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《数阵图与数字谜》练习题（含答案）


你还记得吗

【复习1】把1～5这五个数填入右图中的○里，使每条直线上的三个数之和相等.

分析： (1+2+3+4+5)+重叠数=每条直线上三数之和×2，所以，每条直线上三数之
和＝(15+重叠数)÷2.
因为每条直线上的三数之和是整数，所以“15+重叠数”只能是偶数，重叠数
只可能是1，3或5.
若“重叠数”=1，则两条直线上三数之和为 (15+1)÷2=8。填法见下图（1）；
若“重叠数”=3，则两条直线上三数之和为 (15+3)÷2=9。填法见下图（2）；
若“重叠数”=5，则两条直线上三数之和为 (15+5)÷2=10。填法见下图（3）.



【复习2】将1～7这七个数分别填入右图的○里，使得每条直线上三 个数之和与每个
圆圈上的三个数之和都相等.

分析：所有的数都是重叠数，中心数重叠两次，其它数重叠一次. 所以三条边及两个
圆周上的所有数之和为：(1＋2＋…＋7)×2＋中心数＝56＋中心数.
因为每条边及每个圆周上的三数之和都相等，所以这个和应该是5的倍数，再由
中心数在1至7之间， 所以中心数是4. 每条边及每个圆周上的三数之和等于(56＋4)÷5
＝12.中心数是4，每边其 余两数之和是12-4=8，两数之和是8的有1，7；2，6；3，5.
于是得到右下图的填法.

【复习3】在右图所示的竖式中，相同的汉字表示相同的数字，不同的汉
字表示不同 的数字。如果：巧+解+数+字+谜=30，那么“数字谜”所代表
的三位数是多少？
< br>分析：还是先看个位，5个“谜”相加的结果个位还是等于“谜”，“谜”
必定是5（0显然可以 排除）； 接着看十位，四个“字”相加再加上进位
2，结果尾数还是“字”，那说明“字”只能是6； 再看百位，三个“数”
相加再加上进位2，结果尾数还是“数”，“数”可能是4或9； 再看千位，
（1）如果“数”为4，两个“解”相加再加上进位1，结果尾数还是“解”，那说明“解”
只 能是9；5+6+4+9=24，30-24=6，“巧”等于6与“字”等于6重复，不能；

（2）如果“数”为9，两个“解”相加再加上进位2，结果尾数还是“解”，那说明“解”
只能是8；5+6+9+8=28，30-28=2，可以. 所以“数字谜”代表的三位数是965.


数 阵 图
数阵图是将一些数按照一定要求排列而成的某种图形，有时简称数阵. 幻方是特殊的数
阵图， 一般地，将九个不同的数填在3×3（即三行三列）的方格中，使每行、每列、及二
条对角线上的三数之 和均相等，这样的3×3的数阵阵列称为三阶幻方. n阶幻方的定义与
三阶幻方相仿！



【例1】 （1）将九个数填入下图（1）的九个空格中，使得任一行、任一列以 及两条对角
线上的三个数之和都等于定数k，则中心方格中的数必为
k
.请你说明理由 ！
3

（2）将九个数填入下图（2）的空格中，使得每行、每列、每条对角线上的 三个数之和都
相等，则一定有：
e
ab
.请你说明理由！
2

（3）将九个数填入下图（3）的空格中，使得每行、每列、每条对角线上的三个 数之和都
相等，则一定有：
c
ab
.请你说明理由！
2


分析：（1）因为每行的三数之和都等于k，共有三行，所以九个数之 和等于3k.如右
下图所示，经过中心方格的有四条虚线，每条虚线上的三个数之和都等于k，四条虚< br>线上的所有数之和等于4k，其中只有中心方格中的数是“重叠数”，九个数各被计算
一次后，它 又被重复计算了三次.所以有：九数之和+中心方格中的数×3=4k，
3k+中心方格中的数×3=4k，中心方格中的数=
k

3
ab
.
2
（2）和=3e ，a+e+b=和=3e，所以a+b=2e，即得：
e

（3）设中心数为d. 每行、每列、每条对角线上的三个数之和都等于3d. 由
此可得右图，那么有：c +（2d-b）= a +（2d-c），由此可得：
c
ab
.
2
值得注意的是， 这个结论对于a和b并没有什么限制，可以是自然数，
也可以是分数、小数；可以相同，也可以不同.

【巩固】在右图的空格中填入七个自然数，使得每一行、每一列及每一条对角 线上的
三个数之和都等于90.
分析：中心数为90÷3＝30；右上角的数为（23＋57）÷2＝40，
其它数依次可填（见右下图）.


【巩固】在下图的每个空格中填入个自 然数，使得每一行、每一列及每条对角线上的三
个数之和都相等.
分析：右下角的数为（8＋ 10）÷2=9，中心数为（5＋9）÷2=7，且每行、
每列、每条对角线上的三数之和都等于7×3 =21.由此可得右下图
的填法.


【巩固】图中3×3的正方形的每 一个方格内的字母都代表一个数，已知其每行、每列
以及两条对角线上三个数之和都相等．若f=19， g=96．那么b是多少？

分析：我们知道：g=（b+f）÷2，易得b=173.


【例2】 在右图的每个空格中，填入不大于12且互不相同的八个自然数，使得 每行、
每列、每条对角线上的三个数之和都等于21 .

分析：中央一数必定是2 1÷3=7．从而一条对角线为8，7，6．另两个角上的数，和
为14=2＋12=3＋11=4＋1 0=5＋9，不难验证只有3、11与4、10两种符合要求．于是
填法有：

< br>【巩固】在右图的九个方格中填入不大于12且互不相同的九个自然数（其中已填好
一个数），使 得任一行、任一列及两条对角线上的三个数之和都等于21.

分析：



【例3】 将1，3，5，7，9，11，13，15，17填入3×3的方格内，使其构成一个幻方.

分析：（法1）：易得中心数为9，然后将剩余那么其余8个数分为4组，每组两个数

的和是18，把它们分别填入图中关于中心格对称的格子内，实验可得结果，如右图. 答案
不唯一，仅供参考.
（法2）：其实会学习的小朋友就知道理利用已经学习过的一些典型 题目结果加以变形得到
新题答案.事实上我们可以把结果中的幻方看作是1～9填图的幻方相应位置数字 乘2减1
得来的.推广开来可以知道等差数列填图的三阶幻方几乎都具有相似的
形式.

【前铺】将自然数1至9，分别填在右图的方格中，使得每行、每列以及两条对角线上
的三个数之和都相等.
分析：（法1）：三行的总和=1＋2＋3＋4＋…＋9=45，所以每行三 个数的和是45÷3=15，
所以E代表15÷3=5，由于在同一条直线的三个数之和是15，因此若 某格中的数是奇
数，那么与这个数在同一条直线上的另两个数的奇偶性相同.
因此，四个角上 的数A、C、G、I必为偶数.（否则，若A为奇数，则I为奇数.此时若
B为奇数，则其余所有格亦为 奇数；若B为偶数，则其余所有格亦为偶数.无论哪种情形，
都与1至9中有5个奇数，4个偶数这一事 实矛盾.）
因此，B、D、F、H为奇数.我们不妨认为A=2（否则，可把3×3方格绕
中心块旋转即能做到这一点）.此时I=8.此时有两种选择：C=4或G=4.因而，
G=6或C= 6.其他格的数随之而定.如果把经过中心块旋转而能完全重合的两
种填数法视作一种的话，一共只有两 种不同的填数法：A=2，C=4或A=Z，G=4
（2，4被确定位置后，其他数的位置随之而定）.

（法2）：从法1知道中心数为5，那么其余8个数分为4组，每组两个数的和是10，把它
们分别填入图中关于中心格对称的格子内，实验可得结果.这种试填的方法更易让学生接
受.

【拓展】如图（1）的3×3的阵列中填入了l～9的自然数，构成大家熟知的3
阶 幻方.现在另有一个3×3的阵列,如图（2），请选择9个不同自然数填人9
个方格中，使得其中最大 者为20，最小者大于5，且要求横加、竖加、对角线
方式相加的3个数之和都相等.
分析： ①观察原表中的各数是从1～9不同的九个自然数，其中最大的数是9，
最小的数是1，且横加、竖加、 对角线方式相加结果相等.
②根据题意，要求新制的幻方最大数为20，而9+11=20，因此 ，如果原表中的各
数都增加11，就能符合新表中的条件了.


【例4】 右图是一个四阶幻方，请将其补全：

分析：根据各行，各列，各对角线和相等为34，可得 图（1），此时我们可以
设未知数，如图（2），将一些数表示出来，进而根据和为34求得x代表9，
随后得到答案，如图（3）.

【拓展】在图中所示方格 表的每个方格内填入—个恰当的字母；可使每行、每列及
两条对角线上4个方格中字母都是A、B、C、 D，那么标有“＊”的方格内应填的字
母是什么？

分析：考虑含A和＊的对角线上 的元素．第二行第二个元素与C同行，因此不是C，
第三行第三个元素与C同列，因此也不是C，所以＊ 代表的元素必为C．

【巩固】在右图的每个方格中填入一个数字，使得每行、每列以及每条 对角线上的方
格中的四个数字都是1，2，3，4.

分析：如下图所示，受列及对 角线的限制，a
处只能填1，从而b处填3；进而推知c处填
4，d处填3，e处填4，……右 下图为填好后
的数阵图.


【例5】 右图是大家都熟悉的奥林匹克的五环标志. 请将1～9分别填
入五个圆相互分割的九个部分，并且使每个圆环内的数字之和都相等.

分析：设每个圆内的数字之和为k，则五个圆内的数字之和是5k，它等于1～9的和45，再
加上两两重叠处的四个数之和. 而两两重叠处的四个数之和最小是1＋2＋3＋4＝10，最大
是6＋ 7＋8＋9＝30，所以，5k≤45＋30＝75且5k≥45＋10＝55，即11≤k≤15 .
当k＝11，13，14时可得四种填法（见下图），k＝12，15时无解.



【前铺】将1～11填入左下图的○内，使每条虚线上的三数之和都等于18.

分析：设中心数为a，由五条虚线上的数字之和得到5×18=

（1 +2+…+11）+4a，解得a=6. 填数方法如下图.



【例6】 将1～7这七个自然数分别填入右图的七个○内，使得三个大圆周上的四
个数之和都 等于定数，指出这个定数所有的可能取值，并给出定数为13时的一种
填法.

分析：设每个大圆周上的四个数之和为k（即题中的定数）. 图中有一个○属于三
个大圆公有，有三个○各属于两个大圆公有. 设属于三个大圆公有的○内的数为w，
属于两个大圆公有的三个○内的数字之和为v.
将三 个大圆上的数字和相加，得到：3k＝1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋v＋2w＝28＋v＋
2w，因为 v＋2w最小为11（w＝1，v＝2＋3＋4），最大为29（w＝7，v＝6＋5＋4），
分别代入 上式，解得13≤k≤19，即定数可以取13至19之间的整数.本题是k＝
13的情况，此时w＝1 ，v＝2＋3＋4，填法见右下图.


【例7】 在右图所示立方体的八个顶点上 标出1～9中的八个，使得每个面上四个顶
点所标数字之和都等于k，并且k不能被未标出的数整除.

分析：标出的八个数是每面四个数和的2倍，是偶数，1～9和为45 ，因此未标出的数是一个奇数，在1，3，5，7，9中选一个数，并使余下八个数之和的一半不能被这
个数整除， 依此可知未标出的数是7.

下面用余下的8个数填图，每面四个数和为：（45-7）÷2 =19.如果已知某一面上
四个数和为19.那么与其平行的面上四数和也必为19.因此我们只考虑有 公共顶点的
三个面即可.下面我们考虑以9为公共顶点的三个面.由于8，9不公面，因此8在顶
点9的对顶点上，有公共点9的三个面上，每面其余三个数和为10，且每两个面有一
个公共顶点.由 此试验易得三个面上的数分别为：（6，3，1），（5，4，1），（3，2，5），
填图如右下图.





数 字 谜

【例8】 将0～9中的8个不同的数字分别用a、b、c、d、e、f、g、h替换．在替 换规则
下：g×g=
db
，g×c=
bd
，g×f=
ef< br>，
agbeh
，如上面4个式子中，“+”、“×”、
“=与平常算术中相 应的符号意义相同，而且也是十进位制．在这种替换规则下，
cae
的
数值等于 .

分析：由g×g=
db
知，g≥4．

若g=4，d=1，与g×c=
bd
是偶数矛盾；
若g=5，则d=2，b=5，与g ≠b矛盾；
若g=6，则d=3，b=6，与g ≠b矛盾；
3
也不合题意；
7
3
若g=8，则d=6，b=4， 由g×c=
bd
46，得到c=46÷8=
5
，仍不合题意；
4
若g=7，则d=4，b=9，由g×c=
bd
=94,得到c =4÷7 =
13
若g=9，则d=8，b=1，由g×c=
bd
=18，得到c=18 ÷9=2，再由g×
f=
ef
,f=5，e=4，再由
agbeh,得a=e-1=3.所以
cae23492
.


【例9】 在下面的加法算式中，相同的汉字表示相同的数字，不同的汉字表示不同的数
字．请 把下面汉字算式翻译成数字算式．


分析：首先“华”=1．由于“人”≠“华”，故“人”只能是0．从百位看出. 百位没有向千位进位，
即有“香”=9．
看百位，知“回”比“港”大1；再看十位，可知“ 爱”=8，并且个位要向十位进位，即“归”+“港”=10
+“游”．
因为“游”≠0， 1，知“游”≥2，即“归”+“港”≥12．又“归”≠8，9，知“归”≤7，从而“港”≥5．同
样，“归”也不小于5，并且由于“回”比 “港”大1，知“归”、“港”、“回”应该是5，6，7(次序未确定)．容易验证，只有“归”=7，“港”=5，“回”=6符合条件，此时“游”=2，即算式为 ：
9567+1085=10652 .


【巩固】在下面的算式中，汉 字“第、十、一、届、华、杯、赛”代表1，2，3，
4，5，6，7，8，9中的7个数字，不同的汉 字代表不同的数字，恰使得加法算式
成立．则“第、十、一、届、华、杯、赛”所代表的7个数字的和等 于多少？

分析：根据加法规则，“第”=1．“届”+“赛”=6或“届”+“赛”=16．
若“届”+“赛”=6，只能是“届”、“赛”分别等于2或4，此时“一”+“杯”=10 只能是“一”、“杯”
分别为3或7．此时“十”+“华”=9，“十”、“华’’分别只能取 (1 ，8)，(2，7)，(3，6)，(4，
5)．但l，2，3，4均已被取用，不能再取．所以，“届 ”+ “赛”=6填不出来，只能是
“届”+“赛”=16．这时“届”、“赛”只能分别取9和7．这 时只能是“一”+“杯”+1=10，且“十”
+“华”+1=10，也就是“一”+“杯”=9， 同时“十”+“华”=9．所以它们可以分别在(3，6)，(4，
5)两组中取值．
因此“第、十、一、届、华、杯、赛”所代表的7个数字的和等于1+9+9+16=35．

【例10】 在右面的□内，各填一个合适的数字，使算式成立．

分析：从被乘数个位上的□里填什么数字入手及竖式中□×6=（ ）4，是本题的突
破口．这里有两种情况：4×6=24或9×6=54，都可使□×6=（ ）4成立．也就是
说，被乘数个位上的数字可能是4，也可能是9．
先考虑被乘数个位上的数 字是9的可能性，因为在乘数十位上找不出任何数字与
9相乘得“整十数”，所以被乘数个位上的数字不 可能是9．
如果被乘数个位上的数字是4，很容易推出乘数十位上的数字应是5，才能与4
相 乘得“整十数”．
由被乘数乘以乘数十位上的5得270，也很容易推出被乘数十位上的数字是5，< br>进而可推出其它各数字．

【巩固】在□内填入适当的数字，使下列乘法竖式成立：

分析：（1）17×64=1088；（2）5283×39=206037；
（3） 734×619=454346， 被乘数是6606和4404的三位数的公约数.


【例11】 □内填入适当的数字，使下列竖式成立，并使商尽可能小：

分析：由右式知d=8，所以c=3或8.当a=2时，由bc×a=□5□,推出 c不等于3，所以c=8，
故推出b=7;因为除数是两位数，它与商的各个数位的乘积都是三位数，所 以商的最小可能
值为262。

【巩固】右式中不同的汉字代表1～ 9中不同的数字，当算式成立时，“中国”这两
个汉字所代表的两位数最大是多少?

分析：显然，“新”=9．因为要使“中国”尽量大，所以可以假定“中”=8．因为十
位加法(含个 位加法进位)等于20，所以“北+奥”在1～7中的取值有三种可能：7，5；7，
4；6，5．再考 虑到“国+京+运”的个位数是8，经试算，只有“北”、 “奥”等于7，5，
“国”、“京”、“运 ”等于1，3，4．“国”取l，3，4中最大的4，得到“中国”最大
是84．



附加题目

【附1】求任一列、任一行以及两条对角线上的三个数之和都等于267的三阶质数幻方.

分析：在3×3的方格中，如果要求填入九个互不相同的质数，要求任一行、任一列
以及两条对 角线上的三个数之和都相等，那么这样填好的图称为三阶质数幻方.中间
方格中的数为267÷3＝89 . 由于在两条对角线、中间一行及中间一列这四组数中，每
组的三个数中都有89，所以每组的其余两 数之和必为267-89＝178. 两个质数之和为
178的共有六组：5+173＝11＋167＝ 29＋149＝41＋137＝47+131＝71+107.
经试验，可得右图所示的三阶质数幻方.


【附2】将自然数1～11填入下图的 11个○中，使得每条直线（共10条）上的三个数字之
和都相等.

分析：左下角 的数属于5条直线共有，对角线上中间的数属于4条直线共有，其余数只属
于2条或3条直线，所以左下 角的数和对角线上中间的数处于特殊地位，应当首先确定这
两个数以及每条直线上三数之和.
设每条直线上三数之和为k.

由图（1）中5条实线上所有数字之和，可列方程：5k=（1+2+…+11）+4a ，即
k
因为k是整数，所以a只能取1，6或11；
664a
；
5
66a
.
4
再由图（2）中四条实线上所有数字之和，可列方程：4k=（1+2=…+11）+a , 即
k
得到a只能取2，6或10. 综合以上讨论知a＝6，k＝18.
在图（3）中的5条实线中，只有b属于3条实线共有. 注意到这5条实线上的数字没
有6，在剩下的 十个数字中，三个数的和等于18的共有以下八组：3＋4＋11；1＋8＋9；1
＋7＋10；3＋5 ＋10；2＋7＋9；2＋5＋11；3＋7＋8；4＋5

＋9，其中同时出现在三个算 式中的数只有3和9，所以b只可能是3或9，此时c等于9
或3. 由同时含有3的三个算式知，若b＝3，c＝9，则d，e只能取4，11或5，10或7， 8，
由于 每条直线上的三个数之和为18，且c＝9，故d，e不能等于10或11，所以d，e只能
取7，8. 由此可得左下图中的答案.
同理，若b＝9，c＝3，则可得右下图的另一答案..
【 附3】右图中大三角形被分成九个小三角形，大三角形的每条边都与其中五个
小三角形有公共点，试将1 ～9九个自然数分别填入这九个小三角形内，使得每条
边上的五个小三角形内的数字之和都相等.问这个 和最小值是多少？最大值是多
少？

分析：1～9和为45.设3个只属于一条边的数的和为k，
1
3
1
K最小时，取k=1+2+3=6，一边上的和为：30-×6=28；
3
1
K最 大时，取k=7+8+9=24，一边上的和为：30-×24=22，因此这个和最大为28，最小为
3
则每条边上五个数和为：（45×2-k）÷3=30-
k
.
22.


【附4】在1～13这十三个自然数中选十二个填在图中的空格内，使每横行四数
之和相等，每数列三数之和相等.

分析：由和的整除性质，首先确定使用哪十二个 数填图．由于每横行四数之和相
等．每竖行三数之和相等知十二个数之和既是3的倍数也是4的倍数，因 此是12的倍数，
由此可知不用填图的数字是7，所选十二个数和为：[(1+13)×1 3÷2]- 7=84，每横行四个
数和为：84÷3=28，每竖行三个数和为：84÷4=21．由于竖行和为2 1，因此可知1，2，3，
4在不同竖行，而5只能跟3或4在同一竖行，由此可确定竖行分组有如下两 种情况：(1，
8，12)，(2，9，10)，(3，5，13)，(4，6，11)或(1，9，1 1)，(2，6，13)，(3，8，10)，
(4，5，12)．再根据横行和为28，易得如下结果 ：



【附5】右面算式(1)中，相同的汉字表示相同的数，不同的汉 字表示不同的数，
其中“新”>4．清补残缺的数字，那么“新年好”代表的数字是 .

分析：“新年好”代表的数字是691．如右下式，“新”
一定小于7，否则A是2大了，是l又小了．不论 “新”，
是5或6，由于乘法第一行首位是 “新”，一定有B=9．如果
“新”=5，第二行百位是4，A无合适的值，因此“新”=6，而A=2 ．“年”≥7，

对7，8，9三数算一下可知，只有“年”=9合适，如式(3)所示．


【附6】右面式中每个口表示一个数字，那么乘积是 .

分析：如右下式，显然E=1．由
6AB
×C=口5口5知，B、C中一个是5，另一
个是奇数．若C=5，乘积的百位不可能是5，所以B=5． 因为B=5，所以G=5
或0．若G=5，则F=9，从而A=9，即
6AB
=695，但695×C不可能得到
口5口5，不合题意；若G=0，则F=4，从而A=4，即
6AB
=645，
由645×C=口5口5，得到C=7．因为B=5，G=0，所以D是偶数．
由
6AB7D16457D1
□□5□4□，得D=2，
原算式为645×721=465045．


练习

1．在左 下图的每个空格中填入一个数字，使得每行、每列及每条对角线上的三个数
之和都相等.
< br>分析：利用
e
ab
结论可以知道，中间数=6，和=18，进而得到答2
案.


2．用2，4，6，12，14，16，22，24，26九个偶数编制一个幻方.

分析：答案如右图.


3．在下列各图的每个方格中都填入一个数字，使 得每行、每列以及每条对角线上的四个数
字都是1，2，3，4.


分析：

4．下面是三个数的加法算式，每个口内有一个数字，则三个加数中最大的
是 .

分析：由和的个位数字是1知，第二个加数的个位数字是9；由和的十位数字是
1知 ，三个加数的十位数字的和是10，百位数字的和也是10，于是知道第
二个加数的百位数字是8，即三个加数中最大的是819．

5．右面式中不同的汉字代表不同的数字，问：“
数学好玩
”表示的四
位数是多少?

分析：由积的千位数知“数”=1，由积的十位数知“学”=0，由 积的百位数知“玩”
=9．竖式化简为下式．
容易求得：“真”=2，“好”=8，“啊”=6．所以，“数学好玩”=1089．