周子涵-房屋租赁合同简单范本

数字谜分析

知识框架


一、基本概念
数字谜
数字谜定义:一般是指那些含有未知数字或未知运算符号的算式．
填算符
指在一些数之间的适当地方填上适当的运算符号（包括括号），从而使这些数和运算符号构成的算式成为 一
个等式。算符指 +、-、×、÷、（）、[]、｛｝。
数阵图
定义：把一些数字按照一定的要求，排成各种各样的图形，这类问题叫数阵图.
数阵图：是一 种由幻方演变而来的数字图.数阵图的种类繁多，这里只向大家介绍三种数阵图，即封闭型数
阵图、辐射 型数阵图和复合型数阵图.
幻方
幻方是指横行、竖列、对角线上数的和都相等的数的方阵， 具有这一性质的
33
的数阵称作三阶幻方，
44
的数阵称作四阶幻方，< br>55
的称作五阶幻方……如图为三阶幻方、四阶幻方的标准式样，
8
34
1
5
9
6
7
2
1
12
8< br>15
6
10
3
14
7
11
2
49
5
16

数独
13
。
数独是 一种运用纸、笔进行演算的逻辑游戏。玩家需要根据9×9盘面上的已知数字，推理出所有剩余空格
的数 字，并满足每一行、每一列、每一个粗线宫内的数字均含1-9，不重复。

二、数字谜分类
1. 竖式谜
2. 横式谜
3. 填空谜
4. 数阵图
5. 幻方
6. 数独
1 17

三、解题技巧与方法
1. 竖式数字谜
（1）技巧
① 从首位或者末尾找突破口（突破口：指在做数字 谜问题开始时的入口，一般在算式的首位或者末尾，可
以确定其数字或者范围然后通过推理很快可以确定 其值为后面的推理做好铺垫）；
② 要根据算式性质逐步缩小范围，并进行适当的估算逐步排除不符合的数字；
③ 题目中涉及多个字母或汉字时，要注意用不同符号表示不同数字这一条件来排除若干可能性；
④ 注意结合进位及退位来考虑；
⑤ 数字谜中的文字，字母或其它符号，只取
0~9
中的某个数字。
⑥ 数字谜解出之后，最好验算一遍．
（2）数字谜加减法
① 个位数字分析法；
② 加减法中的进位与退位；
③ 乘除法中的进位与退位；
④奇偶性分析法。

2. 横式数字谜
（1）解决巧填算符的基本方法
① 凑数法：根据所给的数，凑 出一个与结果比较接近的数，再对算式中剩下的数字作适当的增加或减少，
从而使等式成立。
② 逆推法：常是从算式的最后一个数字开始，逐步向前推想，从而得到等式。
（2）最值问题
① 横式转化为竖式数字谜，乘法转化为除法；
② 找突破口：末位和首位、进位和借位、个位数字、位数的差别等．
③ 采用特殊分析方法：个位数字分 析法、高位数字分析法、数字大小估算分析法、进位错位分析法、分
解质因数法、奇偶分析法等．
④ 除了数字谜问题常用的分析方法外，还会经常采用比较法，通过比较算式计算过程的各步骤，得到所
求的最值的可能值，再验证能否取到这个最值．
⑤ 数字谜问题往往综合了数字的整除特征、 质数与合数、分解质因数、个位数字、余数、分数与小数互
化、方程、估算、找规律等题型。
3. 数阵图
解决数阵类问题可以采取从局部到整体再到局部的方法入手：
第一步：区分数阵图中的普通点(或方格)和关键点(或方格)；
第二步：在数阵图的少数关 键点(一般是交叉点)上设置未知数，计算这些关键点与相关点的数量关系，
2 17

得到关键点上所填数的范围；
第三步：运用已经得到的信息进行尝试．这个步 骤并不是对所有数阵题都适用，很多数阵题更需要对
数学方法的综合运用．

4. 幻方
（1）适用于所有奇数阶幻方的填法有罗伯法．口诀是：一居上行正中央，后数依次右上连．上出 框时往下
填，右出框时往左填．排重便在下格填，右上排重一个样．
（2）适用于三阶幻方的三大法则有：
① 求幻和： 所有数的和÷行数（或列数）
② 求中心数：我们把幻方中对角线交点的数叫“中心数”，中心数＝幻和÷3．
③ 角上的数=与它不同行、不同列、不同对角线的两数和÷2．
（3） 奇数和偶数的简单性质
（4）整数可以分为奇数和偶数两类
我们把1，3，5，7，9和个位数字是1，3，5，7，9的数叫奇数.
把0，2，4，6，8和个位数是0，2，4，6，8的数叫偶数.
① 性质：
奇数≠偶数.
整数的加法有以下性质：
奇数+奇数=偶数；
奇数+偶数=奇数；
偶数+偶数=偶数.
② 整数的减法有以下性质：
奇数-奇数=偶数；
奇数-偶数=奇数；
偶数-奇数=奇数；
偶数-偶数=偶数.
③ 整数的乘法有以下性质：
奇数×奇数=奇数；
奇数×偶数=偶数；
偶数×偶数=偶数.

5. 数独
数独游戏中最常 规的办法就是利用每一个空格所在的三个单元中已经出现的数字（大小数独一个空格
只位于两个单元之内 ，但是同时多了一个大小关系作为限制条件）来缩小可选数字的范围。
3 17

总结4个小技巧：
（1）巧选突破口：数独中未知的空格数目很多，如何寻找 突破口呢？首先我们要通过规则的限制来分析每
一个空格的可选数字的个数，然后选择可选数字最少的方 格开始，一般来说，我们会选择所在行、所在列
和所在九宫格中已知数字比较多的方格开始，尽可能确定 方格中的数字；而大小数独中已知的数字往往非
常少，这个时候大小关系更加重要，我们除了利用已知数 字之外更加需要考虑大小关系的限制。
（2）相对不确定法：有的时候我们不能确定2个方格中的数字 ，却可以确定同一单元其他方格中肯定不会
出现什么数字，这个就是我们说的相对不确定法。举例说明， A1可以填入1或者2，A2也可以填入1或者
2，那么我们可以确定，1和2必定出现在A1和A2两 者之中，A行其他位置不可能出现1或者2.
（3）相对排除法：某一单元中出现好几个空格无法确定 ，但是我们可以通过比较这几个空格的可选数字进
行对比分析来确定它们中的某一个或者几个空格。举例 说明，A行中已经确定5个数字，还有4个数字（我
们假设是1、2、3、4）没有填入，通过这4个空 格所在的其他单元我们知道A1可以填入1、2、3、4，A2
可以填入1、3，A3可以填入1、2、 3，A4可以填入1、3，这个时候我们可以分析，数字4只能填入A1
中，所以A1可以确定填入4， 我们就可以不用考虑A1，这样就可以发现2只能填入A3中，所以A3也能
确定，A2和A4可以通过 其他办法进行确定。
（4）假设法：如果找不到能够确定的空格，我们不妨进行假设，当然，假设也是 原则的，我们不能进行无
意义的假设，假设的原则是：如果通过假设一个空格的数字，可以确定和这个空 格处在同一个单元内的其
它某一个或者某几个空格的数字，那么我们就以选择这样的空格来假设为佳。举 例说明，B3可以填入1或
者2，A3可以填入2或者3，B4可以填入1或者2，这个时候我们就应该 假设B3填入2，这样就可以确定
A3填入3，B4填入1，然后以这个为基础进行推理。

五、幻方起源：
幻方也叫纵横图，也就是把数字纵横排列成正方形，因此纵横图又叫幻方．幻 方起源于我国，古
人还为它编撰了一些神话．传说在大禹治水的年代，陕西的洛水经常大肆泛滥，无论怎 样祭祀河神都
无济于事，每年人们摆好祭品之后，河中都会爬出一只大乌龟，乌龟壳有九大块，横着数是 3行，竖
着数是3列，每块乌龟壳上都有几个点点，正好凑成1至9的数字，可是谁也弄不清这些小点点 是什
么意思．一次，大乌龟又从河里爬上来，一个看热闹的小孩惊叫起来：“瞧多有趣啊，这些点点不论 横
着加、竖着加还是斜着加，结果都等于十五！”于是人们赶紧把十五份祭品献给河神，说来也怪，河水
果然从此不再泛滥了．这个神奇的图案叫做“幻方”，由于它有3行3列，所以叫做“三阶幻方”，这个 相
等的和叫做“幻和”．“洛书”就是幻和为15的三阶幻方．如下图：
4
3
9
5
1
2
7
6

8

我国北周时期的数学家甄鸾在《算数记遗》里有一段注解：“九宫者，二四为肩， 六八为足，左三
右七，戴九履一，五居中央．”这段文字说明了九个数字的排列情况，可见幻方在我国历 史悠久．三阶
4 17

幻方又叫做九宫图，九宫图的幻方民间 歌谣是这样的：“四海三山八仙洞，九龙五子一枝连；二七六郎
赏月半，周围十五月团圆．”幻方的种类 还很多，这节课我们将学习认识了解它们．

六、数独简介：
数独前身为“九宫格 ”，最早起源于中国。数千年前，我们的祖先就发明了洛书，其特点较之现在的
数独更为复杂，要求纵向 、横向、斜向上的三个数字之和等于15，而非简单的九个数字不能重复。中
国古籍《易经》中的“九宫 图”也源于此，故称“洛书九宫图”。而“九宫”之名也因《易经》在中华文化发
展史上的重要地位而保 存、沿用至今。
1783年，瑞士数学家莱昂哈德·欧拉发明了一种当时称作“拉丁方块”（Latin Square ）的游戏，这个
游戏是一个n×n的数字方阵，每一行和每一列都是由不重复的n个数字或者字母组成的 。 19世纪
70年代，美国的一家数学逻辑游戏杂志《戴尔铅笔字谜和词语游戏》（Dell Puzzle Mαgαzines）开始刊
登现在称为“数独”的这种游戏，当时人们称之为“数字拼 图”（Number Place），在这个时候，9×9的81
格数字游戏才开始成型。填充完整后1 984年4月，在日本游戏杂志《字谜通讯Nikoil》（《パズル通信
ニコリ》）上出现了“数独” 游戏，提出了“独立的数字”的概念，意思就是“这个数字只能出现一次”或者“这
个数字必须是唯一的 ”，并将这个游戏命名为“数独”（sudoku）。
一位前任香港高等法院的新西兰籍法官高乐德（Wayne Gould）在1997年3月到日本东京 旅游时，
无意中发现了。他首先在英国的《泰晤士报》上发表，不久其他报纸也发表，很快便风靡全英国 ，之
后他用了6年时间编写了电脑程式，并将它放在网站上，使这个游戏很快在全世界流行。从此，这个
游戏开始风靡全球。后来更因数独的流行衍生了许多类似的数学智力拼图游戏，例如：数和、杀手数独。
中国大陆是在2007年2月28日正式引入数独. 2007年2月28日，北京晚 报智力休闲数独俱乐部(数
独联盟sudokufederation前身)在新闻大厦举行加入世界谜 题联合会的颁证仪式，会上谜题联合会秘书长
皮特-里米斯特和俱乐部会长在证书上签字，这标志着北京 晚报智力休闲俱乐部成为世界谜题联合会的
39个成员之一，这也标志着俱乐部走向国际舞台，它将给数 独爱好者带来更多与世界数独爱好者们交
流的机会。
例题精讲

【例 1】 下面竖式中的△代表同一个数字：则△代表数字．


△△△
＋ △
６７２
5 17

【巩固】 算式中的字母代表什么数字？





【例 2】 式中不同汉字代表不同的数字，请解这个数字谜．


学啊学
+ 努力学
努力学啊




【巩固】 下面的字母，各代表什么数，算式才能成立？

B D C E
+ A D A E
A E C B E





【例 3】 下面算式中，不同的汉字代表不同的数字，“趣味数学”代表的四位数是多少？

趣 + 趣味 + 趣味数 + 趣味数学 = 4321






6 17

【巩固】 下面两个算式中，相同的字母 代表相同的数字，不同的字母代表不同的数字，那么A＋B＋C＋D＋E
＋F＋G =




【例 4】 在下面的乘法中填上所缺的数字．


6 □
× □□□
□□
□□
□□
□□□6


【巩固】 在下面的乘法中填上所缺的数字．

□
2
□ □


□
6

□ □
0 4

□ □
7 0

□ □ □ □ □




7 17

【例 5】 在下面乘法竖式中，每个不同的字母代表0~9中不同的数字，乘积是多少？


A B C
× B A C
□□□□
□□A
□□□B
□□□□□□


【巩固】 在下面的乘法中填上所缺的数字．


□ □ □ 7


□ □ □


□

□ □ □
6

□

□ 2
0 3
□ 3 7 □ □


□ □ □ □ □ □ □


【例 6】 在下式的每一“□”内填入一个数字，使算式成立．



8 17

【巩固】 把下面算式填写完整．



【例 7】 将1、2、3、4、5、6、7、8八个数，分别填入上图中八个空格中，使图 中四边正好组成加、减、
乘、除四个算式．




【巩固】 在下面算式中合适的地方,只添两个加号和两个减号,使算式成立
1 2 3 4 5 6 7 8 9=100



【例 8】 将1~9九个不同的数字分别填入九个方框中，使下面三个算式成立．

□
－
□
＝1
□
＋
□
＝9
□□
÷
□
＝9
□
×
□
＝9
9 17

【巩固】 把1、2、3、4、5、6、7、0这八个数字填入 下列方框内（每个数字只用一次），使两个算式都成
立．




【例 9】 把1~9这九个数字填入下列三个等式的九个□中，使得三个等式都成立：

□□
×7－3
□□
×3＋5 ＝
□□□

□□
×4＋7



【例 10】 将1～7这七个数分别填入右图的○里，使得每条直线上三个数之和与每个圆圈上的三个数之和
都相等．





【巩固】 在右图的六个○内各填入一个质数（可取相同的质数），使它们的和等 于20，而且每个三角形（共
5个）顶点上的数字之和都相等．




10 17

【例 11】 （选讲）将1~8八个数分别填入下图的圈内，使三个大圆上的四个数的和都相等，这个和最大可
以是多 少？最小必须是多少？




【巩固】 （选讲）将1至6六个数填入下图所示球体的圈内，使球体的各个大圆上每四个数的和都相等．




【例 12】 请将2、4、6、8、10、12、14、16、18 填入幻方，使得每行、每列、对角线上的数“和”都相
等．





【巩固】 在下面一个三阶幻方中已填入了一个数，请在其他的8个空 格内填上适当的数，使得9个方格内
是9个连续的自然数．


11 17

【例 13】 （选讲）将12、14 、16、18、20、22、24、26、28、30、32、34、36、38、40、42这16个数填入图中十六宫的方格中，使得行、列、对角线上的四个数之和相等．





【巩固】 （选讲）十六个数字分别为：12、12、13 、13、13、15、18、19、21、21、21、24、24、25、26、
27，要求：4×4 格横纵斜的和都是76．




【例 14】 在下页左上图的每个方格中填入一个数字，使得每行、 每列以及每条对角线上的方格中的四个数
都是1，2，3，4．





【巩固】 在右图的每个方格中填入一个数字，使得每行、每列以及每 条对角线上的方格中的四个数字都是
1，2，3，4





12 17

【例 15】 （选讲）有一种很有趣的填数游戏 ，称为数独．数独要求在一个9×9的正方形中填入一些数，
使得每一行、每一列都恰好有1~9这九个 数字，并且9×9的正方形分成的九个3×3的正方形，
每一个3×3的正方形中也恰好有1~9这九个 数字．请填出格子中的其他数．

【巩固】 （选讲）请填出格子中的其他数．













课堂检测

【随练1】 A、B表示不同的数字，AB和BA都是两位数，AB × BA＝403，那么A＋B＝( )．
A .3 B. 4 C. 5 D. 6 E. 7



13 17

【随练2】 下面乘法竖式的积是 ．









【随练3】 右图是三位数与一位数相乘的乘法竖式,每个方框填入一个数字，不同的填法有( )种．
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 E. 6



【随练4】 在右边的算式中，不同的四位加数最多有( )个．
A. 80 B. 88 C. 89 D. 90 E. 91




【随练5】 一个三位数与一个一位数的积，再加上1，和是2001．这样的不同等式有 道．









14 17

【随练6】 下式中，不同的汉字代表不同的数字，“马年好”代表的三位数是 ．






【随练7】 【随练7】 在下面的加法算式中，不同的 汉字代表不同的数字，相同的汉字代表相同的数字．那
么，车＋马＋炮＋卒＝ ．






家庭作业

【作业1】 在象棋算式中，不同的棋子代表不同的数字，请你想一想，这些棋子各代表哪些数字？



【作业2】 填空格．
389×
□□
＝8
□□
7

15 17

【作业3】 根据下面算式，请你推算出这个算式中的“栩栩如生”所代表的四位数是什么？




【作业4】 在下面的乘法中填上所缺的数字．

A
A
B
B
4
C
C
9

1

【作业5】 将1、2、3、4、8、12六个数填入下图中的圈内，使三角形每条边上三个数的乘积都相等．



【作业6】 在下图三个圆中的空白处填入2、3、5、7四个数，使每个圆里的四个数的和都相等．


16 17

【作业7】 将下面左边方格中的9个数填入右边幻方中，使每一行、每一列、每条对角线中的三个数相加的
和相等．





【作业8】 把5~20这16个数构成一个四阶幻方．





【作业9】 有一种很有趣的填数游戏，称为数独．数独要求在一个9×9的正方形中填入一些数，使得每
一行、每一列都恰好有1~9这九个数字，并且9×9的正方形分成的九个3×3的正方形，每一
个3×3的正方形中也恰好有1~9这九个数字．请填出格子中的其他数．


17 17