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数学六年级（下）沪教版（线段的相等于和、倍、差）教师版
数学学科教师辅导讲义


年 级：预初 科 目：数学 课时数：3
课 题 线段的相等与和、差、倍
1. 熟练掌握线段和、差、倍的画法，学会满足各种要求的线段的画法．
2．熟练利用线段的中点解题，会用尺规作已知线段的中点．
3．直观与实验操作相结合，运用几何作图的基本语句说理表达；能利用所学知识解决实
际问题．
教学内容
教学目的
【知识点梳理】
1.利用线段的性质：“两点之间的所有连线中，线段最短.”解决实际问题.
2.求线段的和、差、倍，并学会按要求作图.
3.尺规作图.
【例1】如图① 所示的是一个圆柱形的柱子，一只小蚂蚁由圆柱的一条高
线
AB
的最底端
B< br>点沿侧面转圈爬到顶端
A
点，小蚂蚁的最短路线怎么
走？
【分析】求 最短路线，可利用“两点之间线段最短”，而路线又过侧面，所
以应从展开图来找路线．
【解析】如图②所示，小蚂蚁沿侧面展开图中
AB
间的线段爬行路线最短.

【借题发挥】如图，一只昆虫要从正方体的一个顶点爬到相距它最远的另一个顶点，哪条路径短，为什么 ？

【答案】将正面与右侧面摊平，利用“两点之间线段最短”的性质求解.


【例2】如图所示，点
M
是线段
AB
上一点，点
C
是线段
AM
的中点，点
D
是线段的中点，已知
AM
=5厘米，
MD1
厘米，根据图形填空：

1
( )

( )厘米；
2
BM2
( )

( ) 厘米;
AB
( )

( )

( ) 厘米;
AC
( )

BC(
)

( )

( ) 厘米
CD
( ) 厘米;
1 8

数学六年级（下）沪教版（线段的相等于和、倍、差）教师版
CD
（ ）
AB
．
【解析】结合图形，利用线段中点的意义 、线段的和、差的定义．要弄清题目的要求，有些要求填数，有些要求填线
段．
【答案】CM
,
AM
,2.5；
MD
,2；
AM
,MB
,7；
AB
,
AC
,4.5；3.5,


【例3】用“尺规法”找线段的中点．
【解析】（1）在线段
AB
上,以点
A
为圆心，以大于
1
.
2
11
AB
的 长为半径作弧；以点
B
为圆心，以大于
AB
的长为半径
22
作弧，两弧分别交于点
E、F
；
（2）作直线
EF
,交线段
AB
于
C
. 点
C
就是所求的线段
AB
的中点.


【例4】 如图所示，已知线段
a
、
b
、
c
，用直尺、圆规画一条线段 ，使它等于
2abc
.
【分析】画线段的和差，我们一般先画和后画差，因此 我们先画出
2ac
，再画
2abc
.
【解析】(1)画射线
OM
;
(2)在射线
OM
上顺次截取
OA2a,ABc
；
．．
(3)在线段
OB
上反向截取
BCb
．
．．
则线段
OC
就是所要求的线段（如下图）．



【例5】如图①所示，已知线段
m
、
mn
， 用圆规和直尺画一条线段
OE
，使
OEmn
.
【分析】线段< br>n
的长度未知，我们可以利用
mn
和
m
的长得到
n
的长，然后就能解决问题了.

① ②
【解析】(1)画射线
ON
;
(2)在射线
ON
上截 取
OCmn
，在线段
OC
上截取
ODm
；则线段DCn
;
(3)在线段
OD
上截取
DEn
． 如图②所示线段
OE
就是所要画的线段
mn
．


【借题发挥】
1.如图，已知线段
m
、
n
(
mn
)，用直尺和圆规作一条线段使它分别等于：
(1)
mn
．

2 8

数学六年级（下）沪教版（线段的相等于和、倍、差）教师版
(2)
mn
．

2.如图，已知线段
m
、mn
，用圆规和直尺画一条线段，使它等于
n
．





【例6】如图所示，若
AC4AB,AD5AC,AB ACAD50
，求
AB
、
AD
、
AC
、
BC
、
CD
的长．

【分析】我们可以用列方程的方法来解决， 如果设AB为
x
．根据题意，则AC为
4x
，AD为
20x
，再根据
ABACAD50
列方程求出
x
就可以了．
【解析 】设AB为
x
，那么AC为
4x
，AD为
20x
．根据题意 ，得

x4x20x50
．
解方程，得
x2
．
所以
AB2,AC8,AD40,BCAC AB6,CDADAC32
.


【例7】已知线段
AB
，在线段
AB
的延长线上取一点
E
，使
AE2AB
,再在
AB
的反向延长线上取一点
F
，使
BF3BE
， 求
AE:BF
.
【分析】要求按题意正确画出图形，再根据图形求出
AE: BF
的比值，这种方法称作图形结合.
【解析】解法一：从画出的图形(见下图所示)可以看出
AE:BF2:3
．

解法二：已知
AE2AB
，可设
ABx
，得 到
AE2x

又 因为
BEAEAB2xxx
，而< br>BE3BE
，所以
BF3x
，则
AE:BF2x:3x2:3
．
【方法总结】这种求线段的比的题，一种方法是 通过画图直观得出结果，另一种就是通过数学计算进行推导.


【例8】点
C
为线段
AB
上任意一点，
M
是
AC
的中点，< br>N
是
BC
的中点，问：
(1)
MN
的大小与
AB
有怎样的关系？
(2)当点C
在
AB
上移动时，其他已知条件不变，此时
MN
与
A B
的大小关系如何变化？为什么？
【分析】如图所示，因为
M
是
A C
中点，
N
是
BC
中点,
所以
MC
11
AC,CNBC
，
22
3 8

数学六年级（下）沪教版（线段的相等于和、倍、差）教师版
所以
MNMCCN
即
MN
1111
ACBC

A CBC

AB
．
2222
1
AB
.因此当< br>C
点在
AB
上移动时,
MN
总等于
AB
长的一半．
2
【解析】(1)
M
、
N
分别是
AC
、
BC
的中点，
11
MCAC,CNBC
.
22
111
(2)
MNMCCN(ACBC)AB
．即
MNAB

222
MN
与
AB
的大小关系不变.
【方法总结】画出图形，运用线段中点的定义解决问题，此题还可以当做一个结论来应用．

【借题发挥】
1.如图所示，已知线段
m
、
nm
，用圆 规和直尺画一条线段
AB
，使
AB2mn
．

2．已知线段
a
、
b
、
c
．
(1)用圆规和刻度尺画出线段
m
，使
m
1
c
.
2
c
．
2
(2)用圆规和直尺作出线段
AB
使
ABa2b

3．先画出图形，再计算：
(1)在射线
OM
上截取
OA2 cm
，
AB4cm
，画
OB
的中点
D
，并求DB
的长．
(2)已知线段
AB6cm
，延长
AB
到
C
，使
BC
【答案】画图分析得出
OB
长为
6 cm
，所以
DB
11

AB
；反向延长
AB到
D
，使
ADAB
．求线段
DC
的长．
23
1
OB3cm

2

4.如图所示，已知线段
A B14
．在
AB
上有
C
、
D
、
M
、
N
四点，且满足
AC:CD:DB1:2:4
,
AC2AM ,DB4DN
,求
MA
的长．
、
【答案】画图分析或历列式计算都可以得出结果，
MA1


5. 如图所示，已知线段
a
，且
a:b:c2:1:
1
，画出线段CDacb
.
2
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数学六年级（下）沪教版（线段的相等于和、倍、差）教师版

【分析】在画图时，要求中就有加法又有减法时，要先画加法部分，再画减法，即：先和后差.

【例9】某公司员工分别住在
A
、
B
、
C
三个住宅区，
A
区有30人，
B
区有15人，
C
区有10 人．三个区在同一
条直线上，位置如图所示，该公司的班车打算在此间只设一个停靠点，为使所有员工步 行到停靠点的路程之和最小，
那么停靠点的位置应设在( )．
A．
A
区 B．
B
区
C．
C
区 D．
A
、
B
两区之间
【解析】本题既要依据“线段最短公理”确定停车点位，又要顾及
A
、
B、
C
三
个住宅区的居住人数．解答此题的一般思路是分四种情况求它们的路程之和 ，然后比较它们的路程的大小. 经计算比
较选A.




【随堂练习】
1.如下图，已知线段
a
，求作一条线段，使它等于3
a
.
解(i)作射线 ．
(ii)在射线 上，顺次截取 ＝ ＝
a
，线段 就是所要求作的线段．


2.根据下列图形填空：
（1）如图，已知点
B
、
C
在线段
AD
上，点
C
是
AD
的中点．
B DAB




1

CD





AC









1

AD

< br>2


2



< br>AD


2
（2）如图，
AB2

< br>．





．

3. 如图，四边形
ABCD
、四边形
BCEF
是正方形．画出表示点
A< br>和点
E
之间距离的线段.
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数学六年级（下）沪教版（线段的相等于和、倍、差）教师版

4. 如下图，
A
、
B
、
C
、
D
、
E< br>五个村庄位于同一条直线上，
B
、
D
分别位于线段
AC
、
CE
的中点．一辆汽车用
同样的速度行驶，从
A
村开到
C
村用了30分钟，从
B
村开到
D
村用了50分钟，这辆汽车从E
村开到
B
村要用多少
时间？


5．已知 线段
AB
，在
AB
的延长线上取一点
C
，使
BC AB
，再在
AB
的反向延长线上取一点
D
，使
DA2AB
，
线段
DB
等于线段
BA
的几倍？线段
CA
是线段
DB
的几分之几？比较线段
AD
和线段
AC
的大小 ．

6．已知线段
a
、
b
、
c
（
abc
），用直尺和圆规作出线段
AB
，使
ABa2cb
.（要求写出表示作图过程的
语句，并画出正确的图形）



【答案】
1.
AP
；
AP
；
AB
；BC
；
CD
；
AD
.
2. (1)
BC< br>；
BC
；
BC
；
BC
；
BC
.
(2)
a
；
c
；
d
.
3.
AE
.
4. 汽车从
E
村开到
B
村要用85分钟，计算过程为：

50302

5085
（ 分）
5. 3倍；
CA
2
DB
;
ADAC
.
3
6. 图略；作图过程：（1）画一条射线
AP
；
（2）在
AP
上顺次截取
AQa,QCb
；
（3）在
AC
上反向截取
CDc,DBc
；
AB
即为所求的线段
ABa2cb

【课堂总结】




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数学六年级（下）沪教版（线段的相等于和、倍、差）教师版
【课后作业】
1．判断题：（正确的用“√”表示，错误的用“×”表示）
(1)直线比射线长． ( )
(2)延长直线
AB
． ( )
(3)联结两点间的线段，叫做这两点间的距离． ( )

2．填空：
(1)平面上有三个点，经过其中每两点画一条直线，至多可以画出 条直线，至少可以画出 条直线．
(2)如图，
AB4BC
，
D
是
AC
的中点，那么

AC
( )－( )＝
BCBC
BC；

AD

AC

BC
；

DB
( )－( )＝
BC
－
BC
＝
BC
；
AD



DB


BC




BC

所以
AD
是
DB
的 ．（填“几倍”或“几分之几”）

3.如图，请分别量出我国局部地图中北京到重庆和上海 到重庆的大致距离，判断北京与上海中哪个城市与重庆的距离
较远．


4. 在图中按所给的语句画图：
(1)联结线段
BD
.
(2)过
A
、
C
画直线
AC
．
(3)延长线段
AB
．
(4)反向延长线段
AD
.
(5)在射线
AB
上，截取
BEAB
.
(6)在线段
AD
的反向延长线上截取
AF2AC
．



5. 已知线段
a
、
b
、
c
（右图）．
(1)用圆规和刻度尺画出线段
m
，使
m
1
c
.
2
c
．
2
(2)用圆规和直尺作出线段
AB
使
ABa2b

6. 如右图所示的零件，不易量得
b
的长度，因此先量得
l
、a
、
c
的长度，再计算
b
的长度．
(1)用l
、
a
、
c
的式子表示
b
，那么
b< br>＝ ．
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数学六年级（下）沪教版（线段的相等于和、倍、差）教师版
(2)如果
l560mm
，
a115mm
，
c105mm
,那么
m

mm
.









【答案】
1.(1)×；(2) ×；(3) ×.
2. (1) 3；1
(2)
AB
；
CB< br>；4；3；
13353533
；；
AB
；
AD
；4; ;;;;;.
22222255
3.北京与重庆的距离较远 .
4. 图略.
5.(1)按照例题中中点的作图方法作
m
6. (1)
lac
；(2)
340mm
.

















1
c
；(2)先画和后画差.注意尺规作图的基本语句的使用.
2
8 8