河北南宫中学-世界小姐选美大赛

第十五讲 数字谜中的计数

上一讲我们讲解了一些与数论相关的计数问题，这一讲我们来研究一下数字谜中的计数
问题，首先我们 来看竖式问题．

例1．
如图，请在方框中填入0~4中的数字，使竖式成立．小 高的填法如下中图，卡莉娅的
填法如下右图，墨莫说，还有很多种填法．同学们你能判断出一共有多少种 不同的填法
吗？


  

 
4 4 4

+

4 1 3
3 1
4 4 4

+

4 2 1
2 3
4 4 4

+





「分析」观察可知竖式中没有进位 ，个位、十位、百位上的数字和均为4，本题难度一
般，但是同学做题时要注意准确性．




练习1、如图，方框中都是0~3中的数字，使竖式成立，一共有多少种填法？

  
+



 
3 3 3




如图，方框中都是
3~6
中的数字，求出所填九个数 字之和为多少？一共有多少种填法？

例2．






   

+


  

 
4 9 9 5
「分析」注意题目要求只能填入
3
至
6
中的数字，能不能确定每一位的数字和？





练习
2
、如图，方框中都是
4~7
中的数字， 一共有多少种填法？


  

+


 

 
5 3 7

数字谜中的计数问题，不仅要求填出的方案能满足数字谜的要求， 还要把所有情况考虑
周全，这也是此类问题比较难的原因．在解决此类问题时，往往分成两步：首先找到 所有不
同类的填法，然后再考虑每一类填法有多少种即可．但要注意在做这两步时都要做到不重不
漏．



将
1
到
6
填入下图，使得 每两个相邻的空格中都有
1
个奇数
1
个偶数，那么有多少种
例3．
填法？

「分析」抛开
1~6
这六个数字的具体数值，只按奇、偶性 分析题目是解题关
键．





练习
3
、将
1~4
填入方框中，使得每相邻的
2
格都既有奇数又有偶数，那 么共有多少种填法？






在图
1
的空格内各填入一个一位数，使同一行内左面的数比右面的数大，同一列内上
例4．
面的数比下面的数小，并且方格内的
6
个数字互不相同，例如图
2
为一种填法．那么一
共有多少种不同的填法？







图1
2
3



6 4 2
7 5 3
图2
「分析」对于这类表格填数问题，我们常常 用分步的思想分析：先考虑某几个方格中所
填的数会是哪些，再考虑这些数在这些方格中的位置有几种可 能．



练习
4
、在
1~7
中选出6
个互不相同的数字填入下图的的表中，使得相邻的两个方框内，下
面的数字比上面大，右 边的数字比左边大．一共有多少种填法？

以前在填写数阵图时，一般都需要先找到突破口，再顺藤摸瓜填满所有空格．现在对
于数阵图中的计数问题，同样也要先找到数阵图的突破口．


例5．
在< br>1~9
中选出
6
个互不相同的数字填入下图的表中，使得相邻的两个方框内，< br>下面的数字比上面大，右边的数字比左边大．一共有多少种填法？



「分析」首先填出可能性比较少的位置或数字，．



将数字1
至
6
分别填入图中各个圆圈，使得每条线段两个端点处所填的数，上面的比例6．
下面的大，那么符合上述要求的不同填数方法一共有多少种？



「分析」这个数阵图中，我们首先应该考虑的位置是哪个？

节日问候

特里格教授在洛杉矶城 市学院时提出了如下的问题(《美国数学月刊》问题El241，1956
年)：
节日问候“MERRY XMAS TO ALL”是一个数字谜，每个字母代表惟一的数字，而每个
词是一个平方数．求所有解．
结果只有两个解：
27556 3249 81 400和34225 7396 81 900
罗森菲尔德(Azriel Rosenfeld)发现，如果加一个条件，要求每个词的数字 之和是一个完
全平方数，则解是惟一的．
卡斯特(Edgar Karst)发现，同一句问候的方程MERRY+XMAS= TOALL也是一个数字
谜．其中每个 字母代表惟一的数字，而每个词能被3整除．这时有惟一解：84771+5862=90633．

作业


1.
在右边的竖式中，相同的字母表示相同的数字，不同的字母表示不同的数字．这个竖式< br>有多少种不同的填法？




  
+

A B
+
C A

1 2 3
2.
如图，方框中都是6~9内的数字，为使竖式成立，一共有多少种填法？



 
7 6 5

3.
将1到9填入图中，使得每两个相邻的空格中都有1个奇数和1个偶数，有多少种填法？



4.
从数字1~6种选5个填入图中，使每相邻两格中，下边的数字比 上边的大，右边的数字
比左边的大，有多少种填法？













5.
如图，在1~10中选6个数字填入图中，使得上面的数比下面的数大，那么有种填法？

第十五讲 数字谜中的计数
例题：
例7．
答案：20种
详解：首先可以确定三位数的首位为4，个 位的两个数字，从上到下依次可为（0，4），（1，3），（2，
2），（3，1），（4，0），共 5种填法．注意到两位数的首位不能为0，十位的两个数字可为（0，4），（1，
3），（2，2）， （3，1），共4种填法，由乘法原理，共有
5420
种填法．

例8．
答案： 45；30
详解：首先可以判断出四位数的首位为4，个位的三个 数字和不能为5或25，只能为15，向十位进1．十
位三个数字的和只能为18，百位两个数字的和只 能为8．因此所填九个数字之和为
48181545
．百位上两个数的和是8，有35
和
44
这两种情况．其中3和5分别填入两个
方框，有2种方法 ；而4和4则只有1种填法，因此百位上的填法有3种．个位上三个数的和是15，
有
36 6
，
456
，
555
这三种情况．其中3，6，6填入三个 方框中有3种填法；4，5，6有
A
3
3
6
种填法；5，5，5只 有一种填法．因此个位上的填法有
36110
种．千位和十位上的数字都
是确定 的．由乘法原理，总共的填法有
31030
种．
和是8 和是15





+


4


4



9
6
6
6
9



5





例9．
答案：72种
详解：首先考虑奇偶性， 如下图所 示，共有两种填法．一共有
3
A
3
3
A
3
2 72
种填法．
奇 偶
偶
奇
奇
偶
偶
奇
奇
偶
偶
奇

例10．
答案：30种
4
详解：由于方格内6 个数字互不相同，因此四个空格的数是从4~9中选择4个不同的数．有
C
6
种选法．例如：所选数字为5，6，7，8，如下图所示，可以确定5和8的位置，6和7可以互换，有2种42
填法，故共有
C
6
2C
6
230
种填法．


7
8
5
6

2
3



6
8
5
7

2
3
例11．
答案：420种
6
详解：从1~9中 选择6个不同的数．有
C
9
种选法．例如：所选数字为1，2，3，4，5，6，如下 图所
示，首先可以确定1和6的位置，2，3，4，5这四个数填入余下的部分，与专属3中
6 3
第四个图相同，有5种填法，故共有
C
9
5C
9
5 420
种填法．
1


6
例12．
答案
：
20
种

详解：首先可以确定1的位置，在最下面． 然后选3个数填在左边的部分，有
C
3
5
种选法，剩下的2
个数填在 右边，位置确定．注意到，左边部分上面的2个圆圈可以交换位置．故共有
C
3
5220
种填
法．

练习：
1.
答案：12种
简答：没有进位，所以，百位一定填3，
1203
，所以，个位有4种填法，十 位考虑首位不为0，
所以，有3种填法，竖式共有：
3412
种填法．

2.
答案：15种
简答： 解法同例2

3.
答案：8
奇
简答：填法如图：
奇



偶



奇

偶


或者
偶



偶



奇


，共计8种．


4.
答案：14种
简答：从1~7中选择6个不同的数． 有
C
6
7
种选法．例如：所选数字为1，2，3，4，5，6，如下图所

示，首先可以确定1和6的位置，然后可以确定2和5的位置，3和4可以互换，有2种填法 ，故共
1
有
C
6
7
2C
7
214
种填法．





作业

1

2

4



3

5



6

1

2

3



4

5



6
7
．简答：把个位上的
A
和< br>B
调换一下，那么有
AACB123
，可以是
3390123
，
4479123
，
1.

答案：
5568 123
，
6657123
，
7746123
，
8 835123
，
9924123
．一共有
7
种不同的填法．


2.

答案：
16
．简答：个位数字之和是< br>15
，十位数字之和也是
15
，百位填
6
．
15可以拆成
69
和
78
．所
以一共有
16
种 填法．


54
3.

答案：
2880
． 简答：
1~9
中有
5
奇
4
偶，奇数要填在四角和中心，其余 地方填偶数．有
A
5
A
4
2880
种．


4.

答案：
12
．简答：先选
5
个数 字出来，有
6
种选法．选好之后有
2
种填法，一共有
12
种 填法．


6
5.

答案：
1260
． 简答：首先选
6
个数字出来，有
C
10
210
种选法．设 选出的
6
个数字由小到大依次是
A
、
2
B
、
C
、
D
、
E
、
F
，那么
A
填最 下面，
F
在最上面．有
C
4
6
种填法．一共有
6 2101260
种填法．