余秋雨语录-军训手抄报

6-1-5.和倍问题


教学目标

1. 学会分析题意并且熟练的利用线段图法能够分析和倍问题
2. 掌握寻找和倍的方法解决问题．

知识点拨
知识点说明：

和倍问题就是已知两个数的和以及它们之间的倍数关系，求这两个数各是多少的问题．
解 答此类应用题时要根据题目中所给的条件和问题，画出线段图，使数量关系一目了然，
从而找出解题规律 ，正确迅速地列式解答。
和倍问题的特点是已知两个数的和与大数是小数的几倍，要求两个数，一般是 把较小数
看作
1
倍数，大数就是几倍数，这样就可知总和相当于小数的几倍了，可求出 小数，再求大
数.
和倍问题的数量关系式是：
和÷(倍数+
1
)=小数
小数×倍数=大数 或 和一小数=大数
如果要求两个数的差，要先求
1
份数：

l
份数×(倍数－
1
)=两数差.
解决和倍问题，关键是学会画线段图，这样可以帮助我们更好的弄清各数量之间的关系。

例题精讲


【例 1】 某项竞赛分一等奖、二等奖和三等奖，每个一等 奖的奖金是每个二等奖奖金的
2
倍，每个二等奖的奖金是每个三等奖奖金的
2
倍．如果评出一、二、三等奖各
2
人，那么每个一等奖的奖金是
308
元．如 果评出
1
个一等奖，
2
个二等奖，
3
个三
等奖，那 么一等奖的奖金是多少元?
【考点】和倍问题 【难度】5星 【题型】解答
【解析】 我们把每个三等奖奖金看作
1
份，那么每个二等奖奖金是
2
份，每个一等奖奖金则
是
4
份．当一、二、三等奖各评
2
人时，< br>2
个一等奖的奖金之和是
(3082)
元，
2
个
二 等奖的奖金之和等于
1
个一等奖的奖金
308
元，
2
个三等 奖的奖金等于
1
个二等奖
奖金
(3082)
元．所以奖金总额是：
308230830821078
元．当评
1
个一等
1< br>个一等奖奖金看做
4
份，
2
个二等奖奖金
224
奖，
2
个二等奖，
3
个三等奖时，
（份），
3
个三 等奖奖金的份数是
133
（份），总份数就是：
44311
（份） ．这
样，可以求出
1
份数为
10781198
元，一等奖奖金为 ：
984392
（元）．
【答案】
392
元

【例 2】 有5堆苹果，较小的3堆平均有18个苹果，较大的2堆，苹果数之差为5个；又
较大的3堆平均有苹果26个，较小的2堆苹果之差为7个；最大堆与最小堆平均
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有22个苹果，问：各堆各有多少个苹果？
【考点】和倍问题 【难度】5星 【题型】解答
【解析】 方法二：作图表示题目各个量之间的关系能让复杂的关系 看起来简洁明了且不易混
乱，用下图表示它们的关系：

最大堆与最小堆平均22个 ，那么最大堆与最小堆一共有
22244
（个）；较大的2堆，苹
果数之差为5个 ，得知次大堆比最大堆少5个苹果；较小的2堆苹果之差为7个，说明次小
堆比最小堆多7个苹果，因此 ，得知次小堆和次大堆之和为：
445746
（个），这样最
大堆、最小堆、次 大堆、次小堆四堆苹果数量之和是：
444690
（个），较大的3堆苹果
之和：
26378
（个），较小的3堆苹果之和：
18354
（个），较大 的3堆苹果和较小
的3堆苹果总和等于最大堆、次大堆、最小堆、次小堆以及2个中间堆的数量之和．
所以，中间堆的数量是：，最大堆与次大堆的和是：
782157（785490） 221
（个）
（个），
最大堆有苹果：，次大堆有：
573126< br>（个），同理最小堆有苹果：
（575）231
（个）
（5421
，次小堆有苹果：
13720
（个）．
7）213
（个）
方法一：最大堆与最小堆共
22244
个苹果．较大的
2
堆与较小的
2
堆共
4427590
个苹果．所以中间的一堆有：< br>(18326390)221
个苹果；
较大的
2
堆有：
2632157
个苹果；
最大的一堆有：
(575)231
个苹果；
次大的一堆有：
573126
个苹果；
较小的
2
堆有：
1832133
个苹果；
次小的一堆有：
(337)220
个苹果；
最小的一堆有：
20713
个苹果．
【答案】最小的有
13< br>个，次小的有
20
个，中间的有
21
个，次大的有
26
，最大的有
31


【例 3】 食堂买来5只羊，每次取出两只合称一次 重量，得到10种不同重量（单位：千
克）：47，50，51，52，53，54，55，57，58 ，59．问：这五只羊各重多少千
克？
【考点】和倍问题 【难度】5星 【题型】解答
【解析】 可以设定羊的重量从轻到重分别为
A
，则
AB 47
，同
C
，
DE59
．
B
，
D，
E
．
时不难整体分析得到
ABCDE

4 7505152535455575859

4134
千克． 则
C134475928
千克．
不难有
AC50
，< br>EC58
．则
A22
千克，
E30
千克，
B 25
千克，
D29
千克．
【答案】这五只羊重为：
22
，
25
，
28
，
29
，
30


【例 4】 某小学五年级和六年级参加创新杯数学邀请赛共有16人，其中：五年级的学生比
六年级的学生多；六年级的男生比五年级的男生多；五年级的男生比五年级的女
生多；六年级的女生至少 有1人．那么六年级的男生有 人．
【考点】和倍问题 【难度】4星 【题型】填空
【关键词】2008年，湖北省，第六届，创新杯
【解析】 因“五年级的学 生比六年级的学生多”，故五年级学生至少有9人，而六年级学生
至多有7人；因“五年级男生比五年级 的女生多”，所以五年级男生至少有5人；
因“六年级男生比五年级男生多”，所以六年级男生至少有6 人，而六年级男生不
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能多于6人，否则再加上六年级的女生至少有1人，则六年级的学生人数就会多于
7人，这不可能． 因此，六年级的男生恰好有有6人．
【关键词】
6
人

【例 5】 某校师生共为地震灾区捐款462000元，经统计发现，他们各自所捐的钱数，共
有10种不同 档次．最低档次共有10人，而每上升一个档次，捐款人数就减少1
人；且从第二档次开始，以后各档次 的捐款钱数，分别为最低档次的2倍、3倍、
4倍……10倍，那么捐款最多的人捐款___ ____元．
【考点】和倍问题 【难度】4星 【题型】填空
【关键词】迎春杯，四年级，初试，9题
【解析】 本题是一道和倍问题,最高档次是1个人 ,恰好是最低档次10人合捐的10倍,则把
最低档次10人看作份,则共10×1+9×2+8×3+ 7×4+5×6+……++2×9+1×
10=220份,462000÷220=2100元,则最高 档次即捐款最多的人捐款为2100×
10=21000元
【答案】
21000
元

【例 6】 （）
A、B、C、 D、E
五人坐在一起聊天．小明想知道这五个人的年龄和．可五
人都没有直接回答．
E
说：“
A、B、C、D
四个人的年龄和101岁”．
D
说：
“
B、C、E
三个人的年龄和105岁”．
C
说：“
A、B、D、E
四个人的年龄和115
岁”．
B
说：“
A、D、E
三个人的 年龄和80岁”．A说：“
A、C、D
三个人的年龄
和66岁”．请问：五人的年龄和 是 岁。
【考点】和倍问题 【难度】4星 【题型】填空
【关键词】迎春杯，中年级组，复试，5题
【解析】 这是一道应用题，考察的是同学们整体观察的能力．将5

从整体看问题：
A
共用4次 ，
B
共用3次 ，
C
共用3次，
D
共用4次，
E
共用3次．所
以，将
B、C、E
再补上一次，
A、B、C、D、E
就各用4次．所以五人的年龄和是
(101 80115651052)4133
．
【答案】
133


【例 7】 有两盒围棋子。第一盒中的白子数量是黑子数量的9倍，第二盒中的黑子数量是
白子数量的9倍：两盒中白子的总数是黑子总数的4倍，那么第一盒中棋子的数
量是第二盒中棋 子数量的 倍。
【考点】和倍问题 【难度】3星 【题型】填空
【关键词】迎春杯，三年级，初赛，12题
【解析】 逐步操作法.假设第一盒中有1个黑子 ，9个白子，第二盒中有9个黑子，1个白子，
此时两盒中白子的总数是黑子总数的（9+1）÷（9+ 1）=1倍，不满足4倍，所以
要再添第一盒的棋子，我们可以加至第一盒棋子数量的2倍、3倍…依次 可算出两
盒中白子的总数是黑子总数的几倍，发现加至第一盒棋子数量的7倍时，两盒中白
子的 总数是黑子总数的4倍，即第一盒中棋子的数量是第二盒中棋子数量的7倍.
【答案】
7
倍

【例 8】 盒子里有红球和白球若干，若每次从 里面拿出1个红球和1个白球，那么当拿到
没有红球时，还剩下白球50个，若每次拿出1个红球和3个 白球，则拿到没有白
球时，还剩下50个红球，那么盒子里有红球和白球各多少个？
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【考点】和倍问题 【难度】3星 【题型】解答
【解析】 方法一：第二次拿到没有白球的时候还剩下50个红球，因此如果再增加150个白
球，可以使得 “每次拿出1个红球和3个白球”两种球都不剩下，这样增加150个白球后，按照第一种取
法，白 球会剩下
50150200
（个），这说明白球增加150个后，白球的数量是红球的3倍
且白球比红球多200个，转化为差倍问题，所以，红球的数量是
2002100
（个），此时
白球的数量是：
1003300
（个），不过这个数量是白球增加1 50个之后的结果，所以原来
盒子里有白球
300150150
（个），红球10 0个．
方法二：用下图表示它们的关系：

把红球的数量减去50个看做“1倍量 ”，可以得到，“2倍量”的数量是（
5050
）个．所
以红球的数量有
5 0
，白球的数量比红球多50个，有
10050

（5050）2 100
（个）
．可以看出作图表示简洁明了得多，也更容易发现隐含的关系．
150
（个）
【答案】红球
100
，白球
150


【例 9】 一家汽车销售店有若干部福特汽车和丰田汽车等待销售。福特汽车的数量是丰田
汽车的3倍，如果每周销售2辆丰田汽车和4辆福特汽车，丰田汽车销售完时还
剩下30辆福特 汽车请问：原有丰田汽车和福特汽车各多少辆？
【考点】和倍问题 【难度】4星 【题型】解答
【解析】 假设福特汽车的数量是3份，丰田车的数量是1份，根据福特车销售量是丰田 车的
两倍知道，销售完一份丰田车肯定要销售完2份福特车，也就是说当丰田车销售完
的时候， 福特车应该只剩下1份，所以我们知道1份数量是30，那么原来的丰田
车和福特车就分别应有30辆和 90辆。
【答案】丰田
30
辆，福特
90
辆

【例 10】 超市运来一批水果糖和巧克力糖，其中水果糖的颗数比巧克力糖的3倍还多
10 颗．售货员将这些糖包装成相同的小袋，每袋内装了3颗巧克力糖和7颗水果
糖．最后巧克力糖全部装完 ，水果糖还剩下170颗．请问：这批糖果共有几颗水
果糖，几颗巧克力糖？
【考点】和倍问题 【难度】4星 【题型】解答
【解析】 由题意，如果每袋里装 3颗巧克力糖和9颗水果糖，则只剩下10颗水果糖；现在
每袋里装了3颗巧克力糖和7颗水果糖，结果 剩下了170颗水果糖．由此可以算出
总的袋数为：
，
(17010)(9 7)80
（袋）
因此水果糖总数为
807170730
（颗），巧克 力糖总数为
803240
（颗）．
【答案】共有
730
颗，巧克力有
240
颗

【例 11】 某日停电，房间里燃起了长、短两根蜡烛，它们燃烧速度是—样的．开始时
长蜡 烛是短蜡烛长度的
2
倍，当送电后吹灭蜡烛，发现此时长蜡烛是短蜡烛长度
的
3
倍．短蜡烛燃烧掉的长度是
5
厘米．问原来两根蜡烛各有多长？
【考点】和倍问题 【难度】5星 【题型】解答
【解析】 我们要注意发掘题目中 真正的不变量，实际上本题中两根蜡烛的长度差是不变的
(因为两根蜡烛燃烧的速度一样)．所以我们根 据题意可知：原长蜡烛长度
2
倍原
短蜡烛长度，差为
1
倍原短蜡烛 长度；后长蜡烛长度
3
倍后短蜡烛长度，差为
2
倍
后短蜡烛长度； 所以原短蜡烛长度
2
倍后短蜡烛长度，也就是说短蜡烛燃烧了
1
倍
后短蜡烛长度，为
5
厘米，所以原短蜡烛长
10
厘米，原长蜡烛长
2 0
厘米．
【答案】原短蜡烛长
10
厘米，原长蜡烛长
20
厘米
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【巩固】 某日停电，房间里同时点燃了两支同样长的蜡烛．这两支蜡烛的质 量不同，一支
可以维持
3
小时，另一支可以维持
5
小时，当送电时吹 灭蜡烛，发现其中一支剩下
的长度是另一支剩下长度的
3
倍．这次停电时间是多少小时 ？
【考点】和倍问题 【难度】5星 【题型】解答
【解析】 两支蜡烛长度相同 ，一支可以维持
3
小时，另一支可以维持
5
小时，所以从两支蜡
烛中 取相同长度的部分，可以燃烧的时间之比为
3:5
．现在可以维持
5
小时的那 支
蜡烛剩下的长度是另外一支的
3
倍，所以剩下的部分可以燃烧的时间是另外一只剩< br>下部分可以燃烧时间的
3535
倍，由于燃烧了相同的时间，所以这支剩下的部< br>分可以燃烧的时间比另外一只剩下部分可以燃烧的时间要长
532
小时．所以另外一支剩下的部分可以燃烧的时间为
2(51)0.5
小时，这次停电的时间为30.52.5
小时．
【答案】这次停电的时间为
2.5
小时

【例 12】 下面有三道加法题，当正方形、三角形、圆形各代表什么数时，才能使下面
的等式成立?
□+□+△+〇=16 ① □+△+△+〇=13 ② □+△+〇+〇=11 ③
【考点】和倍问题 【难度】4星 【题型】解答
【解析】 先求□、△、〇三 种图形的代表数之和，再减去其中两图形代表数之和，从而求出
其中一图形代表的数，进而求出其他图形 的代表数．
由①、②、③相加
4个□+4个△+4个〇=40
4×(□+△+〇)=40
得，□+△+〇=10 ④
由①- ④得：□=16-10=6
由②-④得：△=13-10=3
由③- ④得：〇=11-10=1
检验，将□=6，△=3，〇=1分别代入原等式①、②、③，三等式成立，说明求解
正确．
【答案】□=6，△=3，〇=1

【巩固】 用中国象棋的车、马、炮分别表示不 同的自然数。如果，车÷马=2，炮÷车=4，
炮-马=56，那么“车+马+炮”等于多少？
【考点】和倍问题 【难度】4星 【题型】解答
【解析】 车、马、炮表示的三个数中，马表示的数最小，我们以马表示的数作为标准，画出
线段图如下：

把马表示的数看作1份，车表示的数就是2份，炮表示的数就是4个2份，
所以，马表示的数为：56÷（2×4-1）=8。
“车+马+炮”等于：8×（1+2+2×4）=88。
【答案】
88


【例 13】 甲、乙两个小朋友各有一袋糖，每袋糖不到20粒．如果甲给乙一定数量的糖
后，甲的糖就是乙的糖粒数的2倍；如果乙给甲同样数量的糖后，甲的糖就是乙
的糖粒数的3倍 ．那么甲、乙两个小朋友共有多少粒糖？
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【考点】差倍问题 【难度】1星 【题型】解答
【解析】 总体 和部分，比较分析．甲给乙一定数量糖后，甲占总数的
后，甲占总数的
2
，乙给甲一定 数量
3
3321
．则前后变化

．又由于前后变化为2倍的“同样 数量
44312
11
的糖”，所以每次变化
2
，所以糖的总数能 被24整除．由于每袋糖不超过
1224
20粒，则糖的总数不超过40粒，又是24的倍数， 则只能是24．
【答案】
24


【例 14】 一小、二小两校 春游的人数都是10的整数倍，出行时两校人员不合乘一辆车，
且每辆车尽量坐满．现在知道，若两校都 租用14座的旅游车，则两校共需租用
这种车72辆；若两校都租用19座的旅游车，则二小要比一小多 租用这种车7辆．问
两校参加这次春游的人数各是多少？
【考点】差倍问题 【难度】1星 【题型】解答
【解析】 根据题意可知，两校总人数不少于
14(7 22)11982
人，且不多于
14721008
人，因为是10的整数 倍，所以总人数为1000人，或990人．
由于二小比一小多租用7辆19座的旅游车，所以二小与 一小的人数之差不小于
不大于
8191151
人，又是10的倍数，可能的情况 有：120、130、140、
6191115
人，
150．
如果总人数为1000人，两校人数之差：
如为120，则一小有
(1000120)2440
，二小有560人；
如为130，则一小有
(1000130)2435
，二小有565人，不符；
如为140，则一小有
(1000140)2430
，二小有570人；
如为150，则一小有
(1000150)2425
，二小有575人，不符；
检验可知一小430人、二小570人符合题意．
如果总人数为990人，同样检验两校人 数之差分别为120、130、140、150的情况，可知都
没有符合条件的答案．所以这次春游人数 一小是430人，二小是570人．
【答案】一小是430人，二小是570人

1
【例 15】 在一次考试中，甲、乙两人考试结果如下：甲答错了全部试题的，乙答错3
1
了7道题，甲、乙都答错的题目占全部试题的，则甲、乙两人都答对的题目最
5
少多少道？
【考点】差倍问题 【难度】1星 【题型】解答
112
【解析】 容斥原理．甲答错、乙答对的题占全部试题的

，那么甲 、乙都答对的题
3515
13
目有的全部试题减去7道乙答错的题目．可见全部试题越 少，甲、乙都答对的
15
题目就越少．则全部试题至少有15道，甲、乙两人都答对的题目最少 有
13
1576
道．
15
【答案】甲、乙两人都答对的题目最少有
6
道

6
【例 16】 在期末考试中，哥哥的数学成绩比语文高7分，弟弟的数学成绩是语文的．又
7
5
知道弟弟的数学成绩比哥哥的数学成绩的高
4
分，总成绩比哥哥 低
3
分，那么
6
弟弟的语文成绩是多少分？
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【考点】差倍问题 【难度】1星 【题型】解答
【解析】 把弟 弟的语文成绩设为
x
分，则弟弟的数学成绩是
6
x
分，哥哥的数学成 绩为
7

6

6

6

6
分，哥哥语文成绩为
x4x4

7
分．那么由总成绩的关 系可以列

7

5

7

5
6< br>x48

6

6
式：
xx3

x4

27
，化简得
10
，则
x98．
775
55

所以弟弟的语文成绩是98分．
【答案】弟弟的语文成绩是98分

【例 17】 某有三堆棋子，每堆棋子一样多 ，并且都只有黑、白两色棋子．已知第一堆
里的黑子和第二堆里的白子一样多，第三堆里的黑子占到三堆 棋子里黑子总数的
2
，如果把三堆棋子集中到一起，那么白子占全部棋子的几分之几？
5
【考点】和倍问题 【难度】5星 【题型】解答
【解析】 第一堆里的 黑子和第二堆里的白子一样多，那么我们不妨把第一堆里的黑子与第二
堆里的白子调换一下，那么第一堆 全是白子，第二堆全是黑子，且每堆总数不变．因
2
为第三堆里的黑子占到三堆棋子里黑子总数 的，我们不妨把第三堆里的黑棋子
5
看作
2
份，那么剩下的
3
份都是第二堆的黑子，所以每堆都是
3
份，共有
339
棋
4< br>子，白子共
134
份，白子占全部棋子的．
9
4
【答案】白子占全部棋子的
9


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