魔方口诀-上海医药工业研究院

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第二十三讲 和倍问题
【知识概述】：已知两个数的和与它们之间的倍数关系，求这两个数各是多少的应用题，叫做 和倍应用题。
要想顺利解决和倍应用题，最好的方法就是根据题意，画出线段图，使数量关系一目了然， 从而正确的列式计
算。解答和倍应用题的关键是找出两数的和以及与其对应的倍数和。解答和倍应用题的 基本数量关系是：
和÷（倍数＋1）＝小数； 小数×倍数＝大数（几倍数）或者：两数和－小数＝大数
如果遇到三个或三个以上的数的倍数关系，也 可用这个公式。（首先找最小的一个数，再找出另几个数是最小
数的倍数即可）
【经典例题】 ：例1.幼儿园的老师和小朋友共有81人在做游戏，小朋友们总是跟着自己的老师转，每位
老师身边都 有8个小朋友，问：小朋友有多少个？老师有多少人？
练习1：
1、学校有科技书和故事书共 480本科技书的本数是故
事书的3倍，两种书各多少本？



这个养鸡场有公鸡、母鸡各多少只？

3、学校将360本图书分给二、三年级，已 知三年级所
得的本书比二年级的2倍还多60本，二、三年级各得
图书多少本？


得的邮票张数比妹妹的4倍少10张，弟弟和妹妹各分
得邮票多少张？



例2、甲、乙、丙3数和是183,乙比丙的2倍少4，甲比丙的3倍多7，求甲 、乙、丙三数各是多少？
解析：乙数加上4就是丙数的2倍，甲数减少7就是丙数的3倍。而总数也 就应该加上4，再减去7。丙数1
倍数，乙是2倍数。甲是3倍数，先求丙。丙数=（183+4-7） ÷（1+2+3）=30，乙数=30×2-4=56，甲数=30×3+7=97。
练习2、
1、三堆糖果共有105颗，其中第一堆糖果的数量是
第二堆的3倍，而第 三堆糖果的数量又比第二堆的2
倍少3颗．第三堆糖果有多少颗？




2. 甲、乙、丙三个粮仓一共存有109吨粮食．其中甲
粮仓的粮食总量比乙粮仓 的3倍多1吨，而乙粮仓的
粮食总量则是丙粮仓的2倍．问：甲粮仓比丙粮仓多
存粮多少吨？

5.果园里有桃树、梨树、苹果树共552棵．桃树比梨
树的2倍多12棵，苹果树 比梨树少20棵，求桃树、
梨树和苹果树各有多少棵？（☆☆☆）




6.某驻军有三个坦克连，共有115辆坦克，一连坦克
数量比二连的2倍多2，而 二连的坦克数量比三连的3
倍多1．请问：一连比三连多几辆坦克？（★★★）

2 、一个养鸡场有675只鸡，其中母鸡是公鸡的4倍，4、爸爸要把140张邮票分给弟弟和妹妹，已知弟弟分< /p>

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【重难点例题】 ：甲组的图书是乙组的3倍，若乙组给甲组6本，则甲组的图书是乙组的5倍，甲组原来有图
书多少本？
解析：甲组的图书是乙组的3倍，若乙组拿出6本，甲组相应的也拿出6×3=18（本），则甲组仍是 乙组的3
倍。事实上甲组不但没有拿出18本，反而接受了乙组的6本，18+6就正好对应着后来乙组 的（5-3）倍。因此，
后来乙组有图书（18+6）÷（5-3）=12（本），乙组原来有12+6 =18（本），甲组原来有18×3=54（本）。
练习1.小明原来的画片是小红的3倍，后来二人 各买
了5张，这样，小明的画片就是小红的2倍。二人原
来各有多少张画片？



3.一个书架上层的书的本数是下层的4倍。从下层拿5本放入上层后，上层的本 数正好是下层的5倍。原来下
层有几本书？


【同步精炼】：
1、小明有圆珠笔芯30支，小青有圆珠笔芯15支，问
小青把多少支笔芯给小明后，小明的圆珠笔芯支 数是
小青的8倍？




2、甲桶有油25千克，乙桶 有油17千克，乙桶倒入多
少千克油给甲桶后，甲桶的油是乙桶的5倍？




3、甲水池有水69吨，乙水池有水36吨，如果甲水池
中的水以每分钟 2吨的速度流入乙池，那么多少分钟
后，乙水池的水是甲水池的2倍？




4、甲书架有图书18本，乙书架有图书8本，班级图
书管理员又买来图书16本， 怎样分配才能使甲书架图
书的本书是乙书架的2倍？



5、某 专业户养鸡、鸭、鹅共有960只，养鸡的只数是
鹅的3倍，养鸭的只数是鹅的4倍。这个专业户养鸡、
鸭、鹅各多少只？




6、甲、乙、丙三个数之和是400，又知甲是乙的3倍，
丙是甲的4倍。求这三个数。




7、三块钢板共重621千克，第一块的重量是第二块的< br>3倍，第二块的重量是第三块的2倍。三块钢板各是多
少千克？




8、甲、乙、丙三个修路队共修路1200米，甲队修的
米数是乙队的2倍，乙队修 的米数是丙队的3倍。三
个队各修了多少米？



2.幼儿园买 来的苹果个数是梨的3倍，吃掉10个梨和
6个苹果后，剩下苹果正好是梨的5倍。原来买来的苹
果和梨共有多少个？

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9、甲、乙两数的和是112，甲数除以乙数的商是6，
甲、乙 两数各是多少？




10、被除数和除数的和是120，商是7，被除数和除数
各是多少？



11、被除数、除数与商的和是79，已知商是4。被除
数和除数各是多少？




12、两数相除商是5，没有余数，已知被除数、除数与< br>商的和是59。被除数和除数各是多少？
差倍问题
【知识概述:】已知两数之差及它 们的倍数关系，求这两个数是多少的应用题就叫做差倍问题。差倍问题中大、小二数
的数量关系可以用： 小数（1倍数）＝两数差÷(倍数－1)。式子中1即“1倍”数代表小数。
大数（几倍数）＝小数＋差，或 大数＝小数×倍数。解题关键就是抓住倍数差与对应两数差。学会使用线段图解题

例1、王 师傅一天生产的零件比他的徒弟一天生产的零件多128个，且是徒弟的3倍。师徒二人一天各生产多少个零件？
解析：师徒二人一天生产的零件的“差”是128个。小数(即“1倍”数)是徒弟一天生产的零件数， “倍数”为3。由
差倍公式可以求解。
解：徒弟一天生产零件： 128÷(3－1)＝64(个)，
师傅一天生产零件： 128＋64＝192(个)或64×3＝192(个)。
【小试牛刀】1、 两根电线的长相差30米，长的那根
是短的那根的4倍。这两根电线各长多少米？




【例2】 甲、乙二工程队，甲队有56人，乙队有34人。两队调走同样多人后 ，甲队人数是乙队人数的3倍。问：调
动后两队各有多少人？
分析与解答：“1倍”数是乙队 调动后剩下的人数。因甲、乙队调走的人数相同(不影响他们二队人数之差)，所以，甲、
乙两队人数之 差仍是56－34＝22(人)。由差倍公式得调动后乙队有：(56－34)÷(3－1)＝11(人)。调动 后甲队有： 11
×3＝33(人)或11＋(56－34)＝33(人)。
【小试牛刀 】1、养鸡场有公鸡和母鸡，母鸡的只数是公鸡2、参加少年宫科技小组的人数，今年比去年多41人，并
的3倍，把母鸡运走850只，把公鸡运走50只以后，公鸡且今年的人数比去年的3倍少35人，今年有多少 人参加？
与母鸡所剩下的只数相等，公鸡和母鸡原来各有多少只？







2、某小学购买组足球的个数是排球的3倍，足球比排球多18只，购买足球和排球各有多少只？

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【例3】甲、乙两桶油重量相等。甲桶取走26千克油，乙 桶加入14千克油，这时，乙桶油的重量是甲桶油的重量的3
倍。两桶油原来各有多少千克？
分析与解答：当甲桶取走26千克、乙桶加入14千克后，乙桶里的油就是甲桶里的油的3倍，所以，“1倍”数 是甲桶
里剩下的油，差是26＋14＝40(千克)。由差倍公式知，“1倍”数＝(26＋14)÷( 3－1)＝20(千克)。
故甲、乙桶原来各有油： 20＋26＝46(千克)，或 20×3－14＝46(千克)

【小试牛刀】1、小娟和洋洋扎纸花，小娟扎的朵数是洋洋 2、某车间原来有男职工数比女职工数多48人，如果调走2
的4倍。如果小娟送给洋洋36朵，那么两 人扎的朵数相等，名女职工，男职工数就是女职工的3倍，求这个车间原有
小娟和洋洋原来各扎多少朵花 ？




【同步精练】
1、哥哥的图书本数比弟弟多 60本，哥哥的图书本数是弟
弟的3倍，哥哥和弟弟各图书多少本？




黄瓜120千克后，剩下的两种蔬菜重量相等，菜场运来西
红柿和黄瓜各多少千克？




5、甲、乙、丙三数之和是360，已知甲是乙的3倍，丙 是
乙的2倍。求甲、乙、丙各是多少。




有2人上 车，乙车有9人上车，两车都没人下车，这时乙
车载客人数是甲车的2倍，原来两车各有多少人




男、女职工各多少人？
2、菜场运来的西红柿是 黄瓜的3倍，卖出西红柿950千克，6、有甲、乙两辆车，载客人数相同，在同一站点上，甲车
3、两 袋盐的重量相等，甲袋取出24千克，乙袋装入28千7、小华和小明两人参加数学竞赛，两人共得168分，小 华
克，这时乙袋的重量是甲袋的3倍 ，甲乙两袋原来各有盐的得分比小明的2倍少42分。两人各得多少分？
多少千克？




两数各是多少？







40。三个数各是多少？


4、甲、乙 两数的和是112.甲数除以乙数的商是6，甲、乙8、三个数的和是1540，甲数是丙数的7倍，乙数比甲数 多

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9、甲筐有梨400个，乙筐有梨240个，现在从两筐取出数4、学校购买了720本图书分给高、中、低 三个年级，高年
目相等的梨，剩下梨的个数，甲筐是乙筐的5倍，两筐所
剩的梨各有多少个?




10、小明和小惠都是集邮爱好者，小明的邮票张数是小惠
小明和小惠原来各有多少张邮票？




11、甲厂人数比乙厂少540人，若从两厂各调走600人，




课后巩固练习：
1、一块长方形黑板的周长是96分米，长是宽的3倍。这
块长方形黑板的长和宽各是多少分米？




钢笔的3倍，铅笔的支数与圆珠笔的支数同样多。铅笔、
钢笔和圆珠笔各有多少支？




3、甲、乙、丙三个修路队共修路1200米，甲队修的米数
是乙队的2倍，乙队修的数数是丙队的3倍。三个队各修
了多少米？

级分得的比低 年级的3倍多8本，中年级分得的比低年级
的2倍多4本。高、中、低年级各分得图书多少本？




5、城东小学共有篮球、足球和排球共95个，其中足球比
排球各有多少个？




6、在一个数的后面补上两个“0”，得到的新数比原来的




7、食堂里有94千克面粉，138千克大米，每天用掉面粉和
大米各9千克，几天后剩下的大米是面粉的3倍？




8、甲乙两人各有若干本书，若甲给乙45本，则两人的书
各有书多少本？





9、小云比小雨少20本书，后来小云丢了5本书，小雨新
买了11本书，这时小雨的书比小云的书多2倍。问：原来
两人各有多少本书？
< br>的4倍，如果小明送给小惠36张，那么两人的张数相等，排球少5个，排球的个数是篮球个数的2倍。篮 球、足球、
乙厂人数恰好是甲厂人数的4倍，求甲厂原来有多少人？ 新增加了1980，这个数是多少？
2、商店有铅笔、钢笔、圆珠笔共560支，圆珠笔的支数是相等 ，若乙给甲45本，则甲的本数是乙的2倍，甲乙原来

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和差问题
【知识概述】：已知几个数的和与差， 求这几个数的应用题，叫和差问题。通常采用假设的方法，就是假设那个较小的
数和较大的数相等或者假 设那个较大的数和那个较小的数相等，这样就会引起总数（和）的变化（增加或减少），求出
新的和，平 均分就可得其中的一个数。为了解答这种应用题，首先要弄清两个数相差多少的不同叙述方式.有些题目明
确给了两个数的差，而有些应用题把两个数的差“暗藏”起来，我们管暗藏的差叫“暗差”。
基本公式：
① （和-差）÷2=较小数 较小数+差=较大数 和-较小数=较大数
②（和+差）÷2=较大数 较大数-差=较小数 和-较大数=较小数

【经典例题】：1、两筐水果共重150千克，第一筐比第二筐少10千克，两筐水果各多少千克？
解析：读题，找出条件和问题。根据条件和问题画出线段图


假设把第二筐多的10千克减掉，看成两个第一筐的重量来计算，总重量要变成多少？怎么计算？
（15010）270
（千克） 第二筐：
701080
（千克） 列式：第一筐：
假设把第一筐少的10千克补上 ，看成两个第二筐的重量来计算，总重量要变成多少？怎么计算？
（15010）280
（千克） 第一筐：
801070
（千克） 列式：第二筐：

【小试牛刀】：1、 甲、乙两人同时以相同的速度打字，2分钟共打了240个字，已知甲每分钟比乙多打10个字．问甲、
乙两人每分钟各打多少个？




棵．桃树和梨树各有多少棵？




4、沿长宽相差30米的游泳池跑了5圈，做下水前得准备


5、两数的和是40，甲数比乙数大8，求甲、乙两数各是多


活动，已知跑了700米距离，问游泳池的长和宽各是多少？ 少？

短2米．每段各长多少米？


2、果园共260棵桃树和梨树，其中桃树 的棵数比梨树多203、有一根钢管长12米，要锯成两段，使第一段比第二段

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6、买一套衣服，共需 360元，裤子比上衣便宜136元，那9、甲、乙、丙三个零件平均重31千克，甲零件比乙、丙
么买 一件上衣和一条裤子各需多少元钱？




7、甲、乙两箱共有 水果60千克，如果从甲箱中取出5千
克放到乙箱中，则两箱水果一样重，求两箱水果原来各有
多少千克？




是多少？





两个零件重量和少1千克，乙零件是丙零件重量的2倍还
多2千克。三个零件各重多少千克？




10、一套书有上、中、下三册，上册比中册贵3元，中册
比下册贵6元，四套这样的书共300元，求上、中、下每
册各多少元？



11、两箱水果共重150千克，第一筐比第二筐多8千克，
两筐水果各多少千克？

8、被减数，减数，差之和是900，减数比差少50，求减数
和倍、差倍、和差问题综合练习
1、学校有科技书和故事书共480本，科技书的本数是故事 4、李大伯养鸡、鸭、鹅共960只，养鸡的只数是鹅的3倍，
书的3倍。两种书各有多少本？




5倍。铝和锡各用了多少千克？





3、果园里有梨树、桃树和苹果树共1200棵，其中梨树的
棵数是苹果树的3倍，桃树的棵数是苹果树的4倍。求梨
树、桃树和苹果树各有多少棵？
< br>6、甲、乙、丙三个数之和是400，已知甲是乙的3倍，丙
是甲的4倍。求甲、乙、丙各是多少 。

养鸭的只数是鹅的4倍。鸡、鸭、鹅各养了多少只？




个的2倍，第三个书橱里的书是第二个的4倍。每个书橱
里各放了多少本书？




2、用锡和铝制成的合金是720千克，其中铝的重量是锡 的5、有三个书橱共放了330本书，第二个书橱里的书是第一

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7、少先队员种柳树和 杨树共216棵，杨树的棵数比柳树的9、三个筑路队共筑路1360米，甲队筑的米数是乙队的2
3倍 多20棵，两种树各种了多少棵？








倍，乙队比丙队多240米。三个队各筑多少米？




2倍，乙队比丙队少植300棵。三个队各植树多少棵？




11、有两袋大米，大袋比小袋多56千克，如果将小袋的大15、兄弟两共有邮票70张， 如果哥哥给弟弟4张邮票后，
米吃掉4千克，这时大袋的大米重量是小袋的4倍，求两
袋大米原 来各重多少千克？




还比弟弟多2张，兄弟两原来各有邮票多少张？




16、一个两位数，十位数字与个位数字的和为9，十位数字
8、被除数比除数大252，商是7，被除 数、除数各是多少？ 10、三个植树队共植树1900棵，甲队植树的棵数是乙队的
12、有40个连 续的自然数，最大的那个数是最小的那个数比个位数字多5，求这个两位数？
的4倍，那么这列自然数中最大数与最小数的和是多少？




每只足球比每只排球贵5元，足球和排球的单价各是多少
元？




14、把100米长的绳子剪成三段，其中第二段比第一段多



17、小明有钱56元，小华有钱34元，两人花去同样多的
各花了多少钱？





18.商店运来一批水果，其中桔子的筐数是苹果的4倍，苹
？

13、学校 体育室近期用148元购买了2只足球和4只排球。钱后小明剩下的钱数正好是小华剩下钱数的3倍。问两人16米，第三段比第一段少18米。三段绳子各长多少米？ 果比桔子少30筐。这批水果中苹果和桔子各有多少筐

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