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数谜之竖式谜一)字(

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A12
标准奥数教程
数字谜之竖式谜
【知识点与基本方法】
跟横式数字谜一样也是一种猜数的游戏。解竖式谜旧的根据有关的运算 法则、数的性质（和差积
商的位数、数的整除性、奇偶性、尾数规律等）来进行正确地推理、判断
解答竖式数字谜是应注意的问题：
（1）空格中只能填写0、1、2、3、4、5、6、7、8、9，而且最高位不能为0；
（2）进位要留意，不能漏掉
（3）答案有时候不唯一
（4）两数字相加，最大进位为1，三个数字相加最大进位为2，
（5）两个数字相乘，最大进位为8
（6）相同的字母（汉字或符号）代表相同的数字，不同的字母（汉字或符号）代表不同的数字
加(7)一个问题，读取整数型，并计算所有各位上数字的总和，直到该和降至一位数。
例如：数字是1256
sum=1+2+5+6=14;
sum=1+4=5;

【例题精讲】
求100~999一共900个三位数的各位数字之和
也就是2700个数的和
只需计算处各个数字出现的次数便可
0出现的次数这样算
0在个位上出现次数100~990共90次
0在十位上出现次数a00~a09，a为1~9，共10*9=90次
即数字0共出现了180次
而数字1~9出现的次数相同
为（2700-180）9=280次
所以所求数等于280*（1+2+……+9）=280*45=12600
【例题精讲】
例1.下面的算式中，只有5个数字已写出，请补充其他的数字
6
□ 7
+ □ 2 □
□ □ 1 5
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2

精品资料 分析：在5个方格中，要个填写一个数字，是运算式成立，先填哪一个？那就要我们找问题的突
破口 了从百位来看，和的千位数字只能是1.从市委相加来看，进位到百位，也只能进1，因此□
2 □的百位是九，和的百位是0.通过上面的分析就找到了问题的突破口了，15-7-6=2 11-2-1=8
就得到算式的结果
6
□ 7
+ □ 2 □
□ □ 1 5

例3.图中，有四个小纸片各盖住了一个数字，问：被盖住的四个数字综合是多少？
□ □
+ □ □
1 4 9
分析：先看个位，因为两个数字相加，最大为 9+9=18，所以两个数的和不能是19.从而两个被盖
住的个位数字之和等于9.由于个位数字相加 不向十位进位，所以两个被盖住的十位数字的和14.
因此被盖主的四个数字的总和是
14+9=23
例4.在下面的方框中填上何时得数字
□ 7 6
× □ □
1 8 □ □
□ □ □ □
3 1 □ □ 0
分析：由于积的各位舒适 0，乘数的个位数是5，由此我们可以得到被乘得数与5相乘的1880，
被乘数的百位数字是3，最后 因为被乘数是376，积是31□□0，所以乘数的十位数字是8
解： 3 7 6
× 8 5
1 8 8 0
3 0 0 8
3 1 8 6 0
例5.下面每个汉字个代表一个数字，不同的汉字表示不同的数字，相同的汉 字表示相同的数字，
问：这些汉字个代表什么数字？
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3

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北 京
北 京 市
+ 爱 北 京 市
1 9 9 9
分析：首先，我们立即得到“爱”表示=1，所以百位数字相加不进位， “北”小于5.又因为三个数字
相加小于100+100+100=300
所以“北”+“北”大于6，从而“北”=4，知道“爱”和“北”个代表什么数字问题就很好解决了
解：爱=1，北”=4 “京”=7 “市”=6

例6.
在图6-1算式的每个空格中，各填入一个合适的数字，使竖式成立。
< br>分析：首先根据十位上8+5得到4可知，个位有一个进位，所以，个位的空格中必定是9；再根据百位上 两个数相加，再加一个
进位后得到9，并有进位可知，百位两个空格中都是9；结果中的千位只能是1， 于是得到：

例7.如图6-2，用0，1，2，3，4，5，6，7，8，9这10个数字 各一次，可组成一个正确的加法竖式。现已写出3个数字，那么这
个算式的结果是多少？

分析：首先，结果中的千位为1；第二，百位上第一个数至少是7，最多是9；如为7，那么，结果中的 百位为0，并十位要有进
位；由此第一个数的十位可以填6，第二个数的个位填9；如为9，显然不行。 所以，结果只能是：

【课后练习题】
6.
在如图6-3所示的算式中， 3个加数的各位数字均是某两个相邻数字中的一个，那么这个算式的计算结果可能是多少？

7.
在图6-6所示的算式中，每个方框代表一个数字。问：这6个方框中的数字的总和是多少？
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4

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8.
将1到9这9个数码分别填入图6-8的9个空格中，要求先填1，再在与1相 邻(即左、右或上、下)的格中填2，再在与2相邻
的空格中填3，依次类推，……，最后填9，使得加 法算式成立。


二 加法与减法中数字和的变化
在数字和的问题上，有许多有趣的、富于思考的问题。
首先，计算两个数相加，数字和会怎样 变化，我们分开不进位加和进位加这两种情况进行讨论。先看546＋453与546＋435
两题，这 两题每题两个加数的各位上的数字的和是5＋4＋6＋4＋5＋3=5＋4＋6＋4＋3＋5=27，而546＋ 453=999，加的过程没有
进位，所得的和999各位上的数字的和9＋9＋9=27；546＋4 35=981，两个加数的数字和是27，加的过程个位上满10向十位进
1，有一次进位，所得的和9 81各位上的数字和9＋8＋1=18，比没有进位时，和的数字和少9；再计算546＋534，两个加数各位
上的数字的和也是27，546＋534=1080，加的过程中，个位和百位分别都满10，各向前一 位进1，有两次进位，所得的和1080各
位上的数字的和1＋0＋8＋0=9，比没有进位时少了18 ，即少了2个9。由此我们可以得到这样的规律：计算加法，没有进位时，
加得的和的数字和等于加数的 数字和；有进位时，每进位一次，加得的和的数字和就减少1个9。
同样，我们也可以归纳出减法中数 字和的变化规律：计算减法，没有退位时，减得的差的数字和等于被减数的数字和减去减
数的数字和的差 ；有退位时，每退位一次，减得的差的数字和就增加1个9。
下面，我们用上面的规律来解答几个问题。
例1：有A、B两个整数，A的各位数字的和是3 5，B的各位数字的和是29，如果A和B相加时有三次进位，那么把A＋B
所得的和的各位数字相加， 和是多少？
解：如果相加时没有进位，A＋B所得的和的各位数字相加的和，等于A和B两个加数数字 和相加的和。35＋29=64，相加
时，每进位一次，得数的数字和减少1个9，现有三次进位，得数 的数字和减少3个9，所以A＋B所得的和的各位数字相加，和
是64－27=37。
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答：A＋B的和的数字和是37。
例2：整数A减整数B有两次退位，减得的差的数字和是1 3，已知A的各位数字的和是8，B的各位数字和是多少？
解：A的各位数字的和是8，A减B的差的 数字和却是13，这有可能吗？如果连同退位使差的数字和增加这一因素考虑在
内，这个结果是很正常的 。A减B有两次退位，使减得的差比不退位时增加2×9=18，也可以
看作是13由被减数A的数字 和8增加了18减去B的数字和得到的。所以B的各位数字的和是8＋18－13=13。
答：B的各位数字的和是13。
例3：整数A的各位数字的和是24，整数B的各位数字的和 是22，而A＋B的和的各位数字的和是10，在加的过程中有多
少次进位？
解：如果A＋B 在计算中没有进位，所得的和的各位数字的和是24＋22=46，现在A＋B的和的各位数字的和是10，比不 进
位时减少了46－10=36，36里面包含9的个数是36÷9=4，所以加的过程中有4次进位。
答：在加的过程中有4次进位。
例4：甲数和乙数的数字和都能被7整除，甲数加乙数，得数的数字和是3，甲数减乙数，差最小是几？
解：甲数和乙数的数字和都能被7整除，相加时如果没有进位，所得的和的数字和也能被7整除，现已知 甲数加乙数得数的
数字和是3，不能被7整除，因此，甲数加乙数必定有若干次进位，3至少加上2个9 ，得到3＋2×9=21，能被7整除，而21=7＋
14，即甲数和乙数的数字和一个是7，一个是1 4，并且甲数加乙数有两位进位。当甲数是61，乙数是59时，甲数减乙数的差为
61－59=2，这 是最小的差。
答：差最小是2。
例5：1~1000这1000个自然数所有数字的和是多少？
解：1~1000这1000 个自然数所有数字的和比1~1000这1000个数的和小得多，这是因为把1~1000这1000个数相加 时，有
多次进位，每进位1次，比不进位时数字和都减少9，把加得的和按数字和计算的进位次数减去9 的个数，才得到所有数字的和，
但这样计算太繁了。
为了简便地计算这1000个数所有数字 的和，可以把这1000个数按以下的方法分组，使每一组相加时都不进位，然后算出每
组和的数字和， 再求出各组数字和的总和，就是1000个数所有数字的和。
1 2 3 4 … 499
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1000 999 998 997 996 995 … 500
1000 999 999 999 999 999 … 999 ——各组数的和
1 27 27 27 27 27 …
这样算得1000个数所有数字的和是1＋27×500=13501。
答：所有数字的和是13501。
*例6：两个四位数相加，第一个四位数的每个数字都不小 于5，第二个四位数仅仅是第一个四位数的数字调换了位置。某同
学做出的答案是16246。试问该同 学的答数正确吗？如果正确，写出这两个四位数，如果不正确，请说明理由。
解：在对这一题思考时， 如果试图按题中的条件找出四位数拼出加法算式，要找出很多的四位数，进行许多的尝试，而且不
能进行 严密的推理，因此这不是可取的方法。
比较好的做法是，先按规律说明是否可能按题目的条件做出这个 答数，有可能时，才拼算式，如果不可能，这个答数就是错
的。
由于第一个四位数的每个数字 都不小于5，不管把这四个数字怎样调换组成第二个四位数，第二个四位数的每个数字也都不
小于5，两 个数相加，四个数位上都要进位，共有四次进位，而两个四位数数字的和是第一个四位数数字和的2倍，是偶数， 四
次进位使和的数字和比原来八个数字的和减少4个9，所得的和的数字和仍然是偶数，而该同学的答数 16246的数字的和1＋6＋2
＋4＋6=19，是个奇数，所以这个答数是错的。


应用练习 二
1．有A、B两个整数，A的各位上的数字的和是31，B 的各位上的数字的和是19，A和B相加，得数的各位上的数字的和
是32，相加时有几次进位？
2．A的各位上的数字的和是4，A减去一个两位数，差的各位上的数字的和是24，减数最大是几？
3．甲数和乙数的数字和都是17的倍数，甲数减乙数，差的数字和是10，甲数最小是几？
4．甲数和乙数的和是753，两个数的数字和都是11的倍数，两个数中较大的一个最大是几？
5．1~10000这10000个自然数所有数字的和是多少？
999 ——各个和的数字和
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6．一个三位数，它的各位上的数字的和能被8整除，这个三位数加 1得到的数各位上的数字的和也能被8整除，在所有满足
条件的三位数中，最大的一个是几？
*7．
*8．
的差是一个自然数的平方，这个自然数的各位数字的和是几？
的积的各位数字的和是几？
课后练习 二
1．甲数各位数字之和是28，乙 数各位数字之和是18，甲、乙两数相加时有三次进位，那么甲、乙两数之和的各位数字之和
是多少？
2．甲数各位数字之和是9，乙数各位数字之和是10，如果甲数减乙数有两次要从前一位退1再减。那 么甲、乙两数之差的
各位数字之和是多少？
3．698加一个数，得数各位上的数字的和是8 ，已知加上的数各位上的数字的和是12，那么加上的这个数最小是几？
4．一个五位数，各位上的数 字的和是27，这个数加上5，得数的各位上的数字的和是5，这个数最小是多少，最大是多少？
5． 两个自然数的差是41，被减数各位数字的和与减数各位数字的和都能被13整除，被减数最小是几？
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