新生欢迎词-萨科齐

第二讲 数字谜综合
内容概述
各种具有相当难度、求解需要综合应用多方面 知识的竖式、横式、数字及数阵图等类型
的数字谜问题．

典型问题
1．ABCD表示一个四位数，EFG表示一个三位数，A，B，C，D，E，F，G代表1至9中的
不 同的数字．已知ABCD+EFG=1993，问：乘积ABCD×EFG的最大值与最小值相差多少?

【分析与解】 因为两个数的和一定时，两个数越紧接，乘积越大；两个数的差越大，乘积
越小．
A显然只能为1，则BCD+EFG=993，
当ABCD与EFG的积最大时，ABCD、EF G最接近，则BCD尽可能小，EFG尽可能大，有BCD
最小为234，对应EFG为759，所以有 1234×759是满足条件的最大乘积；
当ABCD与EFG的积最小时，ABCD、EFG差 最大，则BCD尽可能大，EFG尽可能小，有EFG
最小为234，对应BCD为759，所以有17 59×234是满足条件的最小乘积；
它们的差为1234×759—1759×234=(10 00+234)×759一(1000+759)×234=1000×（759
—234)=5250 00．
2.有9个分数的和为1，它们的分子都是1．其中的5个是
个数的分母个位数字都是 5．请写出这4个分数．

【分析与解】 l一(
1111
1
,,,,另外4
37911
33
1111
1
21011010< br>++++)==
37911
33
33711335711
需要将10 10拆成4个数的和，这4个数都不是5的倍数，而且都是3×3×7×1l的约
数．因此，它们可能是 3，7，9，11，21，33，77，63，99，231，693．
经试验得693+231+77+9=1010．
所以，其余的4个分数是：

3.
11
1
1
,,,.
515
45
385
请在上面算式的每个方格内填入一个数字，使其成为正确的等式．
【分析与解】 1988=2 ×2×7×7l=4×497，
得
111
1
+＝，在等式两边同时乘上，就< br>1243
497
11
1
+＝．显然满足题意．
59641988
1491
11
1
11
11
又+=，两边同乘以，就得+＝．显然也满足．
1424970
1988142035
1410
11
1111
+＝，+＝均满足.
3053
19881204
8094
19881596

4．小明按照下列算式： 乙组的数口甲组的数○1=

对甲、 乙两组数逐个进行计算，其中方框是乘号或除号，圆圈是加号或减号他将计算
结果填入表14—1的表中 ．有人发现表中14个数中有两个数是错的请你改正．问改正后的
两个数的和是多少?

29
17
，都是小于1的数，2与这三个数运
314
32
5
511717
算后，得5.05，4，4；不论减1还是加l后，这三个数都比2大 ，而这是2与
16
643232
【分析与解】 甲组的前三个数0.625，
小于1的数运算的结果，因此可以猜想方框内是除号．
现在验算一下：
1781
881
÷0.625=×==4.05；
3232
520
17
2
81
3
15
2
÷ =×=3；
32
3
32
2
64
9
81
1 4
63
15
17
2÷=×==3；
9
16
16< br>32
14
32
27
17
2÷3=.

32
32
2
从上面四个算式来看，圆圈内填加号，这样有三个结果是对的，而4
5
是错的．
16
按照算式
乙组的数÷甲组的数
+1…………………………*
2
，显然不为1.5，上面已认定 3是正确的，因此，只有把2改为1.5，
3
12
才有1.5÷3+1=1，而1.5 ÷0.625+l=3.4，1.5÷+1=3.25．
23
2÷3+1=1
由此可见，确定的算式*是正确的．
515
应改为4，2应改为1.5，
1616
1517
158
4+1=5+=6．
16216
16
7
改正后的两个数的和是6．
16
表中有两个错误，4

5．图14—3中有大、中、小3个正方 形，组成了8个三角形．现在先把1，2，3，4
分别填在大正方形的4个顶点上，再把1，2，3，4 分别填在中正方形的4个顶点上，最后
把1，2，3，4分别填在小正方形的4个项点上．

(1)能否使8个三角形顶点上数字之和都相等?如果能，请给出填数方法：如果不能，请说
明理由．

(2)能否使8个三角形顶点上数字之和各不相同?如果能，请给出填数方法；如果不能，
请说明理由．

【分析与解】 (1)无论怎样填法，都不可以使八个三角形顶点上数字之和相等．
事实上，假设存在某种填法使得八个三角形顶点上数字之和都相等，不妨设每个三角形
顶点上数字之和为k．
在计算八个三角形顶点上数字之和时，大正方形四个顶点上每个数字恰 好使用过一次；
中正方形四个顶点上每个数字各使用过三次；小正方形四个顶点上每个数字各使用过二次 ．
因此，这八个三角形顶点上数字之和的总和为：
8k=(1+2+3+ 4)+3×(1+2+3+4)+2×(1+2+3+4)，即8k=60,k不为整数，矛盾，所以假设是错误的．
(2)易知：不可能做到三角形的三个顶点上数字完全相同，所以三角形顶点上数字之和
最小为1 +1+2=4，最大为3+4+4＝11．
而4～11共8个数，于是有可能使得8个三角形 顶点上数字之和各不相同，可如下构造，
且填法不惟一．图(a)和图(b)是两种填法．


6．图14—5中有11条直线．请将1至11这11个数分别填在11个圆圈里，使 每一条
直线上所有数的和相等．求这个相等的和以及标有*的圆圈中所填的数．


【分析与解】 表述1：设每行的和为S，在左下图中，除了a出现2次，其他数字均

只出现了1次，并且每个数字都出现了，于是有4S=(1+2+3+…+11)+a=66+a；

在右上图中除了a出现5次，其他数字均只出现了1次，并 且每个数字都出现了，于是
有5S=(1+2+3+…11)+4a＝66+4a．
综合以上两式


4S66a(1)
，
5S664a(2)

①×5-②×4得66-11a=0，所以a=6，则S=18．
考虑到含有*的五条线，有4 *+(1+2+3+4+…+11)-t=5S=90．即4*-t=24，由t是1～11
间的数且t ≠*，可知*=7，而每行相等的和S为18.

表述2：如下图所示，在每个圆圈内标上字母，带有*的圆圈标为x，

首先考虑以下四条直线：(h、f、a)，(i、g、a)，(x、d、b)，(j、e、c) ，除了标有a
的圆圈外，其余每个圆圈都出现了一次，而标有a的圆圈出现了两次，设每条直线上数字之
和为S，则有：
(1＋11)×11÷2+a=4S，即66+a=4S．
再考虑以下五条直线：(h、f、a)，(i、g、a)，(j、x、a)，(e、d、a)， (c、b、a)，
同理我们可得到66+4a=5S．

66a4S

综合两个等式

，可得a为6，每条直线上和S为18．

664a5S
最后考虑含x的五条直线：(x、h)，(x、g、f) ，(j、x、a)，(x、d、b)，(i、x、c)．其
中除了x出现了5次，e没有出现，其他数字 均只出现了一次，于是可以得到：
66+4x－e=5S=90，即4x-e=24，由e是1—11间的数且e≠x可知x=7．
即每行相等的和S为18，*所填的数为7．

7．一个六位 数，把个位数字移到最前面便得到一个新的六位数，再将这个六位数的个
位数字移到最前面又得到一个新 的六位数，如此共进行5次所得的新数连同原来的六位数
共6个数称为一组循环数．已知一个六位数所生 成的一组循环数恰巧分别为此数的l倍，2
倍，3倍，4倍，5倍，6倍，求这个六位数．

..
..
..
..
1234
【分析与解】方法一：=
0.142857
，=
0.285714
，＝
0.428571
， ＝
0.571428
，
7777
..
..
56
＝< br>0.714285
，＝
0.857142
。
77
对 应有142857，285714，428571，571428，714285，857142，它们依次是1 42857的1、
2、3、4、5、6倍．
且只用了1、4、2、8、5、7这6个数字，满足题意．
所以这个六位数为142857．
方法二：首先可以确定最小的六位数的首位为1，不然2*****的6倍就不是六位数，于< br>是不妨设这个六位数为
1abcde
，那么6个六位数中必定存在一个数为
ab cde1
.
而个位数字1，只能由1×1，3×7或9×9得到．但是
ab cde1
只能对应为
1abcde
×(2
—6)，所以只能是
1ab cde
×3得到．即
abcde1
=
1abcde
×3．
于是，我们不难递推出d为5，c为8，b为2，a为4，所以这个六位数为142857．
方法三：部分同方法二，
abcde1
=
1abcde
×3． 那么有
abcde
×10+l=(100000+
abcde
)×3，解 得
abcde
=42857．
所以这个六位数为142857．