琵琶行原文-小学毕业留言

基本公式
路程＝速度×时间； 路程÷时间=速度； 路程÷速度=时间
关键
问题
确定行程过程中的位置路程
相遇路程÷相遇时间= 速度和相遇路程÷速度和=相遇时间 相遇问题（直线）
乙的路程=总路程 甲的路程+ 相遇问题（环形） 乙的路程=环形周长 甲的路
程 +
追及问题
追及时间＝路程差÷速度差 速度差＝路程差÷追及时
间 路程差＝追及时间×速度差 追及问题（直线） X追及时间追者路程-被
追者路程=速度差 距离差= 追及问题（环形） =快的路程-曲线的周长慢的路
程

流水问题
顺水行程＝（船速＋水速）×顺水时间
逆水行程＝（船速－水速）×逆水时间
顺水速度=船速＋水速
逆水速度＝船速－水速
静水速度=（顺水速度＋逆水速度）÷2
水速：（顺水速度－逆水速度）÷2

解题关键

船在江河里航行时，除了本身的前进速度外，还受到流水的推送或顶 逆，在这
种情况下计算船只的航行速度、时间和所行的路程，叫做流水行船问题。
流 水行船问题，是行程问题中的一种，因此行程问题中三个量（速度、时间、
路程）的关系在这里将要反复 用到.此外，流水行船问题还有以下两个基本公式：
）1水速，（+船速=顺水速度
逆水速度=船速-水速.（2）
这里，船速是指船本身的速度，也就是在静水中 单位时间里所走过的路程.水
速，是指水在单位时间里流过的路程.顺水速度和逆水速度分别指顺流航行 时和
逆流航行时船在单位时间里所行的路程。
根据加减法互为逆运算的关系，由公式（l）可以得到：
水速=顺水速度-船速，
船速=顺水速度-水速。
由公式（2）可以得到：
水速=船速-逆水速度，
船速=逆水速度+水速。
这就是说，只要知道了 船在静水中的速度，船的实际速度和水速这三个量中的
任意两个，就可以求出第三个量。
另外，已知船的逆水速度和顺水速度，根据公式（1）和公式（2），相加和相
减就可以得到：
船速=（顺水速度+逆水速度）÷2，
水速=（顺水速度-逆水速度）÷2。

例：设后面一人速度为x，前面得为y，开始距离为s，经时间t后相差a米。那
么
（x-y)t=s-a
解得t=s-ax-y.

追及路程除以速度差（快速-慢速）=追及时间

v1t+s=v2t
(v1+v2)t=s
t=s(v1+v2)



（一）相遇问题
两个运动物体作相向运动或在环形跑道上作背向运动 ，随着时间的发展，必然面
对面地相遇，这类问题叫做相遇问题。它的特点是两个运动物体共同走完整个 路
程。
小学数学教材中的行程问题，一般是指相遇问题。
相遇问题根据数量关系可分成三种类型：求路程，求相遇时间，求速度。
它们的基本关系式如下：
总路程=（甲速+乙速）×相遇时间
相遇时间=总路程÷（甲速+乙速）
另一个速度=甲乙速度和-已知的一个速度
（二）追及问题
追及问题的地点可以相同（如环形跑道上的追及问题），也可以不同，但方 向一
般是相同的。由于速度不同，就发生快的追及慢的问题。
根据速度差、距离差和追及时间三者之间的关系，罕用下面的公式：
距离差=速度差×追及时间
追及时间=距离差÷速度差
距离差÷追及时间=速度差
速度差=快速-慢速
解题的关键是在互相关联、互相对应的距 离差、速度差、追及时间三者之中，找
出两者，然后运用公式求出第三者来达到解题目的。
（三）二、相离问题
两个运动物体由于背向运动而相离，就是相离问题。解答相离问题的关 键是求出
两个运动物体共同趋势的距离（速度和）。
基本公式有：
两地距离=速度和×相离时间
相离时间=两地距离÷速度和
速度和=两地距离÷相离时间
流水问题
顺流而下与逆流而上问题通常称为流水 问题，流水问题属于行程问题，仍然利用
速度、时间、路程三者之间的关系进行解答。解答时要注意各种 速度的涵义及它
们之间的关系。
船在静水中行驶，单位时间内所走的距离叫做划行速度或叫 做划力；顺水行船的

速度叫顺流速度；逆水行船的速度叫做逆流速度；船放中流，不靠动 力顺水而行，
单位时间内走的距离叫做水流速度。各种速度的关系如下：
（1）划行速度+水流速度=顺流速度
（2）划行速度-水流速度=逆流速度
（3）（顺流速度+ 逆流速度）÷2=划行速度
（4）（顺流速度- 逆流速度）÷2=水流速度
流水问题的数量关系仍然是速度、时间与距离之间的关系。即：速度×时 间=距
离；距离÷速度=时间；距离÷时间=速度。但是，河水是流动的，这就有顺流、
逆流的 区别。在计算时，要把各种速度之间的关系弄清楚是非常必要的。








1 每份数×份数＝总数
总数÷每份数＝份数
总数÷份数＝每份数
2 1倍数×倍数＝几倍数
几倍数÷1倍数＝倍数
几倍数÷倍数＝1倍数
3 速度×时间＝路程
路程÷速度＝时间
路程÷时间＝速度
4 单价×数量＝总价
总价÷单价＝数量
总价÷数量＝单价
5 工作效率×工作时间＝工作总量
工作总量÷工作效率＝工作时间
工作总量÷工作时间＝工作效率
加数＋加数＝和6
和－一个加数＝另一个加数
7 被减数－减数＝差
被减数－差＝减数
差＋减数＝被减数
8 因数×因数＝积
积÷一个因数＝另一个因数
9 被除数÷除数＝商
被除数÷商＝除数
商×除数＝被除数
小学数学图形计算公式
1 正方形
C周长 S面积 a边长
周长＝边长×4

C=4a
面积=边长×边长
S=a×a
2 正方体
V:体积 a:棱长
表面积=棱长×棱长×6
S表=a×a×6
体积=棱长×棱长×棱长
V=a×a×a
3 长方形
C周长 S面积 a边长
周长=(长+宽)×2
C=2(a+b)
面积=长×宽
S=ab
4 长方体
V:体积 s:面积 a:长 b: 宽 h:高
(1)表面积(长×宽+长×高+宽×高)×2
S=2(ab+ah+bh)
(2)体积=长×宽×高
V=abh
5 三角形
s面积 a底 h高
面积=底×高÷2
s=ah÷2
三角形高=面积 ×2÷底
三角形底=面积 ×2÷高
6 平行四边形
s面积 a底 h高
面积=底×高
s=ah
7 梯形
高h 下底b 上底a 面积s
面积=(上底+下底)×高÷2
s=(a+b)× h÷2
8 圆形
S面积 C周长 ∏ d=直径 r=半径
(1)周长=直径×∏=2×∏×半径
C=∏d=2∏r
(2)面积=半径×半径×∏
9 圆柱体
v:体积 h:高 s;底面积 r:底面半径 c:底面周长
(1)侧面积=底面周长×高
(2)表面积=侧面积+底面积×2

(3)体积=底面积×高
（4）体积＝侧面积÷2×半径
10 圆锥体
v:体积 h:高 s;底面积 r:底面半径
体积=底面积×高÷3
总数÷总份数＝平均数
和差问题的公式
(和＋差)÷2＝大数
(和－差)÷2＝小数
和倍问题
和÷(倍数－1)＝小数
小数×倍数＝大数
(或者 和－小数＝大数)
差倍问题
差÷(倍数－1)＝小数
小数×倍数＝大数
(或 小数＋差＝大数)
植树问题
1 非封闭线路上的植树问题主要可分为以下三种情形:
⑴如果在非封闭线路的两端都要植树,那么:
株数＝段数＋1＝全长÷株距－1
全长＝株距×(株数－1)
株距＝全长÷(株数－1)
⑵如果在非封闭线路的一端要植树,另一端不要植树,那么:
株数＝段数＝全长÷株距
全长＝株距×株数
株距＝全长÷株数
⑶如果在非封闭线路的两端都不要植树,那么:
株数＝段数－1＝全长÷株距－1
全长＝株距×(株数＋1)
株距＝全长÷(株数＋1)
2 封闭线路上的植树问题的数量关系如下
株数＝段数＝全长÷株距
全长＝株距×株数
株数÷株距＝全长
盈亏问题
(盈＋亏)÷两次分配量之差＝参加分配的份数
(大盈－小盈)÷两次分配量之差＝参加分配的份数
(大亏－小亏)÷两次分配量之差＝参加分配的份数
相遇问题
相遇路程＝速度和×相遇时间
相遇时间＝相遇路程÷速度和
速度和＝相遇路程÷相遇时间
追及问题

追及距离＝速度差×追及时间
追及时间＝追及距离÷速度差
速度差＝追及距离÷追及时间
流水问题
顺流速度＝静水速度＋水流速度
逆流速度＝静水速度－水流速度
静水速度＝(顺流速度＋逆流速度)÷2
水流速度＝(顺流速度－逆流速度)÷2
浓度问题
溶质的重量＋溶剂的重量＝溶液的重量
溶质的重量÷溶液的重量×100%＝浓度
溶液的重量×浓度＝溶质的重量
溶质的重量÷浓度＝溶液的重量
利润与折扣问题
利润＝售出价－成本
利润率＝利润÷成本×100%＝(售出价÷成本－1)×100%
涨跌金额＝本金×涨跌百分比
折扣＝实际售价÷原售价×100%(折扣＜1)
利息＝本金×利率×时间
税后利息＝本金×利率×时间×(1－20%)














奥数行程问题的基本公式

时间：2010年02月02日 作者： 来源：互联网 点击量：244



路程＝速度×时间；路程÷时间＝速度；路程÷速度＝时间基本公式：
基本概念：行程问题是研究物体运动的，它研究的是物体速度、时间、行程三者之间的关系。
关键问题：确定行程过程中的位置
相遇问题：速度和×相遇时间＝相遇路程（请写出其他公式）
追击问题：追击时间＝路程差÷速度差（写出其他公式）
流水问题：顺水行程＝（船速＋水速）×顺水时间 逆水行程＝（船速－水速）×逆水时间
顺水速度＝船速＋水速 逆水速度＝船速－水速
静水速度＝（顺水速度＋逆水速度）÷2 水 速＝（顺水速度－逆水速度）÷2
流水问题：关键是确定物体所运动的速度，参照以上公式。

过桥问题：关键是确定物体所运动的路程，参照以上公式。
仅供参考：
【和差问题公式】
（和+差）÷2=较大数；
（和-差）÷2=较小数。
【和倍问题公式】
和÷（倍数+1）=一倍数；
一倍数×倍数=另一数，
或 和-一倍数=另一数。
【差倍问题公式】
差÷（倍数-1）=较小数；
较小数×倍数=较大数，
或 较小数+差=较大数。
【平均数问题公式】
总数量÷总份数=平均数。
【一般行程问题公式】
平均速度×时间=路程；
路程÷时间=平均速度；
路程÷平均速度=时间。
【反向行程问题公式】
反向行程问题可以分为“相遇问题”（二人从两地出发，相向而行）和“ 相离问题”（两人背向
而行）两种。这两种题，都可用下面的公式解答：
（速度和）×相遇（离）时间=相遇（离）路程；
相遇（离）路程÷（速度和）=相遇（离）时间；
相遇（离）路程÷相遇（离）时间=速度和。
【同向行程问题公式】
追及（拉开）路程÷（速度差）=追及（拉开）时间；
追及（拉开）路程÷追及（拉开）时间=速度差；
（速度差）×追及（拉开）时间=追及（拉开）路程。
【列车过桥问题公式】
（桥长+列车长）÷速度=过桥时间；
（桥长+列车长）÷过桥时间=速度；
桥、车长度之和。=速度×过桥时间
【行船问题公式】
（1）一般公式：
静水速度（船速）+水流速度（水速）=顺水速度；
船速-水速=逆水速度；
（顺水速度+逆水速度）÷2=船速；
（顺水速度-逆水速度）÷2=水速。
（2）两船相向航行的公式：
甲船顺水速度+乙船逆水速度=甲船静水速度+乙船静水速度
（3）两船同向航行的公式：
后（前）船静水速度-前（后）船静水速度=两船距离缩小（拉大）速度。
（求出两船距离缩小或拉大速度后，再按上面有关的公式去解答题目）。

思维调查卷
________
得分： 姓名：________ 总分：100分（基分20） 时间：30分钟 题，要求简单
明了写出解答过程，最后的结果请填在试 题的横线上。试卷说明：本卷共6倍，当乙第一次追上
甲2.51. 甲、乙两人同时同地同向出发，沿 环行跑道匀速跑步，如果出发时乙的速度是甲的11
甲的速度立即提高时，，并且乙第一次追上甲的地点 与第二次追上甲的地点相距（较，而乙的速
度立即减少

45 米；短距离）100 米，那么这条环行跑道的周长是______2个单位，乙后来的
速度是1个单位，则乙原来的速度是2 .5个单位，甲后来的速度是1.25解：设甲原来的速度是圈
再次被乙追上，则乙又跑(x+1)圈； 被追上后甲又跑了yx个单位。设第一次甲跑了圈时被乙追上，
则此时乙跑了 了(y+1)圈。利用两次甲乙跑的时间相等列方程：A

1xx





52.11yy


2.251
B
C

221,yx
解得：

33
。C是圆周的三等分点）A、B、点追上甲，第二次在如图，若两人从 A
出发逆时针跑，则第一次乙在BC点追上甲（
3003100
米。因为B、C相距100米，所以环形
跑道的周长为
分钟。现在把快表指示小时比标准表慢3小时比标准表快3分钟，慢表每72. 两块手表走时一快
一慢，快表每9 ___:___；，慢表指示时间调成8:31，那么两表第一次指 示的相同时刻是时间调成
是8:1522 5：答案：
千米／小时，那么第三小时千米，水速为22次，第一小时比第二小时多行43. 一艘船在一条河
里5个小时往返 _____千米；船行了1，那么得到第4，路程差也是4解：首先判 断出开始是顺
流。在第1小时和第2小时这两个相等的时间内，速差是小时肯定是逆水。具体行驶4小时 正好
是走一个顺流的长度。由于第1个小时在顺水时走的才是一个全长，那么第 情况如图。小时的最终时刻到全3小时逆行的路程都是4，那么它们顺行的路程也必须相等，故第再者，第2小时
和第 3 长的中点。速的水中2a千米，船在静小时和第最后，比较第33小时行驶的情况：设全
长为 千米。度为每小时x4

a24a42a
，

4

2x2xx2x2
10千米。解得a＝
小明早上从家步行到 学校，走完一半路程时，爸爸发现小明的数学课本丢在家里，随即骑车去给
小明送书，追4.
3上时，小明还有的路程未走完，小明随即上了爸爸的车，由爸爸送往学校。这样，小明就比独
自步行 提早

10 ______5分钟到学校，小明从家到学校全部步行需要分钟；了277217 ，接下来如
果小明步27：小明走解：，与小明的爸爸走的时间相同，所以他们的速度比是：＝
133行，爸爸骑车都走，则，所以小的路程，那么小明就多用5分钟，设速度的一< br>份为xx,7x52x

1 ，所用时间是明的速度是1分钟。，从家到学校的路程是
2321

37014070
行程问题下

【老师寄语】：解行程问题要会读题，一遍 快速归类浏览；二遍逐句解读整理；三遍回头寻找误
解。最终要学会“纸上谈兵”。
——陈拓
一、环行运动：
1. 男、女两名运动员同时同向从环形跑道上A点出发跑步 ，每人每跑完一圈后到达A点会立即
调头跑下一圈。跑第一圈时，男运动员平均每秒跑5米，女运动员平 均每秒跑3米。此后男运动
员平均每秒跑3米，女运动员平均每秒跑2米。已知二人前两次相遇点相距8 8米（按跑道上最

短距离），那么这条跑道长______米；
53解：因 为第一圈时男运动员的速度是女运动员的倍，所以男运动员跑完第一圈后，女运动员
刚刚跑到全长的位< br>
531置。这时男运动员调头和女运动员以相同的速度相向而行，所以第一次
相遇点 在距A点全长处。

5下面讨论第二次相遇点的位置，在第二次相遇前，男运动员已经跑完第二圈，男运动员跑第二圈的速度与女运动员第一圈的速度相同，所以在男运动员跑完第二圈
时， 女运动员跑第二圈的时间恰好等于男运动员跑第一圈的时间，22，所以女运动员刚好跑到距
A而女运动 员跑第二圈的速度是男运动员跑第一圈速度的点的位置，此时男女运动

559。两次
相遇点间的距员相向运动，男运动员的速度为3ms，女运动员的速度为2ms。这样第二次相遇
点距 A点

251119141114离为总全长的。所以两点在跑道上的最短距离为全长的而这段 距离又为
88米。所以88÷。1

25525252525＝200米。

2. 在一圈300米的跑道上，甲、 乙、丙3人同时从起跑线出发，按同一方向跑步，甲的速度是6
千米小时，乙的30千米小时，丙的速度 是3.6千米小时，速度是_____分钟后3人跑到一起，
_____小时后三人同时回到出发

7 点；的整数倍；如果都同时回到出发点，那人跑到一起的意思
是快者比慢者跑的路程差 应是300分析：我们注意到，3的整数倍。同时注意到本题的单位不统
一，首先换算单位，然后利用求 两个分数的最小公么每人跑的路程都是300 倍数的方法可以解
决问题。68000米）先换算单位： 甲的速度是1分钟；丙的速度是米分钟；乙的
速度是米解：（60100

607607560 分钟。50020080
60t100t
米。路程差都人跑 的路程分别
是分钟（2）设t3人第一次跑到一起，那么3米、米、tt,t40t,
< br>777
105
300300730071537157105，
所以第 一次3300是的整数倍。而 人跑到一起的时间是分,,][[t,,]

2
24224020080 钟。
500t60tt100
米。每个路程都是 300米、人跑的路程分别是33k3（）设分钟人同时回到起点，那
么米、的整数

7
300300730021，所以倍。而3人同时回到起点的时间是105分钟。 105][t[3,,5],,

100500605评注：求几个分数的最小公 倍数的方法是：所有分子的最小公倍数作分子，所有
分母的最大公约数作分母得到的分数。

3. 某体育馆有两条周长分别为150米和250米的圆形跑道〔如图〕，甲、乙俩个运动员分别从两
条跑道相距最远的两个端点A、B两点同时出发，当跑到两圆的


时，就会转入到另一个圆形跑道，且交汇点C在小跑道上必须顺时针跑，在大跑道上必须逆B
A A B
C
______秒。米，当乙第5次与甲相遇时，所用时间是时 针跑。甲每秒跑4米，乙每秒跑5本题
如果按原来的图形思考，会是非常麻烦的事，需要分段计算，然后 找到周期，这样没有细心的计
算是很分析：400就是一个在周长“拧开”在大圆上是逆时针，难解决问 题的。现在我们注意到
在小圆上是顺时针，如果这两个圆能 米的大圆上的不同起点同时的追及问题，题 目一下子变得
非常简单了。米，以后每200处，相距200米同时同向而行，乙速较快，第一次追上甲 要多跑解：
根据分析，甲在A处，乙在B5（米，需要的时间是1800÷那么第五次乙追上甲时，比甲 多跑
400×4+200＝1800追上一次乙都要比甲多跑400米， 秒。4）＝1800－当一个 问题按试题指引
的方向比较复杂时，有时可以换一个角度得以使试题简化，而题目本身并没有实质上评注 ： 的
数学思想。“转化”的变化，这是解决数学问题经常用到的 8 千米，在90是一条环行公路。已
知汽车在AB上时速是4. 如图，正方形ABCDN A B 80 上的时速是千米，在DA千米，在上的
时速是120CD上的时速是60BC中点相遇。ABP，同时反 向各发出一辆汽车，它们将在千米。
从CD上一点9
相NAB上一点如果从PC的中点M，同时反向各发出一辆汽车，它们将在6
AN遇。那么 ______；

NBD C

M P 么分析：对于正方形的路线，每边长是相同的，由于反向开出的两辆车，不管走什12
时样的路况，到相遇的时候走的时间相同，故可以把每边设成速度的倍数，转化成 间来解题。
小时，6上行驶的时间是720÷120上行驶的时间是720÷908小时，BC千米，解：设正方形的边长为720那么AB359小时。那么行驶一周的总时间是8+6+12+912小时，DA上行驶的 时
间是720÷80CD上行驶的时间是720÷60 小时。中点同时反向各发出一辆汽ABP，同时反向
各发出一辆汽车，它们将在AB中点相遇，相当于从 从CD上一点上的时间PM4.5小时，
DP上的时间为17.549车，它们在CD上一点P相 遇，每辆车都行驶35÷2＝17.5小时，7.75
－0.25＝0.25小时，NB上的时间为8 3.75小时。同样得到AN上的时间为17.53.754.592为
（124.5）÷1 0.25AN上的速度相同，故路程比就等于时间比。即、NB小时。AN。 
起点的时间相同，很容易求得DP 长设成速度的最小公倍数解题可以简化计算。
二、时钟问题：小时下课铃响了，这时小明又看了一下手5. 早上8点多的时候上课铃响了，这
时小明看了一下手表。过了大约1 分。时______表，发觉此时 时针和分针的位置正好与上课铃
响时对调，那么上课时间是_______

同时注意到把边评注：本题要把握住从起点到终点的时间和从终点到

317.75NB上的时间。

：点之间，这样可以初步判断出上课时
间是 8与9－10－分析：8点多上课，下课是9点多，两次的时针应是在89 9：45之间。再利用
分针 与时针速度的关系即可转化成环形上的行程问题。：45分到8：50，下课时间是940到1，
分针每 小时走有分析可以知道，分针和时针走的总路程是整个圆周，设分针速度为1，那么时针
速度为解：
12 格，根据时间相同列方程组：x格，9与分针的夹角为y与时针的夹角为60
个小 格，设8yx4540+。所以上课的时间为4,x444xy40

11888

12 分钟。

143143143

11

12
______1天（快或慢）,(分钟标准时间的65分钟）重合一次这只钟在标准时间的65 6.一只旧钟
的分针和时针每 分钟；
5
分钟重合一次。显然旧钟快。本题的难点在于 65我们标准钟每分析：
标准分钟时针、分针重合一次。旧钟每65

11．

从旧钟两针的重合所耗用的65标准分钟推算出旧钟时针或分针的旋转速度(每标准分钟旋转多
少格)进而推算出旧钟的针24标准小时旋转多少格，它与标准钟的针用24标准小时所走的格数
的差就 是旧钟钟面上显示的比标准钟快的时间读数。

1
标准分钟。如用复合单位表示：旧钟分针速度为x (格标解：设旧钟分针每标准分钟走x格。
那么，每走1格用

x11
。每次重合，所以旧钟时针速度为x (格标准分)准分)。旧钟分针走60
格时针走5格，时针速度总是分针的

121212112)x6560,x(1
.
65标准分钟，而且两次重合之间分针赶超了时针60格，列方程：耗用

1112 131212
。但是
我们只须求出旧钟60×24＝1440标准分，一天内旧钟分针走的 格数为：×标准时间一天有60×
24

111312121212
－ ＝(24－60×24分针比标准钟分针多走了多少格，即减去1440个(标准钟
的)格，所以有×6 0×

11131311102460143144－
)
旧钟格(＝＝101)×60×24＝×60×24

1431113111310
只是旧钟上显示的多走的格数，也
是旧钟的非标准 分钟数，并非标准的分钟数。这里一定要明白，这10

14310
)
按旧钟上的时间10分钟。(答：这只旧钟在标准时间一天内快

143

7. 一个特殊的圆形钟表只有一根指针，指针每秒转动的角度为成差数列递增。现在可以设定指
针第一秒转动的角度a（a为整数），以及相邻两秒转动的角度差1度，如果指针在第一圈内曾经
指向 过180度的位置，那么a最小可以被设成_______，这种情况下指针第一次恰好回到出发点
是从 开始起第_____秒。
解：对于满足条件的a，即存在1个自然数n，使得a+(a+1)+(a +2)++(a+n1)=180，即(2a+n1)n=360。
显然a越小时，2a+n1 与n的差越小。又2a+n1与n的奇偶性不同，于是可推出n=15，a=5。
故a最小可以被设成

5），所以n+5(（k是整数，nn4)能5。在这种情况下指针第一次恰好回到出发点时，即5+6+7+……+n=360k

n+5(mod3)，所以n4和n +5是3的倍数。又n被720整

除。注意到n4+5与n4的奇偶性不同，故有一 个是16的倍数。且n+5与n4中有1个是5的
倍数。于是得出满足条件的最小的n是100。时间 为96秒。

三、流水行船问题：
8. 某人乘坐观光游船沿河流方向从A 港到B港前行。发现每隔40分钟就有一艘货船从后面追
上游船,每隔20分钟就会有一艘货船迎面开过 。已知A、B两港之间货船发出的间隔时间相同，
且船在静水中的速度相同，均是水速的7倍。那么货船 的发出间隔是_____分钟；
分析：对于直线上汽车与行人的迎面相遇和背后追及这个类型的问题 是多见的，这里要注意顺水
与逆水的不同。
解：设货车在静水中的速度为6，那么水速为1 ，游船的速度为x，时间间隔为t，那么在追及的
情况下的间隔为30×[(6+1)(x+1)] (6+1)×t，迎面相遇情况下的间隔为20×[(61)+(x+1)](61)
×t，解得 t＝72029分钟。
评注：这里要注意与路面上的情况不同的是发车的时间间隔相同时候，在顺水 与逆水的间隔路程
就不同了，就是这样出错的。

9. 有一地区，从A到B为 河流，从B到C为湖。正常情况下，A到B有水流，B到C为静水。
有一人游泳，他从A游到B，再从B 游到C用3小时；回来时，从C游到B，再从B到A用6
小时。特殊情况下，从A到B、从B到C水速一 样，他从A到B，再到C用2.5小时，在在这
种情况下，从C到B再到A用______小时； < br>x1，BC占总体的，根据特殊情况下，从A到B、从B到C份，则份，设解：BC为1AB为xAB占总体的

x1x12.5x2.5. 水速一样，他从A到B，再到C用2.5小 时，速度相同，时间的比等
于路程的比，得到关于时间的等式2.5

1x1x
2.5x0.5x35.5x30.5x3 这样得到其它两个条件的等式：6,3,

x1x1x1x15.5x35.5x3

x? 而要求的算式是

x1x15.5x3

2.530.5xx上逆 水时的时间为，静水时所用时间为，顺水
时所用时间为，所以在BC这样知道在BC
1x1x1x1x1：：，由于三者是公差为水速的等差数
列，所以得到等式：上逆水、静水 、顺水时的速度比为

2.530.5x5.5x312x3，. 
x

2.52335.5x0.5x5.5x35.5x3

x4.537.5. 所以

x1x1答：在特殊情况下，从C到B
再到A用7.5小时。
评注：本题的关 系十分复杂，把四个条件都用时间表示出来，然后寻找在BC上的三种速度是一
个等差数列。


BB
A
地同时出发相向而行。从12A地位于河流的上游，地、 乙船从地位于河流的下游，每天早
上，甲船从10.
月1号开始，两船都装上了新的发动机 ，在静水中的速度变为原来的1.5倍，这时两船的相遇地
点与平时相比变化了1千米。由于天气的原因 ，今天（12月6号）的水速变为平时的2倍，那
么今天两船的相遇地点与12月2号相比，将变化__ _____千米；


分析：对于流水行船问题，注意水速的影响，水中相遇时，速度的和不变；
解：设开始甲船在静水中中速度为V，乙船在静水中速度为V，水速为V，相遇时间为t。
水 甲乙
2
（1）开始时相遇时间为t，而速度均增加1.5倍时，行驶路程不变，故时间缩小1. 5倍时间即为
t1.5=，根据两t

322次相遇点相距1千米，甲两次的路程差 为1千米，列方程，，tV=3，从而=1）
（t1.5VV）t(1.5V2V

甲甲水水
332222； （千米）23V）tV2V）（t1.5VVt(1.5

甲甲水水水< br>3333评注：从题目结论可以看出，路程的变化与甲、乙速度无关，只与水速的变化有关；
水

四、综合行程：

11. 司机每天按规定时间开车 从工厂到厂长家接厂长。一天厂长提前了1小时出门，沿路先步行，
而司机晚出发了4分钟，途中接到厂 长，结果厂长早到厂8分钟，那么开车速度与厂长步行速度
的比是_____；
分析：本题给的是时间的关系。要知道，相同的路程下，路程比等于时间的反比。
解：司机 晚出发4分钟，又早到8分钟，那么相当于少用4812分钟时间接厂长到厂，又知道
司机来回的时 间是相等的，故司机去的时候少用122＝6分钟。而司机这6分钟走的路程是厂长
步行的路程，厂长 走这段路的时间应该是早出发的1小时加上司机遇到厂长时少用的6分钟，共
66分钟。根据分析，相同 的路程情况下，司机的速度与厂长步行的速度比是66：6＝11：1。
评注：不要认为司机6分钟 的路程是厂长1小时的路程，而是要加上司机去的时候少用的6分钟，
想一想，为什么？

12. 某路公交线共有30站（含始发站和终点站），车站间隔2.5千米，某人骑摩托车以300米
分的速度从始发站沿公交线出发，差100米到下一站时，公交总站开始发车，每2分钟一辆，公
交速度500米分，每站停靠3分钟，那么一路上摩托车会被公共汽车从后追上并超过_______次；（摩托车从始至终不停，公交车到终点即停）
解：摩托车与总站相距2400米的时候，第一辆 车开始发车，它与摩托车超过9次，第二辆超过
8次，第三辆超过2次，共计19次；

24千米，而乙比甲提前1.5小时后在某处相遇；如果甲每小时多走4两地同时出发，B、A甲、乙两人分别从 13.
、A48分钟出发，乙每小时少走2.5千米，也能在此相遇，那么分钟出 发，则相遇时仍在此处。
如果甲比乙晚 千米；B两地之间的相距_______ 本题的关键是三次相 遇的地点相同，然后考虑
各自的时间和速度的变化。分析：
240.4
小时，实1. 5千米时，要走相同的路程，则时间就少用
则走相千米小时；

603.61.51 3.5
千米，
当乙每小时少走际所用时间是4－0.4＝3.6小时，那么甲原来的速度是2 .5

0.4484.82.50.815
同的路程要多用千米小时，实际所用 的时间是4+0.8＝4.8小时，那么乙原
来的速度是小时。

A、B两地的距离是（13.5+15）×所以 4x

600.8
4＝1 14千米。
解：假设甲乙4小时相遇在C处，当甲每小时多行
千米、4y千米。那么千米小时， 乙的速度是y千米小时，则甲乙的路程分别是解法二：设甲的
速度是x
xy2444x9 









13.5x60yx1.5101.5x


2.5y52.5x60y
114千米。
y6154yy4x 48
两地的距离是（13.5+15）×4＝所以A、B 24分钟，速度增加，时间减少 ，路程不变的情况。评
注：这里注意到乙多走的24分钟，相当于甲少走了
有轿车、货车、 公共汽车各一辆在一条公路上行驶，公共汽车在最前面，轿车在最后面，公共汽
车与货车的车14.
分钟，货分钟追上公共汽车，又过20距是货车与轿车车距的2倍。轿车追上货车的时间为10
分钟，再过20分钟，那么轿车、货车、公共汽车分钟就停靠车站一次，每次停留2车也追上公
共汽车， 其中公共汽车每走5 ___:___:___；行驶速度比为
,,vv,v
，那么轿车追上货 车时，各自行
驶轿车和货车的距离为解：如图设轿车、货车、公共汽车的速度分别为a
321< br>，）5＋2＝22而公共
汽车只行驶了22分钟（30÷7＝4…2，4×分钟，了10轿车追上 公共汽车时，轿车行驶了30分
钟，，可以得到方）＋1＝365×分钟，公共汽车行驶了36分钟（5 0÷7＝7…1，5当货车追上公
共汽车时，货车行驶了50 程组：
av10v(1)10
21

轿车 货车 公共汽车
(2)a3v22v30


31
a
2 a
(3)2a50v36v
23
22:30v:vv10v18v35
2）得：×3－（得： （1）1（3）－（）×
2
31322
22:30v23:v:v:
从而 得到
321
本题涉及到三个对象的运动，要弄清各自的运动情况是理清
解题思路的关键 ，同时注意到公共汽车是有间歇评注： 的行驶，虽然时间有那么多，而实际行

驶的需要换算。
同时出发，甲、乙向 东，丙B、C、C三地依次分布在由西向东的同一条道路上，甲、乙、丙分
别从A、15. A、B32 B地千米处相遇，甲，丙在B地相遇，而当甲在C地追上乙时，丙已经走
过向西；乙，丙在距离B地18 ______千米；千米，那么，AC间的路程是
人有时间相同的路程，使用比例，路程比等于速18 B CA 比； b
（1）V：V

① b；解：如图设a、 丙 b；=18：
（C ②
丙甲
丙乙

度思路：三

B A 丙 ；b））32+a：（18+：（2）VV=
丙甲乙
（18+）：（） 50+V：3（）VV：=（a+b

；50+b）b：
丙甲乙
,
b(18+))b）:18(18+b:ba=（：V：②可知由①、VV32+
丙 ③
甲．

乙 A B C 32 a



b50ab18a32 （50+b）：18(18+b)：1850 +V：V：V=18（a+b）从而
丙甲乙

b50b18b18 40a
练习题 行程问题上
（千米 40+32+18+30=120，所以AC间< br>距离为30b甲、乙二人分别从圆形跑道的直径两端点同时出发以匀速反向绕此圆形路线 1.


米走完一周时又第二米后，二人第一次相遇，在甲差60运动，当乙走了10 0次相遇，如果两个
人同向出发，那么甲第一次追上乙时距离他的出发点有甲 米；______第一次 相遇时两人共走了
半个圆周，从开始到第二次相遇两人共走了三倍的解：米，这样圆周长是60300米 ，它恰好是半
圆周的多半圆周，那么乙走了100×3＝ 米。＝480－60）×2（300米，这相 当于两人的速度，
两人同向出发时，甲要比乙多走半个圆周就追上140100＝乙走100米时，甲走 了240－米，因此
甲第120840＝米，480×2－－100）＝6个半圆周，这时甲走了6×1 40＝840乙，需要的时间是
240÷（140 米。一次追上乙时距离他的出发点有120
小时，工厂规定超时工资比原分钟与时针重合一次，李师傅按照慢钟工作82. 某工厂的计时钟走
慢了，分针70 ______元；3.5倍，李师傅原工资为每小时3元，这天工厂应付李师傅超时工资工
资多 1小时 。分析：首先要把这个慢表的1小时转换成标准时间的720小时在分钟分针和时针
重合一次。那么慢表 中的在慢表中，70分钟分针和时针重合一次，而标准时间是8解：
超出的每小时的工资是
度是 ，再设x


11720720元，那么）＝13.53×（1+3.5，超出的时间 是标准时间中是70×8÷70×8÷－8，由于

11117208÷70×超时工资就是（7.5元。 －8）÷13.5＝

1112
111，那么时针的速度是分时针和分针重合，分针比时针多走60个格，故有1 评注：设分针的速
（分钟）xx60,(1)

127201 。
千米，甲码头在乙码头的上游。一艘货船和一艘游船同时分别从甲码头和乙15 江上有甲、乙两个码头，相距3.分钟后货船上61小时，货船上有一物品落入江中，码头出发向下游行驶。5小
时 后货船追上游船。又行驶了 千米；的人发现并掉转船头去找，找到时恰好又和游船相遇。则
游船在静水 中的速度为每小时______千米，当货船返回到33＝千米，当相遇后1小时，游船与
货船的距离是 1×解：（1）货船比游船每小时快15÷5＝3分钟的路分钟的顺水路程加上货船逆

水 6＝12分钟时，那么游船12物品时的时间还是6分钟，那么游船船走6×26126=15V3，解得=V分钟顺水路程加上程恰好是货船63千米的路程，即VVVVV
乙 甲水乙水水甲

606060 小时。千米注意到当一个物体从一个船上掉入水中，那么 船是顺水速度，物体是水速，
相当于船在静水中的速度；而返评注： 回寻找物体时，船是逆水速度，物 体还是水速，两者速
度和还是船在静水中速度。即船来回的时间是相同的。
小时。这位劳模在时派车去该厂接某劳模来校作报告，往返需用14. 某校和某工厂之间有一条公路，该校下午2分到达。那么时401时便离厂步行向学校走来，途中遇到接他的汽车，便立刻上
车 驶向学校，在下午2下午 倍；_____汽车速度是劳模步行速度的分相遇时，劳202点分钟的路
程 ，说明相遇时间是402=202：20，汽车走单程需要解：602=30分钟，实际走了=8010=8 劳
模速度60+20=80分钟，这段距离汽车要走30-20=10分钟，所以车速模走了 倍。答： 汽车速度
是劳模步行速度的8点相遇。如果甲晚出米，两人在途中60C米，乙每分钟行两地出发，甲每
分钟行、甲、乙两人同时从5. AB80A
B
E
D
C
发7分钟，两人在途中D处相遇，且A、B中点E到C、D两点的距离相等，那么A、B 两地间
距离为_______米；
解：甲晚出发7分钟，相当于乙先走7分钟，这7分钟， 乙走了60×7＝420米，如果是甲乙和
走这段路程，那么需要420÷（80＋60）＝3分钟，那 么第二次比第一次相遇的时间差是7－3＝
4分钟，4分钟乙走了CD，那么CD＝4×60＝240米 ，第一次两人的路程差是240米，速度差是
80－60＝20米分钟，那么第一次相遇的时间是240 ÷20＝12分钟，所以A、B两地的距离是12
×（80＋60）＝1680米。

6. 某人骑摩托车以300米分的速度从始发站沿公交线出发，在行驶2400米时，恰好有一辆公共
汽车总始发站出发，公交速度500米分，每站停靠3分钟，两站之间要行驶5分钟，那么一路
上摩托车会与公共汽车遇见_______次；
解：摩托车与总站相距2400米的时候，遇见10次。

7. 一辆客车和一 辆面包车分别从甲、乙两地同时出发相向而行。客车每小时行驶32千米，面包
车每小时行驶40千米， 两车分别到达乙地和甲地后，立即返回出发地点，返回时的速度，客车
每小时增加8千米，面包车每小时 减少5千米。已知两次相遇处相距70千米，那么面包车比客
车早返回出发地______小时；
4


，则AC，设AB为1，解：客车与面包车速度比为32：404：5

951454，当客车到达点A，
客车距BCB，当面包车到达点B

559995555525253540140577，面=，CD
时，面包车已经返回， ，DB504,AB701

÷50440＝7.35。

363691232324点返回需要的时间是 包车从D－210）
小时，客车从D点返回需要（356504

12 那么面包车比客车早返回出发地7.35－6＝1.35
小时。
千米的甲、乙两地同时出发，保持均匀的速度相向而行。当二人相遇后，小明又用了8. 小明和
小亮分别从相距3 16分钟到达了乙地，此后又经过9分钟小亮到达了甲地，那么当小明到达乙
地时小亮距甲地______米； 米分钟，那么分钟，小亮的速度是y米解：设小亮的速度是x

x)y16(xxy163000

yx300030003000y
2
150y,(xy)x
，

y2516)y25(yxx9)(163000

yxx3000
200200600,9xx9
.

33

骑车从A、A9.


小千米，出发后1B两 地同时出发，甲速度为每小时40、B两地相距105千米，甲、乙两人分别
分钟后，甲与迎面骑车而来 的丙相遇，3分钟相遇，然后甲、乙两人继续沿各自方向往前骑。在
他们相遇时45B、2千米的车速， 两人同时分别从A而丙在C地追上乙。若甲以每小时20千米
的速度，乙以每小时比原速快 米；C点相 遇。则丙的车速是每小时______出发相向而行，则甲、
乙二人在10545千米，乙20×=50 C相遇，CA距离是解：乙原来车速是每小时（105÷）40=20
千米，乙加速后与甲在1

22206048111055022点时间是千米，丙走这原来速度到
C小时。甲、 乙原来相遇地点与C点的距离是2240150

6

千
米。千米用的时间是小时。丙车速是每小时23122

1920206011

10. 一架飞机带的燃料最多用6小时，顺风去，每小 时1500公里，逆风回，每小时1200公里，
飞机最多飞出______小时返回；
1 小时，回来时逆风，每小时1200公里用公里，我们知道去时顺风，每小时1500公里，也就是
去时 每走1解：

15001113小时。这样，每公里的路程来回共需要小时。公里用 也就是回
来时每走1

15003=4000(公里) 燃料最多能用6小时，
所以飞机最多可飞行6

20008顺风时飞行4000公里需要4000÷1500=小时。

38所以
最多飞出小时。

3
11. 已知猫跑5步的路程与 狗跑3步的路程相同。猫跑7步的路程与兔跑5步的路程相同。而猫
跑3步的时间与狗跑5步的时间相同 。猫跑5步的时间与兔跑7步的时间相同。猫、狗、兔沿着
周长为300米的圆形跑道,同时同向同地出 发。当它们出发后第1次相遇时各跑了______、______、
_____米；
15 分析：从所给的路程和时间的关系得到它们三者的速度比是很重要的，猫跑一步的时间为，
跑5步的时间 是，

33335同样得到狗跑3步的时间是，这时路程相同，速度比是时间的反
比 ，为＝9：25，同样求猫与兔子的速度比。 :

355
2549
米, 兔跑设单位时间内猫跑1米,
则狗跑,猫与狗的速度之比为9∶25,猫与兔的速度之比为25∶49。 解：由题意

259675625492511
＝＝。 ；兔追上猫一圈需米。狗追上猫一圈需300÷300÷



4 2925675625675625
的整数倍,又是整数倍。与的最小公倍数等于两个分数中, 分猫、
狗、兔再次相遇的时间,应既是

2244


625675,,
8437.5即。＝＝＝,子的最
小公倍数除以分母的最大公约数


2(4,2)4225
＝23437.5(米),上式表明,经过8437.5个单位
时 间,猫、狗、兔第1次相遇。此时,猫跑了8437.5米,狗跑了8437.5×

949
＝16537.5(米)。8437.5
×兔跑了

25

注意三者的速度比，然后求出第一次相遇的时间是解题的关键，同时要会求两个
分数的最大公约数。评注：