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复杂数字谜

知识框架


一、基本概念
数字谜
数字谜定义:一般是指那些含有未知数字或未知运算符号的算式．
填算符： 指在一些数之间的适当地方填上适当的运算符号（包括括号），从而使这些数和运算符号构成的算
式成为 一个等式。
算符：指 +、-、×、÷、（）、[]、｛｝。
数阵图
定义：把一些数字按照一定的要求，排成各种各样的图形，这类问题叫数阵图.
数阵图：是一 种由幻方演变而来的数字图.数阵图的种类繁多，这里只向大家介绍三种数阵图，即封闭型数
阵图、辐射 型数阵图和复合型数阵图.
幻方
幻方是指横行、竖列、对角线上数的和都相等的数的方阵， 具有这一性质的
33
的数阵称作三阶
幻方，
44
的数阵称作四阶 幻方，
55
的称作五阶幻方……如图为三阶幻方、四阶幻方的标准式样，
8
3
4
1
5
9
6
7
2
1
128
15
6
10
3
14
7
11
2
4
9
5
16


13
。
二、数字谜分类
1、 竖式谜
2、 横式谜
3、 填空谜
4、 幻方
5、 数阵图
6、 数独


1 15

三、解题技巧与方法
竖式数字谜
1、 技巧
（1） 从首位或者末尾找突破口（突破口：指在做数字谜问题开始时的入口，一般在算式的首位或者末 尾，
可以确定其数字或者范围然后通过推理很快可以确定其值为后面的推理做好铺垫）；
（2） 要根据算式性质逐步缩小范围，并进行适当的估算逐步排除不符合的数字；
（3） 题目中涉及多个字母或汉字时，要注意用不同符号表示不同数字这一条件来排除若干可能性；
（4） 注意结合进位及退位来考虑；
（5） 数字谜中的文字，字母或其它符号，只取
0~9
中的某个数字。
（6） 数字谜解出之后，最好验算一遍．
2、 数字迷加减法
（1） 个位数字分析法；
（2） 加减法中的进位与退位；
（3） 乘除法中的进位与退位；
（4） 奇偶性分析法。
横式数字谜
解决巧填算符的基本方法
（1） 凑数法：根据所给 的数，凑出一个与结果比较接近的数，再对算式中剩下的数字作适当的增加或减
少，从而使等式成立。
（2） 逆推法：常是从算式的最后一个数字开始，逐步向前推想，从而得到等式。

最值问题
（1） 横式转化为竖式数字谜，乘法转化为除法；
（2） 找突破口：末位和首位、进位和借位、个位数字、位数的差别等．
（3） 采用特殊分析方法：个位数 字分析法、高位数字分析法、数字大小估算分析法、进位错位分析法、
分解质因数法、奇偶分析法等．
（4） 除了数字谜问题常用的分析方法外，还会经常采用比较法，通过比较算式计算过程的各步骤，得 到
所求的最值的可能值，再验证能否取到这个最值．
（5） 数字谜问题往往综合了数字的整 除特征、质数与合数、分解质因数、个位数字、余数、分数与小数
互化、方程、估算、找规律等题型。

数阵图
解决数阵类问题可以采取从局部到整体再到局部的方法入手：
2 15

第一步：区分数阵图中的普通点(或方格)和关键点(或方格)；
第二步：在 数阵图的少数关键点(一般是交叉点)上设置未知数，计算这些关键点与相关点的数量关系，
得到关键点 上所填数的范围；
第三步：运用已经得到的信息进行尝试．这个步骤并不是对所有数阵题都适用，很多 数阵题更需要对
数学方法的综合运用．

数独
数独游戏中最常规的办法就 是利用每一个空格所在的三个单元中已经出现的数字（大小数独一个
空格只位于两个单元之内，但是同时 多了一个大小关系作为限制条件）来缩小可选数字的范围。
总结4个小技巧：
1、 巧选突 破口：数独中未知的空格数目很多，如何寻找突破口呢？首先我们要通过规则的限制来分
析每一个空格的 可选数字的个数，然后选择可选数字最少的方格开始，一般来说，我们会选择所
在行、所在列和所在九宫 格中已知数字比较多的方格开始，尽可能确定方格中的数字；而大小数
独中已知的数字往往非常少，这个 时候大小关系更加重要，我们除了利用已知数字之外更加需要
考虑大小关系的限制。
2、 相 对不确定法：有的时候我们不能确定2个方格中的数字，却可以确定同一单元其他方格中肯定
不会出现什 么数字，这个就是我们说的相对不确定法。举例说明，A1可以填入1或者2，A2也
可以填入1或者2 ，那么我们可以确定，1和2必定出现在A1和A2两者之中，A行其他位置不
可能出现1或者2.
3、 相对排除法：某一单元中出现好几个空格无法确定，但是我们可以通过比较这几个空格的可选数< br>字进行对比分析来确定它们中的某一个或者几个空格。举例说明，A行中已经确定5个数字，还
有 4个数字（我们假设是1、2、3、4）没有填入，通过这4个空格所在的其他单元我们知道A1
可以填 入1、2、3、4，A2可以填入1、3，A3可以填入1、2、3，A4可以填入1、3，这个时候
我 们可以分析，数字4只能填入A1中，所以A1可以确定填入4，我们就可以不用考虑A1，这
样就可以 发现2只能填入A3中，所以A3也能确定，A2和A4可以通过其他办法进行确定。
4、 假设法： 如果找不到能够确定的空格，我们不妨进行假设，当然，假设也是原则的，我们不能进
行无意义的假设， 假设的原则是：如果通过假设一个空格的数字，可以确定和这个空格处在同一
个单元内的其它某一个或者 某几个空格的数字，那么我们就以选择这样的空格来假设为佳。举例
说明，B3可以填入1或者2，A3 可以填入2或者3，B4可以填入1或者2，这个时候我们就应
该假设B3填入2，这样就可以确定A3 填入3，B4填入1，然后以这个为基础进行推理。

幻方
⑴适用于所有奇数阶幻 方的填法有罗伯法．口诀是：一居上行正中央，后数依次右上连．上出框时往
下填，右出框时往左填．排 重便在下格填，右上排重一个样．
3 15

⑵适用于三阶幻方的三大法则有：
①求幻和： 所有数的和÷行数（或列数）
②求中心数：我们把幻方中对角线交点的数叫“中心数”，中心数＝幻和÷3．
③角上的数=与它不同行、不同列、不同对角线的两数和÷2．

四、奇数和偶数的简单性质
1、 整数可以分为奇数和偶数两类
（1） 我们把1，3，5，7，9和个位数字是1，3，5，7，9的数叫奇数.
（2） 把0，2，4，6，8和个位数是0，2，4，6，8的数叫偶数.
2、 性质：
（1） 奇数≠偶数.
（2） 整数的加法有以下性质：
奇数+奇数=偶数；
奇数+偶数=奇数；
偶数+偶数=偶数.
（3） 整数的减法有以下性质：
奇数-奇数=偶数；
奇数-偶数=奇数；
偶数-奇数=奇数；
偶数-偶数=偶数.
（4） 整数的乘法有以下性质：
奇数×奇数=奇数；
奇数×偶数=偶数；
偶数×偶数=偶数.

五、幻方起源：
幻方也叫纵 横图，也就是把数字纵横排列成正方形，因此纵横图又叫幻方．幻方起源于我国，古
人还为它编撰了一些 神话．传说在大禹治水的年代，陕西的洛水经常大肆泛滥，无论怎样祭祀河神都
无济于事，每年人们摆好 祭品之后，河中都会爬出一只大乌龟，乌龟壳有九大块，横着数是3行，竖
着数是3列，每块乌龟壳上都 有几个点点，正好凑成1至9的数字，可是谁也弄不清这些小点点是什
么意思．一次，大乌龟又从河里爬 上来，一个看热闹的小孩惊叫起来：“瞧多有趣啊，这些点点不论横
着加、竖着加还是斜着加，结果都等 于十五！”于是人们赶紧把十五份祭品献给河神，说来也怪，河水
果然从此不再泛滥了．这个神奇的图案 叫做“幻方”，由于它有3行3列，所以叫做“三阶幻方”，这个相
等的和叫做“幻和”．“洛书”就是 幻和为15的三阶幻方．如下图：
4 15

4
3< br>9
5
1
2
7
6

8

我国北周时期的数学家甄鸾在《算数记遗》里有一段注解：“九宫者，二四为肩，六八为足，左三
右七，戴九履一，五居中央．”这段文字说明了九个数字的排列情况，可见幻方在我国历史悠久．三阶
幻方又叫做九宫图，九宫图的幻方民间歌谣是这样的：“四海三山八仙洞，九龙五子一枝连；二七六郎
赏 月半，周围十五月团圆．”幻方的种类还很多，这节课我们将学习认识了解它们．

六、数独简介：
数独前身为“九宫格”，最早起源于中国。数千年前，我们的祖先就发明了洛 书，其特点较之现在的
数独更为复杂，要求纵向、横向、斜向上的三个数字之和等于15，而非简单的九 个数字不能重复。中
国古籍《易经》中的“九宫图”也源于此，故称“洛书九宫图”。而“九宫”之名也 因《易经》在中华文化发
展史上的重要地位而保存、沿用至今。
1783年，瑞士数学家莱昂哈德·欧拉发明了一种当时称作“拉丁方块”（Latin Square ）的游戏，这个
游戏是一个n×n的数字方阵，每一行和每一列都是由不重复的n个数字或者字母组成的 。 19世纪
70年代，美国的一家数学逻辑游戏杂志《戴尔铅笔字谜和词语游戏》（Dell Puzzle Mαgαzines）开始刊登
现在称为“数独”的这种游戏，当时人们称之为“数字拼 图”（Number Place），在这个时候，9×9的81格
数字游戏才开始成型。填充完整后1 984年4月，在日本游戏杂志《字谜通讯Nikoil》（《パズル通信ニ
コリ》）上出现了“数独” 游戏，提出了“独立的数字”的概念，意思就是“这个数字只能出现一次”或者“这
个数字必须是唯一的 ”，并将这个游戏命名为“数独”（sudoku）。
一位前任香港高等法院的新西兰籍法官高乐德（Wayne Gould）在1997年3月到日本东京 旅游时，
无意中发现了。他首先在英国的《泰晤士报》上发表，不久其他报纸也发表，很快便风靡全英国 ，之
后他用了6年时间编写了电脑程式，并将它放在网站上，使这个游戏很快在全世界流行。从此，这个
游戏开始风靡全球。后来更因数独的流行衍生了许多类似的数学智力拼图游戏，例如：数和、杀手数独。
中国大陆是在2007年2月28日正式引入数独. 2007年2月28日，北京晚 报智力休闲数独俱乐部(数
独联盟sudokufederation前身)在新闻大厦举行加入世界谜 题联合会的颁证仪式，会上谜题联合会秘书
长皮特-里米斯特和俱乐部会长在证书上签字，这标志着北京 晚报智力休闲俱乐部成为世界谜题联合会
的39个成员之一，这也标志着俱乐部走向国际舞台，它将给数 独爱好者带来更多与世界数独爱好者们
交流的机会。





5 15

例题精讲

【例 1】 下面是一个
n
进制中的加法算式，其中不同的字母表示不同的数，求
n
和
ABCDE
的值．
ABC
CBE
CEAB
D
B

E






【巩固】 如图，在加法算式中，八个字母“< br>QHFZLBDX
”分别代表0到9中的某个数字，不同的字母代表
不同的数字，使得算 式成立，那么四位数“
QHFZ
”的最大值是多少？
20
QH
Q H
1QH
0
F
L
D
9
Z

B
X





【例 2】 把
0
，
1
，
2
，…，
8
，
9
这十个 数字填到下列加法算式中四个加数的方格内，要求每个数字各用
一次，那么加数中的三位数的最小值是多 少？


2007







6 15

【巩固】 如图，相同的汉字代表相同的数字，不同 的汉字代表不同的数字．“美妙数学花园”代表的
6
位数
最小为 ．
0
美
数
花
好好好
207
妙
学

园
好






【例 3】 将数字1至9分别填入右边竖式的方格内使算式成立(每个数字恰好使用一次)，那么加数中的四位
数最 小是多少？
1

2





【巩固】 在右边的加法算式中，若每个字母均表示0到9中的一个数字，任意两个字母表示的数字都不
相同，也不与算式中已有的数字相同，则
A
与
B
乘积的最大值是多少 ？
E
CF

9DG
10AB

008








7 15

【例 4】 将数字1~9分别填在下图空白的正六边形格子中，使得箭头所指直线方向 上空格中所填的数字和
等于该箭头所在格中的给定数（每个方向上所填的数互不相同，且到写有另一个给 定数字的格为
ABCD20,
止）。例如：
EFGHCI22,
当填写完后，字母C处所写的数字是_____________。
JKMN19。
23
20
19
10
27
22
20
2428A
EFGH
C
B
10
J
KMN
26
20
D
I
9
6

A.




4 B. 5 C. 7 D. 9
【巩固】 用数字
1
至
9
填满空格，一个格子只能填入 一个数字，每个数字在每一行，每一列（相连或不相
连）及每个粗线围成的区域中至多出现一次。







【例 5】 如图，A
，
B
，
C
，
D
，
E
，F
，
G
，
H
，
I
代表九个各不相同的正整数， 且每个圆中所填数的
和都等于
2008
。这九个数总和最小为 。



8 15

【巩固】 如图，
A
，
B
，
C
，
D
，
E
，
F
，
G
，
H
，
I
代表九个各不相同的正整数，
A
，
B
，
C
，
D< br>，
E
，
F
，
G
，
H
，
I< br>的总和是
2008
，并且每个圆中所填的数和都等于
M
。
(1 )
M
最大为多少？
(2)
M
最小为多少？







【例 6】
请在8×8表格的每个格子中填人1或2或3，使得每行、每列所填数的和各不相同。









【巩固】 在 8×8表格的每格中各填入一个数，使得任何一个5×5正方形中25个数的平均数都大于3，而
整个8 ×8表格中64个数的平均数都小于2．




9 15

【例 7】 将最小的
10
个合数填到图中所示表格的
10
个空格中，要求满足以下条件：
（1）填入的数能被它所在列的第一个数整除
（2）最后一行中每个数都比它上面那一格中的 数大。那么，最后一行中
5
个数的和最小是






【巩固】 老师给前来参加“迎春晚会”的31位同学发放编号：1， 2，……，31．如果有两位同学的编号的
乘积是他们编号和的倍数，则称这两位同学是“好朋友”．从 这31位同学中至少需要选出
人，才能保证在选出的人中一定可以找到两位同学是“好朋友”．







【例 8】 如图，5×5方格被分成了五块；请你在每格 中填入1、2、3、4、5中的一个，使得每行、每列、每
条对角线的五个数各不相同，。现有两个格子 已分别填入1和2，请在其它格子中填上适当的数。
那么，
ABCDE
是 。
12
ABCDE






【巩固】 请将1个1，2个2，3个3，…，8个8，9个9填入右图的表格中，使得相同的数所在的 方格
都连在一起（相连的两个方格必须有公共边）．现在已经给出了其中8个方格中的数，并且知道A,B,C,D,E,F,G各不相同；那么，五位数
CDEFG
是 ．
10 15

【例 9】 请将1个1，2个2，3个3，…，8个8，9个9填入 右图的表格中，使得相同的数所在的方格都
连在一起（相连的两个方格必须有公共边）；现在已经给出了 其中8个方格中的数，并且知道
A,B,C,D,E,F,G各不相同；那么，七位数
ABCD EFG
是 ．




【巩固】 将数字1～6中填入右面的6×6方格，使每个数字在每一行、每一列和每一个标有粗线的< br>23
的
“宫”中只能出现一次. 如果虚线框出的区域左上角标注的数值为该区域内所 有数字之和，并且该
区域内所有数字互不相同，那么，六位数
ABCDEF
是____ _________.






11 15

【例 10】 如图1的每个方格中分别填入1、2、3、4、5、6 、7中的一个数，使得每行、每列的七个数各不
相等；并且圆圈中的数等于与它相邻的四个数的乘积．那 么，★处所填的数是 ．
525
120
19260
16824< br>105
120
36
20
图1
84




【巩固】 如图，请沿虚线将
77
的方格表分割成若干个长方 形，使得每个长方形中恰好包含一个数字，
并且这个数字就是此长方形的面积．那么第四列的7个小方格 分别属于________个不同的长方
形．






课堂检测

【随练1】 用l—9填满三角形空格，一个格子只能填入一 个数字，使每个数字在每一行，每一列(包括不相
连的行，列)及每个粗黑线围成的区域中至多出现一次 ．




12 15

【随练2】 在圆的5条直径的两端分别写着1～10（如图）。现在请你调整一部分数 的位置，但保留1、10、
5、6不动，使任何两个相邻的数之和都等于直径另一端的相邻两数之和（画 在另一个圆上）。




【随练3】 下图是一个9×9的方格 图，由粗线隔为9个横竖各有3个格子的“小九宫”格，其中，有一些小
方格填有1至9的数字。小青在 第4列的空格中各填入了一个1至9中的自然数，使每行、每
列和每个“小九宫”格内的数字都不重复， 然后小青将第4列的数字从上向下写成一个9位数，
请写出这个9位数，并且简单说明理由.









家庭作业

【作业1】 图中是一个边长为1的正六边形，它被分成六个小三角形．将4、6、8、10 、12、14、16各一
个填入7个圆圈之中．相邻的两个小正三角形可以组成6个菱形，把每个菱形的 四个顶点上的
数相加，填在菱形的中心A、B、C、D、E、F位置上（例如：
abgf A
）．已知A、B、
13 15

C、D、E、F依 次分别能被2、3、4、5、6、7整除，那么
agd
___________．






【作业2】 将1、2、3、4分别 填入4×4的方格网（如下图所示）的16个小方格中，使得每一行每一列中
的4个数1、2、3、4恰 好各出现一次，并且满足与不等号相邻的两个数中小数是大数的约数，
那么，从左上到右下的对角线上4 个数的和是____________。（左下图是一个3×3的例子）
132
1
3
32
21

A. 10 B. 11 C. 12 D. 16





【作业3】 将1到5填入右图的空白方块中，每个方块只 能填一个数字，任何一行，一列都必须包含全部
但不重复的数字，并且，在有“>”或者“<”的对应两 个空格必须满足对应的大小关系。
12
A
B
C
D
E
∧
3
3
4
5
>
>
∧
>
<
∨
∧
<
3





【作业4】 请你在下面
55
表格的每格中填入1，2，3，4，5中的一个，使得 每行、每列、每条对角线所
14 15

作业5】
作业 6】
填的5个数各不相同，且
A
格中的数比
B
格中的数大，
B
格中的数比
C
格中的数大，
C
格中的
数比
D格中的数大，
E
格中的数比
F
格中的数大，
G
格中的数 比
H
格中的数大。那么，第二行
的5个数从左到右依次是 。
A
B
C
D
GFE
H

将1、2、3、4、 5、6都分别填入6×6的方格网（如下图所示）的36个小方格中，使得每一行
每一列中的6个数1、 2、3、4、5、6各出现依次，并且满足与不等式相邻的两个数中小数是大
数的约数，那么，第二行从 左到右的第6个数是___________。（左下图是一个3×3的例子。）
132
32
1
213

A）5 （B）4 （C）3 （D）2
如图．4

4方格被分成了五块；请你在每格中填入l、2、3、4中的一 个，使得每行、每列的四
个数各不相同，且每块上所填数的和都相等。则A、B、C、D四处所填数字之 和是 。
A
B
D
C


15 15




【
（




【