化工专业-优秀员工评语

个性化教学辅导教案
学生姓名
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课 题

年 级
年 月 日
六年级
学 科
教师姓名
数学

第1讲 圆柱、圆锥综合复习
知识目标：使学 生认识圆柱和圆锥，掌握它们的特征；认识圆柱的底面、侧面和高；
认识圆锥的底面和高。
教学目标
能力目标：使学生理解求圆柱和圆锥的侧面积和表面积的计算方法，并会正确计算。
情感态度价值观：使学生理解求圆柱、圆锥体积的计算公式，会运用公式计算体积、
容积，解决 有关的简单实际问题。

教学过程
教师活动

1、填表。
名 称
圆 柱
圆 柱
圆 锥
底面半径
6cm

5 dm
底面直径

20 cm

高
5 cm
8 cm
12dm
表 面 积





6m 7 m



体 积


学生活动
圆 锥

2、计算图形一的表面积和图形二的体积。（单位：cm）。

直径4cm；高5cm 半径3cm；圆锥高3cm；圆柱高4cm

1、 圆柱、圆锥各有什么特征？
圆柱：
圆锥：
2、 怎样求圆柱的侧面积、表面积？


3、 怎样求圆柱、圆锥的体积？在求的过程中我们要注意什么？


4、把一个圆柱削成一个最大的圆锥，我们发现如下信息：


5、在一个 正方体中削一个最大的圆柱，你发现了什么？再把这个圆柱削成最大的圆锥，
你又发现了什么？




知识点一：圆柱和圆锥的认识、圆柱的表面积
1 、圆柱上、下两个面叫做圆柱的底面，它们是完全相同的两个圆。形成圆柱的面
还有一个曲面，叫做圆柱 的侧面。圆柱两个底面之间的距离叫做圆柱的高。
2、圆锥的底面是个圆，圆锥的侧面是一个曲面。从圆锥的顶点到底面圆心的距离
是圆锥的高。
3、把圆柱的侧面展开得到一个长方形，这个长方形的长等于圆柱底面的周长，宽
等于圆柱的高 。
4、圆柱的侧面积= 底面周长×高
5、圆柱的表面积= 侧面积+ 底面积×2

例1、（圆柱和圆锥的特征）圆柱和圆锥分别有什么特点？

圆柱

底面


侧面 曲面，沿高剪开，展开后是长方形


高

顶点到底面圆心的距离，只有一条
一个底面，是圆形
圆锥

例2、求下面立体图形的底面周长和底面积。

半径3厘米 直径10米



例3、判断：圆柱和圆锥都有无数条高。( )
例4、（圆柱的侧面积）一个圆柱，底面直径是5厘米，高是12厘米。求它的侧面积。




例5、（圆柱的表面积）做一个圆柱形油桶，底面直径是0.6米，高 是1米，至少需要
多少平方米铁皮？

例6、（考点透视 ）一个圆柱的侧面积展开是一个边长15.7厘米的正方形。这个圆柱的
表面积是多少平方厘米？



例7、（考点透视）把一个底面半径是2分米，长是9分米的圆柱形木 头锯成长短不同
的三小段圆柱形木头，表面积增加了多少平方分米？




知识点二：圆柱和圆锥的体积
例1、（计算圆柱的体积）一个圆柱，底面周长9.42分米，高20厘米。求它的体积？



例2、（计算圆柱的容积）一个圆柱形的粮囤，从里面量得底面周长是9.42米 ，高是2
米，每立方米稻谷约重545千克，这个粮囤约装稻谷多少千克？（得数保留整千克数）。




例3、（计算和圆柱的体积相关的实际问题）有一个高为6 .28分米的圆柱形机件，它的
侧面展开正好是一个正方形，求这个机件的体积？

例4、（综合题）一种抽水机出水管的直径是1分米，管口的水流速度是每秒 2米，1
分钟能抽水多少立方米？




例5、（综合 题）把一根长4米的圆柱形钢材截成两段，表面积比原来增加31.4平方厘
米。这根钢材的体积是多少 立方厘米？




例6、（计算圆锥的体积）一个圆锥的底面半径是6厘米，高是4厘米，求它的体积。




例7、（解决和圆锥体积计算相关的实际问题）一个圆锥形沙堆高1. 5米，底面周长是
18.84米，每立方米沙约重1.7吨，这堆沙约重多少吨？




1
。（ ）
3
1
（2）如果一个圆锥的体积是一个圆柱体积的，那么它们等底等高。（ ）
3
例8、判断：（1）圆锥的体积是圆柱体积的

1. 一个没盖的圆柱形铁皮小水桶，高是24厘米，底面直径是 20厘米。做这个水桶要
用铁皮多少平方厘米？





2. 有一张长方形铁皮，如图剪下阴影部分制成圆柱体（单位：分米），求这个圆柱体
的表面 积。（提示：圆桶盖的周长等于长方形铁皮的长。）



3. 一个圆柱形油桶，底面直径4分米，高5分米。这个油桶的体积是多少立方分米？






4. 如图所示，压路机前轱辘长15米，前轱辘的直径为1.2米，前轱辘转动一周的面积
是多少平方米？

5. 一个圆柱形水 池，在池壁和底面都要镶上瓷砖，水池底面直径6米，池深1.2米，
镶瓷砖的面积是多少？




1、在实际应用中计算圆柱形物体的表面积，要根据实际情况计算各部 分的面积．一般
采用进一法取值，以保证原材料够用．
2、求不规则的物体的体积的方法：可 以利用体积不变的特性，把不规则图形转化成规
则的图形再求容积。
3、圆柱、圆锥的体积
（1）圆柱的体积怎样计算？（圆柱体的体积＝底面积×高，用字母表示：V＝Sh）
（2） 怎样计算圆锥的体积？（圆锥体的体积等于和它等底等高的圆柱体体积的三分之
一，计算圆锥体积的字母 公式是V＝
1
Sh）
3
1
3


1、一个圆柱体侧面展开是一个正方形，边长是6.28厘米，这个圆柱体的体积是多少？

2、将一个棱长为8厘米的立方体木块切削成一个最大的圆柱体，圆柱体的体积是多少？






3、如图所示，乐事薯片的包装盒底面半径 是3厘米，桶长10厘米。每平方米的纸最
多能做几个薯片盒的侧面包装纸？


4、这个固体胶棒侧面标签需多大面积的纸？它的体积是多少？




（第一天）
1、一个长为6厘米，宽为4厘米的长方形，以长为轴旋转一周，将会得到一个底面直
径是（ ）厘米，高为（ ）厘米的（ ）体，它的体积是（ ）立
方厘米。
2、如右图所示，把一个高为10厘米的圆柱切成若干等分，拼成一个近似的长方体。
如果这个 长方体的底面积是50平方厘米，那么圆柱体积是( )立方厘米.

3、判断 ：一个无盖的圆柱铁皮水桶，底面直径是30厘米，高是50厘米。做这样一个
水桶，至少需用铁皮61 23平方厘米。( )

4、小明家今年产的稻谷堆在粮仓里，形 状如图所示，如果每立方米稻谷重1.2吨，那
么他家今年产的稻谷约有多少吨？

5、将直角三角形ABC以BC为轴旋转一周，得到的圆锥体积是多少？（单位：厘米）


（第二天）
1、 按要求填表。


圆柱体
图形序号
（1）
（2）
（3）
（4）
S




h




V




与圆柱体等底等高的圆锥体
图形序号
（5）
(6)
(7)
(8)
S




h




V

2、一个圆柱的底面半径为2厘米，侧面展开后正好是一个正方形，圆柱的体积是（ ）
立方厘米。
3、有一支牙膏的口子直径为5mm，小丽每次挤出1cm长，共挤了36次用 完，后来公
司把直径改为6mm，小丽还是每次挤出1cm长，问挤了多少次用完？（ ）
A． 32 B． 30 C． 28 D． 25
4、一个无盖的圆柱形铁皮水桶高是12分米，底面直径是高的
3
，做这个水桶大约需
4
要多少铁皮？1立方分米的水重1千克，这个水桶最多能装水多少千克？




5、一个锥形沙堆，底面积是28.26m
2
，高是 2.5m，用这堆沙在10m宽的公路上铺2cm
厚的路面，能铺多少米？



（第7天）
1、圆柱的底面半径扩大2倍，高不变。它的底面积扩大倍，侧面积扩大倍，体积扩大
倍。
A、2 B 、4 C、8 D、16
2、把一团圆柱体橡皮泥揉成一个与它等底的圆锥体，高将 _______
A.扩大3倍 B.缩小3倍 C.扩大6倍 D.缩小6倍
3、做一节底面直径是20cm，长60cm的圆柱形通风管，至少需要( )cm
2
铁皮。
A. 1200 B.2400 C.3768 D.37680
4、一个圆柱形的无盖水桶，底面半径4分米 ，高6分米，至少需要用多少平方分米的
铁皮？（用进一法取近似值，得数保留整数）；如果用来装水， 可以装多少千克水？（每
升水重1千克）

（第15天）
1、一个圆柱和一个圆锥等底等高，这个圆柱的体积是12.6立方米，则这个圆锥的体积
是（ ）
A．12.6立方米 B．4.2立方米 C．6.3立方米
2、圆柱的侧面沿直线剪开，在下列的图形中，不可能出现（ ）
A．长方形或正方形 B．三角形 C．平行四边形 3、一种饮料罐的形状为圆柱形底面直径6厘米，高为10厘米，按上图方式放入纸箱，
这个箱子的 体积至少是多少立方厘米？

4、用塑料绳捆扎一个圆柱形的蛋糕盒（如下图），打结处正好 是底面圆心，打结用去
绳长25厘米。
（1）扎这个盒子至少用去塑料绳多少厘米？
（2）在它的整个侧面贴上商标和说明，这部分的面积至少多少平方厘米？


（第28天）
1、一个圆柱和一个圆锥底面积和体积都相等，它们高的比是（ ）。
2、等底等高的圆柱和圆锥体积之和是48平方分米，圆锥体积比圆柱体积少_________ _
平方分米．
3、一个底面半径是20cm的圆柱形水缸里，有一个半径是5cm的圆锥形铸 件完全浸没
在于水中，取出铸件后，缸里的水下降了0.5cm，求铸件高是多少cm？

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课 题
教学目标

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数学
年 月 日
第2讲 比例
1、使学生理解比例的意义和基本性质，能正确判断两个比是否能组成比例。
2、认识比例各部分名称，知道比和比例的区别。
3、提高学生运用比例的基本性质解比例的能力。

教学过程
教师活动

1．一个圆锥有条高，一个圆柱有条高．
A、一 B、二 C、三 D、无数条
2．一个圆柱与一个圆锥底面直径相等，圆锥的高是圆柱的3倍 ，圆锥的体积是12立
方分米，则圆柱的体积是（ ）
A．12立方分米 B．36立方分米 C．4立方分米
3．下面物体中，体积最大的是（ ）
学生活动
A
．
B
．
C
．


4．把一个圆柱体削成一个最大的圆锥体，削去部分的体积是圆锥体积的（ ）
A．3倍 B．9倍 C．2倍
5.永宁县三小在操场上挖一个圆柱形蓄水池，底面直径是4米， 水池深是2米，在水池
的底面和四周涂上水泥．涂水泥的面积是多少平方米？水池能装多少水？

1.在括号里填上适当的数
15:（ ）= 5:4 （ ）:0.36=2:（ ）
2.根据4:a=5:b写出的比例，正确的是（ ）
A、4:5=b:a B、5:4=b:a C、4:b=a:5
3.如果am=bm，那么正确的比例式是（ ）
A、a:m=b:n B、a:b=m:n C、b:m=a:n D、
4.判断。
①表示两个比相等的式子叫做比例。（ ）
②0.6:1.6和3:4能组成比例。（ ）
③两个比的比值相等，这两个比可以组成比例。（ ）
5.一辆汽车第一次2小时行驶80千米，第二次5小时行驶200千米。列表如下：
时间（时）
路程（千米）
2
80
5
200
mn
:

ab
你能根据这个表，分别写出第一、二次所行驶的路程和 时间的比吗？两次的比能够成
比例吗？



知识点一：比例的意义
比例的意义：表示两个比相等的式子叫做比例。
组成比例的四个数，叫做比例的项。 两端的两项叫做外项，中间的两项叫做内项。
如：< br>2.4:1.660:40
；也可以写成
2.460
，表示两个比相等的式子 叫做比例。

1.640

知识点二：比例的性质
比例的性质：两个外项的积等于两个两个内向的积。

知识点三：解比例
根据比例的基本性质，如果已知比例中的任何三项，就可以求出这个数 比例中的
另外一个未知项。求比例中的未知项，叫做解比例。

知识点四：正比例与反比例
1、成正比例的量
①两种相关联的量；②一种量变化，另一种量也随着变化；③比值一定
关系式：
x
k
（一定）
y
2、成反比例的量
①两种相关联的量；②一种量变化，另一种量也随着变化；③积一定
关系式：
xyk
(一定)
3、判断两种量成正比例还是成反比例的方法。
关键是看这两种相关联的量对应的两个数的商一定还是积一定，如果商一定就成
正比例，如果积 一定就成反比例。
4、正比例与反比例的区别

5、用比例解决实际问题
根据问题中的不变量找出两种相关联的量，并判断这种相关联的量成 什么比例，根据
正反比例关系式列出方程并求解。

【例1】下面那组中的四个数可以组成比例？把组成的比例写出来。
① 4、6、12和15
② 2.5、4、2和5
【例2】如果3a=2b，那么a：b=（ ）：（ ）
【例3】解比例
x:10=




【例4】下列各题中的两种量是否成比例？成什么比例？
1、速度一定，路程与时间；
2、路程一定，速度与时间；
3、路程一定，已走的路程与未走的路程；
4、总时间一定，要制造的零件总数和制造每个零件所用的时间；
5、总产量一定，亩产量和播种面积；
6、整除情况下被除数一定，除数和商；
7、同时同地，竿高和影长；
8、半径一定，圆心角的度数和扇形面积；
9、圆的半径和面积.

【例5】合唱组男女生人数的比是5∶7，其中有女生25人，这个合唱组男生多少人？



1
1
123
:=
4
3
2.4
x

1、能与
1.6:1.2
组成比例的是（ ）
A.
1.2:1. 6
B.
0.4:0.3
C.
3:4

2、
5x3y
时，
x:y
（ ）
A.
5:3
B.
3:5
C.
3:4

3、因为
3a4b
，所以（ ）
A.
a:b3:4
B.
a:43:b
C.
b:3a:4
D.
3:a4:b

4、甲、乙两数的和是45，它们的比是1:4，甲数是（ ） ，乙数是（ ）．
5、老师在计算机上查询U盘的使用情况，结果如下：（MB是计算机存储容量的计量
单位。）

U盘的可用空间与已用空间的比是．
6、解比例。
（1）4:x=2:1.6 （2）3:（x+1）=2:5



（3）1.5:x=3：4 （4）x:15=3:1




7、某班男女生人数的比是4：5，已知男生比女生少5人，男女生各几人？

比：两个数相除又叫两个数的比。比号前面的数叫比的前项，比号后面的数叫比的后
项。
比值：比的前项除以后项的商，叫做比值。
比的性质：比的前项和后项同时乘以或除以相同的数（零除外），比值不变。
比例：表示两个比相等的式子叫做比例。
a:bc:d

比例的性质：两个外项积等于两个内项积（交叉相乘）。
adbc

正比例：若A扩大或缩小几倍，B也扩大或缩小几倍（AB的商不变时），则A与B成
正比。
反比例：若A扩大或缩小几倍，B也缩小或扩大几倍（AB的积不变时），则A与B成
反比。


一、填空题。
1、甲数的
24
等于乙数的，甲数与乙数的比是（ ）
35
2、在4:7 =48:84中，4和84是比例的（ ），7和48是比例的（ ）。
3、在一个比例中，两个外项互为倒数，其中一个内项是 16 ，则另一个内项是（ ）。
4、在一个比例式中，两内项都是合数，它们的积是24，一个外项是3，这个比例
式可写成（ ）。

二、请你来当小裁判。
1、由两个比组成的式子叫做比例。（ ）
2、把一个比的前项扩大2倍，后项缩小2倍，这个比的比值不变。（ ）
3、如果8A = 9B，那么B ：A = 8 ：9。（ ）
4、由2、3、4、5四个数，可以组成比例。（ ）
5、在比例里，两个外项积除以两个内项积商是1。（ ）

三、解比例
3
5
1
:x=3:12 0.4:x=1.2:2 =:x
4
2
4



四、解应用题
1、李一和王凡玩套圈游戏。李一用10个圈套中8个，李凡用35 个圈套中28个，谁
的套圈成绩好一些？请说明理由。



< br>2、修一条长12千米的公路，开工3天修了1.5千米。照这样计算，修完这条路还要多
少天？ （用比例解答）






（第1天）
1、在括号里填上适当的数
15：（ ）= 5 ：4 （ ）：0.36=2：（ ）
2、判断。
①表示两个比相等的式子叫做比例。（ ）
②0.6：1.6和3：4能组成比例。（ ）
③两个比的比值相等，这两个比可以组成比例。（ ）
3、根据4：a=5:b写出的比例，正确的是（ ）
A、4:5=b:a B、5:4=b:a C、4：b=a:5

4、解比例
1
1
1
11
3
:=:x 0.8:x=3:8 0.8:x=
2
5
4
33
8



（第2天）
1、2：x=
：
，x=（ ）
A． 40 B． 4 C． 0.4 D． 1
2、如果am=bm,那么正确的比例式是（ ）
A、a:m=b:n B、a:b=m:n C、b:m=a:n D、
11
24
mn
:

ab
3、在比例尺是1：8 的图纸上，甲、乙两个圆的直径比是2：3，那么甲、乙两个圆的
实际的直径比是（ ）
A．1：8 B．4：9 C．2：3 D．1：4
4、母女俩的年龄差是30岁，母女俩的年龄比是4：1，那么女儿是（ ）
A．6岁 B．5岁 C．7岁 D．10岁
5、一艘轮船，从甲港开往 乙港，每小时航行25千米，8小时可以到达目的地．从乙港
反回甲港，每小时航行20千米，几小时可 以到达？



（第7天）
1、一个考场有30名考生，男、女生人数的比可能是（ ）
A．3：2 B． 4：5 C． 1：3
2、如图阴影部分是长方形面积的，是三角形面积的，则长方形与三角形面积的比
是（ ）

A．3：5 B．5：3 C．3：2 D．2：3

3、从甲仓存粮中运出
比是（ ）
1
给乙仓，这时两仓的粮食一样多，原来甲仓存粮与乙仓存粮的
4
A．1：2 B．4：3 C．5：3 D．2：1
4、在如图中，平行四边形的面积是20平方厘米，则甲、乙、丙三个三角形的面积比
是（ ）

A．1：2：3 B．3：1：2 C．5：2：3 D．4：2：3
5、A、B、C是三个顺次咬合的齿轮，已知齿轮A旋转7圈时，齿轮C旋转6圈。
（1）如果A的齿数是42，那么C的齿数是多少？
（2）如果B旋转7圈，C旋转1圈。那么 A旋转8圈时，B旋转了多少圈？




（第15天）
1、把一个圆柱削成一个最大的圆锥，那么圆柱的体积和削去部分的体积比是（ ）
A．2：3 B．1：3 C．2：1 D．3：2
2、一个圆柱的体积是a立方厘米，则与它等底等高的圆锥的体积是（ ）立方厘米。
A．3a B．a C．a
3、小正方形和大正方形边长的比是2：7，小正方形和大正方形面积的比是（ ）
A．2：7 B．6：21 C．4：49 D．7：2
4、3÷5=%=
24

=：10=（用小数表示）． 5、小明居住的院内有4家，上月付水费39.2元，其中张叔叔家有2人，王奶奶家有4
人，李阿 姨家有3人，小明家有5人，若按人口计算，他们四家各应付水费多少元？

（第28天）
1、

45

=6÷15=（ ）%=24÷（ ）=（ ）（小数）
2、把5克盐溶化在95克水中，盐与盐水的比是：．
3、判断错误：
（1）一种手表的零件长5毫米，在设计图上的长度是10厘米，图纸的比例尺是1：
20．（ ）
（2）加工一批零件，甲需要10天完成，乙需要12天完成，甲与乙的工作效率比
是5： 6．（ ）
（3）圆的周长与它的直径的比值约是3.14．（ ）
4、一个长方形周长84米，长和宽的比是5：2，这个长方形的面积是多少平方米？






5、配一种农药，药液与水的比是1：500．
（1）0.2千克药液要加水多少千克？
（2）如果用400千克水，要用药液多少千克？
（3）如果要配制1503千克药水，需要药液和水各多少千克？

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数学

第3讲 比例尺
1、通过观察、练习，体会比例尺产生的必要性和按相同的比扩大或缩小的实际意义；
2、认识比例尺，能根据图上距离、实际距离、比例尺中的两个量求第三个量；
3、深刻理解比例尺的含义，运用比例尺有关知识解决生活中的一些实际问题。

教学过程
教师活动

1、在一个比例中，两个外项的积是30，其中一个内项是
2、按要求组成比例
（1）根据等式10÷4=15÷6，组成比例．
（2）根据等式4A=7B，组成比例．
3、在下面各个比中，与
：
能组成比例的是（ ）
A．8：5 B．5：8 C．
：

4、3:8的前项乘以3，要使比值不变，后项应该（ ）
A．加上6 B．乘以16 C．减去6 D．乘以3
5、给一间房 子铺地，如果用边长6分米的正方形方砖，需要80块。如果改用边长8
分米的正方形方砖，需要（ ）块。
A.450 B. 45 C. 4500 D. 4.5
6、 解方程：
x:




学生活动
2
，另一个内项是．
5
11
58
11
85

2
60:5
．
3

7、小英读一本故事 书，原计划每天读30页，8天读完，实际每天少读10页，实际比
计划多用了多少天？（用比例知识解 ）





1、（ ）和（ ）的比叫做比例尺。
比例尺=（ ）:（ ），比例尺实际上是一个（ ）。
2
、千米改写成数值比例尺是（

）。

3、在比例尺是 1:12000000的地图上，量得济南到青岛的距离是4厘米。在比例尺是
1:8000000的地 图上，济南到青岛的距离是多少厘米？




4
、的地 图上量得两地之间的距离是
9
厘米，那么在比例尺是
1:3000000
的地 图上，两地的图上距离是多少厘米？





5、（1）按2:1画出图中图形放大后的图形。
（2）再把放大后的图形的各边按1:3缩小。

6、右图是一个梯形地平面图(单位：厘米)，求它的实际面积




1.比例尺的概念：一幅图的图上距离和实际距离的比，叫做这幅图的比例尺。
2.图上距离:实际距离 = 比例尺或
图上距离
＝比例尺

实际距离
注意：
（1）比例尺是一个比，他表示图上距离和实际距离的倍比关系，因 此不能带有计
量单位。（计算时要先统一单位）
（2）比例尺是图上距离比实际距离得到的最 简整数比，可以写成带比号的形式，
也可以写成分数形式。
（3）在大小相同的地图上，比例尺越大，反映的实际范围越小。
3.比例尺的分类
数值比例尺： 1:100000000或
线段比例尺：
1

100000000

线段比例尺可以改写成数值比例尺，比如：1cm:50km = 1cm:5000000cm = 1:5000000
4.缩小比例尺：在绘图时，根据需要把 实际距离按一定的比例缩小，在纸上画出来。为
了计算方便，一般把缩小比例尺写成带比号的形式时，写 成1:（ ），或者
1

.
放大比例尺：对于机器零件比较小，有时需 要把实际距离扩大一定的倍数以后，再画
在纸上，这样的比例尺就称为放大比例尺。如：2:1 为了计算方便，通常把放大比例
尺写成( ):1。
图形的放大与缩小的特点是：形状相同，大小不同

知识点一：比例尺的概念与分类
例1：一幅图的比例尺是 ， 那么图上的1厘米表示实际距离（ ）；
实际距离50千米在图上要画（ ）厘米。把这个线段比例尺改写成数值比例尺是（）。
例2：在比例尺是1：4000000的地图上，图上距离1厘米表示实际距离（ ）千米。
也就是图上距离是实际距离的
1

，实际距离是图上距离的（ ）倍。
知识点二：比例尺应用题
例3：在一幅比例尺是1:3000000的地图上，甲乙 两地的距离是7.5厘米，甲乙两地的
实际距离是多少千米？



例4：一幅地图的线段比例尺是：甲乙两城在这幅地图上相
距18厘米，两城间的实际距离是多少千米 ？丙丁两城相距660千米，在这幅地图上两
城之间的距离是多少厘米？



知识点三：图形的放大与缩小
例5：(1)将下面的平行四边形按3：1放 (2)将下面的三角形按1：2缩小

一、填空题 < br>1、在一幅比例尺是1:10000000的地图上，量得北京与深圳之间的距离是26厘米。北
京与深圳之间的实际距离大约（ ）千米。
2、A、B两地之间的实际距离大约是600千米，把它们 画在一幅比例尺是1:1000000
的地图上，它们之间的图上距离是（ ）厘米。
3、解放军进行野外训练，要从甲地到乙地，在一幅比例尺是1:60000的地图上， 量得
甲、乙两地的距离是40厘米。要求在 4小时内到达，平均每小时要行军（ ）千米。 < br>4、一张精密零件的图纸的比例尺是10:1，在图纸上量得这个零件的长是6厘米。这个
精密零 件的长度是（ ）毫米。
5、 是（ ）比例尺，把它改写成数值比例尺是（ ）。
6、一张精密仪器图纸，用8厘米的线段表示实际的8毫米长，则这幅图的比例尺是（ ）。
7、一个长5厘米、宽3厘米的长方形按3:1放大，得到的长方形的长是（ ）厘米，
宽是（ ）厘米，面积是（ ）平方厘米。

二、解答题
1、在一幅比例尺为1:500的平面图上量得一间长方形教室的长是3厘米，宽是2厘米。
（1）求这间教室的图上面积与实际面积。
（2）写出图上面积和实际面积的比。并与比例尺进行比较，你发现了什么？



2、房产博览会上，某楼盘的模型是按照1:500的比例尺制作的，该楼盘１号楼模型高< br>7厘米，它的实际高度是多少？



3、甲地到乙地的实际距离是 120千米，在一幅比例尺是1:6000000的地图上，应画多
少厘米？

1、图上距离和实际距离的比，叫做这幅图的比例尺。
2、
比例尺
图上距离
，比例尺有两种形式：数值比例尺和线段比例尺。 < br>实际距离
1
）后，放
n
3、把一个平面图形按照一定的倍数（
n
）放大或缩小到原来的几分之一（
大（或缩小）后与放大（或缩小）前图形的面积比是
n
2
:1
（或
1:n
2
）。
4、把一个图形按一定比放大或缩小，就是把它的每条边按一定的比放大或缩小。
5、根据物 体的位置，结合比例尺的相关知识，可以在平面图上画出物体的位置.画的时
候先按方向画一条射线，再 根据图上距离找出点所在的位置。


一、填空题
1、比例尺分为（ ）比例尺和（ ）比例尺。
2、一个正方形按3∶1放大后，周长扩大了（ ）倍，面积扩大了（ ）倍。
3、兰州到乌鲁木齐的铁路长约1900千米，在比例尺是1:40 000000的地图上，它的长
是（ ）。

二．选择题
1．图上距离（ ）实际距离。
A．一定大于 B. 一定小于 C. 一定等于 D. 可能大于、小于或等于
2．在一幅比例尺是1:1000000的地图上，用（ ）表示60千米。
A．0.6厘米 B. 6厘米 C. 60厘米
3．在一张图纸上，用6厘米的线段表示3毫米，这张图纸的比例尺是（ ）
A．1 ：2 B. 1 ：20 C. 20 ：1 D. 2 ：1

三、应用题
1、一幅地图，图上20厘米表示实际距离10千米，求这幅地图的比例尺？

2、在一幅比例尺是1:300的地图上，量得东、西两村的距离 是12.3厘米，东、西两村
的实际距离是多少米？



四、按要求画一画。
(1)按1:3的比例画出长方形缩小后的图形。
(2)按2:1的比例画出梯形放大后的图形。



（第1天）
1、一幅地图的比例尺是
2、线段比例尺
，那么写成数值比例尺是．
改写成 数字比例尺是，在这幅图上量得北京到上海的
距离是5厘米，北京到上海的实际距离是千米．
3、判断：
一种手表的零件长5毫米，在设计图上的长度是10厘米，图纸的比例尺是1:20．（）
4、朝阳小学的操场是一个长方形，长120米，宽75米，用
长和宽各是多少厘米？




1
的比例尺画成平面图，
300

5、在比例尺是1 :6000000的地图上，量得两地之间的距离是3厘米，这两地之间的实
际距离是多少千米？



（第2天）
1、如果某图纸的比例尺小于1，那么这幅图所表示的图上距离（ ）实际距离。
A.小于 B.大于 C.等于
2、学校操场长100米，宽60米，在练习本上画图，选用（ ）作比例尺较合适。
A.1:20 B.1:2000 C.1:200
3、钟表上的一种零件长为3mm，画在图纸上长为12cm，这幅图纸的比例尺是（ ）。
A.40：1 B.1：40 C.4：1
4、在比例尺 为1:2000000的地图上，量得甲、乙两地的距离为3.6厘米．如果汽车以
每小时30千米的速 度从甲地到乙地，多少小时可以到达？



5、在比例尺是1:4000 000的地图上，量得甲、乙两地相距20厘米，两列火车同时从甲、
乙两地相对开出，甲车每小时行5 5千米，乙车每小时行45千米，几小时后相遇？



（第7天）
一、判断：
1、小华在绘制学校操场平面图时，用20厘米的线段表示地面上40米的距离， 这幅图
的比例尺为1:2.（ ）
2、某机器零件设计图纸所用的比例尺为1:1，说明了该零件的实际长度与图上是一样
的（ ）
3、一幅图的比例尺是6:1，这幅图所表示的实际距离大于图上距离。（ ）

二、解答题
1、比例尺1:1000表示图上距离是实 际距离的几分之几？实际距离是图上距离的多少
倍？图上1厘米表示实际距离多少米？



2、（1）长方形A的长是1.5厘米，宽是1厘米；长方形B的长是3厘米，宽 是2厘
米.这两个长方形的长有什么关系？宽呢？
（2）如果要把长方形A按1:2的比缩小，长和宽应是原来的几分之几？



（第15天）
1、一张长方形图片，长12厘米，宽9厘米，按1:3的比缩小后，新图片的长是（ ）
厘米，宽是（）厘米，这种图片（ ）不变，大小（ ）。
2、比例尺分为（ ）比例尺和（ ）比例尺。
3、在1:3000000的图纸上，实际距离为255千米在图上应长（ ）厘米。
4、比例尺1:500000表示图上1厘米的距离相当于地面上（ ）的距离；实际距离是图
上距离的的（ ）倍。
5、一种精密仪器按照40:1绘制在图纸 上，仪器的长在图纸上是28厘米，仪器实际的
长是（ ）。
4、在比例尺是
是多少米？


5、在一幅比例尺是1:400的 平面图上，量得某小学长方形阅览室的长是3厘米，宽是
2厘米，这个阅览室的实际面积是多少？

1
的地图上，量得甲、乙两地的距离是2.5厘米.两地的实际距离
600 00

（第28天）
1、在图上距离、实际距离、比例尺三个量中，
图上距离一定，实际距离与比例尺成（ ）比例。
实际距离一定，图上距离与比例尺成（ ）比例。
比例尺一定，图上距离与实际距离成（ ）比例。
2、在一幅地图上量得甲乙两地距离6厘米 ，乙丙两地距离8厘米；已知甲乙两地间的
实际距离是120千米，乙丙两地间的实际距离是（ ）千米；这幅地图的比例尺是
（ ）。
3、甲乙两个正方形的边长比是2:3，甲乙两个正方形的周长比是（ ），甲乙两个正方
形的面积比是（ ）。
4、在比例尺为1:200000的一幅地图 上，A城和B城相距5厘米，两城实际相距多少
千米？


5、某小区要修 建一个长方体游泳池，在比例尺是1:200的设计图上，游泳池的长为3
厘米，宽为2厘米，深为1厘 米。
①这个水池的占地面积是多少平方米？

②按这图纸施工，修建这个水池要挖出多少立方米的土？

个性化教学辅导教案
学生姓名
上课时间
课 题
教学目标

年 级
年 月 日
六年级
学 科
教师姓名
数学

第4讲 比例问题
1、通过观察、练习，体会比例的实际意义；
2、深刻理解比例的含义，运用比例有关知识解决生活中的一些实际问题。

教学过程
教师活动

1、2:x=
学生活动
11
:，x=（ ）
24
A． 40 B． 4 C． 0.4 D． 1
2、在比例尺是1:8的图纸上，甲、乙两个圆的直径比是2:3，那么甲、乙两个圆的实< br>际的直径比是（ ）
A．1:8 B．4:9 C．2:3 D．1:4
3、母女俩的年龄差是30岁，母女俩的年龄比是4:1，那么女儿是（ ）
A．6岁 B．5岁 C．7岁 D．10岁
4、一个考场有30名考生，男、女生人数的比可能是（ ）
A．3:2 B． 4:5 C． 1:3
5、如图阴影部分是长方形面积的
是（ ）

11
，是三角形面积的，则长方形与三角形面积的比
35

A．3:5 B．5:3 C．3:2 D．2:3

1、某班男女生人数的比是4:5，已知男生比女生少5人，男女生各几人？



2、配一种农药，药液与水的比是1:500．
（1）0.2千克药液要加水多少千克？
（2）如果用400千克水，要用药液多少千克？
（3）如果要配制1503千克药水，需要药液和水各多少千克？





3、一个长方形周长84米，长和宽的比是5:2，这个长方形的面积是多少平方米？





一、基础知识
1、比：两个数相除又叫两个数的比。比号前面的数叫比的前项，比号后面的数叫
比的后项。
2、比值：比的前项除以后项的商，叫做比值
3、比的性质：比的前项和后项同时乘以或除以相同的数（0除外），比值不变。
4、比例：表示两个比相等的式子叫做比例。
5、比例的性质：两个外项积等于两个内项积（交叉相乘）
6、比例尺：图上距离与实际距离的比叫做比例尺
7、按比例分配：把几个数按一定比例分成几份，叫做按比例分配

二、运用比例知识解决实际问题
1、解答比例应用题用比例的意义为依据
2、解答比例应用题的一般步骤：
（1）先确定题中三种数量关系中的定量，然后分析两个变 量是否成比例，从而确
定两个变量的比例关系；
（2）设未知数x；
（3）根基题意列出等式；
（4）解答并检验。

例1：一块合金内铜和 锌的比是2:3，现在再加入6克锌，共获得新合金36克，求新
合金内铜和锌的比？




例2：一条路全长60千米，分成上坡、平路、下坡，各段路程长的比 依次是1:2:3，
某人走各段路程所用时间之比依次是4:5:6，已知他上坡的的速度是每小时2千 米，问
此人走完全程用了多少时间？





例3：小刚读一本书，第一天读了全书的
2
，第二天比第一天多读了6页，这时已读
15
的页数与剩下页数的比是3:7，小刚再读多少页就能读完这本书？

例4：一个长方形长和宽的比是14:5，如果长减少 13厘米，宽增加13厘米，则面积
增加182平方厘米，那么原长方形面积是多少平方厘米？



例5小强买了一件上衣和两条裤子，小明买了同样价钱的上衣和裤子各 一件，他们用
去钱数的比是4:3，已知一件上衣70元，求一条裤子多少元？





1、打一份稿件，甲用6分钟，乙用8分钟，甲乙两人工作效率的最简比（ ）
A. 6:8 B.8:6 C.3:4 D. 4:3
2、一个长方形，长和宽分别是12厘米和8厘米，按2：1放大后，长方形的面积是平方厘米．
3、解比例的依据是比例的基本性质．（判断对错）
4、小芳9分钟能打54 0个字，照这样计算，她要打完1800个字需要多长时间？（用
比例知识解答）



5、小红读一本故事书，如果每天读20页，30天读完，现在每天读25页几天可以读完？
用比例方法解：


算术方法解：

6、服装厂要做一批校服，如果每天做40套，15天可以完成；如果每天做 75套．多少
天可以完成？（用比例知识解答）






一、选择题
1．甲数的
32
与乙数的相等，那么甲数与乙数的比是（）
43
A．8:9 B．9:8 C．1:4
2．根据3a=5b可以写成（ ）
A．3:a=5:b B．a:b=5:3 C．a:b=3:5 D．a:5=3:b
3．两个圆柱的高相等，底面半径的比是3:2，则体积比为（ ）
A．3:2 B．9:4 C．27:8
4．下面各组中的两个比，可以组成比例的是（ ）
A．12:9和9:6 B．
1111
:和: C．8.4:2.1和1.2:8.4
3624
5．3:8的前项乘以3，要使比值不变，后项应该（）
A．加上6 B．乘以16 C．减去6 D．乘以3

二．解答题
1．小英读一 本故事书，原计划每天读30页，8天读完，实际每天少读10页，实际比
计划多用了多少天？（用比例 知识解）

2．实验 小学举行团体操表演，如果每列25人，要排24列，如果每列20人，要排多
少列？（用比例解）





3．玩具厂加工一批儿童玩具，原计划每天加工 1500个，60天可以完成；实际每天比
原计划多加工20%．加工这批玩具实际用了多少天？（用比 例解）





4．一辆汽车从甲地开往乙地，每小时 行50千米，6小时可以到达乙地，如果每小时行
60千米，几个小时到达？（用比例知识）





5．刘师傅要加工一批零件，每小时加工40个，3小时可 以完成，如果要提前半小时完
成任务，工作效率需提高百分之几？（用比例的方法解）

（第1天）
1、在比例尺是1:10的图纸上，甲、乙两个圆的直径比是2:3，那么甲、乙 两个圆实际
的直径比是（ ）
A．1:10 B．4:9 C．2:3 D．无法确定
2、2:x=
11
:，x=（ ）
24
A． 40 B． 4 C． 0.4 D． 1
3、一个三角形，三个内角的度数比是1:2:3，这是一个三角形。
4、修一条公路，计划 每天修250米，30天可以完成，实际每天比计划多修20%，实际
多少天完成任务（用比例解）







5、一间教室，计划用边 长3分米的方砖铺地，需要300块．现改用边长5分米的方砖
来铺，需要多少块？（用比例解）






（第2天）
1、甲、乙两数的比是2:5，甲数是40，乙数是．
2、被减数是160，减数与差的比是5:3，减数是．
3、甲数比乙数多30%，甲数和乙数的比是．

4、暑假期间，学 校准备用方砖铺走廊，如果用面积是9平方分米的方砖，需要480块，
如果用面积是16平方分米的方 砖，则至少需要多少块？（用比例解）





5、出 租车司机叔叔从甲地到乙地，前3个小时行了150千米．照这样的速度，再行5
小时到达乙地，甲乙两 地相距多远？（用比例解）






（第7天）
1、甲数是乙数的
7
，甲数与两数之和的比是．
15
2、如果x与y成正比例，那么表中的△是；如果x与y成反比例，那么△是．
x
y
3
120
△
180
3、有两种螺 丝钉，一种用3角可以买4个，另一种用4角可以买3个，这两种螺丝钉
的单价的最简整数比是． 4、万叔叔开车从甲地到乙地，前2小时行了100千米，照这样的速度，从甲地到乙地
一共用了3 小时，甲乙两地相距多少千米？（用比例解）

5、图1小芳用相同的杯子，探究水的体积与高度的变化规律．


高度cm
体积cm

（1）表中体积与高度的比值是，计量单 位是，这个比值表示；因为比值一定，水的体
积与高度成比例关系．
（2）根据图象推测：水 的高度是10cm时，水的体积是cm；杯中倒入300cm的水，水
的高度是cm．





33
3
2
50
4
100
6
150
8
200

个性化教学辅导教案
学生姓名
上课时间
课 题
教学目标

年 级
年 月 日
六年级
学 科
教师姓名
数学

第5讲 正比例和反比例（教师版）
1、掌握正比例与反比例的意义
2、判定正比例与反比例
3、用正比例与反比例解应用题

教学过程
教师活动

1、一列火车行驶的时间和所行的路程如下表。
学生活动

观察上表，回答下面的问题：
（1）表中有哪两种量？
（2）路程是怎样随着时间变化的？
（3）相对应的路程和时间的比分别是多少？比值是多少？

2、一列火车行驶的时间和行驶速度如下表。



观察上表，回答下面的问题：
（1）表中有哪两种量？
（2）速度是怎样随着时间变化的？
（3）相对应的速度和时间的乘积分别是多少？

时间（时）
速度（千米每小时）
1
480
2
240
3
160
4
120
5
95
6
80
....
....

1、填一填。
（1）笔记本单价一定，数量和总价成（ ）比例。
（2）工作效率一定，工作时间和工作总量成（ ）比例。
（3）一袋大米的重量一定，吃了的和剩下的（ ）比例。
（4）正方形的周长和边长成（ ）比例。
（5）人的身高和体重（ ）比例。
2、一列火车行驶的时间和路程如下表。这两种量有什么关系？





3、下表是王师傅加工一批零件时，每小时加工零件个数随时间变化的 情况。这两种量
有什么关系？
每小时加工零件的个数个
加工的时间时



4、根据关系式填空。
工作效率×工作时间=工作总量，
（1）因为（ ）÷（ ）=工作效率，如果（ ）一定，（ ）和（ ）成
正比例；
（2）因为（ ）÷（ ）=工作时间，如果（ ）一定，（ ）和（ ）成
正比例；
（3）因为（ ）×（ ）=工作总量，如果（ ）一定，（ ）和（ ）成
反比例。

20
12
30
8
40
6
60
4
80
3
……
……
时间时
路程千米
1
120
2
240
3
360
4
480
5
600
6
720
……
……

5、x与y成反比例关系，根据条件完成下表。
x
y




模块一：正比例与反比例
1、成正比例的量
①两种相关联的量；②一种量变化，另一种量也随着变化；③比值一定
关系式：
15
400
20


240
30

40


100
x
k
（一定）
y
2、成反比例的量
①两种相关联的量；②一种量变化，另一种量也随着变化；③积一定
关系式：
xyk
(一定)
3、判断两种量成正比例还是成反比例的方法。
关键是看这两种相关联的量对应的两个数的商一定还是积一定，如果商一定就成正比
例，如果积 一定就成反比例。
4、正比例与反比例的区别


模块二：用比例解决实际问题
根据问题中的不变量找出两种相关联的量，并判断这种相关联的 量成什么比例，根据
正反比例关系式列出方程并求解。

例题精讲
模块一：正比例与反比例
例1、（判断是否成正比例）练习本的单价一定 ，买练习本的数量和总价是不是成正比
例？为什么？



例2、（判断是否成反比例）总产量一定，每公顷的产量和公顷数是不是成反比例？为
什么？



例题3、（正比例的图形） 磁悬浮列车匀速行驶时，路程与时间的关系如下。
时间分
路程千米
1
7
2
14
3
21
4
28
5
35
6
42
7
49
……
……
（1）图中的点A表示时间为1分钟时，磁悬浮列车驶过的路程为7千米。请你试着描
出其他各点。
（2）连接各点，它们在一条直线上吗？
（3）根据图像判断，列车运行2分半钟时，行驶的 路程是多少千米？行驶30千米大
约需要几分钟？

一、选择题。
1、下面各题中的两种相关联的量，成正比例关系的是（ ）。
A.利息和本金 B.一段路，每天修的米数和所用的天数
C.圆的面积和半径 D.方砖的面积一定，房间的面积与所需的块数
2、两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，这两种量（ ）成比例的
量。
A.一定是 B.一定不是 C.不一定是
3、实际距离一定，图上距离和比例尺（）。
A.成反比例 B.成正比例 C.不成比例
4、下列各题中，两种量成反比例关系是（）。
A.工作效率一定，工作时间和工作总量
B.一段路程一定，已走路程和剩下的路程
C.长方形周长一定，它的长和宽
D.三角形的面积一定，这三角形的底和高

二、数学医院：（先判断，再把不对的改正过来。）
1、正方形的面积一定，它的边长和边长不成比例。（ ）
2、甲、乙两数互为倒数，甲数和乙数成反比例。（ ）
3、一批货物，运走的和剩下的成反比例。（ ）

三、解答题
1、 （用正比例方法解答）某工人要做504个零件，他5天做了120个，照这样的速度，
余下的还要做多 少天？

一、正、反比例异同点
相同点：都有两种相关联的量，一种量随着另一种量变化．
不同点：正比例是变化方向相同，一种量扩大或缩小，另一种量也扩大或缩小．相对
应的每两个 数的比值（商）是一定的．反比例是变化方向相反，一种量扩大（缩小），
另一种量反而缩小（扩大）． 相对应的每两个数的积是一定的．

二、正比例和反比例的比较 正比例 反比例
1.相同点 （1）都有两种相关联的量 （2）一种量随着另一种量变化
2.不同点
正比例：（1）变化方向相同，一种量扩大或缩小，另一种量也扩大或缩小
（2）相对应的每两个数的比值（商）是一定的
反比例：（1）变化方向相反，一种量扩大（缩小），另一种量反而缩小（扩大）
（2）相对应的每两个数的积是一定的


一、选择题
1、表示a和b这两种量成反比例的关系式是（ ）
A．a+b=8 B．a-b=8 C．a×b=8 D．a÷b=8
2、被减数一定，减数与差（ ）
A.成正比例 B.成反比例 C.不成比例
3、花生的出油率一定，花生的重量和油的重量（ ）
A.成正比例 B.成反比例 C.不成比例

二、判断题
1、如果ab + 5 = 15，则a与b成反比例。（ ）
2、表示正比例关系的图象是一条直线。（ ）
3、路程一定，速度和时间成正比例。（ ）
4、一堆煤的总量不变，烧去的煤与剩下的煤成反比例。（ ）

三、解答题
1、一个晒盐场用500千克海水可以晒15千克盐；照这样的计算，用100吨 海水可以
晒多少吨盐？






2、配制一种农药，药粉和水的比是1:500
（1）现有水6000千克，配制这种农药需要药粉多少千克?
（2）现有药粉3.6千克，配制这种农药需要水多少千克?
（3）现有农药1002千克，需要药粉多少千克？







（第1天）
1、判断下面每题中的两个量是否成正比例或反比例。
（1）出油率一定，香油的质量与芝麻的质量。________
（2）一捆100米长的电线，用去的长度与剩下的长度。______
（3）三角形的面积一定，它的底和高。_____
2、下面哪个式子表示x和y成正比例的关系（ ）
A．4x=y B．4+x=y C．x+y=4 D．x﹣y=4
3、生产零件的个数一定，生产每个零件的时间与生产这批零件的总时间（ ）
A．成正比例 B．成反比例 C．不成比例

4、一 根皮带带动两个轮子，大轮直径30厘米，小轮直径10厘米；小轮每分钟转300
转，大轮每分钟转几 转？





5、生产一批零件，计划每天生产160 个，15天可以完成，实际每天超产80个，可以
提前几天完成？（用比例方法解）





（第2天）
一、判断题
1、花生的出油率一定，花生的重量与榨出花生油的重量成正比例。（ ）
2、平行四边形的面积不变，它的底与高成反比例。（ ）

二、选择题
1、通过比与比例的学习，你认为下列说法正确的是（ ）
A．若x=3y，那么x与y成反比例
B．24：36和0.6：0.9不能组成比例
C．在一个比例中，若两个内项互为倒数，这两个外项也互为倒数
2、小明的身高和体重（ ）
A．成正比例 B．成反比例 C．不成比例
3、圆的周长和直径（ ）
A．成正比例 B．成反比例 C．不成比例

三、解答题
1、飞机每小时飞行480千米，汽车每小时行60千米。飞机行4
要行 多少小时？（用比例方法解）





2、工厂制作一 种零件，现在每个零件所用的时间由革新前的8分钟减少到3分钟，原
来制造60个的时间现在能生产多 少个？






（第7天）
一、选择题
1、如果5a=b（a和b不等于0），那么a与b（ ）
A．成正比例 B．成反比例 C．不成比例 D．无法确定
2、圆柱的体积一定，底面积和高（ ）
A．成正比例 B．成反比例 C．不成比例
3、长方形的长一定，它的周长与宽（ ）
A．成正比例 B．成反比例 C．不成比例

二、填空题
1、速度、路程和时间这三种量，一定时，和成正比例．一定时，和成反比例．
2、在

1
小时的路程，汽车
2
y
=2.6中，x与y成比例．
x

3、如果a与b成正比例，那么x是；如果a与b成反比例，那么x是．
a
b

三、解答题
1、一个车间装配一批电视机，如果每天装50台，60天完成任务， 如果要用40天完成
任务，每天应装多少台？（用比例方法解）





2、修一条路，如果每天修120米，8天可以修完；如果每天修150米，几天 可以修完？
（用比例方法解）





（第15天）
一、判断题
1、圆的直径与周长成正比例．（ ）
2、长方形的面积一定，长和宽成正比例．（ ）
3、若7a=5b，则ab成反比例 . （ ）
4、圆锥的体积一定，它的底面积和高成反比例．（ ）




200
4
160
x

二、选择题

1、已知
y
=k，当（ ）一定时，另外两个量成反比．
x
A． x B． y C． k
2、如果a÷b=c，当a一定时，b与c（ ）
A． 成正比例 B． 成反比例 C． 不成比例
3、梯形的面积一定，它的高与上下底的和（ ）
A． 成正比例 B． 成反比例 C． 不成比例

三、解答题
1、修一条公路，每天修0.5千米，3 6天完成。如果每天修0.6千米，多少天可修完？
（用比例方法解）





2、同学们做操，每行站20人，正好站18行。如果每行站24人，可以站多少 行？（用
比例方法解）


3、一间大厅，用边长6分米的方砖铺地，需用 324块；若改铺边长4分米的方砖，需
要多用几块？

个性化教学辅导教案
学生姓名
上课时间
课 题
教学目标

年 级
年 月 日
六年级
学 科
教师姓名
数学

第6讲 数与方程
掌握整数的定义、分类以及认识负数；
因数与常考倍数的特征；
方程的定义与解方程的步骤与方法。

教学过程
教师活动

1、一张长方形图片，长12厘米，宽9厘米。按1 : 3的比缩小后，新图片的长是（ ）
厘米，宽是（ ）厘米，这张图片（ ）不变，大小（ ）。
2、一块正方形的花手帕，边长10厘米，将其按（ ）的比放大后，边长变为30厘米。
3、一幅地图的线段比例尺是
千米。
4、一种精密零件，画在图上是12厘米，而实际的长度是3毫米。那么这幅图的比例
尺是（ ）。
5、用一批纸装订练习本，每本25页，可以装订400本。如果要装订500本，每本有X页。题中（ ）量一定，关系式：（ ） × （ ）＝（ ）（一定），（ ）和（ ）
成（ ）比例。
6、一间会客室地面用边长0.3米的正方形地砖铺，需要640块。如 果改用边长0.4米
的正方形地砖，需要Y块。题中（ ）量一定，关系式：（ ）×（ ）＝（ ）（一
定），（ ）和（ ）成（ ）比例。
7、在圆柱的侧面积、底面周长、高这三种量中，
当底面周长一定时，（ ）与（ ）成（ ）比例；
当高一定时，（ ）与（ ）成（ ）比例；
当侧面积一定时，（ ）与（ ）成（ ）比例。
，这幅图上3厘米表示实际距离（ ）
学生活动

1、甲数是3.5，比乙数多a，乙数是。
2、用a元买了1.8元的西瓜，应找回元。
3、食堂买来a千克大米，吃了b千克，还剩千克。
4、买20支钢笔共付c元，每支钢笔的价钱是元。
5、一个工地用汽车运土，每辆车运x吨。一天上午运了6车，下午运了5车。这一天
共运土（ ）吨，上午比下午多运土（ ）吨。
6、商场上午卖出电视机10台，下午又卖了7台，每台电视机 A元。全天共卖电视机
一共收入（ ）
7、在18÷3=6中，（ ）和（ ）是（ ）的因数．
在3×9=27中，（ ）是（ ）和（ ）的倍数．
8、从4，5，0，6四个数中，选择两个数组成两位数。
2的倍数（ ）
3的倍数（ ）
5的倍数（ ）
同时是2和3的倍数（ ）
同时是2和5的倍数（ ）
同时是2、3和5的倍数（ ）


一、数
整数
1、自然数：在数物体的时候，用来表示物体个数的1,2,3,4， ……叫做自然数，一个
物体也没有，用0表示。0也是自然数。
2、负整数：-1，-2，-3，-99，…这样的数叫做负整数。0既不是正数，也不是负数。
倍数与因数
1、倍数：一个整数能够被另一整数整除，这个整数就是另一整数的倍数．如15 能够
被3或5整除，因此15是3的倍数，也是5的倍数．
2、因数：两个整数相乘，其中这 两个数都叫做积的因数．（即一整数被另一整数整除,

后者即是前者的因数）．如3×5=15,3和5都是15的因数．
3、一个数的倍数的个数 是无限的，一个数的因数的个数是有限的，其中最小的因数是
1，最大的因数是它本身．一个数的最小倍 数和最大因数都是自身．
2，3，5的倍数的特征
1、2的倍数的特征：个位上是0，2，4，6，8的数是2的倍数．
2、5的倍数的特征：个位上是0或5的数是5的倍数．
3、既是2的倍数，又是5的倍数的特征：个位上是0的数既是2的倍数，又是5的倍
数．
4、3的倍数的特征：一个数各个数位上的数字的和是3的倍数，这个数就是3的倍数．
质数和合数
1、质数：一个数只有1和它本身两个因数，这个数叫作质数．如3，只能1和3两个
因数．
2、合数：一个数除了1和它本身以外还有别的因数，这个数叫作合数． 1既不是质
数也不是合数．
3、最小的质数是2；最小的合数是4；1既不是质数，也不是合数.
数的奇偶性
1、是2的倍数的数，叫做偶数，不是2的倍数的数，叫做奇数．
2、奇数．偶数相加奇偶性变化的规律：
偶数+偶数=偶数 奇数+奇数=偶数 偶数+奇数=奇数
二、方程
用字母表示数
1、在一个含有字母的式子里，数字和 字母、字母和字母相乘时，中间的乘号可以记作
“·”，也可以省略不写。在省略数字与字母之间的乘号 时，要把数字写在字母的前面。
2、2a与a意义不同：2a表示两个a相加，a表示两个a相乘。即：2a=a＋a，a= a
×a。
3、用字母表示数：
（1）用字母表示任意数：如X=4 a=6
（2）用字母表示常见的数量关系：如s=vt
（3）用字母表示运算定律：如a＋b=b＋a
222

（4）用字母表示计算公式：S=ah
方程与等式
1、含有未知数的等式叫做方程。
2、使方程左右两边相等的未知数的值，叫做方程的解。
3、求方程的解的过程，叫做解方程。
4、方程和等式的联系与区别：

联 系
区 别
方 程 等 式
方程一定是等式，等式不一定是方程
含有未知数 不一定含有未知数
5、等式的基本性质（一）
等式两边同时加上（或减去）一个相同的数，所得结果仍然是等式。
6、等式的基本性质（二）
等式两边同时乘（或除以）一个不等于零的数，所得结果仍然是等式。
7、列方程解应用题的一般步骤：
（1）弄清题意，找出未知数并用X表示。
（2）找出应用题中数量间的相等关系，并列出方程。
（3）求出方程的解。
（4）检验或验算，写出答案。
【例题1】一个数最小的因数是（ ），最大的因数是（ ），一个数因数的个数是（ ）
的．如25的最小因数是（ ），最大因数是（ ）．
【例题2】判断：一个自然数个位上是0，这个自然数一定是2和5的倍数．（ ）
【例题3】0和1是（ ）．
①奇数 ②质数 ③自然数
【例题4】字母的运算
1
3
x2x
2xx
x35%x
6x5x

3
4
【例题5】用字母表示数填空题
1、一种贺卡的单价是a元，小英买了5张这样的贺卡，用去（ ）元；小明买n张这
样的贺卡，付出10元，应找回（ ）元。
2、四年级同学订《中国少年报》120份，比五年级多订x份，120-x表示（ ），每

份《中国少年报》a元，120a表示（ ），（120 －x）a表（ ）。
【例题6】根据运算定律计算下列式子。
3(x3)

12
(6x)
23

【例题7】利用方程的性质解下列方程
（1）
()x






【例题8】根据文字列方程(找出题中数量之间的相等关系）
1、
x
的4倍与24的和是60 。



2、从64里减去
x
的两倍，差是32 。



3、甲每分钟平均走118.4米,乙每分钟平均走
x
米, 两人同时从同一地点出发，经过
1.2分钟一共走了274.8米。






5
6
5
9
54
（2）
xx818

85

1、在18÷2=9中，（ ）和（ ）是（ ）的因数．在3×10=30中，（ ）是
（ ）和（ ）的倍数．
2、个位上是（ ）的数，都是5的倍数．个位上是（ ）的数，都是2的倍数．
3、一个正方形的边长是质数，那么它的面积一定是（ ）
①合数 ②质数 ③偶数
4、天黑了，小明叫弟弟开灯 ，淘气的弟弟把开关一连按了12次，这时灯是开着的还
是关着的？答：（ ）
5、字母的运算

273
3t4x2t
6xtxt7 x6x
325


6、解方程
32x9x6013x16x4259x







7、已知AB两地相距274.8米，甲每分钟平均走118.4米, 乙每分钟平均走
x
米,甲乙
两人分别从A 、B两地同时相对而行，经过1.2分钟相遇。（只列方程）








1、倍数：一个整数能够被另一整数整除，这个整数就是另 一整数的倍数．如15能够

被3或5整除，因此15是3的倍数，也是5的倍数．
2、因数：两个整数相乘，其中这两 个数都叫做积的因数．（即一整数被另一整数整除,
后者即是前者的因数）．如3×5=15,3和5都 是15的因数．
3、一个数的倍数的个数是无限的，一个数的因数的个数是有限的，其中最小的因数 是
1，最大的因数是它本身．一个数的最小倍数和最大因数都是自身．
4、2的倍数的特征：个位上是0，2，4，6，8的数是2的倍数．
5、5的倍数的特征：个位上是0或5的数是5的倍数．
6、既是2的倍数，又是5的倍数的特征：个位上是0的数既是2的倍数，又是5的倍
数．
7、3的倍数的特征：一个数各个数位上的数字的和是3的倍数，这个数就是3的倍数．
8、 质数：一个数只有1和它本身两个因数，这个数叫作质数．如3，只能1和3两个
因数．
9、 合数：一个数除了1和它本身以外还有别的因数，这个数叫作合数． 1既不是质
数也不是合数．
10、 最小的质数是2；最小的合数是4；1既不是质数，也不是合数.
11、是2的倍数的数，叫做偶数，不是2的倍数的数，叫做奇数．
12、奇数．偶数相加奇偶性变化的规律：
偶数+偶数=偶数 奇数+奇数=偶数 偶数+奇数=奇数


1、字母的运算
75%x0.5x3a2.5a

3
25%x33%x
3xx
5


2、水果店运来了50千克苹果和3筐梨子,每筐梨子重a千克,一共运来了水果( )
千克.当a=20时, 一共运来了水果( )千克.
3、每本练习簿x元,买了a 本,付给售货员10元,应找回( )元,当x=1.5, a=8时, 应
再付( )元.
4、最小的自然数是（ ）；最小的质数是（ ）；最小的合数是（ ）．

5、在“
323235353
×，÷，×，÷”四个算式中 ，得数小于的算式个数
454544444
有（ ）个。
A. 2 B. 3 C. 4 D. 1
6、



7、有两个数都是质数，这两个数的和是8，两个数的积是15，这两个数是（ ） 8、育才小学六（2）班共有学生60人。其中13岁的占5%，11岁的占10%，其余的都
是1 2岁。六（2）班11岁的和13岁的一共有多少人？12岁的比11岁的多多少人？





（第1天）
1、字母的运算：
1551
除以的商减去3个的积，差是多少？
426
5(x3)72(x1)

2、一个数既是48的因数，又是6的倍数．这个数可能是（ ）
3、在15、18、25、30、19、100中，
2的倍数有（ ）
5的倍数有（ ）
3的倍数有（ ）
既是2、5的倍数有（ ）
同时是2、3、5的倍数有（ ）
4、4的倍数都是（ ）的倍数．
①2 ②3 ③8
5、某企业2007年初计划全年比2006年多创利20%，计 划创利6000万元。该企业2006

年创利多少万元？



（第2天）
1、4的所有因数有( )，从小到大3的5个倍数是( )。
2、一个数只有（）和（）两个因数，这个数叫做质数.
3、选出两张数字卡片，按要求组成数（8、5、0、9）
组成的数是偶数（ ）
组成的数是5的倍数（ ）
组成的数既是2和5的倍数又是3的倍数（ ）

4、解方程：
25%x=75 60%x－35%x=125 x－40%x=120





5、有360毫升牛奶，装入3个小杯，1个大杯，正好倒满。小杯容 量是大杯的一半。
小杯和大杯的容量各是多少毫升？





（第7天）
1、字母的运算
11111
(3x4)(2x 6)(8x5)(2x)
23422

2、



7
的5倍加上1.7与3的积，和是多少？
20
3、一个数的最大因数是48，这个数是（ ）；一个数的最小因数是（）；因数的个数是
（ ），但是倍数的个数是（ ）
4、2是（ ），但不是（ ）．
①合数 ②质数 ③偶数
5、一个铁块体积500立方厘米，完全浸入棱长10厘米的正方体容器的水中．
①原来水深4厘米，现在水深几厘米？
②原来水深7厘米，溢出多少立方厘米的水？




（第15天）
1、偶数+偶数＝（ ） 奇数+奇数＝（ ）
偶数+奇数＝（ ）
2、10以内，所有质数的积是（ ）．
3、按要求做． 从0、3、5、7这4个数中，选出三个组成三位数．
（1）组成的数是2的倍数有：
（2）组成的数是5的倍数有：
（3）组成的数是3的倍数有：
（4）组成的数是2、3、5的倍数有：


4、按照中国移动的最新规定，长途通话费的标准大约是0.8元分，开通“长话无忧”（每天19∶00-7∶00）后，长途通话费只有原来的
1
。小强的爸爸每月的手机费大 约
4

180元，其中
多少元？

1
是长途通话费，开通“长话无忧”后，小强的爸爸每月可节约手机费
3
（第28 天）
1、在10以内的自然数中，是奇数又是合数的数是（ ）， 两个连续的合数是（ ）
和（ ）．
2、解方程：
x＋15%x=115 15x-30=150 8x+42=178



3、分一分（把下列数填入合适的圆圈内）
1、4、5、11、18、23、45、73、128、116、417、87、2001、345
质数 合数 奇数 偶数





4、用2、5、0、6四个数中，选择两个数组成两位数。
组成的数是偶数：（ ）
组成的数是5的倍数：（ ）
组成的数既是2和5的倍数，又是3的倍数：（ ）
5、3月12日是植树节，学校组织高年 级学生参加植树活动，一共分成9个小组，每小
组植4排，每排植10棵。高年级学生一共植了多少棵树 ？如果每排植8棵，每小组要
植多少排？

个性化教学辅导教案
学生姓名
上课时间
课 题

年 级
年 月 日
六年级
学 科
教师姓名
数学

第7讲 探索规律
教学过程
教师活动

学生活动
1.在下面的（）里填上合适的数。
（ ）124（ ）1
×=×

9（ ）9（ ）1612
2.解方程
5243231
8
X40X×X
7X=
8598255
21





3．把15和20的倍数和公倍数不超过100的填在括号里。
（1）15的倍数（ ）
（2）20的倍数（ ）
（3）15和20的公倍数（ ）
（4）15和20的最小公倍数（ ）
4．甲数＝2×3×5，乙数＝3×5×7，甲数和乙数的最大公因数是（）。
5．自然数a除以自然数b，商是15，那么a和b的最大公因数是（）。

二、判断题
1、8是4和8的最小公倍数，也是这两个数的最大公因数。（ ）
2、两个数的最小公倍数一定比这两个数大。（ ）

3、相邻的两个自然数一定是互质数。（ ）

三、解答题
1．如果b是a的2倍（a不等于0），那么a、b的最大公因数是多少？

2．王叔叔买了一些观赏热带鱼，花了48元，李叔叔也买了一些同样的热带鱼，花了
54元。如果 这些热带鱼的单价都相同，单价最高是多少元？（单价是整数）



< br>1、自1开始，每隔两个数写出一个数来，得到的数列是1，4，7，…问：第100个数
是多少 ？


2、如图是五角星灯连续旋转闪烁所成的三个图形。照此规律闪烁，下一个呈现出来的
图形是（ ）

A B C D

3、有一排算式1+1，2+3，3+5，4+7 ，1+9，2+11，3+13，4+15，1+17，2+19，…，那
么两数之和为2003的算式 是几加几？

4、先观察下面的数列有什么规律，然后在括号里填上适当的数，使它符合这个规律。
（1）46，49，52，（ ），58
（2）
111
,,,
（ ）
248
5、如图是用火柴棍摆成边长分别是 1、2、3根火柴棍时的正方形，当边长为
n
根火柴
棍时，若摆出的正方形所用的火柴 棍的根数为
S
，则
S
＝ （用含
n
的代数式表
示，
n
为正整数）．


算式中的规律
在数学算式中探索规律，应认真观察算式的特点，再观察结果的特点，从而根据 规律
完成这一类题。如：
111
1111121

11111112321
11111111
1234321
数列中的规律
按一定次数排列的一列数叫做数列
1、规律蕴涵在相邻两数的差和倍数中。
如：1,2,3,4,5,6,7，…相邻两数差为1。
1,2,4,8,16,32，…相邻两数为2倍关系。
2、前后几项为一组，以组为单位找关系才可以找到规律。
如：3,1,0,3,1,0,3,1,0…从左至右，每三项为一组
1,1,2,3,5，8,13，…从第三个数开始，每个数都是与它相邻的前两个数的和。
3、需将数列本身分解，通过对比才能发现其规律。
如：12,15,17,30,22,4 5,27,60，…第1,3,5，…项依次相差5，第2,4,6，…项依次相
差15。

数图形中的规律
解答数形题型的题目，要按一定的顺序去做，做到 不遗漏，不重复。数线段的一般公
式是：
(n-1)21(n
为线段的总 端点数）。在数角、三角形、长方形等图形的
个数时，有时可以与数线段的条数联系来思考。

方阵中的规律
（1）方阵问题每边数与四周数之间的数量关系式为：
四周数=（每边数-1）×4 每边数=四周数÷4+1
（2）实心方阵的数量关系为：
总数=外层每边数×外层每边数
（3）空心方阵的数量关系为：
总数=（外层每边数-层数）×层数×4

周期中的规律
如：每个星期总是以7天 为一个周期一次又一次地循环着，又如一串数
3,0,1,8,3,0,1,8,3,0,1,8，…中 ，3,0,1,8,四个数有规律地循环出现。

搭配中的规律
搭配问题的解题思 路类似于乘法原理，即做一件事情，完成它需要分成n个步骤，做
第一步有
m
1
中不同的方法，，做第二步有
m
2
中不同的方法…，做第
n
步有< br>m
n
中不同
的方法，那么完成这件事有
Nm
1
m
2
m
n

例1：先观察下列各式，找出规律再填空。
（1）12345679×9=111111111
（2）12345679×18=222222222
（3）12345679×27=（ ）
（4）12345679×54=（ ）
（5）（ ）×72=888888888
（6）（ ）×（ ）=999999999

例2：有一列数：1,2,3,2,1 ,2,3,4,3,2,3,4,5,4,3,4,5,6,5,4，…这列数中，第2006
个数是多 少？第2008个呢？



例3：数出下列图形中长方形的个数分别是多少？











例4：小明在一个正方形 的棋盘里摆棋子，他先把最外层摆满，用了40个棋子，最外
层每边有多少棋子？如果他要把整个棋盘摆 满，还需要多少棋子？




例5：由1,2,3,4,5五个 数字组成的五位数共有120个，将它们从小到大排列起来，第
95个数是（ ）。

1、观察下面的几个算式：
1+2+1=4，
1+2+3+2+1=9，
1+2+3+4+3+2+1=16，
1+2+3+4+5+4+3+2+1=25，…
根据你所发现的规律，请你直接写出下面式子的结果：
1+2+3+…+99+100+99+…+3+2+1=________。

2 2334455
2
2
，33
2
，44
2，55
2
，......

338815152424
bb
若
1010
2

符合前面式子的规律，则
ab
___________.
aa
2、已知：
2
3、已知下列等式：
① 1＝1；
② 1＋2＝3；
③ 1＋2＋3＝6；
④ 1＋2＋3＋4＝10 ；
…… ……
由此规律知，第⑤个等式是 。
4、观察下列等式：
33332
3332
332
32
1
2
＋21＝ 1（1＋2）
2
2
＋22＝2（2＋2）
3
2
＋2 3＝3（3＋2）
……

则第n个等式可以表示为。 5、
223344aa
22
，
33
，
4 4
，……，若
1010
（a、b
112233bb
都是正 整数），则a+b的最小值是。

在数学中，加法的交换律、结合律，乘法的交换律、结合律和分配律都是运算的规律。
自然数从1开始 ，1,2,3,4，…从小到大排成一列，就是按规律排成的一列数，称为自
然数列。高斯巧妙地计算出 1+2+3+…+100=5050，就是他观察题中数的特点，利用运算
定律达到巧算目的的杰作。在 解题时，常常要求我们要善于观察发现题目的特征，掌
握和理解数的性质，运用题中存在的规律性去解题 ，这就是我们常说的找规律。


1、有一列分数
,,,



2、100个7组成的一个100位数，它除以13的余数是几？



3、一列数1，2，4，7，11，16，22，29，…这列数从左到右第19 93个数除以5的余
数是多少？



4、小的黑、白两种颜色的 棋子摆设如下图所示的正方形图案，则第n个图案需要用白
色棋子枚（用含有n的代数式表示）
1157311
,,,
问：从左到右第100个分数是几分之几？
32912518

（第1天）
1、你能发现下列各组数的规律吗？
（1） 8，11，14，17，（ ），23，26
（2） 4，9，16，25，（ )，49，64
（3） 1，8，27，（ ），125，（ ）

2、按照规律在括号里画出每组的第32个图形。
（1）◎□○◎□○◎□○……（ ）
（2）○○○□○○○□○○○□……（ ）
（3）△△△○○△△△○○…… （ ）


3、六（2）班同学在六一国际儿童节按下面的规律在教室里挂上气球。

第20个汽球是什么颜色的？第27个呢？请说明理由。


4、王琴用围棋子按下面的方式摆成图形。

（1）摆放棋子的规律是什么？


（2）摆第四幅图要用多个棋子？第8幅图呢？

（第2天）
1、 有一列数0，2，5，9，14，20，27，35，44，54，…问：从左起，第100个数是
几？



2、 有一列加法算式4+2，5+8，6+14，7+20，…这些 加法算式的第一个数是按规律排
列的，第二个数也是按规律排列的。问：第99个数是几加几？



3、如下图是小明用火柴搭的1条、2条、3条“金鱼”……，则搭< br>n
条“金鱼”需要
火柴根。
……
4、如图，在图1中，互不重叠的 三角形共有4个，在图2中，互不重叠的三角形共有
7个，在图3中，互不重叠的三角形共有10个，… …，则在第
n
个图形中，互不重叠
的三角形共有个（用含
n
的代数式 表示）。

5、在计算机程序中，二杈树是一种表示数据结构的方法。如图，一层二杈树的结 点总
数是1，二层二杈树的结点总数是3，三层二杈树的结点总数是7，四层二杈树的结点
总数 是15……照此规律七层二杈树的结点总数是。
一层二杈树
二层二杈树
三层二杈树

（第7天）
1、 一些小球按下面的方式堆放：你知道第5堆有多少个小球吗？第8堆呢？第n堆
呢？
(1)(2)
(3)
(4)




2、用黑白两种颜色的正方形纸片．摆出如下的图案．

白色纸片每次增加的个数是________；
第(4)个图案的白色纸片共有________个；
第n个图案中的白色纸片共有_________个．

3、探索：把一根绳子对折 1次，然后从中间剪一刀，这根绳子被剪成多少段？对折2
次呢？对折3次呢？你能运用规律计算对折1 0次被剪成的段数吗？

个性化教学辅导教案
学生姓名
上课时间
课 题

年 级

六年级
学 科
教师姓名
数学

第8讲 立体图形之等积、切割、浸水问题
教学过程
教师活动


学生活动
1、找规律：
（1）698、699、700、（ ）、（ ）、（ ）、（ )、705。
（2）396、（ ）、（ ）、402、404、（ ）、（ ）。
（3）200、400、（ ）、（ ）、1000。
2、算一算，填一填。

3、观察点子图，找一找有什么规律

想一想，第8个方框里有______个点，第20个方框内呢？________
4、填□，找规律

你发现什么规律？你能根据规律再写一个这样的算式吗？

1、一个圆柱形量桶，底面半径是5厘米，把一块铁块从这个量桶 里取出后，水面
下降了3厘米，这块铁块的体积是多少立方厘米？


< br>2、一个圆柱体的高减少2厘米后，它的表面积比原来减少了25.12平方厘米，这
个圆柱体的 底面积是多少平方厘米？



3、把一根长1.5米的圆柱形钢材截成三 段后，表面积比原来增加9.6平方分米，
这根钢材原来的体积是多少？




题型一：等积问题
1、一个棱长是4分米正方体容器装满水后，倒入一 个底面积是12平方分米的圆
锥体容器里正好装满，这个圆锥体的高是（ ）分米。
2、一 个圆锥形沙堆，底面周长是12.56米，高是4.8米，用这堆沙在10米宽的
公路上铺2厘米厚，能 铺多少米长？



3、把一个底面积是6.28平方分米、高9分米的圆 柱体铁块熔铸成一个底面积是
12.56平方分米的圆锥体，圆锥体的高是多少分米？

题型二：切割问题
1、把一个底面积为6.28立方厘米的圆柱，切成两个圆柱，表面积增加（）平方
厘米。 < br>2、把一个棱长为12厘米的正方体木块加工成一个最大的圆锥，圆锥的体积是多
少立方厘米？削 去的部分是多少立方厘米？



3、把一个棱长6分米的正方体木块，削 成一个最大的一圆柱体，这个圆柱的体积
是多少立方分米？


题型三：浸水问题
1、一个底面直径是20分米的圆柱形容器中装有水，水中完全浸入一个底 面半径
为5分米的圆锥形铅锤，把铅锤从水中取出后，容器中的水位下降了1分米，铅
锤的高是 多少分米？



2、一个底面直径为20厘米的圆柱形容器中装有水，水 中放着一个底面直径为12
厘米，高为5厘米的圆锥体铅锤，当铅锤从水中取出后，容器中水面高度下降 了
几厘米？

3、一个 高40厘米的圆柱形水桶，底面半径是20厘米，这个桶盛有半桶水。小红
将一块石头完全浸入水桶中， 水面比原来上升了3厘米，这块石头的体积是多少？




1、把一根圆柱形木料据成四段，增加的底面有（ ）个。
2、一个圆锥形沙堆，底面半径 3米，高2.7米，用这个沙堆在15米宽的公路上
铺4厘米厚的路面，能铺多少米？




3、一辆货车厢是一个长方体，它的长是4米，宽是2.5米，高是4 米，装满了一
车粮食，现在要把这些粮食卸到一个底面半径是2米的圆柱形粮仓里，能装多高？
（得数保留一位小数）



4、将底面周长是31.4分米的圆锥形木料 沿底面直径竖直切开，表面积增加了30
平方分米，原来圆锥的体积是多少立方分米？



5、一根圆柱形木材长2米，把它截成相等的4段后，表面积增加了18.84平 方厘
米。原来这根圆木的体积是多少立方厘米？

1、一根圆柱形有机玻璃棒，体积是54立方厘米，底面积是4立 方厘米，把它平
均截成5段，每段长（ ）cm。
2、工地上有一堆圆锥形三合土，底面周 长37.68m，高5m，把这些三合土在宽15.7m
的路面上铺4cm厚，可铺多少米？



3、一个高为9分米的圆柱体，沿底面直径切成相等的两部分，表面积增加72平
方分米，这个圆柱体的体积是多少立方分米？



4、如图，一 个圆柱高8厘米，如果它的高增加2厘米，那么它的表面积将增加25.12
平方厘米，求原来圆柱的体 积。


1、一个棱长是4分米的正方体容器装满水后，倒入一个底面积是12平方 分米的
圆锥形容器里正好装满，这个圆锥形容器的高是（ ）分米。
2、一个圆柱的高增加3.5厘米，体积增加了49立方厘米。这个圆柱的底面积是
（ ）平方厘米。
3、把一根长4米的圆柱形的钢材截成相等的两段以后，表面积增加了0.28平方分米，如果每立方分米钢材重7.8千克，这根钢材重多少千克？

4、一个底面积是125.6平方米的圆柱形蓄水池，容积是314立方米。 如果再深挖
0.5米，水池容积是多少立方米？
5、一根底面直径是2分米、长是2米的圆木 ，要锯成横截面是最大的正方形的方
木，需要锯下多少木料？

1、一个圆柱与一个 长为18分米，宽5分米，高3分米的长方体体积相等。如果
圆柱的高是9分米，它的底面积是（ ）分米。
2、把一个棱长是4分米的立方体钢柸切成一个最大的圆柱，这个圆柱的体积是（ ）
立方分米。
3、下图是一个圆柱体，如果把它的高截短3厘米，它的表面积减少94.2平 方厘
米。这个圆柱体积减少多少立方厘米？

4、一个皮球掉进盛有水的圆柱形玻璃 缸内，玻璃缸底面直径是20cm，皮球有
4
的
5
体积浸入水中（如图），若 把皮球从水中取出，缸内水面下降2cm，求皮球的体积？

5、如下图，一只装有水的圆柱 形玻璃杯，底面积是80cm²，水深8cm。现将一个
底面积是16cm²的长方体铁块竖放在水中后 ，仍有一部分铁块露在外面，现在水深
多少厘米？

个性化教学辅导教案
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上课时间
课 题

年 级

六年级
学 科
教师姓名
第9讲 阴影部分面积
教学过程
教师活动


1、下 图是一个圆柱体，如果把它的高截短3厘米，它的表面积减少94.2平方厘
米。这个圆柱体积减少多少 立方厘米？

数学

学生活动

2、一根底面直径是 2分米、长是2米的圆木，要锯成横截面是最大的正方形的方
木，需要锯下多少木料？




3、一个底面积是125.6平方米的圆柱形蓄水池，容积是314立 方米。如果再深挖
0.5米，水池容积是多少立方米？

1、如图所示，求图中阴影部分的面积。（单位：分米，π取3.14）






2、如图所示，正方形ABCD的边长为4 厘米，分别以B、D为圆心，以4厘米为半
径在正方形内画圆，求阴影部分面积。（π取3）



3、计算阴影部分的面积。（单位：cm）



4、求出如图阴影部分的面积。（单位：cm）

【例题1】已知如图，三角形ABC的面积为8平方厘米，AE＝ED，BD=
影部分的面积。
2
BC，求阴
3



变式1-1：如图，AE＝ED，BC=3BD，S△ABC＝30平方厘米。求阴影部分的面积。



【例题2】两条对角线把梯形ABCD分割成四个三角形，如图所示， 已知两个三角
形的面积，求另两个三角形的面积各是多少？



变式2-1：两条对角线把梯形ABCD分割成四个三角形，（如图所示），已知两个三
角形的面积，求 另两个三角形的面积是多少？


【例题3】四边形ABCD的对角线BD被E、F 两点三等分，且四边形AECF的面积为

15平方厘米。求四边形ABCD的面积（如图所示）。


变式3-1： 四边形ABCD的对角线BD被E、F、G三点四等分，且四边形AECG的面
积为15平方厘米。求四 边形ABCD的面积（如图）。


【例题4】如图所示，BO＝2DO，阴影部分 的面积是4平方厘米。那么，梯形ABCD
的面积是多少平方厘米？


变式4-1：如图所示，阴影部分面积是4平方厘米，OC＝2AO。求梯形面积。


【例题5】求图中阴影部分的面积（单位：厘米）。


变式5-1：求下面各个图形中阴影部分的面积（单位：厘米）。

【例题6】求图中阴影部分的面积（单位：厘米）。


变式6-1：计算下面图形中阴影部分的面积（单位：厘米）。


1、如图所示，AE=ED，DC＝
1
BD，S△ABC＝21平方厘米。求阴影部分的面 积。
3


2、已知AO＝
1
AC，求梯形ABCD的面积（如图所示）。
3



3、已知四边形ABCD的对角线被E、F、G三点四等分 ，且阴影部分面积为15平方

厘米。求四边形ABCD的面积（如图所示）。


4、已知OC＝2AO，S△BOC＝14平方厘米。求梯形的面积（如图所示）。



1、已知S△AOB＝6平方厘米，OC＝3AO，求梯形的面积（如图所示）。


2、如图所示，求阴影部分的面积（ABCD为正方形，单位：厘米）。


3、已知三角形AOB的面积为15平方厘米，线段OB的长度为OD的3倍。求 梯形
ABCD的面积。（如图所示）。

4、如图所示，DE＝
1
AE，BD＝2DC，S△EBD＝5平方厘米。求三角形ABC的面积。
2

1、求下面图形中阴影部分的面积（单位：厘米）。


2、计算下面图形中阴影部分的面积（单位：厘米，正方形边长4）。


3、如图所示，求图中阴影部分的面积（单位：厘米）。


4、在图中，正方形的边长是10厘米，求图中阴影部分的面积。

1、求下面图形中阴影部分的面积（单位：厘米）。



2、计算下面图形中阴影部分的面积（单位：厘米，扇形半径为4）。



3、图是两个完全一样的直角三角形重叠在一起，按照图中的已知条件 求阴影部分
的面积（单位：厘米）。



4、求下面各图形中阴影部分的面积（单位：厘米）。

个性化教学辅导教案
学生姓名
上课时间
课 题
教学目标

年 级
年 月 日
六年级
学 科
教师姓名
数学

第10讲 和倍、差倍问题
1、掌握差倍问题的题型及解题方法。
2、加强巩固数形结合的能力。
教学过程
教师活动

1、如图，AE＝ED，BC=3BD，S△ABC＝30平方厘米。求阴影部分的面积。
学生活动



2、两条对角线把梯形ABCD分割成四个三角形 ，（如图所示），已知两个三角形的面积，
求另两个三角形的面积是多少？




3、计算下面图形中阴影部分的面积（单位：厘米，正方形边长4）。

1、一个长方形操场，周长是78米，已知长是宽的2倍，这个操场长 分米，宽 分
米．
2、甲除以乙的商是10，甲乙的和是77，甲是 ，乙是 ．
3、父亲现年50岁，女儿现年14岁，（ ）年前，父亲的年龄是女儿年龄的5倍.
4、育才小学有教师108人，其中女教师人数是男教师的3倍．男教师有多少人？



5、一张桌子、一张椅子和一个熨斗共540元．已知一张椅子的价格比一个熨斗 多60
元，桌子单价是椅子的2倍．请问一张椅子多少元？



6、六年级学生参加课外活动，做游戏的人数比打球的人数的3倍多2人。已知做游戏
的比打球的多38 人，打球和做游戏的各有多少人？



7、玩具厂二月比一月份多生产玩 具2000个。三月份比二月份多生产3000个，三月份
生产的玩具个数是一月份的2倍，每个月各生 产多少个？




 考点一：典型和倍问题
1、和倍问题概念：已知两个数的和以及它们之间的倍数关系，求这两个数各是多少的
问题。
2、和倍问题的特点是已知两个数的和与大数是小数的几倍，要求两个数，一般是把较

< br>
小数看作1倍数，大数就是几倍数，这样就可知总和相当于小数的几倍了，可求出小
数 ，再求大数。
3、和倍问题的数量关系式是：和÷（倍数+1）=小数；
小数×倍数=大数 或 和－小数=大数。
4、如果要求两个数的差，要先求一份数：一份数×(倍数－1)=两数差。

例1： 甲班和乙班共有图书160本.甲班的图书本数是乙班的3倍，甲班和乙班各有图
书多少本？
线段图分析：


例2：甲班有图书120本，乙班有图书30本，甲班给 乙班多少本，甲班的图书是乙班
图书的2倍？（请画出线段图，再作答）






例3： 光明小学有学生760人，其中男生比女生的3倍少40人，男、女生各有多少人？




方法总结：根据题目中所给的条件和问题，画出线段图，使数量关系一目了然，从 而
正确且迅速地列式解答。

变式1-1：一个长方形的 周长是36厘米，长是宽的2倍，这个长方形的面积是多少平
方厘米？




变式1-2：两组学生参加义务劳动，甲组学生人数是乙组的3倍，而乙组的学生人数比甲组的3倍少40人，求参加义务劳动的学生共有多少人？



< br>变式1-3：毕业在即，六年级某班为纪念师生情谊，班委决花800元班费买两种不同单
价的留 念册，分别给50位同学和10位任课老师每人一本留作纪念。其中送给任课老
师的留念册的单价比给同 学的单价多8元。请问：这两种不同留念册的单价分别为多
少元？




 考点二：几个数的和倍问题
例4：果园里有桃树、梨树、苹果树共552棵。 桃树比梨树的2倍多12棵，苹果树比
梨树少20棵，求桃树、梨树和苹果树各有多少棵？
线段图分析：

例5：549是甲 、乙、丙、丁4个数的和。如果甲数加上2，乙数减少2，丙数乘以2，
丁数除以2以后，则4个数相等 。求4个数各是多少？（请同学们尝试画出线段图，
再作答）







方法总结：解决几个数的和倍问题时要确认一倍量和它的几 倍量，并画线段图辅助，
借助图形来解决实际问题。
变式2-1：甲、乙、丙三个小朋友共有 73块巧克力，如果丙吃掉3块，那么乙和丙的
巧克力就一样多；如果乙给甲2块巧克力，那么甲的巧克 力就是乙的2倍，丙原有多
少块巧克力？




变式2 -2：甲、乙、丙三所小学的学生人数的总和为1999。已知甲校学生人数的2倍
和乙校学生人数减去 3人与丙校学生人数加上4人都相等。问甲、乙、丙各校学生人
数是多少？




变式2-3：甲、乙、丙三数的和是188，甲数除以乙数，或丙数除以甲数，结 果都是商
6余2，乙数是（ ）。

 考点三：典型差倍问题
1、差倍问题的概念：已知大小两数的差，以及大小两数的倍数关系，求大小两数的问
题。 < br>2、和倍问题和差倍问题的特征和解题方法很相似，如果知道了两个数的差与两个数的
倍数关系， 要求各个数是多少，这一类题，我们则把它称为“差倍问题”。
3、差倍问题的基本关系式：差数÷（倍数－1）＝较小数；较小数×倍数＝较大数。
例6：甲班的图书本数比乙班多80本，甲班的图书本数是乙班的3倍，甲班和乙班各
有图书多少本 ？
线段图分析：





例7：有大小两 个书架，大架上的本数是小书架上的4倍，如果从大书架上取出150
本放到小书架上，这时，两架上的 书的本数相等。大小书架原各有多少本？







方法总结：首先要在题目中找到1倍数，被除数的数量和除数的倍数关系要相对应，
相除后得到的结果是1倍数。此外，还要充分利用线段图帮助分析数量关系。

 考点四：差倍问题的变形
例8：仓库里存放大米和面粉两各粮 食，面粉比大米多3900千克，面粉的千克数比大
米的2倍还多100千克，问仓库有大米和面粉各多 少千克？
线段图分析：




方法总结：正确找 出当两数之间刚好满足“整倍数”的关系的时候对应的“差”是多少，
然后再根据基本公式计算。

 考点五：三个数的差倍问题
例9：育红小学买了一些足球、排球和篮球，已知 足球比排球多7只，排球比篮球多
11只，足球的只数是篮球的3倍。足球、排球和篮球各多少只？
线段图分析：





方法总结：将三个量用 线段的方式表示出来，分别标出两两之间的关系，转换成为两

个数的差倍问题再进行列式计算。

1、甲、乙、丙三数之和是2013，甲数比乙数的2倍还少3，乙数是丙数的2倍，甲数
是（ ）。
A、288 B、576 C、1149
2、一个长方形操场，周长是78米，已知长是宽的2倍，这个操场长（ ）分米，宽（ ）
分米。
3、鸡兔同笼，从上面数8个头，有22只脚，鸡有（ ）只．
A、3 B、5 C、6
4、强强一次捐款175元，分别是20元和5元的，共有23张，其中5元的有（ ）张．
A、4 B、19 C、13
5、水果店运来苹果和梨共310千克，运来的苹果是梨的61倍，运来苹果多少千克？



6、两个数的和是616，其中一个加数的个位上是0，若把0去掉，就与另一个 加数相
同，这两个数分别是多少？



7、甲、乙、丙三个数的 和是120，其中甲、乙两个数的和是丙的3倍，甲比乙多10。
三个数各是多少？



8、一支钢笔比一支圆珠笔贵6.6元，已知圆珠笔的单价是钢笔的
单价各是多少元？


1
。钢笔和圆珠笔的
4

9、 某农具厂第三季度比第二季度多生产2800套轴承，第一季度比第二季度少生产1200
套。第三季度 生产的是第一季度的3倍。求每季度各生产多少？






1、理解并熟记公式：和÷（倍数+1）=小数
小数×倍数=大数
或 和－小数=大数
2、为了帮助我们理解题意，弄清两种量彼此间的 关系，常采用画线段图的方法来表示
两种量间的这种关系，以便于找到解题的途径。
3、除了列式计算外，也可用列方程的方法解决和倍问题。
4、差倍问题是大数、小数、倍数 以及大小数之差四者之间发生的问题，所有的问题都
离不开三个基本公式： 两数差÷（倍数-1）=小数（一倍数） ；
小数×倍数=大数（几倍数）；
小数+两数差=大数（几倍数）。
5、为了更好的弄清楚题意，通常采用画线段图的方法。
6、除了列式计算外，必要时也可用列方程的方法解决差倍问题。


1、 两个自然数的和是286，其中一个数的末位数是0，如果把这个零去掉，所得的数
与另一个数相同，那 么原来两位数的积是（ ）。
2、两个数的和是194.5，较大数除以较小数商是4，余数是 12，这两个数分别是（）
和（）。
3、一个数的小数点向右移动一位，则新数比原数大56.34，则原数是（）。
4、甲对乙 说：“你给我l30元，我的钱将比你多1倍．”乙回答：“你只要给我20元，
我的钱就比你多2倍． ”甲原来有（）元，乙原来有（）元。

5、校园里有桃树和杏树共112棵，其中杏树105棵，杏树的棵数是桃树的几倍？



6、图书馆有文艺书和故事书共960本，其中文艺书的本数是故事书的3倍，买 来故事
书多少本？



7、两根电线的长相差30米，长的那根的长是短的那根的长的4倍。这两根电线各长
多少米？



8、甲、乙二工程队，甲队有56人，乙队有34人。两队调走同样多 人后，甲队人数是
乙队人数的2倍。问：调动后两队各有多少人？




（第1天）
1、小明和小强共有画片200张，小明的张数比小强的张数的2倍还多20张，则小强
有（ ）张画片。
2、有两层书架，共有书173本，从第一层拿走38本书后，第二层的书是第一层的2< br>倍还多6本，则第二层有（ ）本书。
3、甲乙两数之差是79.2，甲数的小数点向左移动一位后，正好和乙数相等，甲数是（）。
4、小阳期中考试时语文和数学的平均分数是96分，数学比语文多8分．语文是（）
分，数学是（） 分。

5、李大伯家的猪场里有母猪和小猪共84头，其中小猪的 头数是母猪的3倍．母猪和
小猪各有多少头？



6、小云比小 雨少20本书，后来小云丢了5本书，小雨新买了11本书，这时小雨的书
比小云的书多2倍。问：原来 两人各有多少本书？



（第2天）
1、三块布共长220米 ，第二块布长是第一块的3倍，第三块布长是第二块的2倍，第
一块布长（ ）米。
2、 今年哥俩的岁数加起来是55岁，曾经有一年，哥哥的岁数与今年弟弟的岁数相同，
那时哥哥的岁数恰好 是弟弟的2倍，哥哥今年（ ）岁。
3、一个人用140元买了一件外衣、一顶帽子和一双鞋，外衣 比帽子贵90元，外衣和
帽子共比鞋贵120元，一双鞋（）元。
4、今天食堂买回四种菜， 包菜和花菜共53千克，花菜和白菜共40千克，白菜和菠菜
共28千克，包菜和菠菜共（）千克，四种 菜共（）千克。
5、果园里有桃树和梨树共340棵，梨树的棵数比桃树的3倍还多20棵，果园里有 桃
树、梨树各多少棵？



6、李师傅生产的零件个数是徒弟的 6倍，如果两个人各再生产20个，那么李师傅生
产零件的个数是徒弟的4倍，两人原来各生产零件多少 个？

个性化教学辅导教案
学生姓名
上课时间
课 题
教学目标

年 级
年 月 日
六年级
学 科
教师姓名
数学

第11讲 和差、归总问题
1、掌握和差、归总问题的题型及解题方法。
2、加强巩固数形结合的能力。
教学过程
教师活动

1、甲、 乙、丙三个数的和是120，其中甲、乙两个数的和是丙的3倍，甲比乙多10。
三个数各是多少？



2、一支钢笔比一支圆珠笔贵6.6元，已知圆珠笔的单价是钢笔的
单价各是多少元？




3、图书馆有文艺书和故事书共960本，其中文艺书的本 数是故事书的3倍，买来故事
书多少本？




学生活动
1
。钢笔和圆珠笔的
4

4、两根电线的长相差30米，长的那根的长是短的那根的长的4倍。这两根电线各长
多少米？




1、有一块长方形蔬菜试验地，它的长比宽多12米，周围 篱笆长92米，这块地长多少
米？宽多少米？





2、白色、绿色两个书架共有书480本，如果从白色书架取出40本书放入绿色书架中，
这时 两个书架上书的本数正好相等。白、绿两个书架原来各有多少本书？





3、小华到文具店买笔，原计划按每支4元钱，可以买48支，结果笔的价格下调了，
他用这笔钱多买了支16支，问笔的价格下调后每支多少元？





4、家具厂生产一批小农具，原计划每天生产120件，28天完成任务；实际每天多生产< br>了20件，可以几天完成任务？

已知两个数的和与差，求出这两个数各是多少的问题，叫和差问题。
 考点一：两个数的和差问题
1、和差问题的概念：已知两个数的和以及两个数的差，求这两个数各是多 少的应用题，
叫做和差应用题，简称和差问题。
2、和差问题的解题规律是：
(两数的和－两数的差)÷2=较小的数；较小的数+两数的差=较大的数；
(两数的和+两数的差)÷2=较大的数；较大的数－两数的差=较小的数。
【例1】甲乙两 人同时以相同的速度打字，2分钟共打了240个字，已知甲每分钟比乙
多打10个字。问甲、乙两人每 分钟各打多少个？




【例2】甲乙两个仓库共存大米56包 ，从乙仓库调8包到甲仓库，两个仓库大米的包
数就同样多了，甲、乙两个仓库原有大米各多少包？




【例3】学校买了4个足球和2个排球，共用去了162元 。每个足球比每个排球贵3
元，每个足球（ ）元，每个排球（ ）元。
线段图分析：

方法总结：解和差问题时，通常先用公式求一个数，再用减法求另一 个数；可以先画
出线段图，从线段图上找到大数和小数，并找到解决方法。