小学奥数流水行船问题讲解
重庆复旦中学-党性学习心得体会
小学奥数流水行船问题讲解
船在江河里航行时,除了本身的前进速度外,
还受到流水的推送
或顶逆,在这种情况下计算船只的航行速度、时间和所行的路程,叫
做流水行
船问题。
流水行船问题,是行程问题中的一种,所以行程问题中三个量(速
度、
时间、路程)的关系在这里将要反复用到.此外,流水行船问题还
有以下两个基本公式:
顺水速度=船速+水速,(1)
逆水速度=船速-水速.(2)
这里,船速是指船本身的速度,也就是在静水中单位时间里所走
过的路程.水速,是指水在
单位时间里流过的路程.顺水速度和逆水速
度分别指顺流航行时和逆流航行时船在单位时间里所行的路程
。
根据加减法互为逆运算的关系,由公式(l)能够得到:
水速=顺水速度-船速,
船速=顺水速度-水速。
由公式(2)能够得到:
水速=船速-逆水速度,
船速=逆水速度+水速。
这就是说,只要知道了船在静水中的速度,船的实际速度和水速
这三个量中的任意两个,就能够求出第三个量。
另外,已知船的逆水速度和顺水速度,根据公式(1)和公式(2),
相加和相减就能够得到:
船速=(顺水速度+逆水速度)÷2,
水速=(顺水速度-
逆水速度)÷2。
例1 甲、乙两港间的水路长208千米,一只船从甲港开往乙港,<
br>顺水8小时到达,从乙港返回甲港,逆水13小时到达,求船在静水中
的速度和水流速度。
分析 根据题意,要想求出船速和水速,需要按上面的基本数量关
系先求出顺水速度和
逆水速度,而顺水速度和逆水速度可按行程问题
的一般数量关系,用路程分别除以顺水、逆水所行时间求
出。
解:
顺水速度:208÷8=26(千米小时)
逆水速度:208÷13=16(千米小时)
船速:(26+16)÷2=21(千米小时)
水速:(26—16)÷2=5(千米小时)
答:船在静水中的速度为每小时21千米,水流速度每小时5千米。
例2 某船在静水中
的速度是每小时15千米,它从上游甲地开往下
游乙地共花去了8小时,水速每小时3千米,问从乙地返
回甲地需要
多少时间?
分析
要想求从乙地返回甲地需要多少时间,只要分别求出甲、乙
两地之间的路程和逆水速度。
解:
从甲地到乙地,顺水速度:15+3=18(千米小时),
甲乙两地路程:18×8=144(千米),
从乙地到甲地的逆水速度:15—3=12(千米小时),
返回时逆行用的时间:144÷12=12(小时)。
答:从乙地返回甲地需要12小时。
例3 甲、乙两港相距360千米,一轮船往返两港
需35小时,逆流
航行比顺流航行多花了5小时.现在有一机帆船,静水中速度是每小时
12千
米,这机帆船往返两港要多少小时?
分析 要求帆船往返两港的时间,就要先求出水速.
由题意能够知
道,轮船逆流航行与顺流航行的时间和与时间差分别是35小时与5小
时,用和差
问题解法能够求出逆流航行和顺流航行的时间.并能进一步
求出轮船的逆流速度和顺流速度.在此基础上
再用和差问题解法求出水
速。
解:
轮船逆流航行的时间:(35+5)÷2=20(小时),
顺流航行的时间:(35—5)÷2=15(小时),
轮船逆流速度:360÷20=18(千米小时),
顺流速度:360÷15=24(千米小时),
水速:(24—18)÷2=3(千米小时),
帆船的顺流速度:12+3=15(千米小时),
帆船的逆水速度:12—3=9(千米小时),
帆船往返两港所用时间:
360÷15+360÷9=24+40=64(小时)。
答:机帆船往返两港要64小时。
下面继续研究两只船在河流中相遇问题.当甲、乙两船
(甲在上游、
乙在下游)在江河里相向开出,它们单位时间靠拢的路程等于甲、乙两
船速度和.
这是因为:
甲船顺水速度+乙船逆水速度=(甲船速+水速)+(乙船速-水速)=甲
船船速+乙船船速。
这就是说,两船在水中的相遇问题与静水中的及两车在陆地上的
相遇问题一样,与水速没相
关系。
同样道理,如果两只船,同向运动,一只船追上另一只船所用的
时间,也
只与路程差和船速相关,与水速无关.这是因为:
甲船顺水速度-乙船顺水速度
=(甲船速+水速)-(乙船速+水速)
=甲船速-乙船速。
如果两船逆向追赶时,也有
甲船逆水速度-乙船逆水速度
=(甲船速-水速)-(乙船速-水速)
=甲船速-乙船速。
这说明水中追及问题与在静水中追及问题及两车在陆地上追及问
题一样。
由上述讨论可知,解流水行船问题,更多地是把它转化为已学过
的相遇和追及问题来解答。
例4 小刚和小强租一条小船,向上游划去,不慎把水壶掉进江中,
当他们发现并调过船头
时,水壶与船已经相距2千米,假定小船的速
度是每小时4千米,水流速度是每小时2千米,那么他们追
上水壶需
要多少时间?
分析 此题是水中追及问题,已知路程差是2千米,船在
顺水中的
速度是船速+水速.水壶飘流的速度只等于水速,所以速度差=船顺水速
度-水壶飘流
的速度=(船速+水速)-水速=船速.
解:路程差÷船速=追即时间
2÷4=0.5(小时)。
答:他们二人追回水壶需用0.5小时。
例5 甲、乙两船在静水中速度分别为每小时2
4千米和每小时32
千米,两船从某河相距336千米的两港同时出发相向而行,几小时相
遇?
如果同向而行,甲船在前,乙船在后,几小时后乙船追上甲船?
解:①相遇时用的时间
336÷(24+32)
=336÷56
=6(小时)。
②追及用的时间(不论两船同向逆流而上还是顺流而下):
336÷(32—24)=42(小时)。
答:两船6小时相遇;乙船追上甲船需要42小时。