美国孔子学院-七年级数学工作总结

变速变道问题属于行程中的综合题，用到了比例、分步、分段处理等多种处理问题等
解题 方法。对于这种分段变速问题，利用算术方法、折线图法和方程方法解题各有特点。

算术方法对于运动过程的把握非常细致，但必须一步一步来；

折线图则显得非常直观，每一次相遇点的位置也易于确定；

方程的优点在于无需考虑 得非常仔细，只需要知道变速点就可以列出等量关系式，把
大量的推理过程转化成了计算．

行程问题常用的解题方法有

⑴公式法

即根据常用的行程问题的公 式进行求解，这种方法看似简单，其实也有很多技巧，使
用公式不仅包括公式的原形，也包括公式的各种 变形形式；有时条件不是直接给出的，这
就需要对公式非常熟悉，可以推知需要的条件；

⑵图示法

在一些复杂的行程问题中，为了明确过程，常用示意图作为辅助工具．示意 图包括线
段图和折线图．图示法即画出行程的大概过程，重点在折返、相遇、追及的地点．另外在
多次相遇、追及问题中，画图分析往往也是最有效的解题方法；

⑶比例法

行程问题中有很多比例关系，在只知道和差、比例时，用比例法可求得具体数值．更
重要的是，在一些 较复杂的题目中，有些条件(如路程、速度、时间等)往往是不确定的，

在没有具体数值 的情况下，只能用比例解题；

⑷分段法

在非匀速即分段变速的行程问题中 ，公式不能直接适用．这时通常把不匀速的运动分
为匀速的几段，在每一段中用匀速问题的方法去分析， 然后再把结果结合起来；

⑸方程法

在关系复杂、条件分散的题目中，直接 用公式或比例都很难求解时，设条件关系最多
的未知量为未知数，抓住重要的等量关系列方程常常可以顺 利求解．

模块一、变速问题
【例 1】 小红和小强同时从家里出发相向而行。小红每分走 52 米，小强每分走 70 米，
二人在途中的 A 处相遇。若小红提前 4 分出发，且速度不变，小强每分走 90 米，
则两人仍在 A 处相遇。小红和小强两人的家相距多少米？

【例 2】 甲、乙两人沿 400 米环形跑道练习跑步，两人同时从跑道的同一地点向相反
方向跑去。相遇后甲比原来速度增加 2 米／秒，乙比原来速度减少 2 米／秒，
结果都用 24 秒同时回到原地。求甲原来的速度。

【例 3】 (2008年日本小学算术奥林匹克大赛) 上午
8
点整，甲从
A
地出发匀速去
B
地，
8
点
20
分甲与从
B
地出发匀速去
A
地的乙相遇；相遇后甲 将速度提高到原来的
3
倍，
乙速度不变；
8
点
30
分,甲，乙两人同时到达各自的目的地．那么，乙从
B
地出发
时是
8
点 分．

【例 4】 （难度等级 ※※※）A、 B 两地相距 7200 米，甲、乙分别从 A， B 两地同

时出发，结果在距 B 地 2400 米处相遇．如果乙的速度提高到原来的 3倍，那
么两人可提前10分钟相遇，则甲的速度是每分钟行多少米？

【例 5】 （难度等级 ※※※）甲、乙两车分别从 A， B 两地同时出发相向而行，6 小
时后相遇在 C 点．如果甲车速度不变，乙车每小时多行 5 千米，且两车还从 A，
B 两地同时出发相向而行，则相遇地点距 C 点 12 千米；如果乙车速度不变，甲
车速度每小时多行 5 千米，则相遇地点距 C 点 16 千米．甲车原来每小时行多
少千米？

【巩固】 （难度等级 ※※※）甲、乙二人分别从 A、B 两地同时出发相向而行，5 小
时后相遇在 C 点。如果甲速度不变，乙每小时多行 4 千米，且甲、乙还从 A、B
两地同时出发相向而行，则相遇点 D 距 C 点 lO 千米；如果乙速度不变，甲每
小时多行 3 千米，且甲、乙还从 A、B 两地同时出发相向而行，则相遇点 E距 C
点 5 千米。问：甲原来的速度是每小时多少千米？

【例 6】 A、 B 两地间有一座桥(桥的长度忽略不计)，甲、乙二人分别从两地同时出发，
3 小时后在桥上相遇．如果甲加快速度，每小时多走 2 千米，而乙提前 0.5 小
时出发，则仍能恰在桥上相遇．如果甲延迟 0.5 小时出发，乙每小时少走 2 千
米，还会在桥上相遇．则 A、 B 两地相距多少千米？

【例 7】 一列火车出发 1 小时后因故停车 0.5 小时，然后以原速的34前进，最终到
达目的地晚1.5 小时．若出发 1 小时后又前进 90 公里再因故停车 0.5 小时，
然后同样以原速的34前进，则到达目的地仅晚1 小时，那么整个路程为多少公
里？

【例 8】 王叔叔开车从北京到上海，从开始出 发，车速即比原计划的速度提高了19，

结果提前一个半小时到达；返回时，按原计划的 速度行驶 280 千米后，将车速提
高16，于是提前1 小时 40 分到达北京．北京、上海两市间的路程是多少千米？

【例 9】 上午 8 点整，甲从 A地出发匀速去 B 地，8 点 20 分甲与从 B 地出发匀速
去 A地的乙相遇；相遇后甲将速度提高到原来的 3 倍，乙速度不变；8 点 30 分，
甲、乙两人同时到达各自的目的地．那么，乙从 B 地出发时是 8 点几分．

【例 10】 （难度等级 ※※）甲、乙两人同时从山脚开始爬山，到达山顶后就立即下山，
他们两人的下山速度都是各自上山速度的 1.5 倍，而且甲比乙速度快。两人出发
后 1 小时，甲与乙在离山顶 600 米处相遇，当乙到达山顶时，甲恰好到半山腰。
那么甲回到出发点共用多少小时？

【例 11】 小华以每小时83千米的速度登山，走到途中 A点后，他将速度改为每小时 2
千米，在接下来的1小时中，他走到山顶，又立即下山，并走到 A点上方 500
米的地方．如果他下山的速度是每小时 4千米，下山比上山少用了 52.5分钟．那
么，他往返共走了多少千米？

【例 12】 （难度等级 ※※※※）甲、乙两车从 A、 B 两地同时出发相向而行，5 小时
相遇；如果乙车提前 1 小时出发，则差 13千米到中点时与甲车相遇，如果甲车
提前 1 小时出发，则过中点 37 千米后与乙车相遇，那么甲车与乙车的速度差等
于多少千米小时？

【例 13】 甲 、乙两名运动员在周长
400
米的环形跑道上进行
10000
米长跑比赛，两 人从同
一起跑线同时起跑，甲每分钟跑
400
米，乙每分钟跑
360
米，当甲比乙领先整整一
圈时，两人同时加速，乙的速度比原来快，甲每分钟比原来多跑
18< br>米，并且都
以这样的速度保持到终点．问：甲、乙两人谁先到达终点？

1
4

【例 14】 环形场地的周长为
1800
米， 甲、乙两人同时从同一地点出发相背而行(甲速大
于乙速)，
12
分钟后相遇．如果每 人每分钟多走
25
米，则相遇点与前次相差
33
米，
求原来二人的速 度．

【例 15】 王刚骑自行车从家到学校去，平常只用20分钟。因途中有2千米正在修 路，
只好推车步行，步行速度只有骑车速度的，结果这天用了36分钟才到学校。从
王刚家到学 校有多少千米？

1
3
【例 16】 甲、乙两车分别从
A
、
B
两地同时出发，相向而行．出发时，甲，乙的速度之
比是
5:4
，相遇后甲的速度减少
20%
，乙的速度增加
20%
．这样当甲到达
B
地时，
乙离开
A
地还有
10
千米．那么
A
、
B
两地相距多少千米？

【例 17】 甲、乙往返于相距
10 00
米的
A
，
B
两地．甲先从
A
地出发，
6
分钟后乙也从
A
地
出发，并在距
A
地
600< br>米的
C
地追上甲．乙到
B
地后立即原速向
A
地返回， 甲到
B
地休息
1
分钟后加快速度向
A
地返回，并在
C
地追上乙．问：甲比乙提前多少分钟
回到
A
地？

【例 18】 一辆大货车与一辆小轿车同时从甲地开往乙地，小轿车到达乙地后立即返回，
返回时速度提高< br>50%
。出发2小时后，小轿车与大货车第一次相遇，当大货车到
达乙地时，小轿车刚好 走到甲、乙两地的中点。小轿车在甲、乙两地往返一次需
要多少时间？

1
5
2
3
【例 19】 甲、乙两地间平路占，由甲地去往乙地，上 山路千米数是下山路千米数的，
一辆汽车从甲地到乙地共行了
10
小时，已知这辆车行 上山路的速度比平路慢
20%
，
行下山路的速度比平路快
20%
，照 这样计算，汽车从乙地回到甲地要行多长时间？

【例 20】 甲、乙二人在 同一条圆形跑道上作特殊训练：他们同时从同一地出发，沿相反
方向跑，每人跑完第一圈到达出发点后立 即回头加速跑第二圈，跑第一圈时，乙
的速度是甲的速度的．甲跑第二圈的速度比第一圈提高了，乙跑第 二圈的速
度提高了，已知沿跑道看从甲、乙两人第二次相遇点到第一次相遇点的最短路
程是190
米，问这条跑道长多少米？

1
5
2
3
1
3
【例 21】 甲、乙两人沿
400
米环形跑道练习跑步，两人同时从跑道的同一地点向相反方
向跑去．相遇后甲比原来速 度增加
4
米／秒，乙比原来速度减少
4
米／秒，结果都
用
2 5
秒同时回到原地．求甲原来的速度．

【巩固】从
A
村到
B
村必须经过
C
村，其中
A
村至
C
村为上坡路，< br>C
村至
B
村为下坡路，
A
村至
B
村的总路程 为
20
千米．某人骑自行车从
A
村到
B
村用了
2< br>小时，再从
B
村返
回
A
村又用了
1
小时45
分．已知自行车上、下坡时的速度分别保持不变，而且下
坡时的速度是上坡时速度的< br>2
倍．求
A
、
C
之间的路程及自行车上坡时的速度．

【例 22】 （
2008
年“奥数网杯”六年级）欢欢和贝贝是同班同学，并且住在 同一栋楼里．早
晨
7:40
，欢欢从家出发骑车去学校，
7:46
追 上了一直匀速步行的贝贝；看到身穿
校服的贝贝才想起学校的通知，欢欢立即调头，并将速度提高到原来 的
2
倍，回
家换好校服，再赶往学校；欢欢
8:00
赶到学校时，贝 贝也恰好到学校．如果欢欢
在家换校服用去
6
分钟且调头时间不计，那么贝贝从家里出 发时是 点
分．

【例 23】 甲、乙两人都要从
A
地到
B
地去，甲骑自行车，乙步行，速度为每分钟60米．乙
比甲 早出发20分钟，甲在距
A
地1920米的
C
处追上乙，两人继续向前，甲发 现
自己忘带东西，于是将速度提高到原来的
1.5
倍，马上返回
A
地 去取，并在距离
C

处720米的
D
处遇上乙．甲到达
A
地后在
A
地停留了5分钟，再以停留前的速度
骑往
B
地， 结果甲、乙两人同时到达
B
地．
A
、
B
两地之间的距离是 米．

【例 24】 小芳从家到学校有两条一样长的路，一条是平路，另一条是一半上坡路， 一半
下坡路．小芳上学走这两条路所用的时间一样多．已知下坡的速度是平路的
1.6
倍，
那么上坡的速度是平路速度的多少倍？

【例 25】 （2003年“祖冲之杯 ”小学数学邀请赛）某校在400米环形跑道上进行1万米
比赛，甲、乙两名运动员同时起跑后，乙的速 度始终保持不变，开始时甲比乙慢，
在第15分钟时甲加快速度，并保持这个速度不变，在第18分钟时 甲追上乙并且
开始超过乙。在第23分钟时甲再次追上乙，而在23分50秒时甲到达终点。那么，乙跑完全程所用的时间是多少分钟？

【例 26】 （2003年迎春杯）甲、乙两人同 时同地同向出发，沿环形跑道匀速跑步．如果
出发时乙的速度是甲的
2.5
倍，当乙第 一次追上甲时，甲的速度立即提高
25%
，而
乙的速度立即减少
20%
，并且乙第一次追上甲的地点与第二次追上甲的地点相距
100米，那么这条环形跑道的周长是 米．

【例 27】 如图所示，甲、乙两人从长为
400
米的圆形跑道的< br>A
点背向出发跑步。跑道右
半部分(粗线部分）道路比较泥泞，所以两人的速度都将减慢 ，在正常的跑道上甲、
乙速度均为每秒
8
米，而在泥泞道路上两人的速度均为每秒4
米。两人一直跑下去，
问：他们第99次迎面相遇的地方距
A
点还有 米。

【例 28】 （2009年第七届“走进美妙的数学花园”初赛六年级）丁丁和乐乐各 拿了一辆
玩具甲虫在400米跑道上进行比赛，丁丁的玩具甲虫每分钟跑30米，乐乐的玩具
甲 虫每分钟跑20米，但乐乐带了一个神秘遥控器，按第一次会使丁丁的玩具甲虫

以原来速 度的
10%
倒退1分钟，按第二次会使丁丁的玩具甲虫以原来速度的
20%
倒
退1分钟，以此类推，按第
N
次，使丁丁的玩具甲虫以原来的速度的
N10 %
倒退
1分钟，然后再按原来的速度继续前进，如果乐乐在比赛中最后获胜，他最少按
次遥控器。

【例 29】 唐老鸭和米老鼠进行5000米赛跑．米老鼠的速度是每 分钟125米，唐老鸭的
速度是每分钟100米．唐老鸭有一种能使米老鼠停止或减速的遥控器，每次使 用
都能使米老鼠进入“麻痹”状态1分钟，1分钟后米老鼠就会恢复正常，遥控器
需要1分钟恢 复能量才能再使用．米老鼠对“麻痹”状态也在逐渐适应，第1次
进入“麻痹”状态时，米老鼠会完全停 止，米老鼠第2次进入“麻痹”状态时，
就会有原速度
5%
的速度，而第3次就有原速 度
10%
的速度……，第20次进入“麻
痹”状态时已有原速度
95%
的速度了，这以后米老鼠就再也不会被唐老鸭的遥控
器所控制了．唐老鸭与米老鼠同时出发，如果唐老 鸭要保证不败，它最晚要在米
老鼠跑了多少米的时候第一次使用遥控器?

【例 30】 小周开车前往某会议中心，出发20分钟后，因为交通堵塞，中途延误了20分
钟，为了按时到 达会议中心，小周将车速提高了
25%
，小周从出发时算起到达会
议中心共用了多少分 钟？

【例 31】 （2008年清华附中入学测试题）如图，甲、乙分别从
A、
C
两地同时出发，匀
速相向而行，他们的速度之比为
5:4
， 相遇于
B
地后，甲继续以原来的速度向
C
地
前进，而乙则立即调头返 回，并且乙的速度比相遇前降低，这样当乙回到
C
地
时，甲恰好到达离
C地
18
千米的
D
处，那么
A
、
C
两地 之间的距离是__________
千米。

1
5

【例 32】 甲、乙两车分别从
A
、
B
两地同时出发相向而行，甲车速度为32千米时，乙
车速度为48千米时，它们到达
B
地和
A
地后，甲车速度提高，乙车速度减少，
它们第一次相遇地点与第二次 相遇地点相距74千米，那么
A
、
B
之间的距离是多
少千米？

1
4
1
6
【例 33】 (2008年日本第12届小学算术奥 林匹克初赛)上午8点整，甲从
A
地出发匀速
去
B
地，8点20分甲 与从
B
地出发匀速去
A
地的乙相遇；相遇后甲将速度提高到
原来的3 倍，乙速度不变；8点30分，甲、乙两人同时到达各自的目的地．那么，
乙从
B
地出 发时是8点 分．

【例 34】 甲、乙往返于相距
1000
米的
A
，
B
两地．甲先从
A
地出发，
6
分钟后乙也从
A
地
出发，并在距
A
地
600
米的
C
地追上甲．乙到
B
地后立即原速向
A
地返回，甲到
B
地休息
1
分钟后加快速度向
A
地返回，并在
C
地追上乙．问：甲比乙提前多少分钟
回到
A
地？

【例 35】 （ 2005年“祖冲之杯”小学数学邀请赛）如图所示，有
A
、
B
、
C
、
D
四个游
乐景点，在连接它们的三段等长的公路
AB
、< br>BC
、
CD
上，汽车行驶的最高时速限
制分别是120千米、40千米 和60千米。一辆大巴车从
A
景点出发驶向
D
景点，
到达
D
点后立刻返回；一辆中巴同时从
D
点出发，驶向
B
点。两车相遇在< br>C
景点，
而当中巴到达
B
点时，大巴又回到了
C
点， 已知大巴和中巴在各段公路上均以其
所能达到且被允许的速度尽量快地行驶，大巴自身所具有的最高时速 大于60千
米，中巴在与大巴相遇后自身所具有的最高时速比相遇前提高了
12.5%
，求大巴客
车的最高时速。

【巩固】 从甲市到乙市有一条公路，它分成三段．在第 一段上，汽车速度是每小时40

千米；在第二段上，汽车速度是每小时90千米；在第三 段上，汽车速度是每小时
50千米．己知第一段公路的长恰好是第三段的2倍，现有两汽车分别从甲、乙 两
1
市同时出发，相向而行，1小时20分后，在第二段从甲到乙方向的处相遇．那
3
么，甲、乙两市相距多少千米？

【例 36】 现在甲乙两辆车往返于相距20千米 的
A
、
B
两地，甲车先从
A
地出发，9分钟
后乙车 也从
A
地出发，并且在距离
A
地5千米的
C
地追上甲车。乙 车到
B
地之后
立即向
A
地原速驶回，甲车到
B
地休 息12分钟之后加快速度向
A
地返回，并在
C
地又将乙车追上。那么最后甲车 比乙车提前多少分钟到
A
地？

模块二、变道问题
【例 37】 （2005年《小学生数学报》优秀小读者评选活动）有一种机器人玩具装置，配
备长、短不同的两条跑 道，其中长跑道长400厘米，短跑道长300厘米，且有200
厘米的公用跑道(如下图)。机器人甲 按逆时针方向以每秒6厘米的速度在长跑道
上跑动，机器人乙按顺时针方向以每秒4厘米的速度在短跑道 上跑动。如果甲、
乙两个机器人同时从
A
点出发，那么当两个机器人在跑道上第3次迎 面相遇时，
机器人甲距离出发点
A
点多少厘米?

【例 38】 （ 2007年首届全国资优生思维能力测试）如下图，甲从
A
出发，不断往返于
AB之间行走。乙从
C
出发，沿
C
—
E
—
F
—
D
—
C
围绕矩形不断行走。甲的速度是5
米秒，乙的速度是4米 秒，甲从背后第一次追上乙的地点离
D
点 米。

【例 39】 如图，两个圆环形跑道，大圆环的周长为600米，小圆环的周长为400米。甲
的速度为每秒 6米，乙的速度为每秒4米。甲、乙二人同时由
A
点起跑，方向如
图所示，甲沿大圆环 跑一圈，就跑上小圆环，方向不变，沿小圆环跑一圈，又跑

上大圆环，方向也不变；而乙 只沿小圆环跑。问：甲、乙可能相遇的位置距离
A
点
的路程是多少？(路程按甲跑的计 算)