虎
装错的情况共有多少种可能？

天又回到 A 市.问他的游览路线共有几种不同的方案？
6.下图中有6个点，9条线段，一只甲虫从 A 点出发，要沿
着某几条线段爬到 F 点.行进中甲虫只能向右、向下或向
右下方运动.问这只甲虫有多少种不同的走法？

成的数组共有6组，枚举如下：
（1，1，24），（1，2，12），（1，3，8），
（1，4，6），（2，2，6），（2，3，4）.
4.解：把三封信编号为1号、2号、3号；
把三个小朋友编号为友1、友2、友3；1号、2号、3号信应
该分别发给友1、友2、友3。
按题意，友1没有收到给自己的1号信，他只可能收到2号< br>解：将各种路线一一列出，可知共6条，见下图.
注意，如果题中不要求将路径一一画出，可采用如右图所
示方法较为便捷.图中交点处的数字表示到达该点的路线
条数，如 O 点处的数字2，表示由 A 到 O 有2条不同的路
径，见上图中的（1）和（2）；又 H 点处的数字3的意义
也如此，见上图中的（1）、（2）、（3）可知有3条路径可由
A 到 H.仔细观察，可发现各交点处的数字之间的关系，
如 O 点的2等于 F 点和 E 点的数字相加之和，即1+1=2，
又如，C 点的6等于 G 点和 H 点的数字相加之和，即3+3=6.
解：把4封信编号：1，2，3，4.
把小朋友编号，友1，友2，友3，友4.
并假定1号信是给友1写的，2号信是给友2写的，3号信是
给友3的，4号信是给友4写的：再把各种可能的错装情况
列成下表：
或3号信.
当友1收到2号信时，友2只可能收到3号信，则友3收到1
7.小明有一套黄色数字卡片、、 ，有一套蓝色数字卡片、、.
号信；
一天他偶然用卡片做了下面的游戏：把不同色的卡片交叉
当友1收到3号信时，友2只可能收到1号信，则友3收到2
配对，一次配成3对，然后把每对卡片上的黄蓝数字相乘
之后再相加求和，你知道他共找到了多少种配对相乘求和
的方式吗？比如说下面是其中一种：
黄蓝黄蓝黄蓝
8.五个学生友1，友2，友3，友4，友5一同去游玩，他们
将各自的书包放在了一处.分手时友1带头开了个玩笑，他
把友2小朋友的书包拿走了，后来其他的小朋友也都拿了
别人的书包.试问在这次玩笑中故意错拿书包的情形有多
少种不同方式？
号信.
可见共有2种可能的错装情况，列表更为清楚，
5.解：请看下面的树形图.
说明：如第一种错收情况是友1得2号信，友2得了1号信，
友3得了4号信，友4得了3号信.
习题十解答
例3在10和31之间有多少个数是3的倍数？
解：由尝试法可求出答案：
3×4=123×5=153×6=183×7=21
3×8=243×9=273×10=30
可知满足条件的数是12、15、18、21、24、27和30共7个.
注意，倘若问10和1000之间有多少个数是3的倍数，则用
上述一一列举的方法就显得太繁琐了，此时可采用下述方
法：
10÷3=3余1，可知10以内有3个数是3的倍数；
1000÷3=333余1，可知1000以内有333个数是3的倍数；
333-3=330，则知10～1000之内有330个数是3的倍数.
由上述这些例题可体会枚举法的优点和缺点及其适用范
围.
例4两个整数之积为144，差为10，求这两个数？
解：列出两个数积为144的各种情况，再寻找满足题目条
件的一对出来：
可见其中差是10的两个数是8和18，这一对数即为所求.
例512枚硬币的总值是1元，其中只有5分和1角的两种，问
每种硬币各多少个？
解：列举出两种硬币的可能搭配：
①这个长方形的面积有多少可能值？
②面积最大的长方形的长和宽是多少？
2.有四种不同面值的硬币各一枚，它们的形状也不相同，
用它们共能组成多少种不同钱数？
3.三个自然数的乘积是24，问由这样的三个数所组成的数
组有多少个？如（1，2，12）就是其中的一个，而且要注
意数组中数字相同但顺序不同的算作同一数组，如（1，2，
12）和（2，12，1）是同一数组.
4.小虎给3个小朋友写信，由于粗心，把信装入信封时都
给装错了，结果3个小朋友收到的都不是给自己的信，请
问小虎错装的情况共有多少种可能？
5.一个学生假期往 A、B、C 三个城市游览.他今天在这个
城市，明天就到另一个城市.假如他第一天在 A 市，第五
是30平方米.
猜想：由本讲的例1和习题1这两题来看，周长一定的所有
长方形中，长和宽相等或相近那个长方形面积最大.这是
有名的“等周问题”的特例.
2.解：把各种不同的组合及其对应的钱数列表枚举如下：
数一数可知，能组成15种不同的钱数.注意它们是从1到15
的15个自然数：1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，
12，13，14，15.
3.解：不计数组中数的顺序，所有乘积为24的三个数所组
1.解：这个长方形的长和宽之和是22÷2=11（米），由长方
形的面积=长×宽，可知：
由上表可见面积最大的长方形的长是6米、宽是5米，面积
可见他第五天回到 A 市的不同游览路线共有6种，分别是：
①A→B→A→B→A④A→C→A→B→A
②A→B→A→C→A⑤A→C→A→C→A
③A→B→C→B→A⑥A→C→B→C→A.
6.解：经过 E 点的有3条路线，不经过 E 点的有2条路线，
共有5条不同的路线，见下图.

习题十
1.一个长方形的周长是22米，如果它的长和宽都是整米
数，问：

7.解：可以按下面的方法找出所有不同的配对相乘求和方
式：

可见共有6种不同的配对相乘求和方式，其中第①种情况
（可叫做同序配对）各乘积之和最大，第⑥种情况（可叫
做逆序配对）各乘积之和最小.
如果你感兴趣，可以进一步问，这个结果有普遍性吗？我
们再进一步探讨一下：
结果和上述相同.
2.假如黄蓝卡片各有4张，不同的配对方式有很多.


数一数，共有11种不同的错拿方式.
第十一讲找规律法
观察、搜集已知事实，从中发现具有规律性的线索，用以
探索未知事件的奥秘，是人类智力活动的主要内容.
数学上有很多材料可用以来模拟这种活动、培养学生这方
面的能力.
这就是运用了如下的规律：
用这种规律预测第几号牌子发给谁，是很容易的，请同学
们自己再试一试.
例3四个小动物换位，开始小鼠、小猴、小兔和小猫分别
坐在1、2、3、4号位子上（如下图所示）.第一次它们上
下两排换位，第二次左右换位，第三次又上下交换，第四
次左右交换.这样一直交换下去，问十次换位后，小兔坐
在第几号座位上？
解：不 难看出，这是一个等差数列，它的后一项都比相邻
的前一项大3，即公差=3，还可以发现：
第2项等于第1项加1个公差即
4=1+1×3.
第3项等于第1项加2个公差即
7=1+2×3.
第4项等于第1项加3个公差即
10=1+3×3.
第5项等于第1项加4个公差即
13=1+4×3.
…
可见第 n 项等于第1项加（n-1）个公差，即
按这个规律，可求出：
第100项=1+（100-1）×3=1+99×3=298.
例5画图游戏先画第一代，一个△，再画第二代，在△下
面画出两条线段，在一条线段的末端 又画一个△，在另一
（4×3×2×1=24种，这点同学们以后就会明白！）
我们找几种情况试一试：
①同序配对：
②逆序配对
例1观察数列的前面几项，找出规律，写出该数列的第100
项来？
12345，23451，34512，45123，…
解：为了寻找规律，再多写出几项出来，并给以编号：

解：为了能找出变化规律，再接着写出几次换位情况，见
下图. 条的末端画一个○；画第三代，在第二代的△下面又画出
两条线段，一条末端画△，另一条末端画○；而在第二代
的下面画一条线，线的末端再画一个的；…一直照此
画下去（见下图），问第十次的○和 共有多少个？
③交叉配对
仔细观察，可发现该数列的第6项同第1项，第7项同第2
项，第8项同第3项，…也就是说该数列各项的出现具有周
交叉配对
期性，他们是循环出现的，一个循环节包含5项.
100÷5=20.
可见第100项与第5项、第10项一样（项数都能被5整除），
交叉配对
即第100项是51234.
例2把写上1到100这100个号码的牌子，像下面那样依次分
发给四个人，你知道第73号牌子会落到谁的手里？
可见：同序配对，各乘积之和最大：30
逆序配对，各乘积之和最小：20
交叉配对，各乘积之和居中：大于20小于30.
猜想：两个项数相同的数列配对相乘积之和，同序配对时
最大，逆序配对时最小，交叉配对时在最小值和最大值之
间.
如果再仔细地把换位 图连续起来研究研究，可以发现，随
8.解：设友1、友2、友3、友4、友5的书包分别是1号、2
号、3号、4号、5号.因为友1拿了2号书包，那么友2就有
拿1号、3号、4号和5号书包的四种可能.如果友2拿了1号
书包，友3拿了4号书包，友4拿了5号书包，友5拿了3号书
包，这就是一种错拿方式.其他方式看如下的树形图.
解：仔细观察，你会发现：
分给小明的牌子号码是1，5，9，13，…，号码除以4余1；
分给小英的牌子号码是2，6，10，14，…，号码除以4余2；
分给小方的牌子号码是3，7，11，…，号码除以4余3；
分给小军的牌子号码是4，8，12，…，号码除以4余0（整
除）.
因此，试用4除73看看余几？
73÷4=18…余1
可见73号牌会落到小明的手里.
着一次次地交换，
小兔的座位按顺时针旋转，
小鼠的座位按逆时针旋转，
小猴的座位按顺时针旋转，
小猫的座位按逆时针旋转，
按这个规律也可以预测任何小动物在交换几次后的座位.
例4从1开始，每隔两个数写出一个数，得到一列数，求这
列数的第100个数是多少？
1，4，7，10，13，…
数一数，各代的图形（包括○和 ）的个数列成下表：
可以发现各代图形个数组成一个数列，这个数列的生成规
…
可以发现，每经过四次换位后，小兔又回到了原来的位置，
利用这个规律以及10÷4=2…余2，可知：
第十次换位后，小兔的座位同第二次换位后的位置一样，
即在第二号位.
盯住小兔的位置进行观察：
第一次换位后，它到了第1号位；
第二次换位后，它到了第2号位；
第三次换位后，它到了第4号位；
第四次换位后，它到了第3号位；
第五次换位后，它又到了第1号位；
解：按着画 图规则继续画出几代，以便于观察，以期从中
找出图形的生成规律，见下图.

律 是，从第三项起每一项都是前面两项之和.按此规律接
着把数列写下去，可得出第十代的○和 共有89个（见下
表）：

习题十一

1.先计算下面的前几个算式，找出规律，再继续往下写出
一些算式：
①1×9+2=②9×9+7=
12×9+3=98×9+6=
123×9+4=987×9+5=
1234×9+5＝9876×9+4=
……
总结，找规律：
①当仅有一个圆盘时，只需搬1次.
②当有两个圆盘，上面的小圆盘先要搬到临时桩上，等大
圆盘搬到中间桩后，小圆盘还得再搬回来到大圆盘上.所
以小的要搬两次，下面的大盘要搬1次.这样搬到两个圆盘
需3次.
③当有三个圆盘时，必须先要把上面的两个小的圆盘搬到
临时桩上，见上图中的（1）～（3）.由前面可知，这需要
搬动3次.然后把最下层的最大圆盘搬一次到中间桩上，见
图（4），之后再把上面的两个搬到中间桩上，这又需搬3
次，见图中（5）～（7）.
所以共搬动2×3+1=7次.
④推论，当有4个圆盘时，就需要先把上面的3个圆盘搬到
临时桩上，需要7次，然后把下面的大圆盘搬到中间桩上
（1次），之后再把临时桩上的3个圆盘搬到中间桩上，这
又需要7次，所以共需搬动2×7+1=15次.
⑤可见当有5个圆盘时，要把它按规定搬到中间桩上去共
需要：
2×15+1=31次.
这样也可以写出一个一般的公式（叫递推公式）
对于有更多圆盘的情况可由这个公式算出来.
进一步进行考察，并联想到另一个数列：
2.先计算下面的奇妙算式，找出规律，再继续写出一些算
式：
19+9×9=
118+98×9=
1117+987×9=
11116+9876×9=
111115+98765×9=
…
3.先计算下面的前几个算式，找出规律，再继续写出一些
算式：
1×1=
11×11=
111×111=
1111×1111=
11111×11111=
×3的末位数字是9，3×3×3的末位数是7，3×3×3×3的末
位数字是1.求35个 3相乘的结果的末位数字是几？
习题十一解答
1.①1×9+2=11
12×9+3=111
123×9+4=1111
1234×9+5=11111
12345×9+6=111111
123456×9+7=1111111
②9×9+7=88
98×9+6=888
987×9+5=8888
9876×9+4=88888
98765×9+3=888888
987654×9+2=8888888
+9×9=100
118+98×9=1000
1117+987×9=10000
11116+9876×9=100000
111115+98765×9=1000000
这就是着名的裴波那契数列 .裴波那契是意大利的数学
家，他生活在距今大约七百多年以前的时代.
例6如下图所示，5个大小不等的中心有孔的圆盘，按大的
在下、小的在上的次序套在木桩上构成了一座圆盘塔.现
在要把这座圆盘塔移到另一个木桩上.规定移动时要遵守
一个条件，每搬一次只许拿一个圆盘而且任何时候大圆盘
都不能压住小圆盘.假如还有第三个木桩可作临时存放圆
盘之用.问把这5个圆盘全部移到另一个木桩上至少需要
搬动多少次？（下图所示）
解：先从最简单情形试起.
①当仅有一个圆盘时，显然只需搬动一次（见下页图）.
②当有两个圆盘时，只需搬动3次（见下图）.
…
4.有一列数是2、9、8、2、…，从第三个数起，每一个数
都是它前面的两个数相乘积的个位数字（比如第三个数8
就是2×9=18的个位数字）.问这一列数的第100个数是几？
5.如果全体自然数按下表进行排列，那么数1000应在哪个
字母下面？

3.
1×1=1
11×11=121
111×111=12321
1111×1111=1234321
③当有三个圆盘时，需要搬动7次（见下页图）.

若把 n 个圆盘搬动的次数写成 an，把两个表对照后，
可得出
有了这个公式后直接把圆盘数代入计算就行了，不必再像
前一个公式那样进行递推了.
6.如果自然数如下图所示排成四列，问101在哪个字母下
面？

4.解：按数列的生成规律再多写出一些数来，再仔细观察，
找出规律：
2、9、8、2、6、2、2、4、8、2、6、2、2、4、8、2、6、
2、2、4、…
可见，除最前面的两个数2和9以外，8、2、6、2、2、4
这六个数依次重复出现.因此，可利用这个规律，按下面
的方法找出第100个数出来：
100-2=98，
98÷6=16…2.
即第100个数与这六个数的第2个数相同，即第100个数是

2.
5.解：不难发现，每个字母下面的数除以7的余数都是相
同的.如第1列的三个数1、8和15，除以7时的余数都是1；
第2列的三个数2、9和16，除以7时的余数都是2；第3列的
三个数3、10和17，除以7的余数都是3；….利用这个规律，
可求出第1000个自然数在哪个字母下面：
1000÷7＝142…6
所以1000在字母 F 的下面.
6.解：可以这样找出排列的规律性：全体自然数依次循环
排列在 A、B、C、D、D、C、B、A 八个字母的下面，即
5×2-9= ，“1”就是方框所代表的数，所以把它写在方框
里.我们可以把这个算式叫做逆序式.把两式进行对照比较
（如下图如示）可见：

几个？
解：
逆推：篮中最后（即第二次卖后）剩1个；
第二次卖前篮中有（1+1）×2=4个；

则此次分前应是3+1=4个； 4÷ 2=2，则第二次分前应是
2×3+1=7个，注意7是奇数（第二次分前的棋子是第一次
分后 的两份，应是偶数所以不应是7，可见前面假设不对）.
再假设第三次分时每等份是2个棋子，也不行.
又假设第三次分时每等份是3个棋子，则有
3×3+1=10；
10÷2=5，5×3+1=16；
16÷2=8，8×3+1=25；
∴原来有棋子至少是25个.

第一次卖前篮中有（4+1）×2=10个；
即篮中有10个蛋.
例6某池中的睡 莲所遮盖的面积，每天扩大1倍，20天恰好
遮住整个水池，问若只遮住水池的一半需要多少天？
解：倒着想.若是今天睡莲把整个池面遮满了，那么昨天
睡莲只遮住了水面的一半.今天是第20天，昨天就是第19
天，也就是说睡莲遮住一半池面需19天.
例7文化用品店新到一批日记本，上一周售出本数比总数
的一半少12本；这一周售出的本数比所剩的一半多12本；
结果还有19本.问这批日记本有多少？
这个数？
2.一个数加上100，乘以100，减去100，除以100，结果还
是100，求这个数.
3.某个数加上2，减去3，乘以4，除以5，结果等于12，这个数是几？
4.有一次小云去买玩具，他买了一架小飞机用去了他带去
的钱的一半；之后他又用2元钱买了一个小汽车，最后还
剩下5角钱.问小云最初带了多少钱？
5.妈妈给小华买了一袋糖，小华决定把糖分给大家吃.第一
个看见了妹妹，就把糖的一半分给了妹妹；第二个看见了
哥哥，又把剩下的糖的一半分给了哥哥，这时他自己还剩
由图上可见本周未售出时的一半是：
19+12=31（本）；
本周未售出时的总数是：
31×2=62（本）；
总数的一半是：
62-12=50（本）；
总本数是：
50×2=100（本）.
列出综合算式：
[（19+12）×2-12]×2=100（本）.
答：这批日记本共有100本.
例8现有一堆棋子，把它分成三等份后还剩一颗；取出其
中的两份又分成三等份后还剩一颗；再取出其中的两份再
分成三等份后还剩一颗.问原来至少有多少颗棋子？
解：题中有“至少”这一条.
用逆推法从最后的最少棋子情况逆推.先画线段图依次表
示分棋子的过程，见下图：
假设第三次分时，三等份中每分是1个棋子（最少），
4块糖.请问，妈妈给小华的这袋糖共有多少块？
6.一个农妇卖鸡蛋，第一次卖了篮中的一半又半个，第二
次又卖了剩下鸡蛋的一半又半个，这时篮中还剩一个鸡蛋.
问篮中原来有几个鸡蛋？
7.三棵树上共有麻雀60只.如果从第一棵树上飞4只到第二
棵树上去，又从第二棵树上飞7只到第三棵树上去，那么
三棵树上的麻雀都是20只.问原来每棵树上各有几只？
8.一条小虫，身长每天增大一倍，10天长到20厘米.问它从
开始长到5厘米时是第几天？
9.甲、乙、丙三人共有750元钱.如果乙向甲借30元，又借
给丙50元，结果三人所持有的钱相等.问甲、乙、丙三人
原来各有多少元钱？
10.小明有几本小人书已记不清楚了，只知道：
小芳借走一半加1本；小容又借走剩下的书的一半加2本；
再剩下的书，小军借走一半加3本，最后小明还有2本书.
请问小明原有几本小人书？
习题十二解答
1.解：逆推.从最后结果8开始：
不除以8时，应是8×8=64；
不减去8时，应是64+8＝72；
不乘以8时，应是72÷8=9；
不加上8时，应是9-8=1；
习题十二
1.一个数加上8，乘以8，减去8，除以8，结果还是8，求
①顺序的运算结果（或最后结论）是逆序式的已知数据（或
起始条件）；
②顺序式中除以2变为逆序式中乘以2；
③顺序式中加上9变为逆序式中减去9；
④顺序式中起始未知数变为逆序式中最后运算结果；
总之，逆序式恰为顺序式的逆运算.
这就是逆推法的由来和实质.
依上题解题方法：
101÷8=12…5.
可知101与5均排在同一字母下面，即在 D 的下面.
7.解：从简单情况做起，列表找规律：
例2某数加上6，乘以6，减去6，除以6，最后结果等于6.
问这个数是几？
解：依题意，写出顺序式，再接着写出逆序式，
[（某数+6）×6-6]÷6=6…顺序式
（6×6+6）÷6-6=某数…逆序式
经计算可知“某数”=1.

解：
仔细观察可发现，乘积的末位数字的出现有周期性的规
律：看相乘的3的个数除以4的余数，
余1时，积的末位数字是3，
余2时，积的末位数字是9，
余3时，积的末位数字是7，
整除时，积的末位数字是1，
35÷4=8…3
所以这个积的末位数字是7.
第十二讲逆序推理法
逆序推理法，也叫逆推法或倒推法.简单说，就是调过头
来往回想.
例1老师心中想了一个数，对他的学生说：“给这个数加上
9，再取和的一半应是5.”他叫学生们把这个数算出来.你会
算吗？
解：用逆推法求解，就是这样想：因为老师想的数加上9
后之和的一半是5，那么和就应是5×2=10；再往前逆推，
在没有加上9之前应是10-9=1，这就是老师心中想的数.
让我们再从另一种思路去想：
首先，把老师想的数用□代表，顺着题意列式应有：
（+9 ）÷2=5，我们可以叫它做顺序式.
然后，再把前面的逆推过程写成算式，就应有：
例3小勇拿了妈妈给的零花钱去买东西 .他先用这些钱的
一半买了玩具，之后又买了1元5角钱的小人书，最后还剩
下3角钱.你知道妈妈给小勇多少钱吗？
解：可以这样倒着想：小勇最后剩下3角钱，在买书之前
的钱应是3角+1元5角=1元8角.这个数目是他买玩具后剩
下的，买玩具前的钱数应当是：1元8角×2=3元6角.这就是
妈妈给他的钱数.
若画出下面的图就更清楚了.
例4小亮拿着1包糖，遇见好朋友 A，分给了他一半；过一
会又遇见好朋友 B，把剩下的糖的一半分给了他；后来又
遇到了好朋友 C，把这时手中所剩下的糖的一半又分给了
C，这时他自己手里只有一块了.问在没有分给 A 以前，小
亮那包糖有几块？
解：采用逆推法--从最后结果往前倒着推算.小亮最后手里
只剩下一块糖，这是分给 C 一半后所剩的数，则知遇见 C
之前小亮有糖：
1×2=2（块）.
同理，遇到 B 之前有糖：2×2=4（块）.
遇到 A 之前有糖：4×2=8（块）.
即小亮未给小朋友前，那包糖应有8块.
例5农妇卖蛋，第一次卖掉篮中的一半又1个，第二次又卖
掉剩下的一半又1个，这时篮中还剩1个.问原来篮中有蛋

所以，可知此数为1.
2.解：先写出顺序式.设此数为 x，依题意：
[（x+100）×100-100]÷100=100，
据此写出逆序式，再进行计算：
（100×10O+100）÷100-100=x.
所以 x=（100×100+100）÷100-100
=10100÷100-100
=101-100
=1.
总结：由习题1和2以及前面例题2，答案都是1.这难道是
偶然的吗？还是其中必有原因？
假设“某数”是1，加上 a，乘以 a，减去 a，除以 a，其结
果仍为 a.
其中 a 为任何自然数，比如 a=6，8，100，都可以.
因为[（1+a）×a-a]÷a
=a×a÷a
=a
3.解：先写出顺序式.设此数为 x，则有：
（x+2-3）×4÷5=12，
再写出逆序式：
所以 x=16.
4.解：画出示意图：
逆推列综合算式：
12×5÷4+3-2=x，
250-30+50=270（元）；
若丙未借乙的钱，则原有
250-50=200元；
即甲、乙、丙原有钱数分别为280元、270元、200元.
10.解：逆推：
小军借走书之前，小明的书是：
（2+3）×2=10（本）.
可见小虫从开始长到第8天时，身长是5厘米.
9.解：三人钱数相等时，各有钱数为：
750÷3=250（元），
若甲未借出，则有
250元+30元=280元；
若乙未向甲借，也未借给丙，则有
∴最初三棵树上分别有24，23，13只麻雀.
8.解：见下图逆推：

②表示小方比小明大2岁，
由图可见，小英比小方大3岁.

由上图可见，40岁是小铃年龄的3+1=4倍，

所以小铃的年龄是：40÷4=10（岁）；
而妈妈的年龄则是：10×3=30（岁）.
例5父亲今年40岁，小哲10岁.问几年以后父亲年龄是小哲
年龄的2倍？
解：按题意画下图：
注意：画这个图时，由题意应以小明为基准.
例2小初、小美、小英三个人分糖块.小美比小英多3块，
小初比小美多2块.已知糖块总数是50块，那么每人各分到
多少块？
解：依题意画图，可以先画小英，见下图中①，再画小美，
它比小英多3块，见下图中②，接着再画小初，它又比小
美多2块，见下图中③，
至此，图已画完，下面借助此图进行分析推理.

先画阴影部分，小哲（10岁）占1格，父亲（40岁）占4
格，年龄差（40-10=30（岁））是3格，再画图表示二人年
龄的增长，注意应从上往 下画.不难得出当二人年龄各增
加2格时，即20年后（父亲是6格，小哲是3格）父亲年龄
是小哲年龄的2倍.
由图可见，小初比小英多3+2=5块，由图还可以看出，50-
（3+5）=42（块）就是小英糖数的3倍，所以小英的一份
是：
42÷3=14（块）；
由此可求出小美的一份是14+3=17（块）；
小初的一份是17+2=19（块）.
例3小健到商店去买练习本，他的钱若买4本还剩2分；若
买5本，就差1角.问小健有多少钱？
习题十三
1.王强和李明都想买一本《趣味数学》，但王强的钱少2角
5分，李明的钱少3角1分.如果两个人的钱合在一起就刚够
买这本书.问一本《趣味数学》多少钱？王强和李明各有
多少钱？
2.大、小二数之 和为10，之差为2，求大、小二数各多少？
解：依题意画出右图，由图易见一本的价钱是：
2+10=12（分），
所以小健有的钱是
3.小军、小方和小雄共有12本小人 书，小军比小方多2本，
小方比小雄多2本，问他们三人各几本？
4.今年弟弟8岁，哥哥14岁.问当两人的年龄和是30岁时，
两人各几岁？
5. 两个桶里共盛水30斤.如果把第一个桶里的水倒3斤给第
二个桶里，两个桶里的水就一样多了.问每个 桶里各有多
少斤水？
6.玻璃瓶里装着一些水，把水加到原来的2倍时，称得重
为 5千克；把水加到原来的4倍时，再称一称重为9千克，
问原来水有多少千克？
（5角+2元）×2=5元.
5.解：画出示意图：
小容借走书之前，小明的书是：
（10+2）×2=24（本）.
小芳借走书之前，小明的书是：
逆推：4×2×2=16块.
6.解：篮中原来共有7个鸡蛋.见下图.
（24+1）×2=50（本）（原有书的本数）.
列成综合算式是：
{[（2+3）×2+2]×2+1}×2=50（本）.
答：小明原有50本书.

12×4+2=50（分）
或12×5-10=50（分），即5角.
从图中可见，剩下的1个加上半个即1个半鸡蛋就是第一次
卖后所剩的一半，所以第二次未卖之前篮中有3个鸡蛋.这
3个鸡蛋加上半个即3个半鸡蛋是总数的一半，因此篮中鸡
蛋总数是7个.
7.解：逆推.最后每棵树上的麻雀都是20只.
第十三讲画图显示法
在有些数学题中，数量之间的关系不容易看出来；可是只
要画个图就能显示清楚了.同学们要学会这种画图方法.
例1小明比小英小5岁，小方比小明大2岁.那么小英和小方
差几岁？
解：先画个图看看：
①表示小明比小英小5岁，
例4妈妈的年龄是小铃的3倍，两个人年龄加起来是40岁.
问小铃和妈妈各多少岁？
解：依题画下图：
7.一筐鲜鱼，连筐共重56千克.先卖出鲜鱼的一半，再卖出
剩下的一半，这时连筐还重17千克.原来这筐鲜鱼重多少
千克？
8.小秋用一根绳子测量一口枯井的深.他把绳子放入井里，
当绳子到达井底后，井外还留有 15米；小秋又把这根绳子
对折后再放入井里，井外还留有1米.请问，这口枯井有多
少米深？

可归纳为和差问题：哥弟年龄之差为14-8=6（岁），和为
30岁，求哥弟各几岁？
习题十三解答
1.解：画个图用实线段表示二人有的钱，虚线表示缺的钱.
依题意，“两人钱合在一起，刚好买这本书”.
（30+6）÷2=18（岁）（哥）
（30-6）÷2=12（岁）（弟）.
5.解：此题的实质也是和差问题.和为30斤，差：3×2=6（斤），
由和差问题公式得：
（30+6）÷2=18斤（大桶）；
（30-6）÷2=12斤（小桶）.
6.解：画线段图如下：
就是说，如图所示，实线段（表示李明的钱）按图线可以
向上移到短的虚线处（表示王强缺的钱）接起来刚好等书
价.也就是说一本书的书价是：
2角5分+3角1分=5角6分.
王强有3角1分，李明有2角5分.
2.解：画线段图用长线段表示大数，用短线段表示小数，
用差线段表示两数之差，见图：
由图显见，若在虚线处再加上一段“差线段”，那就显然得
由图可见，线段③- 线段②=2倍小线段，
即一条小线段表示（9-5）÷2=2（千克），
即原来瓶中水重是2千克.
7.解：画线段图如下：

∴△=24÷4=6，
又○=6+6+6=18.
例2已知：（见下图）
求：一个□等于几个○.
解：由已知的天平图改写成等式：

解：由题意列等式：
13李=2苹+1桃 （1）
4李+1苹=1桃 （2）
把（2）式代入（1）式得：
13李=2苹+4李+1苹
即9李=3苹；
即3李=1苹 （3）
把（3）式代入（2）式得
4李+3李=1桃
即7李=1桃
2×=6×○ （1） 即7个李子重量等于1个桃子的重量.
例6如果鱼尾重4公斤，鱼头重量等于鱼尾加上鱼身一半的
重量，而鱼身重量等于鱼头加鱼尾的重量.问这条鱼有多
少公斤重？
解：依题意列出下列等式：
3×□=3×△ （2）
由（1）式得：△=3×○ （3）
由（2）式得：= △ （4）
将（3）式代入（4）式得：□=3×，
即一个□等于3 个.
例3已知：（见下图） 尾=4 （1）
（2）头=尾+身÷2
身=头+尾 （3）
由于等式左右两边同乘以一个数，结果仍相等所以把（2）
式两边同乘以2得：
2头=2尾+身 （4）
到了两条等长的长线段.这就表示，和加差等于两个大数，
即（和+差）÷2=大数.
反之，如果去掉那段“差线段”，则得到两条等长的短线段.
由图可以看出总重减去最后剩下的（包括筐重和鱼）等于
这就表示，和减差等于两个小数，
第一次和第二次卖出的鲜鱼总数.又知第一次卖出的是第
即（和-差）÷2=小数.
二次卖出的2倍，即两次卖出的鲜鱼总数是第二次卖出的3
注意，此题就叫“和差问题”，以上两式就叫和差问题公式. 倍，即得第二次卖出鱼的总量为（56-17）÷3=13千克.原
把题给的具体数值代入这两个公式，可得：
来鲜鱼总数为13×4=52千克.
大数=（10+2）÷2=6，
8.解：画示意图如下：
小数=（10-2）÷2=4.
3.解：画线段图如下：
求：最大的球的重量是多少克？
解：由图（1）得：3●=2●+48，
所以●=48（克）.
由图（2）得： 3=2●，
即：3○=2×48，
所以=2×48÷3=32（克）.
由图（3）得：=4 ○=4×32=128（克）.
例4一支钢笔的价钱是一支活动铅笔价钱的5倍.问买30支
活动铅笔的钱能买几支钢笔？
解：方法1：列出下列等式：
1支钢笔=5支铅笔 （1）
改写30支铅笔=6×5支铅笔 （2）
把（1）式代入（2）式得：
小秋第二次把绳子对折量，井外留1米长的双股绳相当实
际绳长2米，比第一次单股绳测时，井外少了15-2=13（米），
因为这段绳放到井里去了，所以得出井深为13米.
30支铅笔=6×1支钢笔=6支钢笔.
方法2：用字母 x 代表1支钢笔的价钱，
用字母 y 代表1支铅笔的价钱，
依题意可列出等式：
x=5y
因为30y=6×5y
用 x 代替5y
得30y=6x.
省略了“×”号，即表示5个 y.
把（3）式代入（4）式得：
2头=2尾+头+尾
即：头=3尾=3×4=12（公斤）
身=头+尾=12+4=16（公斤）
全鱼=头+身+尾=12+16+4=32（公斤）.
习题十四
1.已知：（下图所示为简易天平）
求：一个柿子的重量是多少克？
2.桔子和苹果共有360个，其中桔子数是苹果数的2倍，求
桔子和苹果各有多少个？
3.小红去文具店买了6支铅笔和5个笔记本，共花了1元3角
5分钱.已知3支铅笔的价钱与2个笔记本的价钱相等.求1支
铅笔和1个笔记本各要多少钱？
4.在生物课外活动中，同学们种花生比白薯多105棵，又
5.假若20只兔子可换2只羊，9只羊可换3头猪，8头猪可换
2头牛，那么用5头牛可换多 少只兔子？
6.商店运来两桶油.大桶有油120斤，小桶有油90斤.两桶油
卖出同样多后，大桶剩的油刚好是小桶剩的油的4倍，问
两桶各剩油多少斤？
与上题类比，采用添加差线段的方法可得：
（12+2×3）÷3=6（本）（小军）；
6-2=4（本）（小方）；
4-2=2（本）（小雄）；
同样也可采用去掉差线段的方法得：
（12-2×3）÷3=2（本）（小雄）；
2+2=4（本）（小方）；
4+2=6（本）（小军）.
4.解：此题叫年龄问题，它的特点是年龄差保持不变.此题
= △ ++△，
第十四讲等量代换法
例 已知： +1=24，
求△= ？=？
解：将两个等式编号：
△ +=24 （1）
说明：x＝1×x 省略了1和“×”号，即表示1个 x；5y=5×y， 知花生棵数是白薯的16倍，求花生、白薯各多少棵？
例5已知13个李子的重量等于2个苹果和1个桃子的重量，
而4个李子和1个苹果的重量等于1个桃子的重量.问多少
个李子的重量等于1个桃子的重量？
= △ ++△ （2）
将（1）式中的用（ 2）式中的3个△代替
得△ + ++△+=24

7.兄弟俩各有书若干本.只知兄的书为弟的书的3倍；但若
兄给弟10本书，则弟的书将为兄的书的3倍.问兄弟二人原
有书各多少？

因而花生=16×7=112（棵）.
解法2：设种花生 x 棵，种白薯 y 棵.
将（2）代入（1）式得：
16y-y=105

将（1）代入（2）：
3（3y-10）=y+10
9y-30=y+10
8y=40
则 y=5（本）（弟书）
x=3×5=15（本）（兄书）.
进一步（3）式+（4）式即
习题十四解答
1.解：为书写简便，做以下规定：
用字母 x 代表一个柿子的重量；
用字母 y 代表一个苹果的重量；
用字母 z 代表一个梨的重量；
这样就可以用下列等式表示题中的天平图：
x=6y（1）
2y=3z（2）
2z=60克（3）
由（3）式可得：z=30克.代入（2）式
得2y=3×30=90克
则 y=90÷2=45克.代入（1）式
得 x=6×45=270（克）.
2.解法1：桔子个数=2×苹果个数 （1）
桔子个数+苹果个数=360
把（1）代入（2）得：
2×苹果个数+苹果个数=360
即3×苹果个数=360
∴苹果个数=360÷3=120个
而桔子个数=2×120=240个.
解法2：设桔子为 x 个，苹果为 y 个，由题意列等式：
x=2y （1）
（2）
（2）
15y=105
y=7（棵）（白薯）
再将 y 值代入（2）式得：
x=16y=16×7=112（棵）（花生）
5.解：依题意列出下列等式：
欲求5头牛=？只兔
由（3）式可知：1头牛=4头猪，
由（2）式可知：1头猪=3只羊，
由（1）式可知：1只羊=10只兔，
下面依次进行等量代换：
可得：1头牛=4头猪=4×3只羊=12只羊

得=12÷2=6
第十五讲等式加减法
例1大、小二数之和等于10，之差等于2，求二数.解：依
题意，列等式，并把等式两边分别相加.
得：大数=12÷2=6
小数=6-2=4.
例2已知：+ △=10
□ -=2
把的值代入（4）式：
得 6-=2
得△=6-2=4.
例4已知：+ □ +++ △=21
+ □ + ++△++ △=27
求=？
解：将两个等式改写为
2×□+3×△=21 （1）
2×□+5×△=27 （2）
（2）-（1）得：
=12×10只兔=120只兔
5头牛=600只兔
注意：上面由20只兔=2只羊把等式两边分别除以2；得到
10只兔=1只羊
等式两边除以同一个数后结果仍相等.
6.解：画下图：
求：=？=？
解：根据等式两边分别相加，结果仍相等，有
2×=27-21=6
得△=6÷2=3.
例5小明买1支铅笔和2块橡皮共用去2角4分钱，又知1支铅
笔比2块橡皮贵4分钱.问小明买的铅笔每支多少钱？
解：先列出下列等式：
1支铅笔+2块 橡皮=24 （1）
（2）得：=12÷2=6 1支铅笔-2块橡皮=4
（1）+（2）：
2支铅笔=28
x+y=360
把（1）代入（2）式得：2y+y=360即3y=360
得 y=360÷3=120（个）（苹果）
而 x=2y=2×120=240（个）（桔子）.
3.解：因为3支铅笔的价钱=2个笔记本的价钱 （1）
那么6支铅笔的价钱=4个笔记本的价钱 （2）
又因为6支铅笔的价钱+5个笔记本的价钱=135（分）
把（2）式代入得：
4个笔记本的价钱+5个笔记本的价钱=135（分）
即9个笔记本=135（分）
∴1个笔记本=135÷9=15（分）
把1个笔记本的价钱代入（1）式得
3支铅笔=2×15
1支铅笔=2×15÷3=10（分）.
4.解法1：依题意列出下列等式：
花生-白薯=105 （1）
花生=16×白薯 （2）
把（2）式代入（1）式，得：
16×白薯- 白薯=105（棵）
即15×白薯=105（棵）
所以白薯=105÷15=7（棵）

再将代入（1）式
得： 6+=10
①[注]+）表示等式两边分别相加 ∴.=10-6=4
因为两桶卖出去的油一样多.所以
大桶剩油-小桶剩油=120-90=30（斤）
又知大桶剩油=4×小桶剩油
1支铅笔=14（分）=1角4分.
例6在一次数学考试中，小玲和小军的成绩加起来是 195
分，小玲和小方的成绩加起来是198分，小军和小方的成
绩加起来是193分.问他们三人各得多少分？
所以4×小桶剩油- 小桶剩油=30（斤）即3×小桶剩油=30（斤）
即小桶剩油=10（斤）
因而大桶剩油=10×4=40（斤）.
7.解法1：依题意列等式
由（2）得：3×兄书-3×10=弟书+10
把（1）式代入上式，得
3×（3×弟书）-30=弟书+10
例3已知：+ □ +=16
□++ △=14
求：=？=？
解：列出下列等式：
小玲+小军=195 （1）
小玲+小方=198 （2）
小军+小方=193 （3）
将三个等式的左边和右边各项分别相加，得：
2×（小玲+小军+小方）=586
即小玲+小军+小方=293（4）

解：根据等式两边分别相加，结果仍相等，有
8弟书=40
即弟书=40÷8=5（本）
而兄书=3×弟书=3×5=15（本）.
解法2：设兄有书 x 本，弟有书 y 本.
则依题意有下列等式：
或3× （+△）=30
得+ △=10. （3）
由（4）式-（1）式得
小方=293-195=98
由（4）式-（2）式得
小军=293-198=95
由（4）式-（3）式得
小玲=293-193=100
根据等式两边分别相减，结果仍相等，有

可见小方得98分，小军得95分，小玲得100分.
（1）式+（2）式得：
3只鸡+3只鸭=522角
习题十五
下面式中：1. 、 、各代表一个数，请问他们各代表什
么数？
得△ + +=12（4）
（4）式-（1）式得：○=5
（4）式-（2）式得：□=4
（4）式-（ ）式得：3=3.
2.解：将各等式两边分别相加，见下式：
2.下式中梨、苹果和香蕉各代表一个数，请你把它们算出
来.
梨+梨+柿子+香蕉=17
梨+柿子+柿子+香蕉=14
梨+柿子+香蕉+香蕉=13.
3.小军家养了一只大白兔和一只小花猫.有一天，小军抱着
大白兔站在体重计上称一称，正好是33斤；后来小军放下
大白兔又抱起小花猫，站在体重计上一称，正好是31斤；
最后小军把大白兔和小花猫一起放在体重计上称一称是4
斤.请你算一算，小军、大白兔和小花猫各是多少斤？
4.已知：x+y=18
（1）
x-y=14 （2）
求：x=？y＝？
5.一盒精装的笔，连盒共值18元，笔比盒贵14元，盒和笔
的价钱各是多少？
6.饲养场出售鸡、鸭，以只数计价，爸爸买1只鸡、2只鸭
共付25元；如果买2只鸡、1只鸭要付27元2角.问鸡、鸭各
多少钱一只？
7.三头牛和八只羊一天共吃青草93斤.五头牛和十五只羊
一天共吃青草165斤.问一头牛和一只羊一天共吃青草多
少斤？
8.加工一批零件，师徒二人合作2小时可加工34个.已知师
傅加工3小时比徒弟加工4小时多做2个.问师傅每小时加
工多少个？
9.有白、红、黑三色的球.白的和红的合在一起有10个；红
的和黑的合在一起有7个；黑的和白的合在一起有5个.问
三种球合在一起共多少个？
10.百货商店中两支圆珠笔与三支蘸水笔共值7角8分；三
支圆珠笔与两支蘸水笔共值7角2分.问一支圆珠笔值多少
钱？
笔+盒=18
笔-盒=14
（1）
（2）
得5x+5y=150
即 x+y=150÷5=30
也即2x+2y=60（3）
由（2）式-（3）式得：x=12（分）=1角2分
由（1）式-（3）式得：y=18（分）=1角8分
即1支圆珠笔1角2分，1支蘸水笔1角8分.
将 x 的值代入（1）式
得16+y=18
5.解：列等式：
（1）+（2）+（3），得：
2×（白+红+黑）=22
所以白+红+黑=11
即白球、红球和黑球合在一起共1 1个.
10.解：设1支圆珠笔值 x 分，1支蘸水笔值 y 分，依题意
列出下列等式：
（1）+（2）：
比较小的重量单位是克.
用天平称一称：一个2分硬币是多少克？是1克；10个2分
硬币是多少克？是10克；1000个2分硬币是多少克？是1
千克（1公斤）.
1袋精盐是1公斤；10袋精盐是10公斤；100袋精盐是100
公斤；1000袋精盐是1000公 斤.
比较大的重量单位是吨.
1吨=1000公斤.
例1副食店平均每天售出精盐 500袋，每袋精盐重1公斤，
问4天售出精盐多少公斤？合多少吨？
解：1袋精盐重1公斤，500袋重500公斤.如果每天售出精
盐500公斤，4天售出：
500×4=2000（公斤）
6.解：依题意列出下列等式：
附录
1000公斤是1吨，2000公斤是2吨.
答：4天售出精盐2000公斤，合2吨.
即梨+柿子+香蕉=11 （4）
由（1）式-（4）式得：梨=6
由（2）式-（4）式得：柿子=3
由（3）式-（4）式得：香蕉=2.
3.解：将称重过程和结果用下列等式表示出来：
小军+大白兔=33斤 （1）
小军+小花猫=31斤 （2）
大白兔+小花猫=4斤 （3）
三式相加有：
2×（小军+大白兔+小花猫）=68斤即
小军+大白兔+小花猫=34斤 （4）
（4）-（1）：小花猫=1斤
（4）-（2）：大白兔=3斤
（4）-（3）：小军=30斤.
把（1）式等号两边同乘以2，结果仍相等，故得：6牛+16
羊=186斤（3）
（3）-（2），得：
1牛+1羊=21斤
即1头牛和一只羊一天共吃青草21斤.
8.解：设师傅1小时加工 x 个，徒弟1小时加工 y 个.依题意
列出下列等式：］
把（1）式等号两边同乘以2，结果仍相等，故有
4x+4y=68
（3）
（2）+（3）得：
7x=70
x=10（个）（师傅1小时做）.
9.解：依题意列出下列等式：
一公斤也叫做一千克.
称物体的重量用秤，秤有多种多样.
公斤是重量的单位.
或3×（鸡+鸭）=522角
1只鸡+1只鸭=174角 （3）
（1）式-（3）式得
1只鸭=250-174=76角=7元6角
（2）-（3）式得：
1只鸡=272-174=98角=9元8角.
7.解：依题意列出下列等式
第一讲重量的认识
你的体重是多少公斤？

（1）+（2）：2×笔=32
得：笔=16（元）
习题十五解答
1.解：将各等式两边分别相加
又16-盒=14
盒=2（元）

例2星期日，一家三口人一同去采购.买了4公斤面粉、1公
斤挂面、3公斤白菜、2公斤肉.问他们一共采购了多少公
斤食物，合多少克？
解：一共采购的重量是：
4+1+3+2=10（公斤）
1公斤是1000克，10公斤是10000克（10个千是1万）.
答：他们采购了10公斤食物.合10000克.
例3张阿姨和李阿姨合买了一筐苹果，连筐一共是20公斤.
张阿姨从筐中取走10公斤，空筐重1公斤.问李阿姨买到苹
果多少公斤？合多少克？
解：李阿姨买到苹果：
20-10-1=9（公斤）
1000克×9=9000克
答：李阿姨买到苹果9公斤，合9000克.
例49个人合买香蕉 27公斤.问每人平均得到香蕉多少公
斤？合多少克？
解：每人平均得到香蕉：
27公斤÷9=3公斤

一袋面包250克.问李明采购的重量一共多少克？合多少
公斤？
4.王山采购梨和香蕉的总重量是2公斤.其中梨的重量是
800克，问王山买了多少克香蕉？
5.一袋全脂甜奶粉是454克，问9袋是多少公斤零多少克？
袋白瓜子共重1080克，问一袋白瓜子重多少克？4袋白
瓜子重多少克？
7.菜站从3吨零600公斤白菜中取出一半卖给9户人家，问
每家买到白菜多少公斤？
小学生用的三角板的厚度大约是1毫米.你量量看.10个厘
米的长是1分米.

1分米=（）厘米； 1米=（）厘米；
1公里=（）分米=（）厘米；
2公里=（）米；
1分米=（10）厘米；
2公里=（2000）米；
10米=（）厘米；
1米=（10）分米；
1米=（100）厘米；
10米=（1000）厘米.
解：1公 里=（1000）米；

1公里=（10000）分米=（100000）厘米；
例 680厘米的绳子对折三次后将绳子分为几等份？每份多
长？
解：80厘米的绳子对折三次后将绳子分的份数是：
2×2×2=8
每份的长度是：80厘米÷8=10厘米.
习题一解答
公斤=（1000）克；8公斤=（8000）克；
1吨=（1000）公斤；6吨=（6000）公斤.
2.（略）.3.答：李明采购的总重量一共有1000克，合1公
斤.4.答：王山买了1200克香蕉.
5.答：9袋全脂奶粉共重4086克，合4公斤零86克.
克÷6=180克
180克×4=720克
答：1袋白瓜子重180克，4袋白瓜子重720克.
公斤×3+600公斤=3600公斤
3600公斤÷2÷9=200公斤
答：每家买到白菜200公斤.
比分米长的单位是米，10个分米的长是1米.

答：绳子被分成8等份，每份长10厘米.
例7哥哥的一“拃”长是18厘米，见图2—8，他 量一根棍是
5“拃”.估计这根棍有多长？
售货员量布时用米尺；裁缝做活用直尺和皮尺；木匠做活
用直尺和钢尺.这些尺子上都刻有米、分米、厘米、毫米
的尺寸.
比米还长的单位是公里，1000米就是1公里.
1000克×3=3000克
答：每人平均得到香蕉3公斤，合3000克.
例5王叔叔家30天食用6公斤鸡蛋，每公斤鸡蛋价值5元人
民币.问王叔叔在90天中买鸡蛋用了多少元人民币？
解：在30天中买鸡蛋用人民币：
5元×6=30元
平均每天买鸡蛋用人民币
30元÷30=1元
两地的距离若比较长，通常用公里做长度单位.
例1量一量：两条线段各多少毫米？合多少厘米零多少毫
米.
解：18厘米×5=90厘米=9分米.
答：估计这根棍长9分米.
例8爸爸的一“步”长是8分米（见图2—9）.爸爸从家到工作
地点共走1250“步”. 问两地间距离大约是多少？
第二讲长度的认识
量物体的长度要用尺，尺有很多种. 解：线段（1）长20毫米合2厘米；
线段（2）长31毫米合3厘米1毫米.
例2量一量：你的数学课本长多少？宽多少？
解：数学课本的长18厘米3毫米，宽13厘米.
例3请你画出：（1）长方形（长2厘米又1毫米，宽1厘米）
（2）正方形（边长为1厘米）
解：爸爸1步的长度是8分米，1250步的长度是：
1250×8=10000（分米）
10000分米=1000米=1公里.
答：家与工作地点的距离大约是1公里.
习题二
1.填空：
1公里=（）米；2公里=（）分米；1米=（）毫米；
在90天中，买鸡蛋用人民币：
90×1=90（元）
答：王叔叔家在90天中，买鸡蛋用人民币90元.
例6煤厂把1800吨煤的二分之一卖给联合大学，余下的平
均卖给三个中学 .问联合大学和每个中学各买到煤多少
吨？
解：联合大学买到煤：
1800吨÷2=900吨
三个中学一共买到煤：
1800吨-900吨=900吨
每个中学买到煤：

每个同学都有一把直尺，用直尺可以画直线，量长度.

作图：


直尺上最小的一小格的长是1毫米.10个小格的长度是1厘
米.
例4量一量图2—7的直角三角形的三条边各多长？ 2米=（）厘米；10米=（）厘米；200米=（）分米.
2.图2-10中有几个线段？量一量，每条线段有多长？
900吨÷3=300吨
答：联合大学买到煤900吨，每个中学买到煤300吨.
习题一
1.填空：
1公斤=（）克；8公斤=（）克.
1吨=（）公斤；6吨=（）公斤.
2.你的体重是多少公斤？合多少克？
3.李明买一袋绵白糖重500克，买一袋麦乳精重250克，买

解：量得 AB=15毫米=1厘米5毫米；
BC=30毫米=3厘米；
CA=33毫米=3厘米3毫米.
例5填空：
1公里=（）米；
1米=（）分米；
3.数一数：图2-11中有几个正方形？量一量，每个正方形
的 边长是多少？

4.量一量，图2-12中的直角三角形的每边长是多少？

12点15分钟又叫做12点1刻.
9点30分钟又叫做9点半.
例1写出每个钟表盘上所指的时间.
5.现有三条绳子，第一条长1米5分米，第二条长2米，第
三条长2米6厘米.问三条绳子 一共有多长？
6.明明的一“拃”长15厘米，他量一个桌子有6“拃”长、4“拃”
宽.问桌子的长和宽大约是多少？
7.叔叔的一“步”长9分米，他量一个屋子有5步长4步宽.问
屋子的长和宽大约是多少？
8.一条绳子是72米，现在要把它分成4等份，问需对折几
次？1份有多长？2份有多长？3份有多长？
钟面上有时针、分针、秒针和12个数码.短针叫做时针，
长针叫做分针，另有一个细长针叫做秒针.
钟表的圆周被12个数码分成12个相等的大格.每个大格又
分成5个相等的小格.这样，钟面上的圆周共分成了60个相
等的小格.
时针走1个大格是1小时；分针走1个小格是1分钟；秒针走
1个小格是1秒.
秒针走一圈是60秒，分针走一圈是60分钟，时针走一圈是
习题二解答
公里=（1000）米；2公里=（20000）分米；
1米=（1000）毫米；2米=（200）厘米；
10米=（1000）厘米；200米=（2000）分米.
2.图2—10中线段的条数是：3+2+1=6，
AC1=14毫米，C1C2=30毫米，
C2B=45毫米，AC2=44毫米，
C1B=75毫米，AB=89毫米.
3.图2—11中正方形的个数是：
4×3+3×2+2×1=20
12个较小的正方形，边长是5毫米；
6个中等正方形，边长是1厘米；
2个较大的正方形，边长是15毫米.
4.图2-12中的直角三角形，直角边 AB=15毫米，BC=30毫
米，斜边 AC=33毫米.
5.三条绳子一共长5米5分米6厘米.
6.桌子的长大约90厘米，宽大约60厘米.
7.屋子的长大约4米5分米，宽大约3米6分米.
米的绳子分成四等份，需要对折两次.其中一份长18
米，两份长36米，三份长54米.
12小时.
当时针走过一个数字时，分针就走了一圈.于是：
当分针走一小格时，秒针就走一圈.于是：
通常15分钟叫做一刻钟.于是：
这样认识钟表：
当分针指着12的时候，时针指着数码几就是几点钟.
解：图3-5中各钟表盘上所指的时间分别是：
（1）1点；（2）5点；（3）12点；
（4）3点45分；（5）12点30分；（6）6点.
例2你能看出图3-6中各种钟表盘上所指的时间吗？
解：图3-6中各种钟表盘上所指的时间分别是：
（1）10点30分或10点半；
（2）5点15分或5点1刻；
（3）7点45分或7点3刻；
（4）12点35分20秒；
（5）11点50分15秒；
（6）2点25分45秒.
30分+30分=60分
60分=1小时
答：彤彤做语文作业和数学作业各用30分钟.一共用1小时.
习题三
1.填空：
60秒钟=（）分钟；半分钟=（）秒；
60分钟=（）小时；6小时=（）分钟；
15分钟=（）刻钟；45分钟=（）刻钟.
2.看图3-9，王老师从家到学校用多少时间？王老师在学校
多少时间？
例5看图 3-8，彤彤做语文作业用几分钟？做数学作业用几
分钟？一共用几小时？
解：从4点10分到4点40分，钟表走30分钟；从4点40分到5
点10分，钟表走30分钟.钟表一共走：

时针走过数字几，就是几点.再看分钟从数12起，顺时针
走过多少小格就是几点零多少分. 例3看谁跑得最快？
3.孙健30秒钟能写8个字，问他1分钟能写多少个字？9分
钟能写多少个字？
4.看着钟表的秒针，测验一下你在10秒内，能由1数到几？
再 测验一下在30秒内你的脉搏跳多少次？
5.一个小朋友用自来水洗完手，忘记关水龙头，一分钟白
白流走水8千克，问8分钟浪费多少水？
6.看本讲第一个图（图3—1），写出张萌每天起床 、学习、
解：葛梅跑得最快，50米赛跑，只用10秒钟.
例4看图3-7，写出小华三餐的时间.
解：小华早餐：7点15分（7点1刻）；
午餐：12点15分（12点1刻）；
晚餐：5点45分（5点3刻）.
锻炼和休息的时间.
习题三解答
秒钟=（1）分钟；半分钟=（30）秒钟；
第三讲时间的认识（上）
张萌的生活习惯好，每天按时起床，按时学习、锻炼和休
息.
计算时间的工具是钟表. 4点45分又叫做4点3刻（因为1刻=15分钟，45分钟里有3
个15分钟.）
60分钟=（1）小时；6小时=（360）分钟；
15分钟=（ 1）刻钟；45分钟=（3）刻钟.

2.王老师从家到学校用35分钟；王老师在学校的 时间是9
个小时零15分钟.
3.孙健1分钟能写16个字；9分钟能写144个字.
4.参考解答：10秒内，大约能从1数到25左右；在30秒内，
小学生脉搏跳动大约在43次左右.
分钟浪费水64千克.
6.张萌每天早上6点半起床；8点开始上课学习；10点做操
锻炼身体；晚上7点看电视休息；
8点半睡觉.
习题四
1.填空：
1天=（）小时；1周=（）天；
1年=（）月；平年2月=（）天；
大月=（）天；闰年2月=（）天；
平年1年=（）天.
2.填空：
1世纪是从公元（）年至（）年；
9世纪是从公元（）年至（）年；
12世纪是从公元（）年至（）年；
19世纪从公元（）年至（）年.
3.王芳每天学习6小时，锻炼身体1小时30分钟，文娱活动
2小时30分钟，用餐2小时，睡眠9小时.问王芳每天还有多
少时间自由活动？
4.想一想：一个月至少包含几周？
5.每年的第三季度（7～9月）和第四季度（10～12月）各
有多少天？
6.少先队夏令营的时间是7月21日至8月4日.如果将开始和
结束的两天计算在内，问少先队夏令营共度过多少天？
7.填空：
年12月31日是星期六.请你编出1995年（平年）1月
和2月的月历.
习题四解答
天=（24）小时1周=（7）天；
1年=（12）月；平年2月=（28）天；
大月=（31）天；闰年2月=（29）天；
平年1年=（365）天.
世纪是从公元（1）年至（100）年；
9世纪是从公元（801）年至（900）年；

12世纪是从公元（1101）年至（1200）年；
19世纪是从公元（1801）年至（1900）年.
小时-6小时-1小时30分-2小时30分-2小时-9小时=3小
时.
答：王芳每天还有3小时自由活动.
4.一个月至少有28天，28÷7=4（周）.
答：一个月至少包含4周.
5.每三季度的天数是：
31天+31天+30天=92天
第四季度的天数是：
31天+30天+31天=92天.
6.答：少先队夏令营共度过15天.
7.
8.