英语量词-中秋节慰问信

人的天职在勇于探索真理。 —— 哥白尼

第十讲
数字谜、数阵、数表


教学目标

数字谜问题被称作 思维锻炼的体操，这一部分问题可以很好的培养学生的观察力、判断及推理能力。
数字谜也是一类非常有 趣的数学问题，在小学数学竞赛中经常出现。和数字谜问题类似的，数阵、数表
问题由于其本身的数学美 感，受出题者青睐，解这类问题必须认真审题，根据题目的特点，找出突破口，
从而逐步简化题目直至问 题完全解决。
1． 回顾常用的数字谜的解题技巧。
2． 精讲经典数字谜、及数阵数表。


经典精讲

数字谜

（一） 解题的突破口多在于竖式或横式中的特殊之处，例如首位、个位以及位数的差异。
（二） 要根据不同的情况逐步缩小范围，并进行恰当的估算。
（三） 当题目中涉及多个字母或汉字时，要注意利用不同符号代表不同数字这一条件来排除若干可
能性。
（四） 注意结合进位及退位来考虑。
（五） 有时可运用到数论中的分解质因数等方法。

【例1】 在右边的算式中，相同的符号代表相同的数字，不同的符号代表不同的数字，根据 这个算式，
可以推算出：
△□□〇
+〇□□△
□□☆☆
那么：口+○+△+☆=_________。

【分析】比较竖式中百位与十位的加法，十 位上“□+□”肯定进位，（否则由百位可知□＝0），且有“□
+□＋1＝10+□”，从而□=9， ☆=8。
再由个位加法，推知○+△=8．从而口+○+△+☆=9+8+8=25。
【拓 展】（
2008
年迎春杯初赛）在右边的竖式中，相同字母代表相同数字，不同字母代表不学而思
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人的天职在勇于探索真理。 —— 哥白尼

同数字，则四位数
tavs
=______。
stva
vtst

ttvtt
【分析】首先可以判断
t 1
，所以
sv11
，
vtt13
，可解得
s 1138
，又因为
att
所以
a0
，
tavs1038
。


【例2】 电子数字
0~9
如图所示，右图是由电子数字组成的乘法算式，但有一些模
糊不清，请将右图的电子数字恢复，并将它写成横式形式： 。


【分析】⑴显然乘积的百位只能是
2
，
⑵被乘数的十位和乘数只能是
0
、
2
、
6
、
8
，才有可能形如
所以被 乘数十位是
2
，相应得乘数是
8
。
⑷被乘数大于
25，通过尝试得到符合条件的答案：
288224
。


【例3】 在下面的乘法算式中，“
数
”、“
字
”、“
谜< br>”各代表一个互不相同的数字，求这个算式。
数字谜
235
数字谜
 235
谜
谜
谜谜谜
，
0
首先排除
⑶如果被乘数十 位是
6
或
8
，那么乘数无论是
2
、
6
或< br>8
，都不可能乘出百位是
2
的三位数。

1
7
47
55
175

05
0
2 25
【分析】这是集数字谜和填空格于一体的数字问题，从题面上看，提供的信息较少，“
谜< br>”所在的位
置较多，紧紧抓住“
谜
”所在的位置特点，逐一突破。
可 以判断“
谜
”
1
，由“
数字谜谜
⑴若“
谜< br>”
5
，“
数字谜数
“
数
”
2
，由于“
数字谜字
符合题意。
⑵若“
谜
”
6，同理，“
数字谜数
”的乘积的百位数字必须大于
4
且
谜< br>”可知，，因此“
谜
”=
5
或
6
。
5

”，字是单数且小于
5
，
”的乘数的百位数字必须大于
3
且小于等于
5
，所以
谜
”，可知“
2字5字
故“字”当“字”=
1
时，不符合条件，当“字”=
3
时，
21521546225
，
23523555225
，
1
或
3
，
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小于等于< br>6
，所以“
数
”=
2
，由
2字6字
不符 合条件。所以满足条件的算式是：

【拓展】在算式：
2


6

，可知“
字
”=
1
，但
2 1621646656
，
的六个方框中，分别填入
2
，
3
，
4
，
5
，
6
，
7
这六个数字，使算< br>式成立，并且算式的积能被
13
整除，那么这个乘积是_____。
【分析】 先从个位数考虑，有
224
，
236
，
2612
，
2714
，再考虑乘数的百位只能是
2
或
3
，因此 只有三种可能的填法：
2273546
，
2327654
，
2267534
，其中只有
546
能被
13
整除，所以这个积 是
546
。


【例4】 在下图中的除法竖式中，相同的字母代 表相同的数字，不同的字母代表不同的数字，那么被除
数
DEFGF
是多少？

【分析】显然的
D1
，由
ABAIF
可知，
A
不会超过
3
，否则得到的乘积应该是
3
位数，如果
A 3
，
那么
B
也不能超过
3
，所以
B
只能是
2
，这样的
ABB32396
与
AAH
矛盾，所以
A3
，
所以
A2
，根据
ABBAAH
，可 以尝试出
B8
时，等式成立，得到这些条件既可依次求
得：
I5
，
F6
，
E0
，
G9
，所以被除数
DEFG F
是
10696
。


【例5】 （2008年迎春杯初 赛）在右图的每个方框中填入一个数字，使得除法算式成立。则被除数应
是___________。
8
8

8
8
8
X Y
8
WV
A
8
B C D
A E
8
F
8
C
H
8
H
G D
G D
0

【分析】如下图，我们将空格标上字母，以便分析。
以不可以。
假设
Y1
，则
8Y
没有进位，
X 8
所得个位
E
必是偶数，
B
必是
6
,因为
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0

由
B88
, 得
B6
。因为
XY8AE8
,所以，我们可以得知
Y1或者
6
，我们现来看看
1
可

人的天职在勇于探索 真理。 —— 哥白尼

B8816
,所以，必进位。所以，
F
必是奇数。
因为
WXF8
， 所以，
W
可能是
2
,
3
,
4
,
6
,
7
,
9
。通过试 值，逐个排除。
X1
这里应用到倒除法，例：
2

F8
说明：
X9
,再结合算式中其它部分，例如继续计算：
918728
,
在算式中，
F
出现矛盾。所以，
W2
不成立。
假设
Y6
，分别将
1
至
9
代入
X
进行计 算，我们会发现，
A）
B）
若
X1
、
2
、
3
、
6
、
7
、
8
，会发现第一次除法后的 余数都大于除数
XY
，所以可
以排除；
若
X4
，得E6
，
A3
，进而得到
F1
，
W4
，
H4
，因为
V46
的结果是
一个两位数，所以
V1< br>或者
2
，当
V2
的时候，
GD92
，而
C4
没有借位，所以结果最大
为
5
，产生矛盾，故
V1
，进而推出
G4
，
C8
，
D6
，符合题目要求，被除 数为
38686
；
若
X5
，由第一次除法可以推出
F 3
，
W6
或者
7
，但是无论
W6
还是
W7
，
都无法满足
F8CF8H
的结果为
1
位数，所以 排除；
若
X9
，则
A7
，
F1
，因为96W18C
，
W
找不到满足这个等式的整数，所
以
X9
可以排除；
综上所述，
X4
，
Y6
的时候满足题目中 的式子，被除数为
38686
。


【例6】 （2008年迎春 杯决赛）将数字
1
至
9
分别填入右边竖式的方格内使算式成立(每个数字恰好 使
用一次)，那么加数中的四位数最小是 。
1

2008
C）
D）


【分析】 三个加数的个位数字之和可能是
8
，
18
；十位数字之和可能是
9< br>，
19
，
20
；百位数字之和可
能是
8
，< br>9
，
10
，其中只有
1819845
。要使加数中的四 位数最小，尝试百位填
1
，十位填
此时另两个加数的百位只能填
3
，
4
；四位数的加数个位可填
5
，另两个加数的十位可填
8
，
2
，
9
，个位可填
6
，
7
，符合条件，所 以加数中的四位数最小是
1125
。











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数阵图、数表

【例7】 将
1~9
填入下图的○中，使得任意两 个相邻的数之和都不是
3
，
5
，
7
的倍数.
1
37
48
8
92
6

【分析】
1
的两边只能是
3
与
7
，
2
的两 边只能是
6
与
9
.因为在剩下的
4
，
5
，
8
三个数中，
4
与
5
，
8
都
不能 相邻，所以有下面四种可能：
1
7
3
7
1
3
7< br>1
3
3
1
7
6
29
9
26
9
2
6
9
2
6

因为△处是
4
，所以只有第
2
图可得符合题意的一种填法。


【例8】 如图大、中、小三个正方形组成了
8
个三角形，现在 把
2
、
4
、
6
、
8
四个数分别填在大正方 形
的四个顶点；再把
2
、
4
、
6
、
8分别填在中正方形的四个顶点上；最后把
2
、
4
、
6
、
8
分别
填在小正方形四个顶点上：
⑴能不能使
8
个三角形顶点上数字之和都相等?
⑵能不能使
8
个三角形顶点上数字之和各不相同?
如果能，请画图填上满足要求的数；如果不能，请说明理由．
2
8
6
6
88
4
6
4
2
2
4



【分析】⑴不能．如果这
8
个三角形顶点上数字之和都相等，设 它们都等于
S
。
考察外面的
4
个三角形 ，每个三角形顶点上的数的和是
S
，在它们的和
4S
中，大正方形
的
2
、
4
、
6
、中正方形的
2
、
4
、
6
、即
4S

2468

3 60
。
8
各出现一次，
8
各出现二次。
∴
S60415
,
但是三角形每个顶点上的数都是 偶数，和不可能是奇数
15
，因此这
8
个三角形
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顶点上数字之和不可能相等．
⑵能，右图是一种填法。
8
个三角形顶点数字之和分别是：
8
、
1 0
、
12
、
14
、
16
、
18
、
20
、
22
。

【拓展】将
3
，
5
，
7
，
11
，
13
，
17
，
19
，
23
，
29
这
9
个数分别填人右图 的
9
个
○中，使
3
条边上的○中的数之和都相等。请分别求出满足上 述条件的最大的和与
最小的和。

【分析】设三个顶点○内所填的数为
a
,
b
,
c
，每条边上的和为
K
，三个顶点上的数在求和时各用了
2
次，所以条边上的三数之和相加得
3571113 17192329

abc

127

abc

3K
；
由于所得的和必须能被
3
整除，而
1273421
，所以

abc

的和应被
3
除余
2
，
abc
的最小值是
571123< br>，最大值是
29231971
，所以
K
的最小值是
< br>12723

350
，最大值是

12771

366
。


【例9】 一列自然数
0
，
1
，
2
，
3
，，
2004
，第一个数 是
0
，从第二个数开始，每一个都比它前一
个大
1
，最后一个是2024
，现在将这列自然数排成以下数表：
0
1
4
9
3
2
5
8
7
6
15 ……
14 ……
13 ……
10 11 12 ……
… … … … ……
规定横排为行，竖排为列，则
2005
在数表中位于第______行和第_____ _列。

【分析】第
n
行的第
1
个数是

n1

。
44
2
19362005202545
2
。
第
45
行的第
1
个数是
1936
，第
45
列的第
1
个数是

202512024
。

2024200512 0
。
2005
在第
20
行第
45
列。

【附加】如图的数阵是由于
77
个偶数排成的，其中
20
，
22
，
24
，
36
，
38
，
40
这六个由一个平等四边
形围住，它们的和是
180
。把这个平行四边形沿上下,左右平 移后，又围住了右边数阵中的另外六个数，
如果这六个数的和是
660
。那么它们当中 位于平行四边形左上角的那个数是______。






【分析】六个和一共增加：
660180480
。每个增加
4 80680
,第一个数就变为
2080100
。



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2
16
30
…
4
18
32
…
6
20
34
…
8
22
36
…
10
24
38
…
12
26
40
…
14
28
42
…
2
142 144 146 148 150 152 154

人的天职在勇于探索真理。 —— 哥白尼


【例10】 在右边表格的每个空格内，填入一个整数，使它恰好表示它上面的那个数字在第二行出现
0



【分析】每一空格填一个数，共有
5
个空格，各个数出现的次数 综合应该为
5
，即第二行所填的五数之
和为
5
，即第二行所填无数之 和是
5
，将
5
拆分有以下几种方法：
1

2

3

4

的次数，那么第二行的五个数字依次是_____。
541000
；
532000

531100

522100
；
521110
；
511111
；
将这几种拆分方法，按各个数字出现频数填入表格，可以 发现，只有
522100
不会出
现矛盾，填法如下：
0
2


【例11】 将最小的
10
个合数填到图中所示表格的
10
个空格中，要求满足以下条件：
1)填入的数能被它所在列的第一个数整除；
2)最后一行中每个数都比它上面那一格中的数大；
那么，最后一行中
5
个数的和最小可能是_______。
2



【分析】最小的
10
个合数分别是
4
，
6
，
8
，
9
，
10
，
12
，
14
，
15
，
16
，
18
。
这
10
个合数当中
10
和
15
一定是在
5
的下面，
4
、
8
、
14
、
16
一定是在
2
和
4
下面，剩下的
6
、
3


4


5


6


1
1
2
2
3
0
4
0
9
、
12
、
18
在
3
或
6
下面，其中9
一定在
3
的下面，对
2
和
4
所在的列和3
和
6
所在的列分别讨
论。
4
、
8
、
14
、
16
，这四个数中最大的数
16
一定在最后一行，最 小的数
4
一定在第二行，所
以
2
和
4
所在的列中最 后一行的数的和最小是
16824
，当
14
、
16
在< br>2
下面，
4
和
8
在
4
下面
时成立。
6
、
9
、
12
、
18
，这四个数中最大的 数
18
一定在最后一行，最小的数
6
一定在第二行，
所以
3
和
6
所在的列中最后一行的数的和最小是
18927
，当
6
和
18
在
6
下面，
6
和
9
在
3
下
面时成立。所以最后一行的
5
个数的和是
2415 2766
。







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【例12】 下表一共有六行七列，第一行与第一列上的数都已填好, 其他位置上的每个数都是它所在
行的第一列上的数与所在列的第行上的数的积，如
A
格 应填的数是
1013130
,求表中除第一
行和第一列外其他各个格上的数之和。
0
8
12
14
10
16
9





11





13



A

15





3





19






【分析】第二行上除 去第一列的数的和为
12

111315319

， < br>第三行上除去第一列的数的和为
12

111315319

，
，
最后一行除去第一列后所有数的和为
16

1 11315319

。
根据乘法分配率，将这些式子相加可得到所有要求的格子上的数和为

1214 1016



111315319

317 2
。


附加题目

【例1】 将自然数
1< br>到
11
分别填在右图的圆圈内，使得途中每条直线上的三个圆圈内的数的和相等。 11
18
4
9
7
6
2
5
3
1 1
110
2
7
3
6
8
9
5
10< br>4


【分析】
121166
。从左下角引出的5
条直线，设左下角的数为
a
，每条直线上的三个数的和
为
S< br>,则
5S664a
，又由三条横线及左下角引出的一条斜线得
4S66 A
,从而结合上面的
式子得
S18
,
a6
，由于
18117
只有
3
种方式拆分成两个数的和（即
，
1810
，
188
，
184
，
183
，
18 2
，
181
均没有
4
种方式拆成
76152 43
）
两个数的和，所以在对角线上，小正方形的顶点处只能填
9
或
7
，经试验不难得出两个如图的
解。




学而思
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【例2】 在下面的残缺算式中，只写出五个
3
，那么这个算式的商数是______。
 aef
)3)3
33d33
3
33< br>
3
3b

c
c
0
0
【分析】为了便于说明，用英文来表示几个关键的数。
从除式的第一层看，商的百位数字是
a
，只能是
1
，
3
，< br>7
，
9
。
第三层被除数的百位数字
c明显是
9
，因此第二层中的
b
大于
3
。这样可以断定< br>a1
，
a3
。
如果
a9
， 那么一层中也是
9
。但
933
不是
9
的倍数。所以
a9
。
我们现在来看
a7
的情形。由于
d3 3
能被
7
整出，由倒除法可以断定除数是
119
，
d8< br>。
119728
7)d33119)86632
63833
7
333

7
238
7
952
7
952
0
0
第三层，因为
c9
，只有
1198 952
满足要求，即
f8
。从而
b1358
，
c 2
。所
以这个算式的商数是
728
。被除数是
1197288 6632
。
完整的除式如图。


巩固精练
1.

下图是一个正确的加法算式，其中相同的字母代表相同的数字，不同的字母代表不同的数字。
已知
BAD
不是
3
的倍数，
GOOD
不是
8
的倍数，那么
ABGD
代表的四位数是多少？
BAD
BAD

GOOD
【分析】首先可以确定
D
的值一定是
0
，
G
的值一定是
1
，所以
GOO BABA
,所注意
GOO
为偶数，
只能是
122
、通过检 验其他几个条件，可以找到符合条件的只有
166
所以
ABGD166
、188
，
144
、
的值为
3860
。


2. 请在算式
1111
中填入不同的四个数码，使等号成立。

【分析】在
10~19
这
10
个数中，剔除质数后只剩下
6
数，通过尝试可得到
10181215
。


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3. 将
1~6
分别填在图中,使每条边上的三个○内的数的和相等。
1
56
342

【分析】设三个顶点○内所填的数为
a
,
b
,
c
，每条边上的和为
k
，三个顶点上的 数在求和时各用了
2
次，
所以条边上的三数之和相加得
21
abc

3k
，由于
abc
的最小值是
1 236
，最大
值是
45615
，所以
3k
的最小 值是
21627
，最大值是
211536
，
k
的最 小值为
9
，
k
的最大值为
15
。
当
k 9
时，
abc6
，即三个顶点数为
1
，
2
，
3
。再根据
k9
填上其它的数。


4. < br>（
2008
年华杯赛初赛）华杯赛网址是
wwwhuabeisai..cn< br>，将其中的字母组成如下算式：
wwwhuabeisaicn2008

如果每个字母分别代表
0~9
这十个数字中的一个，相同的字母代表相同的数字，不同 的字母
代表不同的数字，并且
w8
、
h6
、
a9、
c7
，则三位数
bei
的最小值是 。

【分析】
8886u9beis9i7n2008
，有
u0be is0in351
，此时
u,b,e,i,s,n
只能取
0
，
1
，
2
，
3
，
4
，
5
，
b
的最小值为
1
，
e0
，
i
最小取2
，此时
s
最大只能取
2
，矛盾；
b
的最小值 为
1
，
e0
，
i3
，此时
s2
，< br>u4
，
n5
，符合条件，所以三位数
bei
的最小值是< br>103
。

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乒乓球运动属于隔网对抗的技能类体育项目，起源于１９世纪末的英国，目前是世界上参与人
数最多的三个体育项目之一。
１９８８年的汉城奥运会上，乒乓球首次被列为正式 项目，到２００８年北京主办第２９
届奥运会时，它将是连续第六次出现在夏季奥运会正式比赛项目的名 单上。
作为世界公认的中国的“国球”，乒乓球在奥运会上是中国体育代表团的优势项目， 中国
乒乓球队几乎垄断了奥运会这一项目的金牌。过去的５届奥运会共计产生２０枚乒乓球金牌，其中< br>１６枚都为中国运动员所摘取，旁落的４枚金牌中包括３枚最受重视的男子单打金牌，分别在１９
８８年的汉城奥运会、１９９２年的巴塞罗那奥运会和２００４年的雅典奥运会上被韩国的刘南
奎、瑞典 的瓦尔德内尔和韩国的柳承敏夺得，另外一枚女子双打金牌在１９８８年为东道主韩国队
所获。
奥运会乒乓球赛原本设有男子单打、女子单打、男子双打和女子双打４个比赛项目，而国
际乒乓球联合会出于增加比赛精彩程度的考虑，在雅典奥运会期间与国际奥委会及相关各方商议
后，宣 布在不增加参赛总人数的情况下，在２００８年奥运会上以团体比赛取代双打比赛。该项提
议已经在２０ ０５年１０月的国际奥委会新加坡会议上获得批准。
第２９届奥运会乒乓球将于２００８年 ８月１３日至２３日在北京大学校园内的北京大
学体育馆举行，比赛项目为男子团体、女子团体、男子单 打、女子单打。






第一位向珠穆朗玛 峰发起挑战的是英国人马洛瑞，他从l921年开始的3次攀登珠峰都以失败
告终，而他本人也在第三次 攀登中失踪。
他的队员激奋地在媒体面前说：“珠穆朗玛峰!你可以打败我们一次、二次、三 次，但是你不
要忘记!我们总有一天会征服你，因为我们会不断地成长、进步，至于你，就只有这么高而 已!”
他们接下来的四次攀登仍未成功。第八次，那是1953年5月29日，希拉里(新西兰人)和 藤
森·诺盖伊(尼泊尔人)终于成功地等上了珠穆朗玛峰顶。他们是第一次登上珠穆朗玛峰顶的人。
历经32年，人类终于征服了这座地球上最高的山峰。
不论被打败多少次，仍要迎难 而上。这种越挫越勇的精神正是从失败走向成
功所必需的。成功无非就是许多次失败后的一次例外。失败 的次数越多，一次的
例外就越有价值，比如征服珠峰。
坚持不懈，勇往直前，不惧怕失败，把不可能变为可能。



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随堂练习：
1. 计算：（2+5+8+……+194）÷（4+7+……+196）

2. 一本600页的 书，小明每天都比前一天多读一页，16天刚好读完这本书，那么他最后
一天读了多少页？

3. 有一列数，前两个数分别是0和1，从第三个数开始，每一个数都是前两个数的和：0，
1，1，2，3，5，8，13，21，34，……。那么这个数列的第2005个数除以8所得的
余数 是多少？

4. 把自然数按照下列规则排列，那么2008应该排在左起第几列？
1 2 3 4 5
9 8 7 6
10 11 12 13
17 16 15 14
18 19 20 21
25 24 23 22
26 27 28 29
…… ……

5. 观察下面的一列有规律的算式：5+3，7+6，9+9，11+12，……则按照规 律第2008个
算式的结果应该是多少？


参考答案
1. 解析：
2，5，8，……，194是以3为公差的等差数列，共有（194-2）÷3+1=64项， 则
2+5+8+……+194=（2+194）×64÷2=98×64。4，7，10，……，196 中每一项都比上
面的等差数列中每一项多2，因此4+7+10+……+196=98×64+2×64 =100×64。因此原式
=98÷100=0.98。

2. 解析：
设小明最后一天读了
x
页，则第一天读了
x
-15页，由题意可得方程： < br>（
x
-15+
x
）×16÷2=600，解得，
x
= 45。

3. 解析：
这串除以8所得的余数依次是：0，1，1，2，3，5， 0，5，5，2，7，1，0，1，1，
2，……。余数数列从第1个开始，以0、1、1、2、3、5 、0、5、5、2、7、1这12
个数为一组依次循环出现的，又2008=12×167+4，所以第 2008个数除以8
所得的余数与第4个余数相同，即为2。
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4. 解析：
观察数列可知，除了前5个数之外，后面的数以8为周期，由
2008=8×250=8+8×249，所以2008与8在同一列，即2008在左边第2列。

5. 解析：
通过观察可以发现，题目中出现的算式的规律是：每一个算式的第一个加数比< br>上一个算式的第一个加数多2，而每一个算式的第二个加数比上一个算式的第二个加
数多3。以此 推断，第2008个算式的两个加数分别是5+2×2007和3+3×2007，所以
该算式的结果为 5+2×2007+3+3×2007=10043。

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