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第二十五周 和倍问题
专题简析：
已知两个数的和与两个数间的 倍数关系，求这两个数分别是多少，像这样的应
用题，通常叫做和倍问题。要想顺利地解答和倍应用题， 最好的方法就是根据题
意，画出线段图，使数量关系一目了然，从而正确列式解答。
解答和倍 应用题，关键是要找出两数的和以及与其对应的倍数和，从而先求出
1倍数，再求出几倍数。数量关系可 以这样表示：
两数和÷（倍数＋1）=小数（1倍数）
小数×倍数=大数（几倍数）
两数和－小数=大数
例题1 学校将360本图书分给二、三两个年级，已知三年级所分得的 本数是二
年级的2倍，问二、三两个年级各分得多少本图书？
思路导航：将二年级所得图书的本数看作1倍数，则三年级所得本数是这样的
2倍。如图所示：

共360本
？本
三年级

二年级
由图可知，二、三年级所得图书本数的和360本相当于二年级的（1＋2）倍，则二年级所得图书本数的360÷（1＋2）=120本，三年级为120×2=240本。
练 习 一
1，小红和小明共有压岁钱800元，小红的钱数是小明的3倍。小红和小明各
有压岁 钱多少元？
2，学校将360本图书分给二、三年级，已知三年级所得本数比二年级的2倍
还 多60本。二、三年级各得图书多少本？
3，甲桶有油25千克，乙桶有油17千克，乙桶倒入多少千 克油给甲桶后，甲
桶油是乙桶的5倍？
例题2 小宁有圆珠笔芯30枝，小青有圆珠笔芯15 枝，问小青给小宁多少枝
后，小宁的圆珠笔芯枝数是小青的8倍？
思路导航：我们把变化后小 青的圆珠笔芯枝数看作1倍数，那么小宁与小青圆
珠笔芯的枝数和相当于变化后小青枝数的9倍，所以变 化后小青的枝数为（30＋
15）÷（1＋8）=5枝，再用15－5=10枝，则表示小青给小宁的枝 数。
练 习 二
1，红红有邮票80张，佳佳有邮票60张，要使红红的邮票张数是佳佳的 4
倍，那么佳佳必须给红红多少张邮票？
2，甲水池有水69吨，乙水池有水36吨，如果甲 水池中的水以每分钟2吨的
速度流入乙水池，那么多少分钟后，乙水池的水是甲水池的2倍？
3，甲书架有图书18本，乙书架有图书8本，班图书管理员又买来图书16
本，怎样分配才能使甲书架 图书的本数是乙书架的2倍？

例题3 被除数与除数的和为320，商是7，被除数和除数各是多少？
思路导航：由商是7可知，被除数是除 数的7倍，把除数看作1份数，被除数
就有这样的7份，一共7＋1=8份。
除数：320÷8=40
被除数：40×7=280
练 习 三
1，被除数和除数和为120，商是7，被除数和除数各是多少？
2，被除数、除数、商的和为79，商是4，被除数、除数各是多少？ 3，两个
整数相除商是 21，余数为1，已知被除数、除数、商、余数的和一共是441。被除
数、除数各是多少？
例题4 两数相除商为17余6，被除数、除数、商和余数的和是479。被除数和
除数分别为多少？
思路导航：被除数、除数、商和余数的和是479，减去商17和余数6，得到被
除数与除数的和为47 9－17－6=456；又因为被除数比除数的17倍多6，所以456
－6=450就相当于除数的（ 17＋1）倍，因此除数为450÷（17＋1）=25，被除数为
25×17＋6=431。
练 习 四
1，两个整数相除商14余2，被除数、除数、商和余数的和是243，被除数比
除数大多少？
2，在一个减法算式里，被减数、减数与差的和等于240，而减数是差的5
倍。差是多少？

3，学校买来83本书，其中科技书是故事书的2倍，故事书比文 艺书多5本，
这三种书各多少本？
例题5 两个数之和是792，其中一个数的最后一位数数 字是0，如果把0去
掉，就与另一个数相同。这两个数分别是多少？
思路导航：把一个数的最 后一位数字0去掉，就与另一个数相同，说明这两个
数中大数是小数的10倍。又已知两个数之和是79 2，那我们就可以求出这两个数
分别是多少了。
小数：792÷（10＋1）=72
大数：72×10=720
练 习 五
1，两个数之和是253，其中一个数的最 后一位数字是0，如果把0去掉，就与
另一个数相同。这两个数分别是多少？
2，师徒两人加 工一批零件共693个，师傅加工零件个数的末位数字是0，如
果去掉这个0，加工的个数就与徒弟一样 多。师徒二人分别加工零件多少个？
3，甲、乙两数的和是209，甲数缩小10倍就和乙数同样大，甲、乙两数分别
是多少？
第二十六周 差倍问题（一）
专题简析：
前面我们已经初步掌握了“和倍问题”的 特征和解题方法。如果知道了两个数的
差与两个数间的倍数关系，要求两个数各是多少，这一类题，我们 则把它称为“差
倍问题”。小朋友，你们有没有想到用解答和倍问题的类似方法解答差倍问题呢？

解答差倍问题与解答和倍问题相类似，要先找出差所对应的倍数， 先求1倍
数，再求出几倍数。此外，还要充分利用线段图帮助分析数量关系。
用关系式可以这样表示：
两数差÷（倍数－1）=较小的数（1倍数）
较小的数×倍数=较大的数（几倍数）
例题1 小明到市场去买水果，他买的苹果个数是梨的3倍，苹果比梨多18
个。小明买苹果和梨各多少个？
思路导航：将梨的个数看作1倍数，则苹果的个数是这样的3倍。如下图：
苹果
梨
？个多18个？个
1

倍

从线段图上可以看出，苹 果的个数比梨多了3－1=2倍，梨的2倍是18个，所
以梨有18÷2=9个，苹果有：9×3=27 个。
练 习 一
1，学校合唱组，女同学人数是男同学的4倍，女同学比男同学多42人。 合唱
组有男、女同学各多少人？

2，一件皮衣价钱是一 件羽绒服价钱的5倍，又已知一件皮衣比一件羽绒服贵
960元。皮衣与羽绒服各多少元？
3 ，甲筐苹果是乙筐苹果的3倍，如果从甲筐取出60千克放入乙筐，那么两筐
苹果重量就相等。两筐原来 各有苹果多少千克？
例题2 被除数比除数大252，商是7，被除数、除数各是多少？
思 路导航：根据“商是7”可知，被除数是除数的7倍，把除数看作1倍数，被
除数就是这样的7份，比除 数多6份。
所以除数是：252÷（7－1）=42
被除数是：42＋252=294
练 习 二
1，被除数比除数大168，商是22，被除数、除数各是多少？ 2，除数比被除
数小212，商是5，被除数、除数各是多少？ 3，被除数比商大144，除数是7，被
除数、商各是多少？
例题3 水果店有两筐橘子，第一筐橘子的重量是第二筐的5倍，如果从第一
筐中取出300个放入第二筐，那 么第一筐橘子还比第二筐多60个。原来两筐
橘子各有多少个？
思路导航：根据“如果从第一 筐中取出300个放入第二筐，那么第一筐橘子还
比第二筐多60个”，说明原来第一筐比第二筐橘子多 300×2＋60=660个。把第二筐
的橘子重量看作1倍数，第一筐橘子是这样的5倍，比第二筐多 4倍，第二筐橘子
的4倍正好是660个，所以第二筐原有橘子：660÷4=165个，第一筐橘子原 来有：
165×5=825个。
练 习 三

1，同学们捐助残，六年级捐款钱数是三年级的3倍。如果从六年级捐款钱数
中取出160元放入三年级 ，那么六年级捐款的钱数还比三年级多40元。两个年级
分别捐款多少元？
2，人民公园的杜 鹃花盆数是长春园的4倍，如果从人民公园搬出188盆杜鹃
花放入长春园，则人民公园的杜鹃花盆数就 比长春园的少25盆。原来两个公园各
有杜鹃花多少盆？
3，两堆煤重量相等，现从甲堆中运 走24吨到乙堆，而乙堆煤中又运入8吨，
这时乙堆煤的重量正好是甲堆煤重量的3倍。问两堆煤原来各 有多少吨？ 例题4
甲、乙两个数，如果甲数加上280就等于乙数，如果乙数加上320就等于甲数 的3
倍。两个数各是多少？
思路导航：根据题意，画出线段图：

？320
280？
乙
甲

“甲数加上280就等 于乙数”，说明乙数比甲数大280；如果乙数再加上320，
甲、乙就相差320+280=600， 把甲数看作1倍数，从图上可以看出，600
就相当于甲数的3－1=2倍。所以，甲数为600÷2 =300，乙数为300＋
280=580。
练 习 四

1，甲、乙两人的存款相等，甲取出60元，乙存入20元后，乙的存款是甲 的
3倍。甲、乙两人原有存款各多少元？
2，小明和小华的连环画本数相等，若小明借给小华 6本，小华的本数是小明
的4倍。原来两人各有连环画多少本？
3，两筐千克数相同的苹果， 甲筐卖出7千克，乙筐卖出19千克后，甲筐余下
的苹果是乙筐的3倍。两筐苹果原来各有多少千克？
例题5 两个书架所存书的本数相等，如果从第一个书架里取出200本书，而第
二个书架再放 入40本书，那么第二个书架的本数是第一个书架的3倍。问两个书
架原来各存书多少本？
思路导航：根据题意，画出线段图。

第二个书架
第一个书架

？本
？本
取出200本1倍数
从线段图上可以看出，第一 个书架取出200本，第二个书架放进40本书后，
两个书架就相差200+40=240本，把变化后 的第一个书架看作1倍数，两个书架相
差的240本就相当于变化后第一个书架的（3－1）倍。所以， 变化后第一个书架有
书：

（200＋40）÷（3－1）=120本
两个书架原来各有：120＋200=320本。
练 习 五
1，两个仓库所存粮食重量相等，如果从第一个仓库里取出2000千克，而第二
个仓库再存入400千克，那么第二个仓库的粮食重量就是第一个仓库的7倍。两个
仓库原来各 存粮食多少千克？
2，小红和小明的铅笔枝数相等，如果奶奶再给小红16枝铅笔，给小明2枝铅笔，那么小红的铅笔枝数就是小明的3倍。原来小红和小明各有铅笔多少枝？
3，商店有数量相等 的英语本和算术本，英语本卖出160本，算术本卖出420
本后，余下的英语本数是算术本的3倍。两 种本子原来各有多少本？
第二十七周 差倍问题（二）
专题简析：
有些差倍问题 比较复杂，不能直接利用公式进行解答，这时需要我们小朋友仔
细审题，尤其注意一些隐含条件，同时借 助线段图帮助理解题意，从而找到解题方
法。
较复杂的差倍应用题，数量关系比较隐蔽。先依 题意画出线段图，数量关系就
会比较清晰地展现出来，然后借助线段图找出两个数的差以及所对应的倍数 ，再利
用公式进行解答。
例题1 有两袋玉米，大袋比小袋多56千克，如果将小袋的玉米吃 掉4千克，
这时大袋的玉米重量是小袋的4倍。两袋玉米原来各重量多少千克？
思路导航：根据题意，画出线段图。
大袋玉米

小袋玉米
？千克

从图上可以看出，小袋玉为吃掉4千克后，大袋里的 玉米就比小袋现有玉米重
4+56=60千克；又根据“这时大袋的玉米重量是小袋的4倍”，可知把小 袋现有的玉
米重量看作1倍数，大袋比小袋多的60千克正好相当于现有小袋的4－1=3倍，所
以小袋现有玉米60÷3=20千克，原有重量20+4=24千克，大袋原有20×4=80千
克。
练 习 一
1，有两箱玩具，第一盒比第二盒多60只。如果从第二盒中取出3只，这时第< br>一盒的只数是第二盒的8倍。求两箱玩具原来各有多少只？
2，一个书架上放着一些书，第二层 比第一层多12本。如果从第一层中拿走6
本，这时第二层的本数是第一层的4倍。求第一、第二层原来 各有多少本书？
3，甲、乙两桶油各有油若干千克，甲桶的油比乙桶少20千克，如果从甲桶倒
出5千克放入5千克，这时乙桶内油的重量是甲桶的4倍。甲、乙两桶原来各有油
多少千克？
例题2 有甲、乙两桶色拉油，如果向甲桶中倒入8千克，则两桶色拉油就一样
重；如果向乙桶 中倒入12千克，乙桶的色拉油就是甲桶的5倍。甲、乙两桶原来
各有色拉油多少千克？

思路导航：根据题意，画出线段图。


？千克
乙桶？千克
倒入8千克1 从线段图上可以看出：如果向甲桶倒入8千克，两桶油重量相等，说明乙桶油比甲桶油多8千克；如果向乙桶倒入12千克，乙桶油就比甲桶油
多8+12=20 千克，与20千克相对应的倍数差是5－1=4倍。所以，甲桶原有：
（8+12）÷（5－1）=5千 克，乙桶原有5+8=13千克。
练 习 1，有甲、乙两桶水，如果向甲桶中倒入10千克水，两桶 水就一样多；
如果向乙桶中倒入4千克水，乙桶的水就是甲桶的3倍。原来甲、乙两桶各有多少
千克水？
2，三（1）班同学参加英语比赛，如果男生少去1人，男、女参赛人数相等；
如果 女生少去1人，男生参赛人数是女生的2倍。三（1）班参加英语比赛的男、
女生各几人？
3 ，小敏和小文每人都有一些玻璃球，如果小敏给小文3粒，两人的玻璃球数
就一样多；如果小文给小敏1 粒，小敏的玻璃球数就是小文的5倍。小敏、小文原
有玻璃球各几粒？
例题3 甲的钱数是乙 的3倍，甲买一套180元的《百科大全》，乙买一套30
元的故事书后，两人余下的钱一样多。甲原来 有多少钱？
思路导航：根据题意，画出线段图。

甲
乙
把乙原有的钱看作1份，甲原有的钱不是3份；甲买书用去180元，乙买书 用
去30元，甲比乙多用去180－30=150元。从图上可以看出，这多出的150元正好
相当于乙原有钱数的3－1=2倍，所以乙原有钱：150÷2=75元，甲原有钱
75×3=225元 。
练 习 三
1，甲的钱数是乙的4倍，甲买了一只30元的书包，乙买了一枝6元的钢笔
后，两人余下的钱一样多。甲原来有多少钱？
2，丹丹的钱数是小敏的5倍，丹丹买了一套1 15元的衣服，小敏买了一双15
元的鞋子后，两人余下的钱一样多。丹丹原来有多少钱？
3 ，云云的钱是小月的4倍，云云买了一套水彩笔用了19元钱，小月买了一块
1元钱的橡皮后，两人剩下 的钱一样多。云云原来有多少钱？
例题4 学校里白粉笔的盒数是彩色粉笔的4倍，如果白粉笔和彩色 粉笔各购进
12盒，那么白粉笔的盒数是彩色粉笔的3倍。原来白粉笔和彩色粉笔各有多少
盒？
思路导航：根据题意，如果彩色粉笔购进12盒，而白粉笔购进12×4=48盒，
那么现在白 粉笔的盒数仍是彩色粉笔的4倍，可见48－12=36盒就是彩色粉笔现有

盒数的4－3=1倍，所以彩色粉笔现有36÷1=36盒，原来有36－12=24盒，白粉笔
原有24×4=96盒。
练 习 四
1，有甲、乙两筐苹果，甲筐苹果的千克数是乙筐的 3倍，如果两筐苹果各增
加8千克，那么甲筐苹果的千克数就是乙筐的2倍。甲、乙两筐原来各有多少千 克
苹果？
2，小明和聪聪各有一些彩色笔，小明彩色笔的枝数是聪聪的5倍。如果每人
再买4枝彩色笔，那么小明的枝数就是聪聪的4倍。小明和聪聪原来各有彩色笔多
少枝？
3 ，有甲、乙两桶油，甲桶油的重量是乙桶油的5倍。如果每桶分别倒入8千
克的油，那么甲桶油的重量是 乙桶油的3倍。甲、乙两桶原来各有多少千克油？
例题5 天天小学买来了一批篮球和足球，篮球的个 数比足球的4倍多5个，篮
球比足球多26个。篮球和足球各多少个？
思路导航：根据题意，画出线段图。

篮球
足球
? 个

从图上可以看出，如果把足球的个数看作1倍数，那么篮球减少5 个就是足球
个数的4倍，所以足球有（26－5）÷（4－1）=7个，篮球有7×4＋5=33个。
练 习 五
1，商店里有一些红皮球和白皮球，红皮球的个数比白皮球的3倍多2个，红皮球比白皮球多24个。红、白皮球各有多少个？
2，有两袋面粉，甲袋面粉比乙袋面粉的5倍多12千克，乙袋比甲袋少
132千克。甲、乙两袋面粉各多少千克？
3，图书室里有一些故事书和连环画，故事书的本 数比连环画的4倍少8本，
故事书比连环画多28本。图书室里有故事书和连环画各多少本？
第二十八周 和差问题
专题简析：
已知大小两个数的和及它们的差，求这两个数各 是多少，这类问题我们称为和
差问题。掌握了和差问题的特征和规律，我们解答起来就很方便了。 解答和差问题通常用假设法，同时结合线段图进行分析。可以假设小数增加到
与大数同样多，先求大 数，再求小数；也可以假设大数减少到与小数同样多，先求
小数，再求大数。
用数量关系表示：
（和＋差）÷2=大数
（和－差）÷2=小数
例题1 期中考试王平和李杨语文成绩的总和是188分，李杨比王平少4分。两
人各考了多少分？

思路导航：根据题意画出线段图。

188分
? 分
李杨

我们可以用假设法来分析。假设李杨的分数和王平一样多， 则总分就增加4
分，变为188+4=192分，这就表示王平的2倍，所以王平考了：192÷2=9 6分，李
杨考了96－4=92分。
练 习 一
1，两筐水果共重124千克，第一筐比第二筐多8千克。两筐水果各重多少千
克？
2，小宁与小慧的身高总和是264厘米，又已知小宁比小慧矮8厘米。两人分
别高多少厘米？
3，三（1）班和三（2）班共有学生124人，如果从三（2）班调2人到三
（1）班，两班 学生同样多。三（1）班、三（2）班原来各有学生多少人？ 例题2
某机床厂第一、二两个车间共有 车床96部，如果第一车间拨给第二车间8部，那
么两个车间车床数相等。两个车间各有车床多少部？
思路导航：用线段图表示题意。

96部

已知第一、二两个车间共有车床96部，又根据“如果第一车间拨给第二车间8
部， 两个车间车床数相等”，从线段图上我们可以看出第一车间原来比第二车间多
8×2=16部车床。所以 ，第一车间原有：（96+8×2）÷2=56部，第二车间原有56－
8×2=40部。
练 习 二
1，红星小学一年级新108人，分成甲、乙两个班。如果从甲班转3个学生到
乙班去 ，两班学生就一样多。甲、乙两班各有学生多少人？
2，甲、乙两筐共有水果80千克，若从甲箱取出 6千克放到乙箱中，这时两箱
水果同样多。两箱原来各有水果多少千克？
3，有三只船共运木 板9800块，第一只船比其余两船共运的少1400块，第二
只船比第三只船少运200块。三只船各 运木板多少块？
例题3 哥弟俩共有邮票70张，如果哥哥给弟弟4张邮票，这时哥哥还比弟弟
多2张。哥哥和弟弟原来各有邮票多少张？
思路导航：我们可以这样想，哥弟俩共有邮票70张，根 据“如果哥哥给弟弟4
张，还比弟弟多2张”，说明原来哥哥比弟弟多4×2＋2=10张邮票。所以， 弟弟有
邮票：（70－10）÷2=30张，哥哥有邮票30+10=40张。
练 习 三

1，一只两层书架共放书72本，若从上层中拿出9本给下层，上 层比下层多4
本。上、下层各放书多少本？
2，姐姐和妹妹共有糖果39块，如果姐姐给妹妹 7块，就比妹妹少3块。那么
姐姐和妹妹原来各有糖果多少块？
3，两笼兔子共16只，若甲 笼再放入4只，乙笼取出2只，这时两笼兔子只数
就同样多。甲、乙两笼原来各有兔子多少只？
例题4 把一条100米长的绳子剪成三段，要求第二段比第一段多16米，第三
段比第一段少 18米。三段绳子各长多少米？
思路导航：用线段图来表示题意。

第三段
第二段
第一段
米
可以这样想：把第一段绳子的长度当作标准，假设第二 、第三段绳子都和第一
段同样长，那么总长就变为100－16＋18=102米。
第一段绳子长：102÷3=34米

第二段绳子长：34+16=50 米 第三段绳子长：34－18=16 米 练 习 四 1，某工厂
第一、二、三车间共有工人 280 人，第一车间比第二车间多 10 人，第二车间比第
三车间多 15 人。三个车间各有工人多少人？ 2，某工厂将 857 元奖金分给有创造
发明的三名优秀工人，第一名比第二 名多得 250 元，第二名比第三名多得 125
元。三名优秀工人各得多少元？ 3，小明期终考试的语文、数学和英语的平均分是
95 分，数学比语文多 6 分，英语比语文多 9 分。小明期终考试三门功课各多少
分？ 例题 5 四个人年龄之和是 88 岁，最小的 3 岁，他与最大的年龄之和比另外 两
个人年龄之和大 8 岁。最大的年龄是多少岁？ 思路导航：我们可以这样思考，将
最大、最小两个人年龄的和与另外两 人年龄和分别看作大数与小数， 根据四个人
的年龄和是 88 岁， 年龄差是 8 岁， 即可求出大数与小数。 大数： （88+8）
÷2=48 岁 最大的年龄：48－3=45 岁 练 习 五 1，小军一家四口年龄之和是 129 岁，
小军 7 岁，妈妈 30 岁，小军与爷 爷年龄这和比他父母年龄之和大 5 岁。爷爷和爸
爸的年龄各是多少岁？ 2，某校四个年龄共有 438 名学生，其中一年级 119 人，四
年级 101 人， 一、 二年级的总人数比三、 四年级的总人数多 52 人。 二、 三年级
各有多少人？ 3，某校四个年级共有 138 名学生参加数学竞赛，其中一、二年级共
70 名，一、三年级共 65 名，二、三年级共 59 名。四年级有多少名？