高尔基的童年-辞职用什么理由

复杂数字迷
知识框架
一、基本概念
数字谜
数字谜定义:一般是指那些含有未知数字或未知运算符号的算式．
填算符：指在一些数之间的 适当地方填上适当的运算符号（包括括号），从而使这些数和运算符号构成的
算式成为一个等式。
算符：指 +、-、×、÷、（）、[]、｛｝。
数阵图
定义：把一些数字按照一定的要求，排成各种各样的图形，这类问题叫数阵图.
数阵图：是一 种由幻方演变而来的数字图.数阵图的种类繁多，这里只向大家介绍三种数阵图，即封闭型数
阵图、辐射 型数阵图和复合型数阵图.
幻方
幻方是指横行、竖列、对角线上数的和都相等的数的方阵， 具有这一性质的
33
的数阵称作三阶
幻方，
44
的数阵称作四阶 幻方，
55
的称作五阶幻方……如图为三阶幻方、四阶幻方的标准式样，
8
3
4
1
5
9
6
7
2
1
128
15
6
10
3
14
7
11
2
4
9
5
16


13
。
二、数字谜分类
1、 竖式谜
2、 横式谜
3、 填空谜
4、 幻方
5、 数阵图
6、 数独

三、解题技巧与方法
竖式数字谜
1、 技巧
（1） 从首位或者末尾找突破口（突破口：指在做数字谜 问题开始时的入口，一般在算式的首位或者末尾，
可以确定其数字或者范围然后通过推理很快可以确定其 值为后面的推理做好铺垫）；
（2） 要根据算式性质逐步缩小范围，并进行适当的估算逐步排除不符合的数字；
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（3） 题目中涉及多个字母或汉字时，要注意用不同符号表示不同数字这一条件来排除若干可能性；
（4） 注意结合进位及退位来考虑；
（5） 数字谜中的文字，字母或其它符号，只取
0~9
中的某个数字。
（6） 数字谜解出之后，最好验算一遍．
2、 数字迷加减法
（1） 个位数字分析法；
（2） 加减法中的进位与退位；
（3） 乘除法中的进位与退位；
（4） 奇偶性分析法。
横式数字谜
解决巧填算符的基本方法
（1） 凑数法：根据所给 的数，凑出一个与结果比较接近的数，再对算式中剩下的数字作适当的增加或减
少，从而使等式成立。
（2） 逆推法：常是从算式的最后一个数字开始，逐步向前推想，从而得到等式。

最值问题
（1） 横式转化为竖式数字谜，乘法转化为除法；
（2） 找突破口：末位和首位、进位和借位、个位数字、位数的差别等．
（3） 采用特殊分析方法：个位数 字分析法、高位数字分析法、数字大小估算分析法、进位错位分析法、
分解质因数法、奇偶分析法等．
（4） 除了数字谜问题常用的分析方法外，还会经常采用比较法，通过比较算式计算过程的各步骤，得 到
所求的最值的可能值，再验证能否取到这个最值．
（5） 数字谜问题往往综合了数字的整 除特征、质数与合数、分解质因数、个位数字、余数、分数与小数
互化、方程、估算、找规律等题型。
数阵图
解决数阵类问题可以采取从局部到整体再到局部的方法入手：
第一步：区分数阵图中的普通点(或方格)和关键点(或方格)；
第二步：在数阵图的少数关 键点(一般是交叉点)上设置未知数，计算这些关键点与相关点的数量关系，
得到关键点上所填数的范围 ；
第三步：运用已经得到的信息进行尝试．这个步骤并不是对所有数阵题都适用，很多数阵题更需要对
数学方法的综合运用．
数独
数独游戏中最常规的办法就是利用每一个空格所在的三 个单元中已经出现的数字（大小数独一个
空格只位于两个单元之内，但是同时多了一个大小关系作为限制 条件）来缩小可选数字的范围。
总结4个小技巧：
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1、 巧选突破口：数独中未知的空格数目很多，如何寻找突破口呢？首先我们要通过规 则的限制来
分析每一个空格的可选数字的个数，然后选择可选数字最少的方格开始，一般来说，我们会选
择所在行、所在列和所在九宫格中已知数字比较多的方格开始，尽可能确定方格中的数字；而
大 小数独中已知的数字往往非常少，这个时候大小关系更加重要，我们除了利用已知数字之外
更加需要考虑 大小关系的限制。
2、 相对不确定法：有的时候我们不能确定2个方格中的数字，却可以确定同一单 元其他方格中肯
定不会出现什么数字，这个就是我们说的相对不确定法。举例说明，A1可以填入1或者 2，A2
也可以填入1或者2，那么我们可以确定，1和2必定出现在A1和A2两者之中，A行其他位 置
不可能出现1或者2.
3、 相对排除法：某一单元中出现好几个空格无法确定，但是我们 可以通过比较这几个空格的可选
数字进行对比分析来确定它们中的某一个或者几个空格。举例说明，A行 中已经确定5个数字，
还有4个数字（我们假设是1、2、3、4）没有填入，通过这4个空格所在的其 他单元我们知道
A1可以填入1、2、3、4，A2可以填入1、3，A3可以填入1、2、3，A4可 以填入1、3，这个
时候我们可以分析，数字4只能填入A1中，所以A1可以确定填入4，我们就可以 不用考虑A1，
这样就可以发现2只能填入A3中，所以A3也能确定，A2和A4可以通过其他办法进 行确定。
4、 假设法：如果找不到能够确定的空格，我们不妨进行假设，当然，假设也是原则的，我 们不能
进行无意义的假设，假设的原则是：如果通过假设一个空格的数字，可以确定和这个空格处在同一个单元内的其它某一个或者某几个空格的数字，那么我们就以选择这样的空格来假设为佳。
举例 说明，B3可以填入1或者2，A3可以填入2或者3，B4可以填入1或者2，这个时候我们
就应该假 设B3填入2，这样就可以确定A3填入3，B4填入1，然后以这个为基础进行推理。

幻方
⑴适用于所有奇数阶幻方的填法有罗伯法．口诀是：一居上行正中央，后数依次右上连． 上出框时往
下填，右出框时往左填．排重便在下格填，右上排重一个样．
⑵适用于三阶幻方的三大法则有：
①求幻和： 所有数的和÷行数（或列数）
②求中心数：我们把幻方中对角线交点的数叫“中心数”，中心数＝幻和÷3．
③角上的数=与它不同行、不同列、不同对角线的两数和÷2．
四、奇数和偶数的简单性质
1、 整数可以分为奇数和偶数两类
（1） 我们把1，3，5，7，9和个位数字是1，3，5，7，9的数叫奇数.
（2） 把0，2，4，6，8和个位数是0，2，4，6，8的数叫偶数.
2、 性质：
（1） 奇数≠偶数.
（2） 整数的加法有以下性质：
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奇数+奇数=偶数；
奇数+偶数=奇数；
偶数+偶数=偶数.
（3） 整数的减法有以下性质：
奇数-奇数=偶数；
奇数-偶数=奇数；
偶数-奇数=奇数；
偶数-偶数=偶数.
（4） 整数的乘法有以下性质：
奇数×奇数=奇数；
奇数×偶数=偶数；
偶数×偶数=偶数.

五、幻方起源：
幻方也叫纵横图，也就是把数字纵 横排列成正方形，因此纵横图又叫幻方．幻方起源于我国，古
人还为它编撰了一些神话．传说在大禹治水 的年代，陕西的洛水经常大肆泛滥，无论怎样祭祀河神都
无济于事，每年人们摆好祭品之后，河中都会爬 出一只大乌龟，乌龟壳有九大块，横着数是3行，竖
着数是3列，每块乌龟壳上都有几个点点，正好凑成 1至9的数字，可是谁也弄不清这些小点点是什
么意思．一次，大乌龟又从河里爬上来，一个看热闹的小 孩惊叫起来：“瞧多有趣啊，这些点点不论
横着加、竖着加还是斜着加，结果都等于十五！”于是人们赶 紧把十五份祭品献给河神，说来也怪，
河水果然从此不再泛滥了．这个神奇的图案叫做“幻方”，由于它 有3行3列，所以叫做“三阶幻方”，
这个相等的和叫做“幻和”．“洛书”就是幻和为15的三阶幻方 ．如下图：
4
3
9
5
1
2
7
6

8

我国北周时期的数学家甄鸾在《算数记遗》里有一段注解：“九宫者，二四为肩， 六八为足，左
三右七，戴九履一，五居中央．”这段文字说明了九个数字的排列情况，可见幻方在我国历 史悠久．三
阶幻方又叫做九宫图，九宫图的幻方民间歌谣是这样的：“四海三山八仙洞，九龙五子一枝连 ；二七
六郎赏月半，周围十五月团圆．”幻方的种类还很多，这节课我们将学习认识了解它们．

六、数独简介：
数独前身为“九宫格”，最早起源于中国。数千年前，我们的祖先 就发明了洛书，其特点较之现在
的数独更为复杂，要求纵向、横向、斜向上的三个数字之和等于15，而 非简单的九个数字不能重复。
中国古籍《易经》中的“九宫图”也源于此，故称“洛书九宫图”。而“九 宫”之名也因《易经》在中华文
化发展史上的重要地位而保存、沿用至今。
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1783年，瑞士数学家莱昂哈德·欧拉发明了一种当时称作“拉丁方块”（Latin Square）的游戏，这个
游戏是一个n×n的数字方阵，每一行和每一列都是由不重复的n个数字或 者字母组成的。 19世纪
70年代，美国的一家数学逻辑游戏杂志《戴尔铅笔字谜和词语游戏》（Dell Puzzle Mαgαzines）开始刊
登现在称为“数独”的这种游戏，当时人们称之为“数字拼 图”（Number Place），在这个时候，9×9的81
格数字游戏才开始成型。填充完整后1 984年4月，在日本游戏杂志《字谜通讯Nikoil》（《パズル通信
ニコリ》）上出现了“数独” 游戏，提出了“独立的数字”的概念，意思就是“这个数字只能出现一次”或者
“这个数字必须是唯一的 ”，并将这个游戏命名为“数独”（sudoku）。
一位前任香港高等法院的新西兰籍法官高乐德（Wayne Gould）在1997年3月到日本东京 旅游时，
无意中发现了。他首先在英国的《泰晤士报》上发表，不久其他报纸也发表，很快便风靡全英国 ，之
后他用了6年时间编写了电脑程式，并将它放在网站上，使这个游戏很快在全世界流行。从此，这个
游戏开始风靡全球。后来更因数独的流行衍生了许多类似的数学智力拼图游戏，例如：数和、杀手数独。
中国大陆是在2007年2月28日正式引入数独. 2007年2月28日，北京晚 报智力休闲数独俱乐部
(数独联盟sudokufederation前身)在新闻大厦举行加入世界谜 题联合会的颁证仪式，会上谜题联合会秘
书长皮特-里米斯特和俱乐部会长在证书上签字，这标志着北京 晚报智力休闲俱乐部成为世界谜题联合
会的39个成员之一，这也标志着俱乐部走向国际舞台，它将给数 独爱好者带来更多与世界数独爱好
者们交流的机会。

例题精讲
【例 1】 下面是一个
n
进制中的加法算式，其中不同的字母表示不同的数，求
n
和
ABCDE
的值．
ABC
CBE
CEAB
D
B

E
【考点】加减法的进位与借位 【难度】5星 【题型】填空
【解析】 由于算式中出现5个不同的数字，所以
n
至少为5．在
n
进制中，就像在10进制中一样，两个四
位数相加得到一个五位数，那么这个五位数的首位只能为1(因 为这两个四位数都小于10000，它
们的和小于20000，故首位为1)，即
C1
．由于
A
最大为
n－1
，则
AC1n111n1
，
ACn11n
，即两个四位数的首位向上位进
1
后最多 还剩下
1
，即
E
最大为
1
，又因为不同
的字母表示 不同的数，
E
不能
C
与相同，所以
E
只能为
0．则
DBn
，末位向上进1位；
CE12
，即
B2
；
BB4
，不向上进位，所以
A4
；
ACEn
，得
n5
，则
DnB3
．所以
n
为5，< br>ABCDE
为42130．
【答案】
n
为5，
ABCDE
为42130

【巩固】 如图，在加法算式中，八个字母“
QHFZLBDX
”分别代表0到9中的 某个数字，不同的字母代
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表不同的数字，使得算 式成立，那么四位数“
QHFZ
”的最大值是多少？
2
Q
Q1Q
0
H
H
H
0
F
L
D
9< br>Z

B
X
【考点】加减法的进位与借位 【难度】5星 【题型】填空
【解析】 原式为
2009QHFZQHLB1QHDX
， 即
QHFZ1QHDXQHLB20097991DXLB
．为
了使QHFZ
最大，则前两位
QH
先尽量大，由于
DXLB
小于1 00，所以
QH
最大可能为80．若
QH80
，则继续化简为
FZ DXLB9
．现在要使
FZ
尽量大．由于8和0已经出现，所以
此时< br>DXLB9
最大为
9712976
，此时出现重复数字，可见
FZ
小于76．而
9612975
符合题意，所以此时
FZ
最大为75，
QHFZ
的最大值为8075．
【答案】8075

【例 2】 把
0
，
1
，
2
，…，
8，
9
这十个数字填到下列加法算式中四个加数的方格内，要求每个数字各
用一次， 那么加数中的三位数的最小值是多少？


2007

【考点】加减法的进位与借位 【难度】5星 【题型】填空
【解析】 从式中可以看出，千位上的方框中的数为
1
，那么百位 上两方框中的数再加上低位进位的和为
10
．由于三位数的百位上不能为
1
和
0
，所以要使三位数最小，它的百位应该为
2
，十位应该为
0
．那么十位向百位的进位为
1
，所以四位数的百位为
7
，且十位上三个方框 中的数之和再加上
个位的进位的和为
10
．又剩下的数字
3
，
4
，
5
，
6
，
8
，
9
中除345618
只向十位进
1
外，
其余任选四数字的和都大于20
，由于
3456
的尾数不为
7
，所以个位上四个数字 不能是
3
，
所以个位向十位进位为
2
，也就是十位上的三个方框中的 数的和为
8
(其中有一个为
0
)，
4
，
5
，
6
，
而剩下的
3
，
4
，
5
，< br>6
，
8
，
9
中只有
358
，所以个位上 的四个方框中的数为
4
，
6
，
8
，
9
，< br>那么加数中的三位数最小为
204
．
【答案】
204
。

【巩固】 如图，相同的汉字代表相同的数字，不同的汉字代表不同的数字．“美妙数学花园 ”代表的
6
位
数最小为 ．
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0
美
数
花
好好好
207
妙
学

园
好
【考点】加减法的进位与借位 【难度】5星 【题型】填空
【解析】 “好”为
2
，要使算式满足则必有(美

数

花
）≥20
。要使“美妙数学花园”代表的
6
位数最小 ，则
美

数

花
389
，妙
学

园
15456
．即“美妙数学花园”代表的
6位数最小为
348596

【答案】
348596


【例 3】 将数字1至9分别填入右边竖式的方格内使算式成立(每个数字恰好使用一次)，那么加数 中的四
位数最小是多少？
1

2008

【考点】加减法的进位与借位 【难度】6星 【题型】填空
【解析】 9个方 框中的数之和为45．三个加数的个位数字之和可能是8，18；十位数字之和可能是9，10，
19， 20；百位数字之和可能是8，9，10，其中只有
1819845
．所以三个加数的个 位数字之
和为18，十位数字之和为19，百位数字之和为8．要使加数中的四位数最小，尝试在它的百 位填
1，十位填2，此时另两个加数的百位只能填3，4；则四位数的加数个位可填5，另两个加数的十
位可填8，9，个位可填6，7，符合条件，所以加数中的四位数最小是1125．
【答案】最小是1125

【巩固】 在右边的加法算式中，若每个字母均表示0到 9中的一个数字，任意两个字母表示的数字都不
相同，也不与算式中已有的数字相同，则
A与
B
乘积的最大值是多少？
E
CF

9DG
10AB
【考点】加减法的进位与借位 【难度】6星 【题型】填空
【解析】 本题把数字谜与奇偶性、最值问题巧妙地结合在一起，可以从奇偶性方面 来分析.考虑加法算式的
个位，若个位不进位，则四个数字
EFGB
之和为2B
，是偶数；若个位进位，则四个数字
EFGB
之和为
102 B
或
202B
，还是偶数．所以
EFGB
为偶数，又
ABCDEFG23835
，所以
ACD
为奇数．如果 加法算式中个位不进
位，那么
CD10A
，这样
ACD102 A
为偶数，与上面的分析矛盾，所以加法算式中
个位向十位进奇数位，只能是1位，故
EFG10B
，
CD110A
，得
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EFGCD19AB
，而
ABCDE FG23835
，所以
AB8
，
A
、
B< br>可能为2、6或3、5，乘积为12或15，故
A
与
B
乘积的最大值是 15．
另解：因为
ECF9DG10AB
，等号两边除以9的余数相等，所以 等号两边的各个数字的和
除以9的余数相等，而所有数字的和是9的倍数，所以两边都是9的倍数，即< br>10AB
是9的倍数，
由于
AB7815
，所以
A B8
，再根据“和一定，差小积大”，所以
A
、
B
的取值为3、5
时，
A
与
B
乘积的最大值是15．
【答案】15

【例 4】 将数字1~9分别填在下图空白的正六边形格子中，使得箭头所指直线方向上空 格中所填的数字
和等于该箭头所在格中的给定数（每个方向上所填的数互不相同，且到写有另一个给定数 字的格
ABCD20,
为止）。例如：
EFGHCI22,当填写完后，字母C处所写的数字是_____________。
JKMN19。23
20
19
10
27
22
20
24
28A
EFGH
C
B
10
J
KMN
26
2 0
D
I
9
6

A. 4 B. 5 C. 7 D. 9
【考点】复合型数阵图 【难度】6星 【题型】填空
l
3
l4
C
，提示：在下图中，直线
l
1
上的
6
个数 之和是，只有
12345722
，直线
l
2
上的
5
【解析】
个数之和是
35
，只有
5678935< br>，所以
G
等于
5
或
7
；

直线< br>l
3
上的
4
个数之和是
12
，只有：
12 3612
或
124512
，再考虑到
G
等于
5
或
7
，
得到
G5,M1
或
2
或4
。直线
l
4
上的
3
个数之和是
20
，并且
M1
或
2
或
4
，只有
47920< br>，
所以
M4
，再考虑到
l
1
上的数不大于
7
，所以
C7
。下图是一种填法（填法不唯一）。
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35
23
20
1226
19
1027
22
20
1
9
2
1
5
9
8
5
7
6
5
2
4
3
9
4
9
7
10
1
1
4
3
20
6
21
9
8
7

3
1
2
2428
【答案】C=7。

【巩固】 用数字
1
至
9
填满空格，一个格子只能填入一个数字，每个数字在每一行，每 一列（相连或不
相连）及每个粗线围成的区域中至多出现一次。

【考点】数阵图与数论 【难度】5星 【题型】填空
【解析】 如图
1< br>，因为
a
、
b
、
c
、
d
所在列已经 出现
8
，所以
a
、
b
、
c
、
d< br>不等于
8
，
在这四个数所在的粗黑线围成的区域中可知
e8
，那么
g
、
f
不等于
8
，而在
h
、i
所
在的列中出现了数字
8
，所以
h
、
i不等于
8
，那么
j8
，之后用同样的方法可以得出结果如
图< br>2
。
h
4
g
f
9
d
e
1
7
c
9
5
ji
b
3
a
8
6
3
6
2
8
1
7
9
1
8
9
3
5
4
9
6
2
4
3
5
8
1
7
6
2
4
1
6
5
3
8
2
9
5
8
7
1
2
3
76
4
4
5
8
2
16
3
7
9
28
7
3
图1
7
6
1
5
4
图2

【答案】


【例 5】 如图，
A
，
B
，
C
，
D
，
E
，
F
，
G
，
H
，
I
代表九个各不相同的正整数，且每个圆中所填数
的和都等于
2008
。这九个数总和最小为 。
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【考点】复合型数阵图 【难度】5星 【题型】填空
【解析】 假设
9
个数总和是
M
，则
MABCD EFGHI
,上面三个环的总和为：
32008MCG
，所以当CG12
时，总和最小为
2008336027
。

【答案】
6027


【巩固】 如图，
A
，B
，
C
，
D
，
E
，
F
，G
，
H
，
I
代表九个各不相同的正整数，
A
，
B
，
C
，
D
，
E
，
F
，
G
，
H
，
I
的总和是
2008
，并且每个 圆中所填的数和都等于
M
。
(1)
M
最大为多少？
(2)< br>M
最小为多少？

【考点】复合型数阵图 【难度】6星 【题型】填空
【解析】 上面三个环里数的和为
3M
，
3MCG20 08
，
3M2008CG
，所以
M
最大可以取
668
，
此时
C
，
G
分别为
1
，
3。五环的和是
5M2008BDFH
，要使
M
最小，只要取< br>BDFH
最小为
12
，此时
M404
。
【答案】最大
668
，最小
12


【例 6】
请在8×8表格的每个格子中填人1或2或3，使得每行、每列所填数的和各不相同。


【考点】数阵图与数论 【难度】4星 【题型】填空
【解析】
1
1
1
1
1
1
1
2
1
1
1
1
1
1
2
3
1
1
1
1
1
2
3
3
答案不唯一
1
1
1
1
2
3
3
3
1
1
1
1
3
3
3
3
1
1
1
3
3
3
3
3
1
1
3
3
3
3
3
3
1
3
3
3
3
3
3
3

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1
1
1
1
1
1
1
2
1
1
1
1
1
1
2
3
1
1
1
1
1
2
3
3
1
1
1
1
2
3
3
3
1
1
1
1
3
3
3
3
1
1
1
3
3
3
3
3
1
1
3
3
3
3
3
3
1
3
3
3
3
3
3
3
【答案】

。
【巩固】 在8×8表格的每格中各填入一个数，使得任何一个5×5正方形中25个数的平均数都大于 3，
而整个8×8表格中64个数的平均数都小于2．

【考点】 【难度】星 【题型】填空
【解析】 如图所示，根据题意，在任何一个任何一个5×5正方形中的总和应该大于7 5，而整个的数之和要
小于128，其中粗线格部分的在所有的5×5的正方形里都存在，我们要让它尽 可能的大，同时让
外边的尽可能的小，则外面的60个方格最小和为60，中间四个方格，应该小于68 。在每一个5×5
的正方形内除去这4个，所有之和为21，则中间四个数之和应该大于54，即只要中 间四个数的
和在54到68之间即可。如14+14+14+14.其他方格里均填写1.

【答案】答案不唯一可以在粗线格里添
14
，其余方格添
1



【例 7】 将最小的
10
个合数填到图中所示表格的
10
个空格中，要求满足以下条件：
（1）填入的数能被它所在列的第一个数整除
（2）最后一行中每个数都比它上面那一格中的 数大。那么，最后一行中
5
个数的和最小是

Page 11 of 24

【考点】数阵图与数论 【难度】4星 【题型】填空
【解析】 最小的
10
个合数分别是
4
，
6
，8
，
9
，
10
，
12
，
14
，
15
，
16
，
18
．这
10
个合数当中
10
和
15
一
定是在
5
的下面，其中15在最后一 行；
4
、
8
、
14
、
16
一定是在
2
和
4
下面，其中14一定在2
的下面；剩下的
6
、9
、
12
、
18
在
3
或
6
下 面，其中
9
一定在
3
的下面，对
2
和
4
所 在的列和
3
和
6
所在的列分别讨论．
4
、
8
、
14
、
16
，这四个数中最大的数
16
一定在最后一行 ，最小的数
4
一
定在第二行，所以
2
和
4
所在的列 中最后一行的数的和最小是
16824
，当
14
、
16
在
2
下面，
4
和
8
在
4
下面时成立；6
、
9
、
12
、
18
，这四个数中最大的数< br>18
一定在最后一行，最小的数
6
一
定在第二行，所以
3和
6
所在的列中最后一行的数的和最小是
18927
，当
1 2
和
18
在
6
下面，
6
和
9
在< br>3
下面时成立．所以最后一行的
5
个数的和最小是
241527 66
。
【答案】
24152766


【巩固】 老师给前来参加“迎春晚会”的31位同学发放编号：1，2，……，31．如果有两位同学的编号
的乘 积是他们编号和的倍数，则称这两位同学是“好朋友”．从这31位同学中至少需要选出
人，才能保证在选出的人中一定可以找到两位同学是“好朋友”．
【考点】数阵图与数论 【难度】6星 【题型】填空
k
2
【解析】 如果
a，b
< br>ab

两个编号的同学是“好朋友”，那么
abkakb
，则< br>ak
．
bk
b

有

3，6

；
k 2
时满足条件的

a，
b

有

4，1 2

；
k3
时满足条件的

a，
20

、

6，b

有

5，
12

；
k4
时满足条件的

a，
30

；
b

有

6，
k5
时满足条件的
a，
24

、

5，20

、
5，20

；
b

有

8，
k6
时满足条件的

a，
24

；
b
有

12，
k8
时满足条件的

a，
30< br>
；
b

有

15，
k10
时 满足条件的

a，
b

有

20，30

、

21，28

；
k12
时满足条件的
a，
则全部同学相互之间的关系网如图(其余
311516
名学生 未列)：
9
8
18
24
21
12
6
5< br>20
30
28
4
3
15
10

关系 网图可分为不关联的
3
部分，其中包含
11
个人的部分最多可以选出
6
名互不是“好朋友”的同
学，包含
2
个人的两个部分各可选出
1< br>人，以保证互不是“好朋友”，加上未列出的16人，所以
31
人中最多可以选出
1661124
人互不是“好朋友”，此时只要再选出一人，即可保证选出的人
Page 12 of 24

当中有两位同学是“好朋友”，所以至少应该选出
25
人．
小结：本题容易忽略掉21和28这一对“好朋友”．
【答案】
25
人

【例 8】 如图，5×5方格被分成了五块；请你在每格中填入1、2、3、4、5中的一 个，使得每行、每列、
每条对角线的五个数各不相同，。现有两个格子已分别填入1和2，请在其它格子 中填上适当的数。
那么，
ABCDE
是 。
12
ABCDE

【考点】数独 【难度】5星 【题型】填空
【解析】 这道题是数独游戏的变体。
１、因为每行、每列、每条对角线的五个数各不相同，且每块上所填数的和都相等;
所以，⑴如图两a位置的数一定相等。
⑵右下角的数如果有数相同，只能是两b位置的数相同。
⑶左上角一组第二行的数为2。
２、求公和=(1+2+3+4+5)×5÷5=15，所以，右下角的四个数的情况可能为：
（1） 必有5,否则为15＝4＋4＋4＋3,不成立。
（2） 则可能：15＝5＋5＋4＋1
15＝5＋5＋3＋2，不成立
15＝5＋4＋4＋2，不成立
15＝5＋4＋3＋3，不成立，
因为对角线上a必为3,则最底行有两个3.所以，只有：

所以 ，a＝3,(3,4-斜去，5－底去)，C＝5（斜只剩），c＝4（4,5－竖去），b＝5（横只剩），d ＝1（1,4
－横去），B＝4（竖只剩），e＝4（3－横竖去，4），f＝3（斜只剩），D＝2（ 竖只剩2），E＝3(3,1-
竖去)，A＝1（横只剩），
ABCDE
＝14523 。
【答案】
ABCDE
＝14523

【巩固】 请将1个1， 2个2，3个3，…，8个8，9个9填入右图的表格中，使得相同的数所在的方格
都连在一起（相连的 两个方格必须有公共边）．现在已经给出了其中8个方格中的数，并且知
道A,B,C,D,E,F,G 各不相同；那么，五位数
CDEFG
是 ．
Page 13 of 24

【考点】数独 【难度】5星 【题型】填空
【解析】 首先可以判断
A
、
B
、
C
、
D
、
E
、
F
、
G
当中不可能出现
1
和
5
，
C3
，
D2
，通过尝试可
得到
F8
，
G9
，
E4
，所以
CDEFG32489< br>．
【答案】
32489


【例 9】 请将1个1，2个 2，3个3，…，8个8，9个9填入右图的表格中，使得相同的数所在的方格
都连在一起（相连的两个 方格必须有公共边）；现在已经给出了其中8个方格中的数，并且知道
A,B,C,D,E,F,G各不 相同；那么，七位数
ABCDEFG
是 ．

【考点】数独 【难度】5星 【题型】填空
【解析】 首先可以判断
A< br>、
B
、
C
、
D
、
E
、
F< br>、
G
当中不可能出现
1
和
5
，
C3
，
D2
，通过尝试可
得到
F8
，
G9
，< br>E4
，
A
、
B
分别为6和7，所以
ABCDEFG 6732489
．
【答案】
6732489


【巩固】 将数字1～6中填入右面的6×6方格，使每个数字在每一行、每一列和每一个标有粗线的< br>23
的“宫”中只能出现一次. 如果虚线框出的区域左上角标注的数值为该区域内所有数字之 和，并
且该区域内所有数字互不相同，那么，六位数
ABCDEF
是________ _____.

【考点】数独 【难度】6星 【题型】填空
【解析】 每行每列中
1
～
6
各出现
1
次，故每行每列
6个数的和都是
12345621
，则可以确定第
6
行第1
列的数为
11(2113)3
，第
1
行第
4< br>列的数为
211191
，第
1
行第
5
列的数为
615
，
而第
3
列第
1
、
2
行的数只能为
5611
，故第
1
行第
3
列为
6
，第
2
行第
3
列为
5
.
由于第
6
列第
1
、
2
行两个数和为
7
，而
71 62534
，而这两个数不可能为
1
，
5
，
6< br>，
Page 14 of 24

故只可能为
3
和< br>4
，而右上角的“宫”中
6
个数
1
～
6
各出 现
1
次，那么第
2
行第
4
、
5
列的两个数
分别为
2
，
6
.
由于第
1
列的
6
只能出现在上面
3
个数中，现在第
1
、
2
行已经 有
6
，故第
1
列第
3
行的数为
6
，且第
1
列第
1
、
2
行的两个数之和为
6
，且都不能为
5
，只能为
246
，注意到第
2
行已有< br>2
，故
第
1
列第
1
行为
2
，第2
行为
4
，则第
6
列第
1
行为
4，第
2
行为
3
，第
2
行第
1
行为3
，第
2
列为
1
.
又第
5
列第2
、
3
行的数之和为
21957
，第
2
行的数为
6
或
2
，如果为
2
，则第
3
行的 数为
5
，
重复，故第
2
行的数为
6
第
3< br>行的数为
1
，则第
4
列第
2
行的数为
2.
此时第
6
列第
3
、
4
行的数之和为
14617
，可能为
16
和
25
，又第
3行已有
1
和
6
，故只
能为
25
，第
6
列第
5
、
6
行的数为
1
和
6
.
此时第
4
列第
3
、
4
行的两个数之和为
1 129
，可能为
36
或
45
，又第
2
列第
3
、
4
行的两
数之和为
13319
，只能为
45
，故此时第
3
、
4
行的两个
5
分别 在第
2
列和第
6
列，那么第
4
列只能是
36，故第
4
列第
3
行为
3
，第
4
行为< br>6
.
那么右列中间的“宫”中1，2，3，5，6都已出现，所以这个“宫”中的4只 能在第4行第5列，则
可以确定第5列第5行为3，第6行为2。
第1列第4、5行的数为1 和5，而第4行的5在第2列或第6列，故第1列第4行为1，第5行
为5。
下面根据每行、 每列、每“宫”中
1
～
6
各出现
1
次，较易确定最后的填法 .如图.
故
ABCDEF
是
642315
.
12
2
4
6
6
1
5
11
3
13
3< br>1
4
5
2
6
11
6
5
10
2
3
1
4
6
1
11
2
3
6
9
4
5
5
14
6
1
9
4
32
7
4
3
5
2
7
6
1

【答案】
642315


【例 10】 如图1的每个方格中分别 填入1、2、3、4、5、6、7中的一个数，使得每行、每列的七个数各
不相等；并且圆圈中的数等于 与它相邻的四个数的乘积．那么，★处所填的数是 ．
525
120
19 260
120
36
20
图1
84
105
16824

【考点】数独 【难度】6星 【题型】填空
Page 15 of 24

【解析】 这是一道拉丁方问题．每行、每列的7个各不相等的数的乘积均为7!5040
．任意两行、两列中
14个各不相等的数的乘积均为
7!7! 25401600
，除去已知的乘积，未知数的乘积便可知．将其
分解，进行分析，即可填出． 首先将列依次定
a
、
b
、
c
、
d
、
e
、
f
、
g
，行依次定为1、2、3、
4、5、6、7， 那么★处可表示为
7g
．观察
a
、
b
两列，由
25 401600525192367
，容易知
道
7a
、
7b< br>只能是1和7．再由
6b
、
6c
、
7b
、
7 c
相乘积为20，容易知道
7b
只能填1，
7a
只能
填7．
a
1
2
120
525
bcd
168
ef< br>24
g
3
4
5
6
7
19260
12 0
105
36
2084

由于
6b
、
6c
、
7b
、
7c
相乘积为20，
7b
填1，这样一来 ，
6b
、
6c
、
7c
可能填1、4、5或2、2、
5．若
6b
、
6c
、
7c
填1、4、5，只能是
6 b
填4，
6c
填1，
7c
填5（
1a
，
1 b
，
2a
，
2b
乘积为
525
，
．于是< br>5a
、
5b
、
6a
的乘积为9，在
1a
、< br>1b
、
2a
、
2b
中必有两个是5，一个是3，另一个是7）
5a
、
5b
、
6a
中，必有两个是3，这时与
1a
、
1b
、
2a
、
2b
中所填的3出现在同一列，矛 盾．确
定
1c
、
2c
中填的数．由
2540160052 51682412
，
122634
，
7c
已填2，所 以
1c
、
60与120均不是7的倍数，故
c
列中，7只能在
5c
处．60
3c
、
4c
只能填1和6．
2c
只 能填3和4．
与120均是5的倍数，故
c
列中，5已出现，显然
3d
填5，
4d
填2．再由
可确定
3e
填3．下面确定
4e< br>，
4e
所填的数是
105
与
1681208415< br>，
1535
，
的公约数，只能是1或5．若填1，则
5d
、
5e
的乘积为60，它显然不能表示成两个不大于7的
数的乘积，故
4e< br>填5．从第6、7行看，
6d
、
6e
、
7d
、
7e
不能出现2，这样一来，84只能表
示为
847341
，显然
6d
、．
7d
填3，
5d
、
5e
乘积是< br>1202512
，
6e
只能填7和1，
7e
填4，从
d
、
e
列看，
12
只能表示为
1226
，
5d
填6，
5e
填6．下面请同学们自己进行分析，容易
得到下面填法．★处所填的数是6．
a
15
2
3
32
4< br>5
4
1
36
192
525
b
7
5< br>4
6
3
2
1
20
c
3
4
6
1
7
5
2
120
60
d
4
15
2
6
7
3
84
168
e
6
7
3
105
120
f
2
6
1
7
4
3
5
24
g
1
2
7
3
5
4
6
5
2
1
4
6
6
7
7

【答案】
6


【巩固】 如图，请沿虚线将
77
的方格表分割成若干个长方形，使得每个长方形中恰好包含一个数字，
并且这个数字就是此长方形的面 积．那么第四列的7个小方格分别属于________个不同的长方
Page 16 of 24

形．
【考点】数独 【难度】6星 【题型】填空
【关键词】2010年，迎春杯，五年级，初赛，第9题
【解析】 如图所示：第4行第6列的数字4为此题的突破口。
2
2
4
8
3< br>2
4
24
4
4
3
5
2

【答案】
4
个

课堂检测
【随练1】 用l—9填满三 角形空格，一个格子只能填入一个数字，使每个数字在每一行，每一列(包括不
相连的行，列)及每个粗 黑线围成的区域中至多出现一次．

【考点】数阵图与数论 【难度】6星 【题型】填空
【解析】 解题顺序如第二附图，依照A、B、C、D……的顺序.


【随练2】 在圆的5条直径的两端分别写着1～10（如图）。现在请你调整一部分数的位 置，但保留1、
10、5、6不动，使任何两个相邻的数之和都等于直径另一端的相邻两数之和（画在另 一个圆
上）。
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【考点】数阵图与数论 【难度】5星 【题型】填空
【解析】 共6种

【答案】


【随练3】 下图是一个9×9的方格图，由粗线隔为9个横 竖各有3个格子的“小九宫”格，其中，有一些小
方格填有1至9的数字。小青在第4列的空格中各填入 了一个1至9中的自然数，使每行、每
列和每个“小九宫”格内的数字都不重复，然后小青将第4列的数 字从上向下写成一个9位数，
请写出这个9位数，并且简单说明理由.

【考点】数独

【难度】
5
星

【题型】填空

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【解析】 用（
a
，
b
）表示第
a
行第
b
列的方格， 第
4
列已有数字
1
、
2
、
3
、
4
、
5
，第
6
行已有数字
6
、
7
、
9
，所以方格（
6
，
4
）＝
8
；第
3
行和第
5
行都有数字
9
，所以（
7
，
4
）＝
9
；正中的
“
小九宫
”
中已
有数字
7
，所以只能是（
3
，
4
）＝
7
；此时， 第
4
列中只余（
5
，
4
），这一列只有数字
6未填，所
以（
5
，
4
）＝
6
。所以，第
4
列的数字从上向下写成的
9
位数是：
327468951.

【答案】
327468951
。


家庭作业
【作业1】 图中是一个边长为1的正六边形，它被分成六个小三角形．将4、6、8、10、12、1 4、16各一
个填入7个圆圈之中．相邻的两个小正三角形可以组成6个菱形，把每个菱形的四个顶点上 的
数相加，填在菱形的中心A、B、C、D、E、F位置上（例如：
abgfA
）．已知A、B、
C、D、E、F依次分别能被2、3、4、5、6、7整除，那么
ag d
___________．

【考点】数阵图与数论 【难度】5星 【题型】填空
【解析】 先考虑菱形顶点的和为3、6的倍数，7个数被3除的余数分别为1、0、2 、1、0、2、1，可以
得到中间数g8或14，同样分析5的倍数，7的倍数，得到具体的填法（如 图），agd4810320
评注：采用余数分析法，找到关键数的填法。
1< br>3
2
6
11
20
14
F
E
0
4
A
8
D
10
B
C
6
12

16

【答案】
320


【作业2】 将1、2 、3、4分别填入4×4的方格网（如下图所示）的16个小方格中，使得每一行每一列中
的4个数1、 2、3、4恰好各出现一次，并且满足与不等号相邻的两个数中小数是大数的约数，
那么，从左上到右下 的对角线上4个数的和是____________。（左下图是一个3×3的例子）
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132
1
3
32
21

A. 10 B. 11 C. 12 D. 16
【考点】数独 【难度】5星 【题型】选择
【解析】
C
提示：填法如右图。


【答案】
C


【作业3】 将1到5填入右图的空白方块中，每个方块只能填一个数字，任何一行，一列都 必须包含全部
但不重复的数字，并且，在有“>”或者“<”的对应两个空格必须满足对应的大小关系。
12
A
B
C
D
E
∧
3
3
4
5
>
>
∧
>
<
∨
∧
<
3

【考点】数独 【难度】5星 【题型】填空
【解析】 这道题是一 道数独游戏的变体，我们称之为“大小数独”。已知数字很少，我们就要善于利用大小
关系条件。
1、 首先看E行，因为E4<3，所以E4只能填入1或者2，又因为D4>D3>E3,再因为E5 为3，所以
E3只能填入1或者2，这样，1和2就必然出现在E3和E4中，所以E1和E2只能填4 和5，
再根据E1>E2，我们可以知道E1为5，E2为4；
2、 再看A行和第5列，因 为A3>A4>A5且A1为3，所以A5填1或者2，同理我们知道第5列中
B2也只能填1或者2， 于是我们可以确定1和2必然出现在A5和B5之中，那么4和5必然出
现在C5和D5中，再根据D5 >C5，我们推知C5填4，D5填5，又根据D4大于D3，我们知道
D4只能填4或者5，而5已经 出现在D5中，所以D4只能填4，进而确定D3只能填3，A4只
能填2，A5填1，B5填2，A2 填5（E5已经填入4，A2不能再填4），A3填4，E4填1，E3
填2，C3填1，B4填3，B 2填1，C4填5，再由于E1为5，所以B1为4，B3为5，进而C1
填2，D1填1，D2填2， C2填3.
分析完毕，答案如图.
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12
A3
5
B
4
1
C
2
3
D 1
2
E5
>
4
12
A3
B
5
4< br>1
C
2
3
D1
2
E5
>
4
3
4
5
4
>
2
>
1
5
3
2
∧
1
5
4
∧
∧
3
<
4
5
∨
2
1
<
3
3
4
5
4
>
2
>
1
5
3
2
∧
1
5
4
∧
∧
3
<
4
5
∨
2
1
<
3

【答案】

。
【作业4】 请你在下面
5 5
表格的每格中填入1，2，3，4，5中的一个，使得每行、每列、每条对角线所
填的5个 数各不相同，且
A
格中的数比
B
格中的数大，
B
格中的数比
C
格中的数大，
C
格中的
数比
D
格中的数大，E
格中的数比
F
格中的数大，
G
格中的数比
H
格中的数大。那么，第二
行的5个数从左到右依次是 。
A
B
C
D
GFE
H

【考点】数独 【难度】5星 【题型】填空
【解析】 本题基于日本比较流行的谜题“大小数独”，所不同的是 ，除了限制行列为拉丁方以外还限制了两
条大对角线也不能有重复数字。所以，和解通常的大小数独相比 ，会有一些新的套路。
解数独的时候，一般是先分析必然成立的，如果分析不出来了再去假设。为描述 方便，将所有没
有标出来的方格用小写字母标出。

根据已知的大小关系可知： < br>A只能填4或5，B只能填3或4，C只能填2或3，D只能填1或2。除此之外，E和G都不能
填1，F和H都不能填5。除此之外，观察到D不能和A，B，C，j里面的任何一个数相同，所
以D只 能和i相同。至此似乎无法继续分析，可以进行假设。但是，假设哪里比较好呢？注意到
本题和通常的大 小数独相比，多了对角线的要求，所以中间的方格F最特殊，可以以它为突破口。
注意，只有和中间格成 “马步”的格才可能和中间格填相同的数，这很关键。
(1) 假设F填1，则i和j都不能填1，这样第一行没有任何一格能填1，矛盾；
(2) 假设F填2，则 D填1，i填1。第一行的2只能填在C，从而第五行的2只能填在v。第三行
的1只能填在p，这样第 四、五两行的1只能填在H和w，此时副对角线出现了D和H两个1，
与题意不符，矛盾；
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(3) 假设F填3，则B填4，A填5，i和j填1和 2。第一行的3只能填在C，从而第五行的3只
能填在v。G不能再填3或5，所以只能填2或4。H比 G小，而且也不能填3，所以只能填1或
2。但此时，副对角线上的j，D，H三格都只能填1或2，矛 盾；
(4) 假设F填4，则B填3，C填2，D填1，i填1，E填5。第一行的4只能填在A，从 而第五
行的4只能填在x。第一行最后剩下j填5，第四列最后剩下s填3。之后就非常简单了，填完之
后的结果如下：

所求结果为45213。
【答案】45213

【作业5】 将1、2、3、4、5、6都分别填入6×6的方格网（如下图所示）的36个 小方格中，使得每一行
每一列中的6个数1、2、3、4、5、6各出现依次，并且满足与不等式相邻的 两个数中小数是
大数的约数，那么，第二行从左到右的第6个数是___________。（左下图是 一个3×3的例子。）
1
2
3
1
2
1
3
32

（A）5 （B）4 （C）3 （D）2
【考点】数独 【难度】5星 【题型】选择
【解析】
D
，提示：填法如下图。
6
4
1
5
2
3
4
6
3
1
5
2
1
3
6
2
4
5
5
1
2
6
3
4
2
5
4
3
6
1
3
2
5
4
1
6

【答案】
D
。

【作业6】 如图．4

4方格被分成了五块；请你在每格中填入l、2、3、4中的 一个，使得每行、每列的
四个数各不相同，且每块上所填数的和都相等。则A、B、C、D四处所填数字 之和是 。
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A
B
D
C

【考点】数独 【难度】3星 【题型】填空
【解析】 首先16个方格的和为4×（1+2+3+4）=40， 所以每一块的和位40÷5=8，4个数和为8只有1+2+3+2
和1+1+2+4两种，3个数和为 8有1+3+4、2+2+4、2+3+3两种.其中只有1+3+4，三个加数各不
相同，所以A所在 的三格只能填1、3、4，所以B只能是2，B所在块中另外两个数只能是3+3
（排除）或2+4.
2
24

再看C所在的块，这能填1+2+3+1或1+1+2+4，其中C右侧的数只能填重复的数
4
1
2
32
2
2
4
3
1
4
21
2
2
4

事实上以上两个中2可以确定位置.剩下的尝试即可得出.
4
1
2
3
1
3
4
2
3
2
1
4
2
4
3
1
4
3
2
1
3
1
4
2
1
2
3
4
2
4
1
3
3
1
4
2
4
3
2
1
1
2
3
4

2
4
1
3

所以和为10.
【答案】
10
。












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