药剂师考试报名条件-毕业生实习总结

6-1-5.和倍问题（二）


教学目标


1. 学会分析题意并且熟练的利用线段图法能够分析和倍问题
2. 掌握寻找和倍的方法解决问题．
知识点拨
知识点说明：

和倍问题就是已知两个数的和以及它们之间的倍数关系，求这两个数各是多少的问题．
解 答此类应用题时要根据题目中所给的条件和问题，画出线段图，使数量关系一目了然，从而找出解题
规律 ，正确迅速地列式解答。
和倍问题的特点是已知两个数的和与大数是小数的几倍，要求两个数，一般是 把较小数看作
1
倍数，大数
就是几倍数，这样就可知总和相当于小数的几倍了，可求出 小数，再求大数.
和倍问题的数量关系式是： 和÷(倍数+
1
)=小数
小数×倍数=大数 或 和一小数=大数
如果要求两个数的差，要先求
1
份数：

l
份数×(倍数－
1
)=两数差.
解决和倍问题，关键是学会画线段图，这样可以帮助我们更好的弄清各数量之间的关系。

例题精讲

【例 1】 一家三口人，三人年龄之和是
72
岁，妈 妈和爸爸同岁，妈妈的年龄是孩子的
4
倍，三人各是多少岁？
【考点】和倍问题 【难度】2星 【题型】填空
【解析】 妈妈的年龄是孩子的
4
倍，爸爸和妈妈 同岁，那么爸爸的年龄也是孩子的
4
倍，把孩子的年龄作为
1
倍数，已知三口 人年龄和是
72
岁，那么孩子的年龄为：
72(144）=8
(岁)， 妈妈的年龄是：
8432
(岁)，爸爸和妈妈同岁为
32
岁．
【答案】孩子的年龄为
8
岁，爸爸妈妈的年龄为
32
岁

【例 2】 三只小猫去钓鱼，它们共钓上36条鱼，其中黑猫和花猫钓到的鱼的条数是白猫钓到的鱼的 条数的5
倍，花猫钓到的鱼比另外两只猫钓到的鱼的条数的2倍少9条。黑猫钓上 条鱼。
【考点】和倍问题 【难度】3星 【题型】填空
【关键词】希望杯，四年级，二试，第8题
【解析】 白猫钓到36÷（5+1）＝6条，花 猫和黑猫共钓30条花猫钓到的鱼比另外两只猫钓到的鱼的条数的2
倍少9条，那么就比黑猫钓到的2倍 多3条，黑猫钓到（30-3）÷3＝9条
【答案】
9


【例 3】 甲、乙、丙三人的年龄和为30岁，乙的年龄是甲、丙年龄和的一半．乙（ ）岁．
【考点】和倍问题 【难度】3星 【题型】填空
【关键词】走美杯，四年级，初赛
【解析】 由题意可知，甲丙的年龄和是乙的2倍，那么三人的年龄和就是乙的3倍，故乙的年龄为30310
岁。
【答案】
10
岁

【例 4】 红、黄、蓝三个纸盒里共有彩票56张．其中红色纸盒里的彩票是黄色纸盒的2倍，蓝色纸盒里的彩
票是 红色纸盒的2倍，红、黄、蓝三个纸盒里各有多少张彩票?

1

【考点】和倍问题 【难度】2星 【题型】解答
【解析】 以黄色 纸盒的彩票数为1倍数，红纸盒是这样的2倍，蓝纸盒是红纸盒的2倍，也就是黄纸盒的4
倍，一共就是 (1+2+4)倍，这样就能建立起彩票总数与总倍数之间的对应关系，从而求出黄纸盒里有
几张彩票． 56÷(1+2+4)=8(张)……黄纸盒里的彩票数；8×2=16(张)……红纸盒里的彩票数 ；
16×2=32(张)……蓝纸盒里的彩票数。
【答案】黄纸盒里有
8
张 ，红纸盒里有
16
张，蓝纸盒里有
32
张。

【例 5】 在一道减法算式中，已知被减数、减数、差的和是
240
，而减数是差的
5
倍 ．求差是多少？
【考点】和倍问题 【难度】3星 【题型】解答
【解析】 引导学生分析被减数、减数、差三者之间的关系，
并认识它们之间的转化．
我们先看下面一道简单的减法算式：

15
－
10
=
5

被减数 减数 差
被减数、减数、差这三个数有下面的关系：
被减数=差+减数，如
15=5+10

这道题中，被减数、减数、差的和是
15+5+10=30
，
30
是被减数 的
2
倍，
30215
，就得被减数，也就是
减数与差的和，这样题目就转化为：“已知减数与差的和
是
15
，减数是差 的
2
倍”，按照和倍问题的解题方法，就可求出差是：
15(21)5
．
列式：减数与差的和是多少？
2402120

差是多少？
120(51)20

【答案】
20


【例 6】 被除数、除数、商3个数的和是212。已知商是2，被除数和除数各是多少？
【考点】和倍问题 【难度】3星 【题型】解答
【解析】 由商是2，可得被除数与除数的和为：212-2=210；且被除数是除数的2倍。
把除数看着1份，两数和对应的份数是3份，除数为：210÷（2+1）=70；
被除数为：70×2=140。
【答案】被除数
140
，除数
70


【例 7】 两个正整数相除，商是
7
，余数是
5
，如果被除数、除数都扩大到原来的4
倍，那么被除数、除数、
商、余数的和等于
1039
．原来的被除数是 ，除数是 ．
【考点】和倍问题 【难度】3星 【题型】填空
【关键词】小机灵杯，数学竞赛，五年级，复赛
【解析】 被除数、除数都扩大到原来的4
倍，它们的商还是
7
、余数为
5420
，所以被除数与除 数的和为
10392071012
，而此时被除数比除数的
7
倍大20
，所以除数为
(101220)(71)124
，所以
原来 的除数为
124431
，被除数原来为
3175222
．
【答案】被除数
222
，除数
31


【例 8】 学校买来篮球、足球、排球共
49
个，其中篮球的个数是足球的
3
倍．排球比 足球多
4
个．问学校买
来的篮球、足球、排球各多少个？

【考点】和倍问题 【难度】3星 【题型】解答
【解析】 可引导学生，让他们自己画图来分析，强调和与对应的份数，教师辅导指正．
从线段图上可以看出，把 足球的个数看作
1
份数，篮球的个数是
3
份数，如果排球少买
4个，也是
l
份
数，这时三种球一共(
494
)个，总份数是(
131
)，就可先求出足球的个数，再分别求篮球和排球
的个数．
如果排球减少
4
个，三种球一共多少个？
49445
(个)

2

足球多少个？
45(131)9
(个)
篮球多少个？
9327
(个)
排球多少个？
9+4=13
(个)
【答案】足球
9
个，篮球
27
个，排球
13
个。

【巩固】 一筐苹果、一筐梨、一筐香蕉共重
112
千克．已知苹果的重量 是梨的
3
倍，香蕉的重量比梨少
3
千克．一
筐苹果、一筐梨、一筐香 蕉各重多少千克？
【考点】和倍问题 【难度】3星 【题型】解答
【解析】 梨的重量是：
(1123)(113)23
（千克）
苹果的重量是：
23369
（千克）
香蕉的重量是：
23320
（千克）
【答案】苹果
69< br>千克，梨
23
千克，香蕉
20
千克。


【巩固】 玩具厂生产红、黄、白气球共
125
个，其中红气球的个数是黄气球的3
倍，白气球比黄气球少
25
个．问
三种气球各生产了多少个？
【考点】和倍问题 【难度】3星 【题型】解答
【解析】 黄气球：
(1 2525)(311)30
（个）；红气球：
30390
（个）；白气 球：
30255
（个）
【答案】黄气球
30
个，红气球
90
个，白气球
5
个。

【例 9】 小红家养了一些鸡，黄鸡 比黑鸡多
13
只，比白鸡少
18
只．白鸡的只数是黄鸡的
2
倍，白鸡、黄鸡、
黑鸡一共有多少只?
【考点】和倍问题 【难度】3星 【题型】解答
【解析】 ⑴黄鸡多少只？
18(21)18
(只)
⑵白鸡多少只？
18236
(只)
⑶黑鸡多少只？
18135
(只)
⑷白鸡、黄鸡、黑鸡共多少只？
1836559
(只)
【答案】
59
只

【例 10】 商店运来橘子、苹果、香蕉共5 3千克，橘子的重量是苹果的3倍少3千克，香蕉的重量是苹果
的2倍多2千克，橘子重多少千克?
【考点】和倍问题 【难度】3星 【题型】解答
【解析】 我们可以把苹果的重量看作1份，如下图：
如果橘子重量增加3千克，正好是苹果重量的3倍，
香蕉的重量减少2千克，正好是苹果重量的2倍，
这时三种水果的总重量变为：53＋3－2＝54(千克)，
正好是苹果重量的(1＋3＋2)倍，
苹果有 (53＋3－2)÷(1＋3＋2) ＝54÷6＝9(千克)，橘子有9×3－3＝24(千克) .
【答案】
24
千克


【巩固】 果园里有桃树、梨树、苹果树共552棵.桃树比梨树的2倍多12棵 ，苹果树比梨树少20棵，求桃树、
梨树和苹果树各有多少棵？
【考点】和倍问题 【难度】3星 【题型】解答
【解析】 下图可以看出桃树比梨树的2倍多12棵，苹果树比梨树 少20棵，都是同梨树相比较、以梨树的棵
数为标准、作为1份数容易解答.

3

又知三种树的总数是552棵.如果给苹果树增加20棵，那么就 和梨树同样多了；再从桃树里减少12
棵，那么就相当于梨树的2倍了，而总棵树则变为552+20- 12=560（棵），相当于梨树棵数的4倍。
梨树的棵数：（552＋20-12）÷（1＋1＋2） =560÷4=140（棵），桃树的棵数：140×2＋12=292（棵），
苹果树的棵数： 140-20=120（棵），桃树、梨树、苹果树分别是292棵、140棵和120棵。
【答案】桃树、梨树、苹果树分别是292棵、140棵和120棵

【巩固】 某 养殖厂养鸡、鸭、鹅共1462只，鸡的只数比鸭的4倍多132只，鹅的只数比鸭的2倍少70只．这
个养殖厂养的鸡、鸭、鹅各有多少只？
【考点】差倍问题 【难度】1星 【题型】解答
【解析】 我们把鸭的只数看作1份，鸡的只数看作4份，鹅的只数看作2份，鸡、鸭、鹅的总只数就相 当于
鸭的：
14 +27
(份)．而鸡、鸭、鹅的总只数可以看作：
1462132 701400
(只)．用总只数除
以总份数，先求出鸭的只数，再求鸡和鹅的只数． 鸭的只数：
(146213270)(142)14007200
(只) ；
鸡的只数：
2004 132800 132932
(只)；
鹅的只数：
20027040070330
(只)．
【答案】鸭
200
只，鸡
932
只，鹅
330
只

【例 11】 有100块糖，分给甲乙丙三位小朋友，甲比乙多分了3块，乙比丙多分了5 块，三位小朋友各
分得多少块糖?
【考点】和倍问题 【难度】3星 【题型】解答
【解析】 此题从两个数量扩展到三个数量．已知甲比乙多分了3块，乙比丙多分了5块，从线段图上可 以清
楚地看出：


甲比丙多分了3＋5＝8(块)．如果甲少拿7块，乙 少拿5块，那么糖的总数就要减少8＋5＝13(块)，
总共就是100－13＝87(块)．87块相 当于丙所有的糖块数的3倍，由此可以算出甲乙丙三人各自糖
块的数量．丙：[100－(3＋5)－5 ]÷3＝29(块)；乙：29＋5＝34(块)；甲：34＋3＝37(块)。
【答案】甲
37
块，乙
34
块，丙
29
块。

【例 12】 王奶奶家养了鸡、鸭、鹅共250只，其中鸭比鹅的2倍少10只，鸡比鸭的 3倍多20只。王奶
奶养了__________只鸡，_________只鸭，_________ __只鹅。
【考点】和倍问题 【难度】3星 【题型】填空
【关键词】希望杯，四年级，二试，第8题
【解析】 鹅比鸭的一半多5只，所以如果将多出 少的去掉和补上一共有250-20-5=225，所以鸭有225÷（3+1+0.5）
=50只，鸡 有50÷2+5=30只，鹅有50×3+20=170只.
【答案】鸡
30
只，鸭
50
只，鹅
170
只

【例 13】 甲、乙、丙三个小朋友共有
73
块巧克力，如果丙吃掉3
块，那么乙和丙的巧克力就一样多；如
果乙给甲
2
块巧克力，那么甲的 巧克力就是乙的
2
倍，丙原有 块巧克力．
【考点】和倍问题 【难度】3星 【题型】填空

4

【关键词】IMC，国际数学邀请赛，新加坡，四年级，复赛
【解析】 方法 一：由题意可知，丙比乙多
3
块，所以如果乙给甲两块巧克力，则丙比乙多
5
块，此时乙的巧克
力数为
(735)(112)17
（块），丙原有
172322
（块）。
方法二：如果丙吃掉
3
块，那么乙与并的糖 就一样多，说明丙比乙多
3
块；如果乙给甲
2
块糖，那么
甲的糖就是 乙的糖的
2
倍，即甲的糖加
2
是乙的糖减
2
后的
2
倍，说明甲的糖是丙的糖的
2
倍少
2226
块．所以，乙有< br>(7336)(112)19
块糖，丙
193=22
（块）
【答案】
22
块

【例 14】 甲、乙、丙3数之和是183，乙比丙的2倍少4，甲比丙的3倍多7，求甲、乙、丙三数各
是多少？
【考点】和倍问题 【难度】3星 【题型】解答
【解析】 我们把丙数看作一份，画出线段图如下：

假如我们给乙数添上4凑成2份，甲数减去7凑成3份，则这时候三个数的总和为：
183+ 4-7=180，和对应的份数为：1+2+3=6。所以，一份数即丙数为：180÷6=30；
乙数为：30×2-4=56；甲数为：30×3+7=97。
【答案】甲
97
，乙
56
，丙
30


【例 15】 甲、乙、丙三所小学学生人数的总和为1999，已知甲校学生人数的2倍，乙校学生人 数减
3、丙校学生人数加4都是相等的。问：甲、乙、丙各校学生人数是多少?
【考点】和倍问题 【难度】3星 【题型】解答
【关键词】华杯赛，初赛，第8题
【解析】 (1999－3＋4)÷(1＋2＋2)＝400， 400×2＋3＝803，400×2 －4＝796，甲、乙、丙三校的人数分别为
400，803，796。
【答案】甲、乙、丙三校的人数分别为400，803，796。

【例 16】 549是甲、乙、丙、丁4个数的和.如果甲数加上2，乙数减少2，丙数乘以2，丁数除以2
以后，则 4个数相等.求4个数各是多少？
【考点】和倍问题 【难度】3星 【题型】解答
【解析】 下图可以看出，丙数最小.由于丙数乘以2和丁数除以2相等，也就是丙数的2倍和丁数的一 半相等，
即丁数相当于丙数的4倍.乙减2之后是丙的2倍，甲加上2之后也是丙的2倍.根据这些倍数 关系，
可以先求出丙数，以丙数为一份量，再分别求出其他各数。

丙数是：（54 9＋2-2）÷（2＋2＋1＋4）=549÷9=61，甲数是：61×2-2=120，乙数是：61×2＋ 2=124
丁数是：61×4=244，验算：120+124＋61+244=549120＋2=122 124-2=12261×2＝122 244÷2＝122
【答案】甲
120
，乙
124
，丙
61
，丁
224


【例 17】 四年级有甲、乙、丙、丁四个班．不算甲班，其余三个班的总人数是131人；不算丁班，其余
三个班的总人数是134人；乙、丙两班的总人数比甲、丁两班的总人数少1人．问：这四个班共有
多少 人？
【考点】和倍问题 【难度】4星 【题型】解答
【解析】 由题意，乙、丙 、丁三个班总人数为131人，甲、乙、丙三个班总人数为134人，于是可以看出，
甲班比丁班多3个 人．又因为乙、丙两班的总人数比甲、丁两班的总人数少1人，也就是说乙、丙
两班总人数是丁班的2倍 还多2人．从而可以求出丁班的人数为：

5

．
(13 12)343
（人）
因此这四个班的总人数为
13443177
（ 人）．
【答案】
177
人

【例 18】 有几个同学想称一下 体重，可是秤的秤砣不齐，只能称50千克以上的重量，他们只好每人都和
其他人合称一次，共得到以下 10个数据（单位：千克）：75、78、79、80、81、82、83、84、86、
88．问：⑴ 有几名同学？⑵他们的重量各是多少千克？
【考点】和倍问题 【难度】4星 【题型】解答
2
54210
，也就是说5个同学两两合称才恰好需要称10次，所以有5个 同学． 【解析】 ⑴首先
C
5
⑵设这5个同学的体重从小到大依次为
A、
B
、
C
、
D
、
E
．
则有
AB75
，
AC78
，
DE88
，
C E86
；
ABCDE

75787980818 283848688

4204
．
则
C2047 58841
千克；
A784137
千克；
E864145< br>千克；
B753738
千克；
D884543
千克．
即他们的体重分别为37千克、38千克、41千克、43千克、45千克．
【关键词】5名同学，体重分别为37千克、38千克、41千克、43千克、45千克

【例 19】 有红、黄、蓝、绿四种颜色的卡片，每种颜色的卡片各有3张．相同颜色的卡片上写相同 的自
然数，不同颜色的卡片上写不同的自然数．老师把这
12
张卡片发给6名同学，每 人得到两张颜色不
同的卡片．然后老师让学生分别求出各自两张卡片上两个自然数的和．六名同学交上来 的答案分别
为：92，125，133，147，158，191．老师看完6名同学的答案后说，只有 一名同学的答案错了．问：
四种颜色卡片上所写各数中最小数是多少？
【考点】和倍问题 【难度】4星 【题型】解答
【关键词】迎春杯，初赛
【解析】 根据题意可知，6名 同学每人都得到给定的4个数中的某2个，而从4个数中选取2个不同的数共
2
6
种 不同的方法．而6名同学所给的6个答案中只有1个错误，有5个是正确的，而且这5有
C
4< br>个正确的答案互不相同，所以这5名同学所拿到的两个数也互不相同．而总共只有6种不同情况，
所以给出错误答案的那名同学所拿到的两个数与其他5名同学所拿到的两个数的情况也都不相
同．那么本 题相当于：有四个数
a
、
b
、
c
、
d
(< br>abcd
)，每次从中取出两个数，计算它们的和，
得到六个和：92，125， 133，147，158，191，其中只有一个是错误的，求
a
的值．
由取法可知 ，得到的六个和可以两两匹配，即
ab
与
cd
，
ac
与
bd
，
ad
与
bc
，互相匹
配的两个和 的和是相等的，都等于
abcd
．而题中的6个数中，
92191125 158283
，可
见
abcd283
，那么六个和数中133和1 47都可能是错误的．
如果147是错误的，那么133是正确的，另一个正确的和数为
28 3133150
，根据
a
、
b
、
c
、
d
的
大小顺序，可得
ab92
，而
ad
与
b c
分别为133和150．再
cd191
，
ac125
，
bd158
，
由
abbd15892250
得ad2502b
，所以
ad
是偶数，那么
ad150
，得
b50
，
进而得
a925042
．即四种颜色卡片上 所写各数中最小数是42．
如果133是错误的，那么147是正确的，同样分析可 知，此时四种颜色卡片上所写各数中最小数是
35．
【关键词】
35



6