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数阵图与数字谜



1
把1，2，3，…，13这13个数分别填在下图所示的3个圆圈内，使得同一个圆圈内任
意两个数相减，所得的差不在这个圆圈内．现在已经把1，4，7填在第一个圆圈内，3

填在第三个圆圈内，请将其余9个数填好．
1
4
7
3

第一步：由已知可推出6只能填在中间的圆中；

【分析】
第二步：由已 经填的数可以得到：2、5、8、11不能出现在第一个圆中，且(2、
8)和(5、11)不能在第二 个圆中成对出现，(2、5)、(5、8)、(8、11)不能在第
三个圆中成对出现，考虑5和8的位 置的各种情况，可以得出5、8只能都填在
第二个圆中，2、11填在第三个圆中；
第三步： 判断其余几个数的位置关系：13只能填在第一个圆中，9只能填在第
二个圆中，12只能填在第三个圆 中，10只能填在第一个圆中。
1
4
7
6
3
13105< br>89
2
11
12





2
把2～11这10个数填到右图的10个方格中，每格内填一个数，要求图中3个
22
的正
方形中的4个数之和相等．那么，这个和数的最小值是多少？


1110
9
8
2
56
3
7
4

第一步：首先确定数阵图中的关键方格，即相邻两个正方形相交的两个方格；

【分析】

第二步：计算三个
22
正方形内4个数之和的和，显 然这个和能被3整除，其
中有两个数被重复计算了两次，而
231165
，除 以3余2，因此被重复计
算的两个数的和被3除余1，这两个数取2、5时，这个和取得最小值； 第三步，由已知的两个方格中的数，得到每个
22
正方形中的4个数之和的最
1

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小值为24，构造各个正方形中其他几个数使每个正方形 中的数的和为24，如图，
所以所求的最小值是24。





3
请在下图的每个圆圈内填入不同的自然数，使得图中每个圆圈中所填的数都是上 一行与
它相邻的两个圆圈中所填数的和。

7
1
2
4
8
3
6
11
9

20
20
一步：由于每个圆圈中所填的数都是上一行与它相邻的两个圆圈中所填数的< br>
【分析】
第
和，所以只要填出第一行的四个数字就能得到其他圆圈中所填的 数.如果第一行
填入的是
x
、
y
、
z
、
w
，则
xw3

yz

20
，由于
xw
至少为3，所以
yz
不
超过5；
第二步：由于
y z
的和不超过5，所以，
y
和
z
只可能为1和2、1和3、1和4
或者2和3，通过尝试可以得到不止一个答案，右面的答案是其中一个。





数字谜中的最值问题



数字谜中的最值问题，除了数字谜问题常用的分析方法外，还会经常采用比较法，
通过比较算式计算 过程的各步骤，得到所求的最值的可能值，再验证能否取到
这个最值。




4

右式中的
a
，
b
，
c< br>，
d
分别代表0～9中的一个数码，并且满足
2

ab
cd
，被减
数最小是多少？

2

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ab
3
cd

【分析】
若
b3
，则由竖式知
ac
，
bd
，不满足
2

ab

cd
；若
b 2
，则由竖式知
ac1
，
b103d
，即
b7 d
，代入
2

ab

cd
，得
a b6
。
由
b2
知
a4
，所以
ab
最小为42。




5

有四个不同的数字，用它们组成最大的四位数和最小的四位数，这两个四位数之和是

11469，那么其中最小的四位数是多少？
【分析】
设这四个数字是
a bcd
，如果
d0
，用它们组成的最大数与最小数的和式
abcd< br>是
dcba
，由个位知
ad9
，由于百位最多向千位进1，所以 此时千位的和
11469
abc0
最多为10，与题意不符。所以
d0，最大数与最小数的和式为
c0ba
，由此
11469
可得
a 9
，百位没有向千位进位，所以
ac11
，
c2
；
b6c4
。所以最小
的四位数
cdba
是2049。




6

在右边的加法算式中，若每个字母均表示0到 9中的一个数字，任意两个字母表示的数
字都不相同，也不与算式中已有的数字相同，则
A与
B
乘积的最大值是多少？

E
CF
9DG

10AB
【分析】
本题把数字 谜与奇偶性、最值问题巧妙地结合在一起，可以从奇偶性方面来分
析。考虑加法算式的个位，若个位不进 位，则四个数字
EFGB
之和为
2B
，
是偶数；若个位进位， 则四个数字
EFGB
之和为
102B
或
202B
，还是偶
数。所以
EFGB
为偶数，又
ABCDEFG 23835
，所以
ACD
为奇数。如果加法算式中个位不进位，那么CD10A
，这样
ACD102A
为偶数，与上面的分析矛盾，所 以加法算式中个位向十位进奇
数位，只能是1位，故
EFG10B
，
CD110A
，得
EFGCD19AB
，而
AB CDEFG23835
，所以
AB8
，
A
、
B
可能为2、6或3、5，乘积为12或15，故
A
与
B
乘 积的最大值
3

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是15。
另解：因为
ECF9DG10AB
，等号两边除以9的余数相等，所以等号两边的
各个数字 的和除以9的余数相等，而所有数字的和是9的倍数，所以两边都是
9的倍数，即
10AB是9的倍数，由于
AB7815
，所以
AB8
，再根据“和
一定，差小积大”，所以
A
、
B
的取值为3、5时，
A与
B
乘积的最大值是15。





7
在□内填入适当的数字，使下列竖式成立，并使乘积尽可能小，那么乘积最小是 。


6

8
【分析】
由 于被乘数乘以6得到一个五位数，而乘以乘数的十位数字得到一个四位数，
所以乘数的十位数字小于6， 乘数可能是16，26，36，46和56．它们能得到的
最小乘积分别是
8000161 28000
，
400026104000
，
27783610000 8
，
217446100004
，
178656100016
．其中最小的为100004，所以乘积最小为
100004。



8



在□内填入适当的数字，使下列竖式成立，并使商尽可能小．那么商的最小值是 ．



【分析】
商的十位大于商的百位，所以商的十位最小为7， 个位最
6
小为1，所以商的最小可能值是671．当商是671时，由“除
数
699
”和“除数
7110
”得
15
5

除数
16
1
72
，那么除
数是16。所以
107361 6671
满足题意且商最小，所以商的
1
最小值为671。

魔幻数学
0
巧开宝盒
这天，小空和猪坚强去给师傅找吃的。走在外面，小空突然发现地上有一个小方
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盒子，捡起来一看，盒子很是精致，盒子的角上还闪着光。
“这，难道就是传说中的月光宝盒？”小空有点不相信自己的眼睛。
话音未落，盒子却开口说话了：“对，吾正是历经万年岁月，吸收天地精华的月光
宝盒。”
“啊！”小空被吓了一跳，差点把宝盒扔到地上，“你还会说话？”
“当然，我是无所不能的！”
“那……你给我变个桃子出来！”
“你还真是走到哪都不忘了吃……”猪坚强暗想。
“当然可以，但是要让我帮你实现愿望，必须先回答对我的这个问题。”
“说吧说吧！我们肯定能答对的！”
“切，哪次你遇到难题不是我帮你解决的……最后愿望还是你的，我才不帮你做题
呢。”
“好吧，那大不了分一个愿望给你行了吧？”
“那好，不过我的愿望要放在最后说。”猪坚强狡黠地笑了笑。
“行啊行啊！”小空哪管得了那么多，他眼里已经全是成堆的桃子了。
“我的问题是这样的， 现在我身上的八个角上分别标上
1
到
9
这
9
个数中互不相同 的
8
个，使得每个面四个顶点上所标数的和都相等，此外还有一个条件，就是这个和不能
被那个未标的数整除，问这个和是多少，没有标上的数又是多少？”
“根本就不知道要填的数是哪八个，这可怎么填呢……”小空又犯难了。
好在猪坚强不一会儿就把这个问题解决了，宝盒按照约定，开始满足他们的愿望。
小空先说： “我要到南太平洋的岛国去，在沙滩上晒太阳，身边有成堆又大又甜的桃
子，对对对，还要有两个仆人， 把我照顾得舒舒服服的，我要好好地休息，休息！”
月光宝盒说了声：“好！”小空就不见了，看来是 已经到海边享福去了。接着月光宝
盒又问猪坚强：“你呢，你有什么愿望？”
“哦，很简单，把那只猴子给我变回来，让他老老实实跟我找吃的去。”
故事看完了，那同学们，你们知道宝盒提出的问题应该怎么解决吗？
答案：
的确，这个问题看起来很难解决，因为不知道所有这
9
个数中，没有填进去的数是
哪一 个，也就没法确定这
8
个数的填法，但利用题目条件仔细分析一下，会发现不用知
道填 进去的数是哪
8
个，也能把这个问题解决。
因为
19
这
9
个数的和是
45
，由于填入的
8
个数每四个都相等，那么这
8
个数就可以
分成对着的面的两组，和就是偶数，未填入的数就是奇数。由于四个数的和不能被 未填
入的数整除，那么这个数就不是
45
的约数，所以未填入的数不能是
1, 3,5,9
，而只能是
7
。
这个和是

457

219
。

我与竞赛零距离
5

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(2008年“奥数网杯”五年级试题)
将1 到8这8个自然数分别填入如图数阵中的
8
个圆圈，使得数阵中各条直线上
的三个数之 和都相等，那么
A
和
B
两个圆圈中所填的数之差(大数减小数)是
_ _____．

A
ad
A
b
e
B

c
Bf

【分析】 方法一：如图，用字母来表示各个圆圈中的数字，设各条 直线上的三个数之和都
为
s
，那么
abcdef2s
，
aAebAdcBf3s
，所以
2ABs
，
abcdefAB2sAB5A3B
，而
abcd efAB12836
，所以
5A3B36
，那么
A< br>是3的
倍数.如果
A3
，得
B7
；如果
A6< br>，得
B2
，这两种情况下
A
和
B
的差都
为 4，所以
A
和
B
两个圆圈中所填的数之差(大数减小数)是4.

方法二：设各条直线上的三个数之和都为
s
，
2(1238)B 5s
，即
72B5s
，所以


B2
s14
，


B7

s13
，由于(1238)A3s
，即
36A3s
，

B 2
因此有


s14

A6
,

s13

B7

A3
,综合有

s14
，



s13
，所以
A
和
B
两个圆圈中所填的数

A6


A3
之差(大数减小数)是4.


6