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2020年10月17日发(作者：卜尔昌)

一【相遇问题】
1、若前一半的时间以V1，后一半的时间以V2，则全程平均速度V=(V1+V2)2
2、若前一半的路程以V1，后一半的路程以V2，则全程平均速度V=2V1*V2(V1+V2)
3、相遇时间=相遇路程速度和，追及时间=追及路程速度差
4、直线相遇问题：从两地同时出发，直线多次相遇，第n次相遇时:
每个人所走的路程=他第一次所走的路程*(2n-1)
5、环线相遇问题：每次两人相遇所 走的路程之和是一圈。如果最初从同一点出发，则第n次相遇时，每个人所走的总
路程等于第一次相遇时 他所走路程的n倍。
6、两次相遇公式：单岸型 S=(3S1+S2)2 两岸型 S=3S1-S2
7、火车过桥问题：火车速度*时间=车长+桥长
8、电梯问题：（1）能看到级数=（人速+电梯速度）*顺行运动所需时间 （顺）
（2）能看到级数=（人速-电梯速度）*逆行运动所需时间 （逆）
9、行船问题：顺水速度=船速+水速，逆水速度=船速-水速
船速=（顺水速度+逆水速度）2，水速=（顺水速度-逆水速度）2
10、行船问题快解 【例题】 一只游轮从甲港顺流而下到乙港，马上又逆水返回甲港，共用8小时，顺水每小时比逆水
每小时多行12 千米，前4小时比后4小时多行30千米。甲、乙两港相距多少千米?A.72 B.60 C.55 D.48
【解析一】3012=52，8-52=112(122)*1[(25-211)2]=55 【解析 二】因为全时间为8小时，逆水花的时间过
半，所以后四小时全部是逆水的。而之前四小时有一部分是顺 水，一部分是逆水。由于逆水速度不变，所以前四个小
时比后四个小时多行驶的距离就是顺水时多行的距 离，那么可以得出顺水的时间是3012=2.5小时。
同样，逆水的时间就是5.5小时，可以得出 顺水速度是逆水速度的5.52.5=2.2倍。那么顺水速度- 逆水速度=1.2倍逆
水速度=12千米小时
所以，逆水速度=121.2=10千米小时。那么，甲乙两港的距离就是10X5.5=55千米。
11、往返行程问题的整体求解法：首先两运动物体除第一次相遇行S外，每次相遇都行使了2S。我们可以假设 停留
的时间没有停留，把他计入两者的总路程中，化静为动巧求答。
【例题1】1快慢两车同 时从甲乙两站相对开出，6小时相遇，这时快车离乙站还有240千米，已知慢车从乙站到甲站
需行15 小时，两车到站后，快车停留半小时，慢车停留1小时返回，从第一次相遇到返回途中再相遇，经过多少小时?< br>【解析】根据往返相遇问题的特征可知，从第一次相遇到返回途中再相遇，两车共行的路程为甲乙两站距离 的2倍，
假设快车不在乙站停留0.5小时，慢车不在甲站停留1小时，则两车从第一次相遇到第二次相 遇所行总路程为
600×2+60×0.5+40×1=1270(千米)，故此期间所经时间为127 0÷ (60+40)=12.7(小时)
【例题2】甲乙两人同时从东镇出发，到相距90千米的西 镇办事，甲骑自行车每小时行30千米，乙步行每小时行10
千米，甲到西镇用1小时办完事情沿原路返 回，途中与乙相遇。问这时乙走了多少千米?【解析】根据题意可知甲从东
镇到西镇，返回时与乙相遇( 乙未到西镇，无返回现象)，故两人所行路程总和为(90×2=)180(千米)，但因甲到西镇用了
1小时办事。倘若甲在这1小时中没有停步(如到另一地方买东西又回到西镇，共用1小时)，这样两人所行总路 程应为：
90×2+30=210(千米)，又因两人速度和为30+10=40(千米)，故可求得相 遇时间为：(210÷40=)5.25(小时)，则乙行了
(10×5.25=)52.5(千米)。
【例题3】甲、乙两人同时从东西两镇相向步行，在距西镇20千米处两人相遇，相遇后两人又继续前进 。甲至西镇、
乙至东镇后都立即返回，两人又在距东镇15千米处相遇，求东西两镇距离?【解法一】设 东西两镇相距为x千米，由
于两次相遇时间不变，则两人第一次相遇前所走路程之比等于第二次相遇前所 走路程之比，故得方程： 所
以东西两镇相距45千米。【解法二】紧扣往返行程 问题的特征，两人自出发至第二次相遇所走路程总和为东西两镇距
离的3倍，而第一次相遇距西镇20千 米，正是乙第一次相遇前所走路程，则从出发 至第二次相遇乙共走(20×3=)60(千
米)，第二 次相遇时乙已从东镇返回又走了15千米，所以，两镇的距离为(20×3-15=)45(千米)
12、两人同向一人逆相遇问题：【典型例题】在一条长12米的电线上,红,蓝甲虫在8:20从左端分别以每 分钟13厘米
和11厘米的速度向右端爬行去,黄虫以每分钟15厘米的速度从右端向左爬去,红虫在什 么时刻恰好在蓝虫和黄虫的中间?
A 8:55 B 9:00 C 9:05 D 9:10 公式总结;设同向的速度分别为A B 逆向的为C 时间为T 则
T=A+[(A-B)2+C]*T=S
13、用比例法解行程问题：行程问题一直是国 家考试中比较重要的一环，其应用之广恐无及其右者。行程问题的计算
量按照基础做法不得不说非常大。 所以掌握简单的方法尤为重要。当然简单的方法需要对题目的基础知识的全面了掌
握和理解。在细说之前 我们先来了解如下几个关系：路程为S。速度为V 时间为T，S=VT V=ST T=SV，S相同的情况
下： V跟T成反比，V相同的情况下： S跟T成正比，T相同的情况下： S跟V成正比，注：比例点数差也是实际差
值对应的比例! 理解基本概念后，具体题目来分析

【例1】甲乙2人分别从相距200千米的AB两地开车同时往对方的方向行驶。到达对方始发 点后返回行驶，按照这样
的情况，2人第4次相遇时甲比乙多行了280千米 已知甲的速度为60千米 每小时。则乙的速度为多少?【分析】这个
题目算是一个相遇问题的入门级的题目。我们先从基础的方法 入手，要多给自己提问 求乙的速度 即要知道乙的行驶
路程S乙，乙所花的时间T乙。这2个变量都没 有告诉我们，需要我们去根据条件来求出：乙的行驶路程非常简单可
以求出来。因为甲乙共经过4次相遇 。希望大家不要嫌我罗嗦。我希望能够更透彻的把这类型的题目通过图形更清晰
的展现给大家。第一次相 遇情况A(甲).。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。(甲)C(乙)。。。。。。。。。。。。。。。 。。。。。。。B(乙)，AC即为第
一次相遇 甲行驶的路程。 BC即为乙行驶的路程 则看出 AC+BC=AB 两者行驶路程之和=S第2次相遇的情况
A.。。。。。。。。。。。。。。。(乙 )D(甲)。。。。。。C。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。B
这个图形中，我们从第一次相遇到第2次相遇来看甲从C点开始行驶的路线是C-B-D，其路程是 BC+BD，乙行驶的路线
则是C-A-D 其行驶的路程是AC+AD，可以看出第2次相遇两者的行 驶路程之和是BC+BD+AC+AD=(BC+AC)+(BD+AD)=2S ，
同理第3，4次相遇都是这样。则我们发现 整个过程中，除第一次相遇是一个S外。其余3次相遇都 是2S。总路程是
2×3S+S=7S，根据题目，我们得到了行驶路程之和为7×200=1400， 因为甲比乙多行驶了280千米 则可以得到 乙是
(1400-280)÷2=560 则甲是560 +280=840，现在就剩下乙的行驶时间的问题了。因为两个人的行驶时间相同则通过计算
甲的时间 得到乙的时间 即 840÷60=14小时。所以T乙=14小时。那么我就可以求出乙的速度V乙=S乙÷T 乙
=560÷14=40，说到这里我需要强调的是，在行程问题中，可以通过比例来迅速解答题目。
14、比例求解法二：我们假设乙的速度是V 则根据时间相同，路程比等于速度比，S甲：S乙=V甲：V乙 衍生出如下
比例：(S甲+S乙)：(S甲-S乙)=(V甲+V乙)：(V甲-V乙)得出 1400：280=(60+V)：(60-V)解得 V=40
【例1】二、甲车以每小时160千 米的速度，乙车以每小时20千米的速度，在长为210千米的环形公路上同时、同地、
同向出发。每当 甲车追上乙车一次，甲车减速13 ，而乙车则增速13 。问：在两车的速度刚好相等的时刻，它们共
行驶了多少千米? A. 1250 B. 940 C. 760 D. 1310 【解析】 我们先来看 需要多少次相遇才能速度相等 160×(23)
的N次方=20×(43)的N次方 N代表了次数 解得N=3 说明第三次相遇即达到速度相等 第一次相遇前： 开始时速
度是160：20=8：1 用时都一样，则路程之比=速度之比 我们设乙行驶了a千米 则 (a+210 ) ： a = 8：1 解得 a=30
第二次相遇前： 速度比是 甲：乙=4：1 用时都一样， 则路程之比=速度之比 我们设乙从第1次相遇到第2次相
遇行驶了b千米 则 (b+210 ) ： b = 4：1 解得 a=70 第三次相遇前：速度比是 甲：乙=2：1 用时都一样， 则
路程之比=速度之比 我们设乙从第2次相遇到第3次相遇行驶了c千米 则 (c+210 ) ： c = 2：1 解得 c=210 则
三次乙行驶了 210+70+30=310千米 而甲比乙多出3圈 则甲是 210×3+310=940 则 两人总和是 940+310=1250
【例2】一辆汽车以每小时40千米的速度从甲城开往乙城，返回时它用原速度走了全程的4分之3多5 米，再改用每
小时30千米的速度走完余下的路程，因此，返回甲城的时间比前往乙城的时间多用了10 分钟，甲、乙两城相距多远?
【解析】我们知道多出来的10分钟即16小时是在最后14差5千米的路 程里产生的 ，则根据路程相同 速度比
等于时间比的反比 即 T30：T40=40：30=4：3 所以30千米行驶的最后部分是用了 16×(4-3)×4=23小时
即路程是30×23=20千米 总路程是(20+5)÷14=100
【例3】四、甲乙两人各坐一游艇在湖中划行,甲摇浆10次时 乙摇浆8次,而乙摇浆70次,所走的路程等于甲摇浆90
次所走的路程,现甲先摇浆4次,则乙摇浆多 少次才能追上?A. 14 B.16 C.112 D.124【解析】 甲摇浆10次时乙摇浆8
次 知道甲乙速度之比=5：4，而乙摇浆70次,所走的路程等于甲摇浆90次所走的路程 则可以得到每浆得距离之比是
甲：乙=7：9，所以，我们来看 相同时间内甲乙得距离之比，5×7：4×9=35：36 说明，乙比甲多出1个比例单位，
现在甲先划桨4次， 每浆距离是7个单位，乙每浆就是9个单位， 所以甲领先乙是4×7=28个单位 ，事实上乙每4
浆才能追上36-35=1个单位， 说明28个单位需要28×4=112浆次追上! 选C
【例4】甲乙两个工程队共100人,如果抽 调甲队人的14至乙队,则乙队比甲队多了29,问甲队原来多少人? 这个
题目其实也很简单，下面我说一个简单方法 【解析】 根据条件乙队比甲队多了29 我们假设甲队是单位1，则乙
队就是1+29=119 ，100人的总数不变 可见 甲乙总数是1+119=209 (分母不看) 则100人被分成20分 即
甲是100÷20×9=45 乙是 55 因为从甲队掉走14 则剩下的是34 算出原来甲队是 45÷34=60
15、过河问题：M个人过河，船能载N个人。需要A个人划船，共需过河（M-A） (N-A)次
16、青蛙跳井问题完成任务的次数=【(总长-单长)实际单长】+1(遇到半米要将前面的单位转化 成半米)例①青蛙从井
底向上爬，井深10米，青蛙每跳上5米，又滑下4米，这样青蛙需跳几次方可出 井?完成任务的次数=（10-5）÷（5-4）
+1=6次。例②单杠上挂着一条4米长的爬绳，小赵 每次向上爬1米又滑下半米来，问小赵几次才能爬上单杠?要将前面
的4米转换成8个半米再计算，则（ 8-1）÷（1-0.5）+1=9次【注意】青蛙跳井问题实际上就是划船公式问题，青蛙
跳井问题其 实就是划船问题，因此青蛙跳井可以带进去：(10-4)(5-4)=6次
17、公交车超骑车人 和行人问题：【例题】一条街上，一个骑车人和一个步行人相向而行，骑车人的速度是步行人的3
倍，每 个隔10分钟有一辆公交车超过一个行人。每个隔20分钟有一辆公交车超过一个骑车人，如果公交车从始发站< br>每隔相同的时间发一辆车，那么间隔几分钟发一辆公交车?此类题通解公式：a=超行人时间，b=超自行 车时间，m=人速，

n=自行车速，则每隔t分钟发车;t=ab（n-m)(bn- am)，令M=1 N=3，解得T=8。
18、沿途数车问题公式：①发车时间间隔T=(2t1*t2)（t1+t2 ）②车速人速=(t1+t2) (t2-t1).【例题】公交车前后超行
人问题 小明放学后,沿 某公交路线以不变速度步行回家,该路公共汽车也以不变速度不停的运行,每隔9分钟就有一
辆公共汽车 从后面超过他,每隔7分钟就遇到迎面开来的一辆公共汽车,问该路公共汽车每隔多少分钟发一辆车? 此
类题有个通解公式：如果a分钟追上，b分钟相遇，则是2ab(a+b)分钟发一次车
19、漂流瓶公式T=（2t逆*t顺） （t逆-t顺）【例题】AB两城由一条河流相连，轮船匀速 前进，A――B，从A城
到B城需行3天时间，而从B城到A城需行4天，从A城放一个无动力的木筏， 它漂到B城需多少天？
A、3天 B、21天 C、24天 D、木筏无法自己漂到B城【解析】公式代入直接求得T=（2*4*3）（4-3）=24
二【工程问题】
【例题1】一篇文章，现有甲乙丙三人，如果由甲乙两人合作翻译，需要 10 小时完成，如果由乙丙两人合作翻译，需
要12 小时完成。现在先由甲丙两人合作翻译4 小时，剩下的再由乙单独去翻译，需要12 小时才能完成，则，这篇文
章如果全部由乙单独翻译，要( ) 小时能够完成.A .15 B 18 C 20 D .25
【解法一】1（A+B）=110，1（B+C）=112, 1-4(A+C)=12B
【解法二】设乙的效率为X，则甲的效率为：110-X 丙的效率为：112-X
得到 方程：（110-X+112-X）*4+12X（这里应该是乙还要12小时完成）=1，X=115 即乙要15天。
【解法三】
甲丙合作4小时+乙做12小时=乙丙合作12小时，另外甲丙合 作4小时=丙单独做12小时。则由前
面两个算式联立解出：甲做4小时=丙做8小时。两者效率比为2 :1，甲丙效率差是110-112=160，即丙的效率
为160，乙的效率为112-160=11 5，即乙要15天
三【浓度问题】
【例题1】一个容器内有若干克盐水，往容器内加入一些 水，溶液的浓度变成3%，再加入同样多的水，溶液的浓度变
成2%，问第三次再加入同样多的水后，溶 液浓度是多少？【解析】设3%浓度的溶液质量为100克，则盐含量为3克，
向溶液中加入了x克水， 可列方程：3（100+x）=2%，得到x=50克，加50克水可计算出浓度为：3（100+50+50） =1.5%
【例题2】从装满100克浓度为80%的盐水中倒出40克盐水，再倒入清水将杯倒满， 这样反复三次后，杯中的盐水浓
度是多少？A5.12% B12.8% C17.28% D28.8%
【解析】每进行一次操作，盐的质量是原来的（100-40）100=60%，则浓度 也变成原来的60%，经过三次后浓度变成
80%*60%*60%*60%=17.28%，选C。
【例题3】一瓶浓度为80%的酒精溶液倒出14后用水加满，再倒出13后仍加满水，再倒出15后又 加满水，这时瓶
中酒精溶液浓度为（）A30% B35% C32% D50%
【解 析】溶质依次减少14,13,15，溶液总质量一直不变，则溶液浓度依次减少14,13,15，故最后酒精 溶液的浓
度为80%*（1-14）*（1-13）*（1-15）=32%
四【溶液交换浓度相等问题】设两个溶液的浓度分别为A%，B%并且 A>B 设需要交换溶液为X 则有：(B-X)：X=X：
(A-X) A：B=(A-X)：X
【例题】两瓶浓度不同 得盐水混合液。60%的溶液是40克，40%的溶液是60克。要使得两个瓶子的溶液浓度相同，则
需 要相互交换( )克的溶液?A、36 B、32 C、28 D、24答案选：D
【解法一】我们从 两个角度分析一下，假设需要交换的溶液为a克。则我们来一个一个研究，先看60%的溶液，相对于
交 换过来的a克40%的溶液 可以采用十字交叉法来得出一个等式 即(再设混和后的标准浓度是p)40-a ：a=(P-40% ) ：
(60%-P)，同理我们对40%的溶液进行研究 采用上述方法 也能得到一个等式：60-a ：a=(60%-P) ：(P-40%)一目了然，
两者实际上是反比，即40-a ：a=a ：60-a 解得 a=24 即选D 如果你对十字交叉法的原理理解的话 那么这个题目
中间的过程完全可以省去。故任何捷径都是建立在你对基础知识的把握上。
【解法二】 干脆把2个溶液倒在一起混和，然后再分开装到2个瓶子里 这样浓度也是相等的。我们根据十字交叉法 ，
60跟40的溶液混合比例 其实跟交换的x克60%溶液与剩下60-x克40%的溶液比例成反比，则60：40=60-x：x解 X=2
五【容斥原理】（1）总—不满足=A+B+C—满足两个—2*满足三个的
（2）总—不满足=A+B+C—AB—AC—BC+满足三个的
【例题1】某单位的 100名员工进行调查结果发现他们喜欢看球赛和电影、戏剧。其中 58人喜欢看球赛，38人喜欢
看戏剧， 52人喜欢看电影，既喜欢看球赛又喜欢看戏剧的有 18人，既喜欢看电影又喜欢看戏剧的有 16人，三种都
喜欢看的有 12人，则只喜欢看电影的有：A、22人 B、28人 C、30人 D、36人
【方法一】100 =58+38+52-18-16-X+12，X=26（注意X：即d部分是既喜欢看球赛，又喜欢看电影的人 ）
求c部分：52-26-16+12=22，选A （e部分为16，其中，12被多减去一次要加上）
【方法二】100-（58+38-18）=22

【例题2】同学们做题，选A的15人，选B的10人，选C的10， 两样选的5个， 三项都选的3个，2个没选，问共
有多少学生？【解析】25+10+10-5-2*3+2=36
六【测井深问题】1、(折数*余数-折数*余数)折数差=高度
2、绳长=(高度+余数)*折数
【例题】用一根绳子测井台到井水面的深度，把绳子对折后 垂到井水面，绳子超过井台9米;把绳子三折后垂到井水面，
绳子超过井台2米。那么，绳子长多少米? 解答：高度=(2*9-3*2)(3-2)=12 绳长=(高度+余数)*折数
=(12+9)*2=42
七【分配对象问题】分配对象数=(盈+亏)分配差。
【例题1】有一堆螺丝和螺母，若一个 螺丝配2个螺母，则多10个螺母;若1个螺丝配3个螺母，则少6个螺母。共有
多少个螺丝?( )A.16 B.22 C.42 D.48 解析：A，(10+6)(3-2)=16【例题2】若干同学 去划船，他们租了一些船，
若每船4人则多5人，若每船5人则船上空4个坐位，共有( )位同学A.17 B.19 C.26 D.41 解析：D，(5+4)(5-4)=9 ，
4*9+5=41
八【对折剪绳】一根绳连续对折N次，从中剪M刀，则被剪成（2~N*M+1）段
九【传球 问题】N个人传M次球，记X=[(N-1)^M]N，则与X最接近的整数为传给“非自己的某人”的方法数， 与X第
二接近的整数便是传给自己的方法数。大家牢记一条公式，可以解决此类至少三人传球的所有问题 。【例题】四人进行
篮球传接球练习，要求每人接球后再传给别人。开始由甲发球，并作为第一次传球， 若第五次传球后，球又回到甲手
中，则共有传球方式（）。A. 60种 B. 65种 C. 70种 D. 75种【解析】(4-1)~5次 4=60.75，最接近的是61为最后
传到别人次数，第二接近的是60为最后传给自己的次数。
十【时钟问题】时针与分针：分针每分钟走1格，时针每60分钟5格，则时针每分钟走 112 格，时针每分钟比分针
少走1112 格。
分针与秒针：秒针每秒钟走一格，分针每60秒钟 走一格，则分针每秒钟走160格，每秒钟秒针比分针多走5960格
时针与秒针：秒针每秒走一格，时针 3600 秒走 5 格，则时针每秒走 1720 格，每秒钟秒针比时针多走719720格。
【例题】中午12点，时针与分针完全重合，那么到下次 12点时，时针与分针重合多少次？【解析】时针与分针重合
后再追随上，只可能分针追及了60格，则 分针追赶时针一次，耗时 601112＝72011分钟，而12小时能追随及12*60
分钟 72011分钟次=11次，第11次时，时针与分针又完全重合在12点。如果不算中午 12 点第一次重合 的次数，
应11次。如果题目是到下次12点之前，重合几次，应为11-1次，因为不算最后一次重合 的次数。
相遇问题【例题】小明做作业的时间不足 1 时，他发现结束时手表上时针、分针的位置正好与开始时时 针 、分针的
位置交换了一下。小明做作业用了多少时间？只可能是这个图形的情形，则分针走了大弧 B-A ，时针走了小弧 A-B ，
即这段时间时针和 分针共走了 60 格，而时针每分钟 112 格，分针 1 格，则总共走了 60(112+1)=72013 分钟，
即花了 72013 分钟。
成角度问题设X时时，夹角为30X ， Y分时，分针追时针速度差为5.5度 分钟，设夹角为A.(请大家掌握)（30X-5.5Y）
=A或360-（30X-5.5Y）=A (已知角度或时针或分针求其中一个角)【例题】在时钟盘面上， 1 点 45 分时的时针与分
针之间的夹角是多少？【解析】一点时，时针分针差 5 格，到 45 分时，分针比时针多走1112*45 ＝ 41.25 格，则
分针此时在时针的右边 36.25 格，一格是 36060 ＝ 6 度，则成夹角是 ,36.25*6=217.5 度。
钟表重合公式钟表几分重合，公式为： x5=(x+a)60 其中a为时钟前面的格数
坏钟表问题只须找出坏钟与标准时间的倍比关系即可。例题：一个钟表出现了故障，分针比标准时间每分钟快6秒 ，
时针却是正常的。上午某一时刻将钟表调整至标准时间。经过一段时间 发现钟表的时刻为晚上9：00 请问钟表在何时
被调整为标准时间?A、10：30 B、11：00 C、12：00 D、1：30 【解析】此题也是比较简单的题目。我们看因为每分
钟快6秒则1个小 时快60×6=360秒即6分钟。当9：00的时候 说明分针指在12点上。看选项。其时针正常，那么
相差的小时数是正常的，A选项差10.5个小时即 分针快了10.5×6=63分钟。则分针应该在33分上。错误! 同理看B
选项 相差10个小时 即10×6=60分钟，刚好一圈，即原在12上，现在还在12上选B，其它雷同分析。
十一【方阵 问题】（1）每层人数=（每边人数-1）X4，（2）方阵相邻两层人数相差8（特殊情况：当实心方阵的最外 层
每边人数为奇数时，从内到外每层人数依次是1、8、16、24„„）;（3）空心方阵的总人数是 首项为最外层人数，公
差为-8的等差数列，如果算空心方阵总人数，就用等差数列求和公式;（4）最 外层每边人数=最外层总人数4+1;(5)
实心方阵总人数=最外层人数的平方。
十二【四 个连续自然数】性质一：为两个奇数和两个偶数，它们的和可以被2整除，但是不能被4整除；性质二：
他们的积+1是一个奇数的完全平方数
十三【页码问题】对多少页出现多少1或2的公式（1）如果是X千里找几，公式是 1000+X00*3（2）如果是X百里
找几，就是100+X0*2，X有多少个0 就*多少。依次类推!请注意，要找的数一定要小于X ，如果大于X就不要加
1000或者100一类的了，例如：7000页中有多少3 就是 1000+700*3=3100(个)，20000页中有多少6就是 2000*4=8000

< p>
(个)友情提示，如3000页中有多少3，就是300*3+1=901，请不要把3000的3 忘了
十四【两数之间个位和十位相同的个数】1217到2792之间有多少个位数和十位数相同的 数?从第一个满足条件的数
开始每个满足条件的数之间都是相差11【方法一】看整数部分1217～2 792，先看1220～2790 相差1570 则有这样
规律的数是1570÷10=157个，由于这样的关系 我总结了一个方法 给大家提供一个全新的思路【方法二】我们先求
两数差值 2792-1217=1575，1575中有多少11呢 1575÷11=143 余数是2，大家不要以为到这里就结束了 其实还没
有结束。我们还得对结果再次除以11 直到所得的商小于11为止，商+余数再除以11，(143+2)÷11=13 余数是
2(13+2)÷11=1 因为商已经小于11，所以余数不管，则我们就可以得到个数应该是 143+13+1=157，不过这样的方法
不是绝对精确的，考虑到起始数字和末尾数字的关系。误差 应该会在1之间!不过对于考公务员来说 误差为1，已
经可以找到答案了
十五【比赛场次问题】

比赛赛制 比赛场次

参赛选手数×（参赛选手数－1 ）2
循
单循环赛

环
双循环赛
参赛选手数×（参赛选手数－1 ）

赛

参赛选手数－1
淘
只决出冠（亚）军

汰
要求决出前三（四）名 参赛选手数

赛

【握手问题】握手次数=总人数×（总人数－1）2（相当于单循环赛）
【隔两人握手问题】 某个班的同学体育课上玩游戏，大家围成一个圈，每个人都不能跟相邻的2个人握手，整个游戏
一共握手 152次， 请问这个班的同学有( )人 A、16 B、17 C、18 D、19【解析】此题看上去是 一个排列组合题，
但是却是使用的对角线的原理在解决此题。按照排列组合假设总数为X人 则Cx取3=152 但是在计算X时却是相当的
麻烦。 我们仔细来分析该题目。以某个人为研究对象 。则这个人需要握x-3次手。每个人都是这样。则总共握了x×(x-3)
次手。但是没2个人之间的 握手都重复计算了1次。则实际握手次数是x×(x-3)÷2=152 计算的x=19人
十六【年龄问题】关键是年龄差不变;几年后年龄=大小年龄差÷倍数差- 小年龄，几年前年龄=小年龄-大小年龄差÷倍
数差
十七【日期问题】口诀：平年加1天年，闰年加2天年
十八【约数个数问题】M=A^X*B^Y 则M的约数个数是(X+1)(Y+1)。例题：360这 个数的约数有多少个?这些约数的和是
多少?解：360=2×2×2×3×3×5，所以360的任何 一个约数都等于至多三个2(可以是零个，下同)，至多两个3和至
多一个5的积。如果我们把下面的式 子(1+2+4+8)×(1+3+9)×(1+5)，展开成一个和式，和式中的每一个加数都是在每
个括号里各取一个数相乘的积。由前面的分析不难看出，360的每一个约数都恰好是这个展开式中的一个加数。 由于第
一个括号里有4个数，第二个括号里有3个数，第三个括号里有2个数，所以这个展开式中的加数 个数为4×3×2=24，
而这也就是360的约数的个数。
十九【植树问题】线型棵数=总长间隔+1； 环型棵数=总长间隔； 楼间棵数=总长间隔-1
二十【裂增计数基本公式】 如果一个量每个周期后变为原来的A倍，那么N个周期之后就是原来的AN倍。
【例1】某种细菌在培 养过程中，每10分钟分裂一次(1个分裂为2个)。经过90分钟，这种细菌由1个可分裂成多少
个? () A. 256 B. 512 C. 1024 D. 2048[答案]B【解析】周期数为90÷10=9(个)。根据公式：可分裂成2~9=512(个)。 < br>【例2】一个细胞一小时分裂为3个，9个小时可以把一个容器装满，请问要使分裂的细胞能装到容器的九 分之一，需
要多少小时?() [2008年天津公务员考试行政职业能力测验真题-8]A. 5小时 B. 6小时 C. 7小时D. 8小时[答案]C
【解析】设容器体积为M，细胞开始体积为A， N小时后装到19容器。则：A×3~9=M，A×3N=M9，得N=7。
【例3】一根竹笋从发芽 到长大，如果每天长一倍，经过10天长到40分米，那么长到2.5分米时，要经过多少天?()
A. 6 B. 8 C. 4 D. 12[答案]A【解析】设竹笋原长A，N天长到2.5分米， 则：A×2~10=40，A×2~N=2.5，得N=6。
【例4】先分多次用等量清水去冲洗一件 衣服，每次均可冲洗掉上次所残留污垢的四分之三，则至少需要多少次才可使
得最终残留的污垢不超过初 始污垢的1%?( )A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 [答案]B【解析】每次清洗之后变为原来 的14，
那么N次之后就应该是原来的(14)N，由题意：(14)N ≤1%，即4N≥100，易知N≥4。
【例5】一张面积为2平方米的长方形纸张，对折3次后得到的小长方形的面积是()。 [2008年国家公务员考试行政
职业能力测验真题-50]A. 12m2 B. 13m2 C. 14m2 D. 18m2[答案]C【解析】对折一次，面积减半一次。2×(12)~3=14。
二十一【什锦糖问题公式】均价A=n ｛（1a1）+(1a2)+(1a3)+(1an)｝ 【例题】商店购进甲、乙、丙三种不同的糖，所有费用相等，已知甲、乙、丙三种糖，每千克费用分别为4. 4 元，6 元，
6.6 元，如果把这三种糖混在一起成为什锦糖，那么这种什锦糖每千克成本多少元？ 答案（D）

A．4.8 元 B．5 元 C．5.3 元 D．5.5 元 简便方法：均价=（4.4+6.6+6）3=5.6，接近D
二十二【吃糖的方法】当有n块糖时，有2^(n-1)种吃法。
二十三【商品打折问题】 【例题】（2010年9月联考）某家具店购进100套桌椅，每套进价200元，按期望获利50%定
价出售，卖掉60套桌椅后，店主为了提前收回资金，打折出售余下的桌椅，售完全部桌椅后，实际利润比期望利 润低
了18%，余下的桌椅是打几折出售的？A.七五折 B.八二折C.八五折 D.九五折【答案】C 【解析】每套桌椅的利润为
200×50%=100元，定价为200×（1＋ 50%）=300元。卖出60套的利润为100×60=6000元，总的利润为100×100×（1
－18%）=8200元，则打折的40套桌椅总的利润为8200－6000=2200元，则每套桌椅的利 润为2200÷40=55元，售价为
200＋55=255元，折扣为255÷300=0.85，即 八五折。因此，本题选择C选项。
【例题】（2011年国考）某商店花10000进了一批商品，按 期望获得相当于进价25%的利润来定价。结果只销售了商
品总量的30%。为尽快完成资金周转，商店 决定打折销售，这样卖完全部商品后，亏本1000元。问商店是按定价打几
折销售的？A.九折 B.七五折C.六折 D.四八折【答案】C【解析】题目中商品进货量以及每件商品的单价都没给出，因
此我们可以使用赋值法。设共有100件商品，每件商品的进价为100元，则商品的定价为100×（1＋2 5%）=125元，
30%原价销售的商品总收入为125×30=3750元，总收入为10000－ 1000=9000元，则剩余70件商品的收入为9000－
3750=5250元，则每件商品的实 际售价为5250÷70=75元，折扣为75÷125=0.6，即6折。因此，本题选择C选项。
二十四【兔子问题】实质是和递推数列。An=A(n-1)An(n-2)【例题】已知一对幼兔能在一月内长 成一对成年兔子，一
对成年兔子能在一月内生出一对幼兔。如果现在给你一对幼兔，问一年后共有多少对 兔子?【解析】根据规律得
出:1,1,2,3,5,8，13,21,34,55,89,144，答 :有144只兔(第三数是前两数之和：和递推数列),
二十五【直线分圆的图形数】设直线的条数为N，则总图形数=1+{N(1+N)}2
【例 题】将一个圆形纸片用直线划分成大小不限的若干小纸片，如果要分成不少于50个小纸片，至少要画多少条直线 ?
【解析】1+[x*（x+1）]2≥总图形数50，故X≥10条
二十六【圆相交的交点问题】N个圆相交最多可以有多少个交点的问题分析：N*(N-1)
二十七【圆分平面公式】N^2-N+2, N是圆的个数
二十八【象棋比赛人数问题】 象棋比赛中，每个选手都与其他选手恰好比赛一局，每局胜者记2分，负者记0分，和
棋各记1分，四位 观众统计了比赛中全部选手得分总数分别是:1979，1980，1984，1985，经核实只有一位观众统 计正
确，则这次比赛的选手共有多少名? A.44 B.45 C.46 D.47【解析】44*43=1892，45*44=1980 ，46*45=2070 ，选B
二十九【九宫图问题】此公式只限于奇数行列 步骤1：按照斜线的顺序把数字按照从小到大的顺序，依次斜线填写!
步骤2： 然后将3×3格以外格子的数字折翻过来， 最左边的放到最右边，最右边的放到最左边 最上边的放到
最下边，最下边的放到最上边 这样你再看中间3×3格子的数字是否已经满足题目的要求了
三十【计算错对题的独特技巧】【例题】 某次考试有30道判断题，每做对一道题得4分，不做的不得分，做错一道题
倒扣2分 小明得分是96分，并且小明有题目没做，则小明答对了几道试题()A 28 B 27 C 26 D25 正确答案是 D 25
【解析】我们把一个答错的和一个不答的题目看成一组，则一组题目被扣分是6+ 4=10，解释一下6跟4的来源，6是
做错了不但得不到4分还被扣除2分 这样里外就差4+2=6分，4是不答题 只被扣4分，不倒扣分。这两种扣分的情况
看着一组，目前被扣了30×4-96=24分，则说明 24÷10=2组 余数是4，余数是4 表明2组还多出1个没有答的题目，
则表明 不答的题目是2+1=3题，答错的是2题
三十一【双线头法则问题】设做题的数量为S，做对一道得X分 做错一道扣Y分,不答不得分，竞赛的成绩可能值为N
令T=(X+Y)Y则N={[1+(1+S) ]*(1+S)}2-{[1+(S-T+1)]*(S-T+1)}2 某次数学竞赛共有10道选择题，评 分办法是
每一题答对得4分，答错一道扣2分，不答不得分，设这次竞赛最多有N种可能的成绩，则N应 等于多少?A、28 B、
30 C、32 D、36【解析】该题是双线段法则问题[(1+11)×11÷2]-[(1+8)×8÷2]=30
三十二【N条线组成三角形的个数】n条线最多能画成几个不重叠的三角形 F(n)=F(n-1)+ F(n-2) 如 f(11)=19
三十三【边长为ABC的小立方体个数】边长为ABC的长方 体由边长为1的小立方体组成，一共有abc个小立方体，露
在外面的小立方体共有 abc-(a-2)(b-2)(c-2)
三十四【骨牌公式】小于等于总数的2的N次方的最大值就是最后剩下的序号.
三十五【图色公式】(大正方形的边长的3次方)-(大正方形的边长-2)的3次方。
三十 六【装错信封问题】装错1信—0种，装错2信—1种，装错3封信—2，装错4封信—9，装错5封—44，装 错6
封—265，递推公式是S(n)=n.S(n-1)+(-1)^n
三十七【伯努利概 率模型】某人一次射击击中靶的概率是35，射击三次，至少两次中靶的概率是：击中概率35，则
没集 中概率25，即两次集中的概率+三次集中的概率公式
C(2,3)*[(35)^2]*[(25)^ 1]+C(3,3)[(35)^3]*[(25)^0]81125

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