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5-1-2-4.最值中的数字谜（一）

教学目标

1. 掌握最值中的数字谜的技巧


2. 能够综合运用数论相关知识解决数字谜问题
知识点拨


数字谜中的最值问题常用分析方法

1. 数字谜一般分为横式数字谜和竖式数字谜 ．横式数字谜经常和数论里面的知识结合考察，有些时候也可以
转化为竖式数字谜；
2. 竖式数字谜通常有如下突破口：末位和首位、进位和借位、个位数字、位数的差别等．
3. 数字谜的 常用分析方法有：个位数字分析法、高位数字分析法、数字大小估算分析法、进位错位分析法、
分解质因 数法、奇偶分析法等．
4. 除了数字谜问题常用的分析方法外，还会经常采用比较法，通过比较算式 计算过程的各步骤，得到所求的
最值的可能值，再验证能否取到这个最值．
5. 数字谜问题 往往综合了数字的整除特征、质数与合数、分解质因数、个位数字、余数、分数与小数互化、
方程、估算 、找规律等题型。



【例 1】 有四个不同的数字，用它们组成最 大的四位数和最小的四位数，这两个四位数之和是11469，那么
其中最小的四位数是多少？
【考点】加减法的进位与借位 【难度】3星 【题型】填空
【解析】 设这四 个数字是
abcd
，如果
d0
，用它们组成的最大数与最小数的和式 是
例题精讲
5-1-2-4.最值的数字谜（一）.题库 教师版 page 1 of 9

< br>abcd
dcba
，由个位知
ad9
，由于百位最多向千位进1 ，所以此时千位的和最多为10，
11469
abc0
c0ba
，由此可得< br>a9
，百位没有与题意不符．所以
d0
，最大数与最小数的和式为

11469
向千位进位，所以
ac11
，
c2
；< br>b6c4
．所以最小的四位数
cdba
是2049．
【答案】2049

【例 2】 将一个四位数的数字顺序颠倒过来，得到一个新 的四位数，如果新数比原数大7902，那么所有符
合这样条件的四位数中原数最大的是 ．
DCBA
ABCD

7902
【考点】加减法的进位与借位 【难度】4星 【题型】填空
【解析】 用
A
、
B
、< br>C
、
D
分别表示原数的千位、百位、十位、个位数字，按题意列减法算式如上式 ．从首
位来看
A
只能是1或2，
D
是8或9；从末位来看，
10AD2
，得
DA8
，所以只能是
A1
，
D 9
．被减数的十位数
B
，要被个位借去1，就有
B1C
．B
最大能取9，此时
C
为8，因此，
符合条件的原数中，最大的是198 9．
【答案】1989

【例 3】 在下面的算式中，
A
、< br>B
、
C
、
D
、
E
、
F
、< br>G
分别代表1～9中的数字，不同的字母代表不同
的数字，恰使得加法算式成立．则三位 数
EFG
的最大可能值是 ．
ABCD
EFG

2006
【考点】加减法的进位与借位 【难度】4星 【题型】填空
【解析】 可以看出，
A1
，
DG6
或16．若
D G6
，则
D
、
G
分别为2和4，此时
CF10
，只能
是
C
、
F
分别为3或7，此时
BE9
，
B
、
E
只能分别取

1,8

、

2,7

、

3,6

、

4,5

，但此时1、
2、3、4均已取过，不能再取，所以
DG
不能为6，这时
D
、且
CF9
，
DG16
．
G
分别为9和7；
BE9
，所以它们可以取

3,6

、

4,5

两组．要使
EFG
最大，百位、十 位、个位都要尽可能大，
因此
EFG
的最大可能值为659．事实上
1347 6592006
，所以
EFG
最大为659．
【答案】659

【巩固】 如图，相同的汉字代表相同的数字，不同的汉字代表不同的数字，那么四位数“奥林匹克”最大是
5-1-2-4.最值的数字谜（一）.题库 教师版 page 2 of 9

奥林匹克
+奥数网

2008
【考点】加减法的进位与借位 【难度】4星 【题型】填空
【关键词】2008年，学而思杯，6年级，1试，第2题
【解析】 显然“
奥2
”，所以“
奥1
或
2
”，如果“
奥2
”，则四 位数与三位数的和超过
2200
，显然不符合条
件，所以“
奥1
” ，所以“
林9
”，如果“
林9
”那么“
匹克数网2008 19001008
”，“
匹=数0
”，
不符合条件，所以“
林
”最大只能是
8
，所以“
匹克数网20081800100108
”，为了保证不同的
汉字代表不同的数字，“
匹克
”最大是
76，所以“奥林匹克”最大是
1876
。
【答案】
1876


【例 4】 下面是一个
n
进制中的加法算式，其中不同的字母表示不同的 数，求
n
和
ABCDE
的值．
ABCD
CBEB

CEABE
【考点】加减法的进位与借位 【难度】5星 【题型】填空
【解析】 由于算式中出现5个不同的数字，所以
n< br>至少为5．在
n
进制中，就像在10进制中一样，两个四位
数相加得到一个五位 数，那么这个五位数的首位只能为1(因为这两个四位数都小于10000，它们的
和小于20000， 故首位为1)，即
C1
．由于
A
最大为
n－
，
1
，则
AC1n111n1
ACn11n
，即两个 四位数的首位向上位进
1
后最多还剩下
1
，即
E
最大为1
，又因为不同的
字母表示不同的数，所以
E
只能为
0
．则
D
末位向上进1位；
Bn
，
CE12
，E
不能
C
与相同，
即
B2
；
BB4，不向上进位，所以
A4
；
ACEn
，得
n5
，则
DnB3
．所以
n
为
5，
ABCDE
为42130．
【答案】
n
为5，
ABCDE
为42130

【例 5】 右式中的
a
，
b
，
c
，< br>d
分别代表0～9中的一个数码，并且满足
ab2

cd

，被加数最大是多
少？
ab
5

cd
【考点】加减法的进位与借位 【难度】4星 【题型】填空
【解析】 若
b5
，则由竖式知
ac
，
bd
，不满足
ab2

cd

；若
b5
，则由 竖式知
ac1
，
bd5
，
代入
ab2

cd

，得
cd4
．由此推知
cd
最大为 40，
ab
最大为
40535
．
【答案】35
< br>下式中的
a
，
b
，
c
，
d
分别代表
0
～
9
中的一个数码，并且满足
2

ab

cd
，被减数最小是多
【巩固】

5-1-2-4.最值的数字谜（一）.题库 教师版 page 3 of 9

少？

a

c
b
3

d
【考点】加减法的进位与借位 【难度】4星 【题型】填空
【解析】 若
b3
，则由竖式知
ac
，
bd
，不满足
2

ab

cd
；若
b2
，则由竖式知
ac1
，

b103d
，即
b 7d
，代入
2

ab

cd
，得
ab6
．由
b2
知
a4
，所以
ab
最小为 42．
【答案】42

【例 6】 从1—9这9个数字中选出8个不同的数字填入右面的方格中，使得竖式成立．其中的四位数最大
可能是 ．

【考点】加减法的进位与借位 【难度】3星 【题型】填空
【关键词】2010年，迎春杯，三年级，初赛，第9题
【解析】 由题目可知，四位数的千 位数字肯定是1，此时还剩下2～9这8个数字，再看三个数的个位数字之
和的尾数为0，可找出三个数 的个位数字有以下几种情况，（2，3，5）、（3，8，9）、（4，7，9）、（5，
6，9）、（ 5，7，8）.经试验，只有两种情况下竖式成立.而题目要求四位数最大，所以答案为1759.

【答案】
1759


【例 7】 如图，在加法算式中，八个字母 “
QHFZLBDX
”分别代表0到9中的某个数字，不同的字母代表不
同的数字，使 得算式成立，那么四位数“
QHFZ
”的最大值是多少？
2009
QHFZ

QHLB
1QHDX
【考点】加减法的进位与借位 【难度】5星 【题型】填空
【关键词】2009年，清华附中，入学测试题
【解析】 原式为
2009QHFZQHLB1QHDX
，即
QHFZ1QHDXQHLB200 97991DXLB
．为了
使
QHFZ
最大，则前两位
QH< br>先尽量大，由于
DXLB
小于100，所以
QH
最大可能为80．若
QH80
，
5-1-2-4.最值的数字谜（一）.题库 教师版 page 4 of 9

< br>则继续化简为
FZDXLB9
．现在要使
FZ
尽量大．由于8和 0已经出现，所以此时
DXLB9
最大为
9712976
，此时出 现重复数字，可见
FZ
小于76．而
9612975
符合题意，所以此
时
FZ
最大为75，
QHFZ
的最大值为8075．
【答案】8075

【例 8】 把
0
，
1
，< br>2
，…，
8
，
9
这十个数字填到下列加法算式中四个加数的方 格内，要求每个数字各用一
次，那么加数中的三位数的最小值是多少？


2007

【考点】加减法的进位与借位 【难度】5星 【题型】填空
【关键词】2007年，湖北省“创新杯”
【解析】 从式中可以看出， 千位上的方框中的数为
1
，那么百位上两方框中的数再加上低位进位的和为
10
．由
于三位数的百位上不能为
1
和
0
，所以要使三位数最小，它的 百位应该为
2
，十位应该为
0
．那么十
位向百位的进位为
1
，所以四位数的百位为
7
，且十位上三个方框中的数之和再加上个位的进位的和
为
10
．又剩下的数字
3
，
4
，
5
，< br>6
，
8
，
9
中除
345618
只向 十位进
1
外，其余任选四数字
的和都大于
20
，由于
34 56
的尾数不为
7
，所以个位上四个数字不能是
3
，
4
，
5
，
6
，所以个
位向十位进位为
2
，也 就是十位上的三个方框中的数的和为
8
(其中有一个为
0
)，而剩下的
3
，
4
，
5
，
6
，
8
，
9
中只有
358
，所以个位上的四个方框中的数为
4
，
6
，
8
，
9
，那么加数中的三位数最
小为
204
．
【答案】
204


【例 9】 如图，相同的汉字代 表相同的数字，不同的汉字代表不同的数字．“美妙数学花园”代表的
6
位数最
小为 ．
2007
美妙
数学

花园
好好好好
【考点】加减法的进位与借位 【难度】5星 【题型】填空
【关键词】2007年，第5届，走美杯，3年级，决赛，第9题，12分
5-1-2-4.最值的数字谜（一）.题库 教师版 page 5 of 9

【解析】 “好”为
2
，要使算式满足则必有(美

数

花
）≥20
。要使“美妙数学花园”代表的
6
位数最 小，则美

数

花
389
，妙

学

园
15456
．即“美妙数学花园”代表的
6
位 数最小为
348596

【答案】
348596


【例 10】 面算式由1～9中的8个组成，相同的汉字表示相同的数，不同的汉字表示不同的数.那 么“数学解
题”与“能力”的差的最小值是__________.

【考点】加减法的进位与借位 【难度】3星 【题型】填空
【关键词】2010年，迎春杯，中年级，复试，11题
【解析】 为了让“数学解题”与“ 能力”的差最小，应该让“数学解题”尽量小，也就是让“能力”和“展示”尽量大，
其中较大的应是“ 能力”，那么“数学解题”最小应该是一千八百多，“能”应该是9，“展”应该是7，于
是“解题”+ “力”+“示”=2010-1800-90-70=50，所以“解”应该是4，那么“题”+“力”+“示” =10，那么只能
是2+3+5，为了“数学解题”与“能力”的差最小，让“题”=2，“力”=5， 于是“数学解题”-“能
力”=1842-95=1757.
【答案】
1757


【例 11】 右边的加法算式中，每个“□”内有一个数字，所有“
□
”内的数字之和最大可达到 。

【考点】加减法的进位与借位

【难度】
5
星

【题型】填空

【关键词】< br>2004
年，希望杯，第二届，五年级，初赛，第
5
题，
5
分

【解析】 末尾和最大24，十位和最大18，百位和最大18，24+18+18=60
【答案】
60


【例 12】 将数字1至9分别填入右边竖式的 方格内使算式成立(每个数字恰好使用一次)，那么加数中的四位
数最小是多少？
1

2008

【考点】加减法的进位与借位 【难度】6星 【题型】填空
【关键词】 2008年，“迎春杯”，高年级组，复赛
5-1-2-4.最值的数字谜（一）.题库 教师版 page 6 of 9

【解析】 9个方框中的数之和为45．三个加数的个位数字之和可能是8，18；十位 数字之和可能是9，10，19，
20；百位数字之和可能是8，9，10，其中只有
181 9845
．所以三个加数的个位数字之和为18，
十位数字之和为19，百位数字之和为8 ．要使加数中的四位数最小，尝试在它的百位填1，十位填2，
此时另两个加数的百位只能填3，4；则 四位数的加数个位可填5，另两个加数的十位可填8，9，个
位可填6，7，符合条件，所以加数中的四 位数最小是1125．
【答案】最小是1125

【例 13】 在右边的加法算 式中，若每个字母均表示0到9中的一个数字，任意两个字母表示的数字都不相
同，也不与算式中已有的 数字相同，则
A
与
B
乘积的最大值是多少？
E
CF

9DG
10AB
【考点】加减法的进位与借位 【难度】6星 【题型】填空
【解析】 本题把数字谜与奇偶性、最值问题巧妙地结合在一起 ，可以从奇偶性方面来分析.考虑加法算式的个
位，若个位不进位，则四个数字
EFGB
之和为
2B
，是偶数；若个位进位，则四个数字
EFGB
之和 为
102B
或
202B
，还是偶数．所以
EFGB
为偶数，又
ABCDEFG23835
，所以
ACD< br>为奇数．如果加法算式中个位不进位，
那么
CD10A
，这样
A CD102A
为偶数，与上面的分析矛盾，所以加法算式中个位向
十位进奇数位，只能 是1位，故
EFG10B
，
CD110A
，得
E FGCD19AB
，而
ABCDEFG23835
，所以
AB8
，
A
、
B
可能为2、6或3、5，乘积 为12或15，故
A
与
B
乘积的最大值是15．
另解：因为
ECF9DG10AB
，等号两边除以9的余数相等，所以等号两边的各个数字的和除以
9的余数相等，而所有数字的和是9的倍数，所以两边都是9的倍数，即
10AB
是9的倍数 ，由于
AB7815
，所以
AB8
，再根据“和一定，差小积大 ”，所以
A
、
B
的取值为3、5时，
A
与
B
乘积的最大值是15．
【答案】15

【例 14】 右式中不同的汉字代表l 一9中不同的数字，当算式成立时，“中国”这两个汉字所代表的两位数最
大是多少?
5-1-2-4.最值的数字谜（一）.题库 教师版 page 7 of 9

< br>中
国
新北京
＋
2
新奥运
008

【考点】加减法的进位与借位 【难度】3星 【题型】填空
【关键词】2001年，第8届，华杯赛，初赛，第3题
【解析】 “新”必为9，千位才 能得2，所以“中”应为8.“国”、“京”、“运”之和应为8或18，但当和为18时，
（“国”、 “京”、“运”分别为7，6，5），“中”、“北”、“奥”之和最大为15（“中”、“北”、“奥”分别为
8，4，3），不能进位2，所以“国”、“京”、“运”之和只能是8，此时，“北”、“奥”只能分 别为7和5，
则“国”、“京”、“运”分别为4、3、1，为使“中国”代表的两位数最大，“国”取 4.即“中国”这两个汉字
所代表的两位数最大是84.
【答案】
84


【例 15】 华杯赛网址是
wwwhuabeisai..cn
，将其中 的字母组成如下算式：
wwwhuabeisaicn2008
，
如果每个 字母分别代表0～9这十个数字中的一个，相同的字母代表相同的数字，不同的字母代表不
同的数字，并 且
w8
、
h6
、
a9
、
c7
，则 三位数
bei
的最小值是 ．
【考点】 【难度】星 【题型】填空
【关键词】2008年，第13届，华杯赛，初赛
【解析】 根据题意可知，
8886u9beis9i7n2008
，有
u0beis0in 351
，此时
u
，
b
，
e
，
i
，
s
，
n
只能取0，1，2，3，4，5．
b
的最小值为1 ，
e
的最小值为0，
i
最小取2，若
i2
，此时
s
最大只能取2，矛盾；所以
i
至少为3，
若
i3
，此时
s2
，
u4
，
n5
，符合条件，所以三位数
bei
的最小值是103．
另解：此题也可采用弃九法．等式
wwwhuabe isaicn2008
两边除以9的余数相同，左边除
以9的余数与
3wh u2abe2iscn2wai

019

 2wai45
除以9
的余数相同，即与
2wai
除以9的余数相同 ；右边除以9的余数为1，所以
2wai
除以9的余
数为1．而
w8< br>，
a9
，所以
2wai25i
，除以9的余数为1，可见< br>i
除以9的余数为3，那
么
i
只能为3．
由于
b< br>的最小值为1，
e
的最小值为0，所以三位数
bei
的最小可能值是1 03；又当
s2
，
u4
，
n5
时，
bei 103
，所以三位数
bei
的最小值就是103．
【答案】
103


【例 16】 在下面的表1中，一条直线穿过 其中若干个方格，穿过的方格中各数之和为
1513105649
。
请你在 表2中画一条直线，穿过其中若干个方格。穿过的方格中各数之和最大是 。
1417 4
8
14174
8
1571118
2
13
109< br>31256
1571118
2
13
109
31256

表1 表2
【考点】加减法的进位与借位 【难度】3星 【题型】填空
【关键词】2008年，迎春杯，中年级，复赛，第9题
5-1-2-4.最值的数字谜（一）.题库 教师版 page 8 of 9

【解析】 首先应考虑尽可能穿过较多的方格，也就是说可以穿过一条对角线和它旁边的三格：
主对角线14+7+10+6和一侧的17+11+9，总和为74；
副对角线8+11+13+3和一侧的18+10+12，总和为75。
再看看能否做优化： 观察到前一种方法中可以舍弃10和6而取18，总和增加2，这样总和为76。
而后一种方法无法再做 优化，所以最大值为76。
【答案】
76


5-1-2-4.最值的数字谜（一）.题库 教师版 page 9 of 9