山西机电职业技术学院-今年万圣节是几月几日

和倍问题 差倍问题

和倍问题：已知两个数的和及它们之间的倍数关系， 求两个数各是多少的应用题，叫做
和倍问题。

解题关键：找准标准数（即1倍数） 一般说来，题中说是“谁”的几倍，把谁就确定为
标准数。求出倍数和之后，再求出标准的数量是多少。 根据另一个数（也可能是几个数）与
标准数的倍数关系，再去求另一个数（或几个数）的数量。
解答和倍应用题的最好助手是，采用画线段图的方法来表示两种量间的数量关系，以便
找到解题的途径 ；理解和倍问题中各个量之间的关系。

和倍问题 和÷(倍数－1)＝小数 小数×倍数＝大数
差倍问题 差÷(倍数－1)＝小数 小数×倍数＝大数


一、和倍问题例题

例1： 甲班和乙班共有图书160本.甲班的图书本数是乙班的3倍，甲班和乙班各有图
书多少本？
集体讨论：甲班和已班各占多少分，你能不能画出倍数图线？
分析与解答：设乙班的图书本数 为1份，则甲班图书为乙班的3倍，那么甲班和乙班图
书本数的和相当于乙班图书本数的4倍.还可以理 解为4份的数量是160本，求出1份的数量
也就求出了乙班的图书本数，然后再求甲班的图书本数.用 下图表示它们的关系：

解：乙班：160÷（3+1）=40（本）
甲班：40×3=120（本）
或 160-40=120（本）

答：甲班有图书120本，乙班有图书40本。
这道应用题解答完了，怎样验算呢？
可把求出的甲班本数和乙班本数相加，看和是不是160本；再把甲班的本数除以乙班本
数， 看是不是等于3倍.如果与条件相符， 表明这题作对了.注意验算决不是把原式再算一遍。
验算：120＋40=160（本）
120÷40=3（倍）。

例2：汽车运输场有大小货车 115 辆，大货车比小货车的 5 倍多 7 辆，运输场有大货
车和小汽车各有多少辆？
分析：大货车比小货车的 5 倍还多 7 辆，这 7 辆也在总数 115 辆内，为了使总数与
（ 5+1 ）倍对应，总车辆数应（ 115-7 ）辆。
列式为（ 115-7 ）÷（ 5+1 ） =18 （辆）， 18 × 5+7=97 （辆）

例3： 甲班有图书120本，乙班有图书30本，甲班给乙班多少本，甲班的图书是乙班
图书的2倍？
集体讨论：你能画出图线来表示题中甲班和已班的倍数的关系吗？

分析与解答：解 这题的关键是找出哪个量是变量，哪个量是不变量从已知条件中得出，
不管甲班给乙班多少本书，还是乙 班从甲班得到多少本书，甲、乙两班图书总和是不变的量.
最后要求甲班图书是乙班图书的2倍，那么甲 、乙两班图书总和相当于乙班现有图书的3倍.
依据解和倍问题的方法， 先求出乙班现有图书多少本，再与原有图书本数相比较，可以求出
甲班给乙班多少本书（见上图）。
解：①甲、乙两班共有图书的本数是：
30＋120=150（本）
②甲班给乙班若干本图书后，甲、乙两班共有的倍数是：
2＋1＝3（倍）
③乙班现有的图书本数是：150÷3=50（本）
④甲班给乙班图书本数是：50-30=20（本）

综合算式：
（30＋120）÷（2+1）=50（本）
50-30=20（本）
答：甲班给乙班20本图书后，甲班图书是乙班图书的2倍。
验算：（120-20）÷（30+20）＝2（倍）
（120-20）+（30+20）＝150 （本）。

例4： 光明小学有学生760人，其中男生比女生的3倍少40人，男、女生各有多少人？
分析与解答：把女 生人数看作一份，由于男生人数比女生人数的3倍还少40人，如果用
男、女生人数总和760人再加上 40人，就等于女生人数的4倍（见下图）。

解：①女生人数：（760＋40）÷（3＋1）=200（人）
②男生人数：200×3-40=560（人）
或 760-200=560（人）
答：男生有560人，女生有200人。
验算：560＋200=760（人）
（560+40）÷200=3（倍）。

例5： 果园里有桃树、梨树、苹果树 共552棵.桃树比梨树的2倍多12棵，苹果树比梨
树少20棵，求桃树、梨树和苹果树各有多少棵？
分析与解答：下图可以看出桃树比梨树的2倍多12棵，苹果树比梨树少20棵，都是同
梨树相 比较、以梨树的棵数为标准、作为1份数容易解答.又知三种树的总数是552棵.如果给
苹果树增加2 0棵，那么就和梨树同样多了；再从桃树里减少12棵，那么就相当于梨树的2
倍了，而总棵树则变为5 52+20-12=560（棵），相当于梨树棵数的4倍。

解：①梨树的棵数：
（552＋20-12）÷（1＋1＋2）
=560÷4=140（棵）
②桃树的棵数：140×2＋12=292（棵）
③苹果树的棵数： 140-20=120（棵）
答：桃树、梨树、苹果树分别是292棵、140棵和120棵。

例6： 54 9是甲、乙、丙、丁4个数的和.如果甲数加上2，乙数减少2，丙数乘以2，
丁数除以2以后，则4个 数相等.求4个数各是多少？

分析与解答：上图可以看出， 丙数最小.由于丙数乘以2和 丁数除以2相等，也就是丙
数的2倍和丁数的一半相等，即丁数相当于丙数的4倍.乙减2之后是丙的2 倍，甲加上2之
后也是丙的2倍.根据这些倍数关系，可以先求出丙数，再分别求出其他各数。
解：①丙数是：（549＋2-2）÷（2＋2＋1＋4）=549÷9=61
②甲数是：61×2-2=120
③乙数是：61×2＋2=124
④丁数是：61×4=244
验算：120+124＋61+244=549
120＋2=122 124-2=122
61×2＝122 244÷2＝122
答：甲、乙、丙、丁分别是120、124、61、244.

例7：甲水池有水2 600立方米，乙水池有水1200立方米，如果甲水池里的水以每分种
23立方米的速度流入乙水池， 那么多少分种后，乙水池中的水是甲水池的4倍？
解析：（2600+1200）÷（1+4）=760…变甲
（2600-760）÷23=80分钟
例8. 花园里的菊花、月季花、杜鹃花共1200 棵，其中月季花是菊花的2倍，杜鹃花是

菊花的3倍，求三种花各多少棵？
分析：
看图：
1
菊花
？
2倍
月季花 1200棵

？
3倍
杜鹃花

？

我们把菊花看作1份，总棵数是菊花的

23 1

份，所以菊花的棵数是
月季花的棵数是
2002400
棵， 杜鹃花的棵数是
2003600
棵。
1200

231

200
棵，
解：
1200

231
200
（棵）
2002400
（棵）
2003600
（棵）

例9学校购买840本图书，分给高、中、低 三个年级，高年级分得的是低年级的3倍多
5本，中年级分得的是低年级的2倍多1本，问：高、中、低 三个年级各分到多少本图书？

84051



1 32

139
„„低
13935422
„„„„„„„„高
13921269
„„„„„„„„中


二、和倍问题训练
1、典型基础题
（1）、甲班和乙班共有图书160本.甲班的 图书本数是乙班的3倍，甲班和乙班各有图书
多少本？（例1）

（2）、汽车运输场有大小货车 115 辆，大货车比小货车的 5 倍多 7 辆，运输场有大货
车和小汽车各有多少辆？（例2）





（3）、甲班有图书120本，乙班有图书30本，甲班给乙班多少本，甲班的图书是乙班图
书的2倍？（例3）




（4）、光明小学有学生7 60人，其中男生比女生的3倍少40人，男、女生各有多少人？
（例4）




（5）、果园里一共种340棵桃树和杏树，其中桃树的棵数比杏树的3倍多20 棵，两种树
各种了多少棵？





2、提高练习
（1）、甲水池有水2600立方米，乙水池有水1200立方米，如果甲水池 里的水以每分种
23立方米的速度流入乙水池，那么多少分种后，乙水池中的水是甲水池的4倍？ （例7）

3、奥数练习
（1） 、果园里有桃树、梨树、苹果树共552棵.桃树比梨树的2倍多12棵，苹果树比梨
树少20棵，求桃 树、梨树和苹果树各有多少棵？ （例5）




（2）、54 9是甲、乙、丙、丁4个数的和.如果甲数加上2，乙数减少2，丙数乘以2，丁
数除以2以后，则4个 数相等.求4个数各是多少？（例6）




（3）、花园里的 菊花、月季花、杜鹃花共1200棵，其中月季花是菊花的2倍，杜鹃花是
菊花的3倍，求三种花各多少 棵？（例8）





（4）、学校购买840本图书 ，分给高、中、低三个年级，高年级分得的是低年级的3倍
多5本，中年级分得的是低年级的2倍多1本 ，问：高、中、低三个年级各分到多少本图书？
（例9）

三、差倍问题例题
例1、 光明小学开展冬季体育比赛 ，参加跳绳比赛的人数是踺子人数的3倍，比踢踺子
的多36人。参加跳绳和踢踺子比赛的各有多少人？
解析： 36÷（3－1）=18人 ； 18×3=54人。

例2、已知两个数相除的商为4，相减的差是39，者两个数分别为多少？
解析：39÷（4-1）=13…除数 13+39=52…被除数

例3、 仓库里存放大米和面粉两种粮食，面粉比大米多3900千克，面粉的千克数比大米
的2倍还多100千 克。仓库有大米和面粉各多少千克？
解析： （3900－100）÷（2－1）=3800千克…大米
3800＋3900=7700千克…面粉

例4、甲乙两根绳子，甲绳长 63 米 ，乙绳长 29 米，两根绳剪去同样的长度，结果甲
所剩的长度是乙绳 长的 3 倍，甲乙两绳所剩长度各多少米？各减去多少米？
分析：两根绳子剪去相同的一段，长度差没变，甲绳所剩的长度是乙绳的 3 倍，实比乙
绳多（ 3-1 ）倍，以乙绳的长度为标准数。
列式（ 63-29 ）÷（ 3-1 ） =17 （米）„
乙绳剩下的长度， 17 × 3=51 （米）„
甲绳剩下的长度， 29-17=12 （米）„剪去的长度。

例5、有两个自然 数相除，商是17，余数是13，已知被除数、除数、商与余数之和等于
2113，则被除数是多少？（ 2003奥数初赛A卷）
解析：（2113-17-13-13）÷（17+1）=115 115×17+13==1968

例6、甲仓库存粮104吨，乙仓库存粮140吨，要使 甲仓库是乙仓库的3倍，那么必须
从乙仓库运出多少吨放入甲仓库？（长春南关区86年6年级数学竞赛 ）
解析：（104+140）÷（3+1）=61… 变乙
140-61=79

例7、甲、乙两桶油重量相等，甲桶取走16千克油，乙桶加入14千克油后，乙桶油的 重
量是甲桶油的重量的4倍，甲桶原来有油多少千克？（南京2届兴趣杯邀请赛预赛A卷）
解析：（14+16）÷（4-1）=10千克
16+10=26千克

例8、有大、小两个水池，大水池里已有水300立方米，小水池里已有水70立方米，现
在往两个水池 里注同样多的水后，大水池水量是小水池水量的3倍，问每个水池注入了多少
立方米的水。
解析： （300-70）÷（3-1）=115立方米
要注入的量：115-70=45立方米

四、差倍问题训练
差倍问题：已知两个数的差，及两个数的倍数关系，求两个数各是多少的应用题。
解题规律：两个数的差÷（倍数－1 ）= 标准数 标准数×倍数=另一个数。

1、典型基础题
（1）、光明小学开展冬季体育比赛，参加跳绳比赛的人数是踺子人数的3倍 ，比踢踺子
的多36人。参加跳绳和踢踺子比赛的各有多少人？（例1）




（2）、已知两个数相除的商为4，相减的差是39，者两个数分别为多少？（例2）




（3）、仓库里存放大米和面粉两种粮食，面粉比大米多3900千克 ，面粉的千克数比大米
的2倍还多100千克。仓库有大米和面粉各多少千克？（例3）

2、提高练习
（1）、甲乙两根绳子，甲绳长 63 米 ，乙绳长 29 米，两根绳剪去同样的长度，结果甲
所剩的长度是乙绳 长的 3 倍，甲乙两绳所剩长度各多少米？各减去多少米？（例4）





（2）、有大、小两个水池，大水池里已有水300立方米，小水池里已有水70立方米，现
在往两个水池里注同样多的水后，大水池水量是小水池水量的3倍，问每个水池注入了多少
立方 米的水。（例8）





3、奥数练习
（ 1）、有两个自然数相除，商是17，余数是13，已知被除数、除数、商与余数之和等于
2113，则 被除数是多少？（2003奥数初赛A卷）（例5）




< br>（2）、甲仓库存粮104吨，乙仓库存粮140吨，要使甲仓库是乙仓库的3倍，那么必须
从乙 仓库运出多少吨放入甲仓库？（长春南关区86年6年级数学竞赛）（例6）

（3）、甲、乙两桶油重量相等，甲桶取走16千克油 ，乙桶加入14千克油后，乙桶油的
重量是甲桶油的重量的4倍，甲桶原来有油多少千克？（南京2届兴 趣杯邀请赛预赛A卷）
（例7）