座右铭作文-山东中考

思维调查卷
1. 解：设甲原来的速度是1个单位，则乙原来的速度是2.5个单位， 甲后来的速度是1.25个单位，乙后来的速度
是2个单位。设第一次甲跑了x圈时被乙追上，则此时乙 跑了(x+1)圈；被追上后甲又跑了y圈再次被乙追上，
则乙又跑了(y+1)圈。利用两次甲乙跑的 时间相等列方程：
A
xx1


12.5
yy1


1.252
22
解得：
x,y1

33
C
B
如图，若两人从A出发逆时针跑，则第一次乙在B点追上甲，第二次在C点追上甲（A、B 、C是圆周的三等
分点）。因为B、C相距100米，所以环形跑道的周长为
100330 0
米。

2. 答案：5：22

3. 解：首先判断出开始是 顺流。在第1小时和第2小时这两个相等的时间内，速差是4，路程差也是4，那么得
到第1小时正好是 走一个顺流的长度。由于第1个小时在顺水时走的才是一个全长，那么第4小时肯定是逆水。
具体行驶情 况如图。
再者，第2小时和第3小时逆行的路程都是4，那么它们顺行的路程也必须相等，故第3小时 的最终时刻到全
长的中点。
最后，比较第3小时和第3小时行驶的情况：设全长为2a千米，船在静水中的速度为每小时x千米。
a42a42a

，
x2x2x2x2
解得a＝10千米。

4. 解：小明走
4
4
772
712

，与小明的爸爸走的 时间相同，所以他们的速度比是：＝7：2，接下来如果小
101010
10210
3
333
的路程，那么小明就多用5分钟，设速度的一份为x，则
2x7x5, x
10
1010140
，明步行，爸爸骑车都走
所以小明的速度是
3331
，从家到学校的路程是1，所用时间是
1223
分钟。
14070703
行程问题下
一、环行运动：
53
1. 解：因 为第一圈时男运动员的速度是女运动员的倍，所以男运动员跑完第一圈后，女运动员刚刚跑到全长
35< br>1
的位置。这时男运动员调头和女运动员以相同的速度相向而行，所以第一次相遇点在距A点全长 处。
5
下面讨论第二次相遇点的位置，在第二次相遇前，男运动员已经跑完第二圈，男运动员 跑第二圈的速度与女运
动员第一圈的速度相同，所以在男运动员跑完第二圈时，女运动员跑第二圈的时间 恰好等于男运动员跑第一圈
的时间，而女运动员跑第二圈的速度是男运动员跑第一圈速度的
22
，所以女运动员刚好跑到距A点的位置，
55
9
。
25
此时 男女运动员相向运动，男运动员的速度为3ms，女运动员的速度为2ms。这样第二次相遇点距A点
1 9141114
两次相遇点间的距离为总全长的

。所以两点在跑道上的最短距离为全 长的
1
。而这段距离
525252525
11
又为88米。所 以88÷＝200米。
25

2. 分析：我们注意到，3人跑到一 起的意思是快者比慢者跑的路程差应是300的整数倍；如果都同时回到出发点，
那么每人跑的路程都是 300的整数倍。同时注意到本题的单位不统一，首先换算单位，然后利用求两个分数的
最小公倍数的方 法可以解决问题。
解：（1）先换算单位：甲的速度是
米分钟。
（2）设t分钟3 人第一次跑到一起，那么3人跑的路程分别是
100t
米、
都是300的整数倍。而
t[
68000
乙的速度是米分钟；丙的速度是
100
米分钟；
60
607607560
50020080
t
米、
60t
米。路程差
40t,t,t
777
30030073007153 7157105
，所以第一次3人跑到一起的时间是
,,][,,]
4
105
分钟。
2
（3）设k分钟3人同时回到起点，那么3人跑的路程分别是100t
米、
整数倍。而
t[
500
t
米、
60t
米。每个路程都是300的
7
300300730021
,,][ 3,,5]105
，所以3人同时回到起点的时间是105分钟。
100500605评注：求几个分数的最小公倍数的方法是：所有分子的最小公倍数作分子，所有分母的最大公约数作分母得到
的分数。

3. 分析：本题如果按原来的图形思考，会是非常麻烦的事，需要分段 计算，然后找到周期，这样没有细心的计算
是很难解决问题的。现在我们注意到在小圆上是顺时针，在大 圆上是逆时针，如果这两个圆能“拧开”就是一个
在周长400米的大圆上的不同起点同时的追及问题， 题目一下子变得非常简单了。
解：根据分析，甲在A处，乙在B处，相距200
米同时同向而 行，乙速较快，第一次追上甲要
多跑200米，以后每追上一次乙都要比甲多跑
A
B
A
C B
400米，那么第五次乙追上甲时，比甲多跑
400×4+20 0＝1800米，需要的时间是1800÷（5
－4）＝1800秒。
评注：当一个问题按试 题指引的方向比较复杂时，有时可以换一个角度得以使试题简化，而题目本身并没有实
质上的变化，这是 解决数学问题经常用到的“转化”的数学思想。
8

A
N
4. 分析：对于正方形的路线，每边长是相同的，由于反向开出的两辆车，不管走什么样
B
的路况，到相遇的时候走的时间相同，故可以把每边设成速度的倍数，转化成时间来
9
解题。
6
解：设正方形的边长为720千米，那么AB上行驶的时间是720÷9 08小时，BC上行
驶的时间是720÷1206小时，CD上行驶的时间是720÷6012小 时，DA上行驶的时
D
C
间是720÷809小时。那么行驶一周的总时间是8+6+12+935小时。
M
P
12
从CD上一点P，同时反向各发出一辆汽车，它们将在AB中点相遇 ，相当于从AB
中点同时反向各发出一辆汽车，它们在CD上一点P相遇，每辆车都行驶35÷2＝17 .5
小时，DP上的时间为17.5494.5小时，PM上的时间为（124.5）÷23 .75小时。同样得到AN上的时间为
17.53.754.590.25小时，NB上的时间 为8－0.25＝7.75小时。AN、NB上的速度相同，故路程比就等于时间
AN0.251

。
NB7.7531
评注：本题要把握住从起点到终点的时间和从终点到起点 的时间相同，很容易求得DP上的时间。同时注意到
把边长设成速度的最小公倍数解题可以简化计算。


比。即

二、时钟问题：
5. 分析 ：8点多上课，下课是9点多，两次的时针应是在8－9与9－10之间，这样可以初步判断出上课时间是8：< br>点45分到8：50，下课时间是9：40到9：45之间。再利用分针与时针速度的关系即可转化成环形 上的行程问
题。
解：有分析可以知道，分针和时针走的总路程是整个圆周，设分针速度为1， 那么时针速度为
走60个小格，设8与时针的夹角为x格，9与分针的夹角为y格，根据时间相同列方程 组：

x45y

1

1


12

y40x
,


1

1

12
1
，分针每小时
12
x4
8
88。所以上课的时间为40+
4

44
分钟。
143
143143

6. 分析：我们标准钟每65
5
标 准分钟时针、分针重合一次。旧钟每65分钟重合一次。显然旧钟快。本题的难点
11
在于从旧 钟两针的重合所耗用的65标准分钟推算出旧钟时针或分针的旋转速度(每标准分钟旋转多少格)进而
推 算出旧钟的针24标准小时旋转多少格，它与标准钟的针用24标准小时所走的格数的差就是旧钟钟面上显示的比标准钟快的时间读数。
1
标准分钟。如用复合单位表示：旧钟分针速度为x (格< br>x
11
标准分)。旧钟分针走60格时针走5格，时针速度总是分针的，所以旧钟时针速 度为x (格标准分)。每
1212
11212
次重合耗用65标准分钟，而且两次 重合之间分针赶超了时针60格，列方程：
(1)x6560,x
.
121 311
1212
标准时间一天有60×24＝1440标准分，一天内旧钟分针走的格数为 ：×60×24。但是我们只须求出
1311
12121212
旧钟分针比标准 钟分针多走了多少格，即减去1440个(标准钟的)格，所以有×60×24－60×24＝(
13 111311
602410
144－143
－1)×60×24＝×60×24＝ ＝10(旧钟格)
1311143
1311
10
这里一定要明白，这1 0只是旧钟上显示的多走的格数，也是旧钟的非标准分钟数，并非标准的分钟数。
143
10
答：这只旧钟在标准时间一天内快10分钟。(按旧钟上的时间)
143
解：设旧钟分针每标准分钟走x格。那么，每走1格用

7. 解：对 于满足条件的a，即存在1个自然数n，使得a+(a+1)+(a+2)++(a+n1)=180，即( 2a+n1)n=360。
显然a越小时，2a+n1与n的差越小。又2a+n1与n的奇偶性 不同，于是可推出n=15，a=5。故a最小
可以被设成5。在这种情况下指针第一次恰好回到出发点 时，即5+6+7+……+n=360k（k是整数，n

5），
所以n+5(n 4)能被720整除。注意到n4

n+5(mod3)，所以n4和n+5是3的倍数 。又n+5与n4的奇
偶性不同，故有一个是16的倍数。且n+5与n4中有1个是5的倍数。于 是得出满足条件的最小的n是
100。时间为96秒。

三、流水行船问题：
8. 分析：对于直线上汽车与行人的迎面相遇和背后追及这个类型的问题是多见的，这里要注意顺水与逆水的不同。
解：设货车在静水中的速度为6，那么水速为1，游船的速度为x，时间间隔为t，那么在追及的情况下 的间隔为
30×[(6+1)(x+1)](6+1)×t，迎面相遇情况下的间隔为20×[(6 1)+(x+1)](61)×t，解得t＝72029分钟。
评注：这里要注意与路面上的情 况不同的是发车的时间间隔相同时候，在顺水与逆水的间隔路程就不同了，就是这
样出错的。

9. 解：设BC为1份，AB为x份，则AB占总体的
x1
，BC占总体的，根据特殊情况下，从A到B、从B
x1x1
到C水速一样，他从A到B ，再到C用2.5小时，速度相同，时间的比等于路程的比，得到关于时间的等式
2.5x2.5
2.5
.
x1x1
这样得到其它两个条件的等式：
2.5x0. 5x35.5x30.5x3
3,6,

x1x1x1x1< br>5.5x3
5.5x3
x
?
而要求的算式是
x1 x1
5.5x3
0.5x32.5
x
这样知道在BC上逆水时的时间为 ，静水时所用时间为，顺水时所用时间为，所以
x1
x1x1
在BC上逆水、静 水、顺水时的速度比为
得到等式：
1
x1
：：，由于三者是公差为水速的等差 数列，所以
5.5x30.5x3
2.5
1
2x3
，
x
.
0.5x35.5x3
2.5
2
5.5x3
5.5x3
x
4.537.5
. 所以
x1x1
答：在特殊情况下，从C到B再到A用7.5小时。
评注：本题的 关系十分复杂，把四个条件都用时间表示出来，然后寻找在BC上的三种速度是一个等差数列。

10. 分析：对于流水行船问题，注意水速的影响，水中相遇时，速度的和不变；
解：设开 始甲船在静水中中速度为V
甲
，乙船在静水中速度为V
乙
，水速为V
水
，相遇时间为t。
2
（1）开始时相遇时间为t，而速度均增加1.5倍时，行驶 路程不变，故时间缩小1.5倍时间即为t1.5=
t
，根
3
22
据两次相遇点相距1千米，甲两次的路程差为1千米，列方程，
t(1.5V
甲
2V
水
）（t1.5V
甲
V
水
）=1
，tV
水
=3，
33
2222
从而
t(1.5V
甲
2 V
水
）
；
（t1.5V
甲
V
水
） tV
水
32
（千米）
3333
评注：从题目结论可以看出，路 程的变化与甲、乙速度无关，只与水速的变化有关；

四、综合行程：
11. 分析：本题给的是时间的关系。要知道，相同的路程下，路程比等于时间的反比。
解：司机晚出发4分 钟，又早到8分钟，那么相当于少用4812分钟时间接厂长到厂，又知道司机来回的时
间是相等的 ，故司机去的时候少用122＝6分钟。而司机这6分钟走的路程是厂长步行的路程，厂长走这段路
的 时间应该是早出发的1小时加上司机遇到厂长时少用的6分钟，共66分钟。根据分析，相同的路程情况下，司机的速度与厂长步行的速度比是66：6＝11：1。
评注：不要认为司机6分钟的路程是厂长 1小时的路程，而是要加上司机去的时候少用的6分钟，想一想，为
什么？

12. 解：摩托车与总站相距2400米的时候，第一辆车开始发车，它与摩托车超过9次，第二辆超过8次，第三辆< br>超过2次，共计19次；

13. 分析：本题的关键是三次相遇的地点相同，然后考虑各自的时间和速度的变化。
解：假设甲乙4小时相 遇在C处，当甲每小时多行1.5千米时，要走相同的路程，则时间就少用
24
0.4
小时，
60

1.53.6
13.5
千米小时；当乙每小 时少走2.5千米，
0.4
48
2.54.8
0.8
小时，实际 所用的时间是4+0.8＝4.8小时，那么乙原来的速度是
15
则走相同的路程要多用60
0.8
实际所用时间是4－0.4＝3.6小时，那么甲原来的速度是
千米小 时。所以A、B两地的距离是（13.5+15）×4＝114千米。
解法二：设甲的速度是x千米小 时，乙的速度是y千米小时，则甲乙的路程分别是4x千米、4y千米。那么
4y24
4x


x1.5y

60



4x

48

4y


x60y2.5
9

x



x1.510

6


y

5y2.5


x13. 5


y15

所以A、B两地的距离是（13.5+15）×4 ＝114千米。
评注：这里注意到乙多走的24分钟，相当于甲少走了24分钟，速度增加，时间减少 ，路程不变的情况。

14. 解：如图设轿车、货车、公共汽车的速度分别为
v< br>1
,v
2
,v
3
,
轿车和货车的距离为a，那么轿车 追上货车时，各自
行驶了10分钟，轿车追上公共汽车时，轿车行驶了30分钟，而公共汽车只行驶了2 2分钟（30÷7＝4…2，4×5
＋2＝22），当货车追上公共汽车时，货车行驶了50分钟，公共 汽车行驶了36分钟（50÷7＝7…1，5×5＋1＝36），
可以得到方程组：
(1)< br>
10v
1
10v
2
a


3 0v
1
22v
3
3a(2)


50v36v2a(3)
3

2
轿车
a
货车
2a
公共汽车
（3）－（1）×2得：
35v
2
10v
1
18v
3
（1）×3－（2）得：
v
2
:v
3
22:30

从而得到
v
1
:v
2
:v
3
23:22:30

评注：本题涉及到三个对象的运动，要弄清各自的运动情况是理清解题思路的关键，同时注意 到公共汽车是有
间歇的行驶，虽然时间有那么多，而实际行驶的需要换算。

15. 思路：三人有时间相同的路程，使用比例，路程比等于速度比；
解：如图设a、b；
A
（1）V
乙
：V
丙
=18：b；
①
（2）V
甲
：V
丙
=（32+a）：（18+b）；
（3 ）V
甲
：V
乙
：V
丙
=（50+a+b）：（18+b）： （50+b）；
A
由①、②可知V
甲
：V
乙
：V
丙
=（32+a）
②
b:18(18+b):b(18+b),
从而V
甲
：V
乙
：V
丙
=18（50+a+b）：18(18+b )：18
A
a

③


32a

b18

50ab

（50+b）


甲
b18b1850b






a40
，所以AC间距离为40+32+18+30=120（千米）


b30
B
18
b
C
丙
B
丙
C
32
B
乙
C
丙

行程问题上 练习题
1. 解：第一次相遇时两人共 走了半个圆周，从开始到第二次相遇两人共走了三
倍的半圆周，那么乙走了100×3＝300米，它恰 好是半圆周的多60米，这样
圆周长是（300－60）×2＝480米。乙走100米时，甲走了24 0－100＝140米，
这相当于两人的速度，两人同向出发时，甲要比乙多走半个圆周就追上乙，需要的时间是240÷（140－100）＝6个半圆周，这时甲走了6×140＝840米，
48 0×2－840＝120米，因此甲第一次追上乙时距离他的出发点有120米。

2. 分析：首先要把这个慢表的1小时转换成标准时间的1小时。
解：在慢表中，70分钟分针和时针重合 一次，而标准时间是
小时在标准时间中是70×8÷
甲
乙
720
分钟分针和时针重合一次。那么慢表中的8
11
720720
，超出的时间是70×8 ÷－8，由于超出的每小时的工资是3×（1+3.5）＝13.5
1111
720
－ 8）÷13.5＝7.5元。
11
1
，再设x分时针和分针重合，分针比时针多走6 0个格，故有
12
元，那么超时工资就是（70×8÷
评注：设分针的速度是1，那么 时针的速度是
(1
1720
（分钟）。
)x60,x
1211

3. 解：（1）货船比游船每小时快15÷5 ＝3千米，当相遇后1小时，游船与货船的距离是1×3＝3千米，当货船返
回到物品时的时间还是6分 钟，那么游船船走6×2＝12分钟时，那么游船12分钟的顺水路程加上货船逆水6
分钟的路程恰好是 货船6分钟顺水路程加上3千米的路程，即
1266
V
乙
V
水
V
甲
V
水
=V
甲
V
水
3，
606060
解得V
乙
=15千米小时。
评注 ：注意到当一个物体从一个船上掉入水中，那么船是顺水速度，物体是水速，相当于船在静水中的速度；
而返回寻找物体时，船是逆水速度，物体还是水速，两者速度和还是船在静水中速度。即船来回的时间是相同

4. 解：汽车走单程需要602=30分钟，实际走了402=20分钟的路程，说明相遇 时间是2：20，2点20分相遇时，
劳模走了60+20=80分钟，这段距离汽车要走30-20= 10分钟，所以车速劳模速度=8010=8
答：汽车速度是劳模步行速度的8倍。

5. 解：甲晚出发7分钟，相当于乙先走7分钟，这7分钟，乙走了60×7＝420米，如果是甲乙 和走这段路程，那
么需要420÷（80＋60）＝3分钟，那么第二次比第一次相遇的时间差是7－3 ＝4分钟，4分钟乙走了CD，那
么CD＝4×60＝240米，第一次两人的路程差是240米，速度 差是
80－60＝20米分钟，那么第一次相遇的时间是240÷20＝12分钟，
A
B
D E
C
所以A、B两地的距离是12×（80＋60）＝1680米。

6. 解：摩托车与总站相距2400米的时候，遇见10次。

7. 解：客车与面包车速度比为 32：404：5，设AB为1，则AC
4
，
9
5
5441CB，当面包车到达A，客车距B点

，当客车到达
9955
9< br>B点时，面包车已经返回
140577252535405
，
1
，DB，

532323232324012
55555
CD=< br>,AB70504
，面包车从D点返回需要的时间是
504356小时，客车从D点返回
912363612

需要（504－210）÷40 ＝7.35。
那么面包车比客车早返回出发地7.35－6＝1.35小时。

8. 解：设小亮的速度是x米分钟，小亮的速度是y米分钟，那么

x

300016y

xy



3000< br>y
(169)x

xy

x

< br>x16(xy)

y

3000


< br>y

25(xy)

3000

x
(x y)
2

30003000
,xy150
，
1625
200200
,9x9600
.
33
4 5105
）40=20千米，乙加速后与甲在C相遇，CA距离是20×=50千米，
602 022
9. 解：乙原来车速是每小时（105÷
1
乙原来速度到C点时间是
走这22千米用的时间是

105501148

小时。甲、乙原来相遇 地点与C点的距离是
4015022
千米，丙
20460
448191 93
小时。丙车速是每小时
22123
千米。
116020201 9
1
小时，回来时逆风，每小时1200
1500
10. 解：我们知道去时 顺风，每小时1500公里，也就是去时每走1公里用
公里，也就是回来时每走1公里用
111 3
小时。这样，每公里的路程来回共需要小时。

1200
3
8
=4000(公里) 。顺风时飞行4000公里 需要4000÷1500=小
2000
3
燃料最多能用6小时，所以飞机最多可飞行< br>6
8
时。所以最多飞出小时。
3

1
11. 分 析：从所给的路程和时间的关系得到它们三者的速度比是很重要的，猫跑一步的时间为，跑5步的时间是
3
53
35
，同样得到狗跑3步的时间是，这时路程相同，速度比是时间的反比，为< br>:
＝9：25，同样求猫与兔子
53
35
的速度比。
解：由 题意,猫与狗的速度之比为9∶25,猫与兔的速度之比为25∶49。设单位时间内猫跑1米,则狗跑
25
米,兔
9
跑
49

25

675
49

625
米。狗追上猫一圈需300÷

；兔追 上猫一圈需300÷

。
1

＝
1

＝
2542

9

25

675625675 625
的整数倍,又是整数倍。与的最小公倍数等于两个分数中,
4242
猫、狗、兔 再次相遇的时间,应既是
分子的最小公倍数除以分母的最大公约数,即


6 75625


675,625

16875
＝＝＝843 7.5。
,

2
(4,2)
42

25
＝23437.5(米),
9
上式表明,经过8437.5个单位时间,猫、狗、兔第1次相 遇。此时,猫跑了8437.5米,狗跑了8437.5×
兔跑了8437.5×
49
＝16537.5(米)。
25
评注：注意三者的速度比，然后求出第一次相遇的时间是解题 的关键，同时要会求两个分数的最大公约数。