和差倍问题(四年级)
弯曲体位-斯威特
和差倍问题是指已知几个数的和、差或它们的倍数关系（其中的两项），求
这几个数的应
用题。包括和倍问题、差倍问题、和差问题这三类应用题，及可以
转化为这三类应用题的比较复杂的倍数
问题。这几类应用题有比较相似的数量关
系和解题思路，列方程来解非常简单，但四年级孩子没有学过方
程法解题，需要
根据数量关系逆向推理，列综合算式解答。教学中常常采用画线段图的方法来分
析各种数量间的关系，帮助孩子理解题意，寻找解题途径。
解题关键是，要在题目中确定一个数量为标
准（常以最小数为标准，即1
倍量），把标准量看作一份，再根据其它数量与标准量的倍数关系，找出几
个数
量的和、差或（和+差）、（和-差）对应的份数，通过除法计算先求出标准量，
再算出其
它相关数量。
涉及两个数的和差倍问题，最基本数量关系有以下3组：
①和倍问题：已知大小两个数的和及它们的倍数关系，求这两个数。
和÷（倍数+1）=小数；小数×倍数=大数。
②差倍问题：已知大小两个数的差和它们的倍数关系，求这两个数。
差÷（倍数-1）=小数；小数×倍数=大数。
③和差问题：已知大小两个数的和与两个数的差，求这两个数。
（和+差）÷2=大数；（和-差）÷2=小数。
在二、三年级奥数课堂已经学过简单的和差
倍问题，本册教材《奥赛天天练》
用四讲内容来分类讲述复杂一点的和差倍问题：第7讲《和倍问题》、
第8讲《差
倍问题》、第9讲《和差问题》、第10讲《复杂的倍数问题》。
《奥赛天天练》第7讲，模仿训练，练习1
【题目】：
一个长方形
的周长是36厘米，长是宽的2倍，这个长方形的面积是多少平
方厘米？
【解析】：
先求出长方形长和宽的和：36÷2=18（厘米）；
把长方形的宽看作1份，长就是2份，
长和宽的和对应的就是3份，所以长
方形的宽是：18÷（2+1）=6（厘米）；
长是：6×2=12（厘米）；
这个长方形的面积是：12×6=72（平方厘米）。
《奥赛天天练》第7讲，模仿训练，练习2
【题目】：
北京路小学的同学为幼儿园
的小朋友做红花和黄花共300朵。已知红花的朵
数比黄花的2倍少30朵。问两种花各有多少朵？
【解析】：
我们把黄花朵数看作一份，画出线段图如下：
从线段图中可以看出，两种花的总和再添上30朵，正好对应了3份。所以
黄花朵数为：
（300+30）÷（1+2）=110（朵）。
红花朵数为：300-110=190（朵）。
《奥赛天天练》第7讲，巩固训练，习题1
【题目】：
被除数、除数、商3个数的和是212。已知商是2，被除数和除数各是多少？
【解析】：
由商是2，可得被除数与除数的和为：212-2=210；且被除数是除数的2倍。
把除数看着1份，两数和对应的份数是3份，除数为：210÷（2+1）=70；
被除数为：70×2=140。
《奥赛天天练》第7讲，拓展提高，习题1
【题目】：
5箱苹果和5箱葡萄共重75千克，每箱苹果是每箱葡萄重量的2倍。每箱
苹果和每箱葡萄各重多少千克？
【解析】：
5箱苹果和5箱葡萄共重75千克，平均分成
5份，1箱苹果与1箱葡萄重量
和为：75÷5=15（千克）。
把1箱葡萄的重量看作一份，重量为：15÷（2+1）=5（千克）；
每箱苹果重量为：5×2=10（千克）。
《奥赛天天练》第7讲，拓展提高，习题2
【题目】：
甲、乙、丙3数之和是183，乙比丙的2倍少4，甲比丙的3倍多7，求甲、<
br>乙、丙三数各是多少？
【解析】：
我们把丙数看作一份，画出线段图如下：
假如
我们给乙数添上4凑成2份，甲数减去7凑成3份，则这时候三个数的
总和为：183+4-7=180
，和对应的份数为：1+2+3=6。
所以，一份数即丙数为：180÷6=30；
乙数为：30×2-4=56；
甲数为：30×3+7=97。
1、在
一个减法算式里，被减数、减数与差的和等于120，而减数是差的3倍，那么差等
于多少？
分析：这是一个和倍问题。减数是差的3倍，那么被减数就是差的4倍，所以被减数、减
数与差
的和就是差的8倍，应该等于120，所以差＝120÷8＝15。
解：120÷（1＋3＋1＋2）＝15
答：差等于15。
2、甲、乙、丙共有100本课外书。甲的本数除
以乙的本数，丙的本数除以甲的本数，商
都是5，余数也都是1。那么乙有多少本书？
分析：这是和倍问题。可以这样理解，“甲、乙、丙3个数是100，甲是乙的5倍多1，丙
是甲的5
倍多1，求甲、乙、丙各是几？”。即：乙是1倍；甲是乙的5倍多1；丙是乙的（5×5）
倍多（1×
5＋1）6。那么100减去（1＋6）的差对应（1＋5＋5×5）倍，这样可求出乙是多少。
解：［100－1－（1×5＋1）］÷（1＋1×5＋1×5×5）＝91÷31＝3（本）
答：乙有3本书。
3、用中国象棋的车，马，炮分别表示不同的自然数
。如果：车÷马＝2，炮÷车＝4，炮－
马＝56，那么“车＋马＋炮”等于多少？
分析：这是一个差倍问题。依题有，马是1倍，车是马的2倍，炮是车的4倍，所以炮与
马的倍数差是（2×4－1）7倍，而炮与马的两数差是56，根据差倍问题的公式就可分别求出车、
马
、炮的值。
解：56÷（8－1）＝8——马；
8×2＝16——车
16×4＝64——炮
8＋16＋64＝88——车＋马＋炮
答：车、马、炮的和是88
4、甲、乙两位学生原计划每天自学的时间相同，若甲每天增加自
学时间半小时，乙每天
减少自学时间半小时，则乙自学6天的时间仅相等于甲自学一天的时间。问：甲、
乙原计划每
天自学多少分钟？
分析：差倍问题。原来时间相同，现甲多半小时，乙少
半小时，现在的两数差是（30＋30）
60分钟，现在的差数差是（6－1）5倍，这样可求出现乙每
天自学的时间，加上30分钟，可
得原计划每天自学时间。
解：（30＋30）÷（6－1）＋30＝12＋30＝42（分钟）
答：原计划每天自学42分钟。
5、.三个小组共有180人，一、二两个小组人数之和比
第三小组多20人，第一小组比第
二小组少2人，求第一小组的人数。
分析：要点：
先把一，二小组看成一个整体！把第三小组看成一个整体，我们把这种方法
叫“化三为二”即把三个问题
转换成二个问题，先求出第一，二小组的人数，再求出第一小组的
人数。这也是一个和差问题。
解：（180＋20）÷2＝100（人）——第一，二小组的人数
（100－2）÷2＝49（人）——第一小组的人数
答：第一小组的人数是49人。
6．有50名学生参加联欢会，第一个到会的女同学同全部男
生握过手，第二个到会的女生
只差一个男生没握过手，第三个到会的女生只差2个男生没握过手，以此类
推，最后一个到会
的女生同7个男生握过手。问这些学生中有多少名男生？
分析：这
是和差问题。我们可以这样想：如果这个班再多6个女生的话，最后一个女生就
应该只与1个男生握手，
这时，男生和女生一样多了，所以原来男生比女生多（7－1）＝6个
人！
解：（50＋6）÷2＝28（人）。
答：男生人数28人。
涉及4个或4个以上对象数量关系的复杂和差倍问题。
7、有货物108件，分成四堆存放在
仓库时，第一堆件数的2倍等于第二堆件数的一半，
比第三堆的件数少2，比第四堆的件数多2．问每堆
各存放多少件？
分析：如果我们把第一堆看成1倍，那么可以算出第二堆就是
（2×2）4倍，第三堆是2
倍多2件，第四堆是2倍少2件，那么一共就刚好是1＋4＋2＋2＝9倍
（第三堆和第四堆刚好
一个多2件一个少2件正好抵消），那么1倍就是108÷9＝12件，第二堆就
是12×4＝48件，
第三堆就是12×2＋2＝26件，第四堆就是12×2－2＝22件。
解：（108＋2－2）÷（1＋2×2＋2＋2）＝108÷9＝12（件）——第一堆
12×2×2＝48（件）——第二堆；
12×2＋2＝26（件）——第三堆；
12×2－2＝22（件）——第四堆；
答：每堆各有12件、48件、26件、22件。
8、 四年级有4个班，不算甲班
其余三个班的总人数是131人；不算丁班其余三个班的总
人数是134人；乙、丙两班的总人数比甲、
丁两班的总人数少1人，问这四个班共有多少人？
解答：用131＋134＝265，这
是1个甲、丁和2个乙、丙的总和，因为乙、丙两班的总
人数比甲、丁两班的总人数少1人，所以用26
5－1＝264就刚好是3个乙、丙的和，264÷3＝
88，就是说乙丙的和是88，那么甲丁和是8
8＋1＝89，所以四个班的和是88＋89＝177人。
甲厂人数比乙厂少540人，若从
两厂各调走600人，乙厂人数恰好是甲厂人
数的4倍，求甲厂原来有多少人？
【解析】：
“两厂各调走600人”，因调走人数相同，调人前后两厂的人数差没有发生
变化。
把调走600人后，甲厂人数看作1份，乙厂人数看作4份，两厂人数差还是
540人，此时甲厂人数为
：540÷（4-1）=180（人）。
甲厂原有人数：180+600=780（人）。
《奥赛天天练》第8讲，巩固训练，习题1
【题目】：
有A、B、C三根绳子，A
、C的长度之和是B的2倍。如果把C剪去6分米，
那么A的长度就是B、C长度之和的一半。A与B相
比，＿＿比＿＿长＿＿分米。
【解析】：
这一题因为与A、B比较的标准不
同，分别是（A+C）和（B+C）,所以A和B
的长短无法直接比出。解题的关键是制造出相同的比较
标准，再通过等量代换，
得出结论。
由题意可得：A+C=2B,
即：A+B+C=3B；
B+C-6=2A, 即：A+B+C-6=3A。
即：3B-3A=6（分米），B-A=2(分米)。
所以：A与B相比，B比A长2分米。
《奥赛天天练》第8讲，巩固训练，习题2
【题目】：
在一个数的后面补上两个“0”，得到的新数比原来的数增加了1980。这个
数是多少？
【解析】：
把原来的数看作1份，原数末尾加两个“0”即扩大了100倍，得到的新数也就是100份，它们的差就是增加的1980。
所以原来这个数为:1980÷（100-1）=20。
《奥赛天天练》第8讲，拓展提高，习题1
【题目】：
食堂里有94千克面粉，1
38千克大米，每天用掉面粉和大米各9千克，几
天后剩下的大米是面粉的3倍？
【解析】：
因每天用掉的面粉和大米数量相等，不论经过多少天，面粉和大米的数量差
都不变，仍然是：1
38-94=44（千克）。
我们把几天后剩下的面粉重量看作1份，大米重量也就是
3份，则几天后剩
下面粉：44÷（3-1）=22（千克）。
用掉的面粉总量除以每天用面粉数量，可以得出所求的天数：
（94-22）÷9=8（天）。
《奥赛天天练》第8讲，拓展提高，习题2
【题目】：
有A、B、C三辆车，C车装的货物是B车的一半，B车比A车少160千克，A
车装的是C车的4倍，A、B、C三辆车共装货物多少千克？
【解析】：
根据题中的三个条件，C车装的货物最少，我们把C车装的货物看作一份，
画出线段图如下：
从图中可以看出B车货物就是2份，A车货物就是4份，B车比A
车少的16
0千克对应的份数是2。所以1份数即C车装货物为：160÷（4-2）=80（千克）。
三辆车共装货物：80×（1+2+4）=560（千克）。
《奥赛天天练》第9讲，巩固训练，习题1
【题目】：
小王和小张
共买了20本书，如果小王给小张6本书，那么小王就比小张少
2本书。问小王、小张各买了多少本书？
【解析】：
我们以小王给小张6本书之后，剩下的本数作为标准，画出线段图如下：
解法一：先求出小王现有本数。
小王给小张6本书之后，两人
书的总本数不变。以小王现有本数为较小数，
小张现有本数为较大数，两数和为20，两数差为2，则小
王现有数：（20-2）÷
2=9（本）。
所以，小王买书：9+6=15（本）；小张买书：20-15=5（本）。
解法二：直接先求小张买书本数。
小张增加6本之后比小王现有本数多2本，则小张买书本数
比小王现有本数
少（6-2=）4本，所以小张买书本数比小王买书本数少（4+6=）10本。
所以小张买书本数为：（20-10）÷2=5（本）；小王买书：20-5=5（本）。
第一种解法思路比较简单。
《奥赛天天练》第9讲，巩固训练，习题2
【题目】：
四（1）班投票选举班长，小明得到的选票比小华多14张，小华得到的选票
比小玲多8张。如
果这3人共得选票54张，那么他们各得选票多少张？
【解析】：
小玲得到选票最少，我们以小玲得到选票张数为标准，画出线段图如下：
可以先求出小玲获票张数，再求出另外两个人的获票张数。
观察线段图，把小玲获票张数看作
1份，把小华获票张数去掉8张，把小明
获票张数去掉（8+14）张，都凑成1份，总张数减少为：5
4-8-（8+14）=24（张）。
所以小玲获票张数为：24÷3=8（张）；小华获票张数为：
8+8=16（张）；
小明获票张数为：：16+14=30（张）。
这题也可以把小华获票
张数或小明获票张数作为标准，先求出来，再求出另
外两个人的获票张数。
《奥赛天天练》第9讲，拓展提高，习题1
【题目】：
一位少年短跑选手，顺风跑
90米用了10秒钟。在同样的风速下，逆风跑7
0米也用了10秒钟。问在无风的时候他跑80米要用
多少秒？
【解析】：
解题之前要明确一点：如果我们以无风时少年跑步速度为标准，在同样
的风
速下，顺风跑步速度高出标准的米数，与逆风跑步速度低于标准的米数是相等的，
相当与风
速。所以无风速度就是顺风速度和逆风速度的平均数。
解法一：先求出无风时少年速度：（90÷10+70÷10）÷2=8（米）。
再求出无风的时候该少年跑80米需要的时间：80÷8=10（秒）。
解法二：以10秒跑步路程为标准，该少年无风时10秒跑步路程为：
（90+70）÷2=80（米）。
所以，在无风的时候该跑80米要用10秒。
第二种解法解答这一题比较简便，但不宜推广，第一种解法是基本解法。
如下图，4个一样大
的长方形和1个小正方形拼成了1个大正方形。大正方
形的面积是64平方分米，小正方形的面积是4平
方分米，问长方形的宽是几分
米？
【解析】： 对64和4分解因数：64=8×8；4=2×2。所以，大正方形的边长为8，即长
方形长与宽的
和为8；小正方形的边长为2，即长方形长和宽的差为2。
所以，长方形的宽为：（8-2）÷2=3（分米）。
《奥赛天天练》第10讲，模仿训练，练习1
【题目】：
姐姐做自然练习比妹妹做算术练习多用48分钟，比妹妹做英语练习多用42分钟，妹妹做算术、英语两门练习共用了44分钟，那么妹妹做英语练习用了多
少分钟？
【解析】：
“姐姐做自然练习比妹妹做算术练习多用48分钟，比妹妹做英语
练习多用
42分钟”，由此可以推出妹妹做算术练习比做英语练习少用时间：48-42=6（分
钟）。
所以妹妹做英语练习的时间为：（44+6）÷2=25（分钟）。
《奥赛天天练》第10讲，模仿训练，练习2
【题目】：
用中国象棋的车、马、炮
分别表示不同的自然数。如果，车÷马=2，炮÷车
=4，炮-马=56，那么“车+马+炮”等于多少
？
【解析】：
车、马、炮表示的三个数中，马表示的数最小，我们以马表示的数作为标准，
画出线段图如下：
把马表示的数看作1份，车表示的数就是2份，炮表示的数就是
4个2份，
所以，马表示的数为：56÷（2×4-1）=8。
“车+马+炮”等于：8×（1+2+2×4）=88。
《奥赛天天练》第10讲，巩固训练，习题2
【题目】：
两组学生
参加义务劳动，甲组学生人数是乙组的3倍，而乙组的学生人数比
甲组的3倍少40人，求参加义务劳动
的学生共有多少人？
【解析】：
把乙组学生人数看作1份，画出线段图如下：
甲组学生人数是乙组学生人数的3倍，则甲组学生人数的3倍就是乙组人数
的（3×3=）9倍。
所以，乙组人数为：40÷（9-1）=5（人）；
参加义务劳动的学生共有：5×（1+3）=20（人）。
《奥赛天天练》第10讲，拓展提高，习题1
【题目】：
某镇上有东西两个公交车
站，东站有客车84辆，西站有客车56辆，每天从
东站到西站有7辆车，从西站到东站有11辆车，几
天后，东站车辆是西站的4
倍？
【解析】：
“每天从东站到西站
有7辆车，从西站到东站有11辆车”，则每天东站增
加（11-7=）4辆车，西站减少4辆车，但两
站车辆总数不变为：84+56=140（辆）。
要使东站车辆是西站车辆的4倍，西站只能有车辆：140÷（4+1）=28（辆）。
用西站需要减少的总车辆数除以每天减少的车辆数，可以得出所求天数：
（56-28）÷4=7（天）。
所以，7天后，东站车辆是西站的4倍。
《奥赛天天练》第10讲，拓展提高，习题2
【题目】：
甲、乙、丙三所小学的学
生人数的总和为1999。已知甲校学生人数的2倍
和乙校学生人数减去3人与丙校学生人数加上4人都
相等。问甲、乙、丙各校学
生人数是多少？
【解析】：
把甲校学生人数作为标准，画出线段图：
把甲校人数看作1份，乙校人数就是2份多3，丙校就是2份少4。我们把<
br>乙校人数减去3，丙校人数加上4，都凑成2份，则总人数变成：1999-3+4=200
0（
人）。
所以甲校人数为：2000÷（1+2+2）=400（人）；
乙校人数为：400×2+3=803（人）；
丙校人数为：400×2-4=796（人）。