中国海洋大学专业-月工作总结

第二讲 约数与倍数
基础知识
分解质因数的方法，掌握约数个数和约数和的求法和具体意义。
设自然数n的质因子分解式如n= p1
a1
× p2
a2
×...×pk
ak
那么：
n的约数个数：d(n)=( a
1
+1)(a
2
+1)....(a
k
+1)
n的所有约数和：（1+P
1
+P
1
+„p
1
2a1
）（1+P
2
+P
2
+„p
2
2a2
）„（1+ P
k
+P
k
+„p
k
2ak
）
最大公约数和最小公倍数的求法。
短除法，分解质因数法，辗转相除法。分数最小公倍数和最大公约数的求法。
约数与倍数的相 关性质：两（多）个数的公约数是它们最大公约数的约数；两（多）个数的
公倍数是它们最小公倍数的倍 数；
(a,b)a,b[a,b]
；
(a,b)[a,b]ab
。
例题
1. 求
(68, 142)
；
[68, 142]
；
(160, 2180, 3524)
；
[160, 2180, 3524]
。
分析与解答：
(68, 142)
＝2，
[68, 142]
＝4828

(160, 2180, 3524)
＝4
[160, 2180, 3524]
＝15364640


2. 分数
1
113 9
17
、、的最大公约数是________；最小公倍数是________；。
36144
220
1
1139
17
、、）＝
71 280
36144
220
31161
1139
17
[
1
、、]＝
4
36144
220
分析与解答：（
1



3. 180一共有________个约数；这些约数的和是________；720有 ________个奇约数；这
些奇约数的和是________；
分析与解答： 因为 180＝2
2
×3
2
×5
180的约数个数为：（2＋1）×（2＋1）×（1＋1）＝18个。
180的约数的和为：（1＋2＋4）×（1＋3＋9）×（1＋5）＝546

因为720＝2
4
×3
2
×5
720的奇约数的个数为：（2＋1）×（1＋1）＝6
720的奇约数的和为：（1＋3＋9）×（1＋5）＝78


4. 1~20中，有________个数的约数之和是4的倍数；
分析与解答：
3，（1+3）；6，（1+2）×（1+3）；12，（1+3）×（1+2+4）
7，（1+7）；14，（1+7）×（1+2）；11，（1+11）；19，（1+19）
15，（1+3）×（1+5）
共有8个。

5. 7663和81 的最大公约数最大是________，最小公倍数最小是________；
分析与解答：7663＝79×97 8148＝97×84. 所以最大公约数最大是97.
因为 79×103＝8137 8148＝97×84，所以最小公倍数最小是79×97×84＝643692

6. 两个自然数的最大公约数是6，最小公倍数是540。这样的自然数一共有________组；
分析与解答：设这两个数是6a，6b，且（a,b）=1.那么6ab＝540，可得ab=90.
a=1,b=90或a=2,b=45或 a=5,b=18或 a=9,b=10.共四组。

7. 两个自然数的和是99，它们最大公约数和最小公倍数 的和是231，那么这两个数分别是
________、________；
分析与解答：设这两数的最大公约数是m,这两数分别为ma,mb. 最小公倍数是mab，那
么
ma＋mb＝m(a+b)=99 m+mab=m(1+ab)=231
从以上式子可看出：m为99与231的公约数，且m必为奇数。所以m=1,3,5,9,231.
（99， 231）＝33，所以m为33的约数，m=33，11，3.这样就可以得到：
当m=33时，a+b=3, 1+ab=7，不成立。
当m=11时，a+b=9, 1+ab=21,此时a=4,b=5.
所以这两个数分别是44，55.

8. 5位同学,每位同学都有编号,他们是1号到15号,1号同学写 了一个自然数,2号说：“这
个数能被2整除”，3号说：“这个数能被他的编号数整除.1号作了检验 :只有编号连续的二位
同学说得不对,其余同学都对,问:
(1)说的不对的两位同学,他们的编号是哪两个连续自然数?
(2)如果告诉你,1号写的数是五位数,请找出这个数.
分析与解答：
(1)根 据2号~15号同学所述结论同学所述结论,将合数学4,6,„，15分解质因数后，由1号
同学验证 结果，进行分析推理得出问题的结论.
4=22,6=2

3,8=23,9=32 ,10=2

5,12=22

3,14=2

7,15= 3

5
由此不难断定说得不对的两个同学的编号是8与9两个连续自然数(可逐次排 除,只有8与9
满足要求).
(2)1号同学所写的自然数能被2,3,4,5,6,7,1 0,11,12,13,14,15这12个数整除,也就是它们的公倍
数.它们的最小公倍数是
22

3

5

7

11

13=60060
因为60060是一位五位数,而这12个数的其 他公倍数均不是五位数,所以1号同学写的五位数
是60060.

9. 已知a与 b的最大公约数是12,a与
c
的最小公倍数是300,b与c的最小公倍数也是300,那么满足上述条件的自然数a,b,c共有多少组?
(例如:a=12、b=300、c=300 ，与a=300、b=12、c=300是不同的两个自然数组)
分析与解答：先将12、300分别进行质因数分解：
12=2

3
2
300=2

3

5
22
(1)确定a的值.依题意a只 能取12或12

5(=60)或12

25(=300).
(2)确定b的值.
当a=12时,b可取12,或12

5,或12

25；
当a=60,300时，b都只能取12.
所以,满足条件的a、b共有5组：
a=12 a=12 a=12 a=60 a=300
b=12, b=60, b=300, b=12, b=12.

(3)确定a,b,c的组数.
对于上面a、b的每种取值，依题意，c均有6个不同的值：
5，5

2， 5

2，5

3，5

2

3，5

2

3，即25，50，100，75，150，300.
所以满足条件的自然数a、b、c共有5

6=30（组）

习题：
1. 用长是9厘米、宽是6厘米、高是7厘米的长方体木块叠成一个正方体，至少需 要这种
长方体木块_____块.
分析与解答：
依题意，正方体的棱长应是9， 6，7的最小公倍数，9，6，7的最小公倍数是126.所以,至少
需要这种长方体木块
22222222
126126126
967
=14

21

18=5292(块)

2. 一个公共 汽车站,发出五路车,这五路车分别为每隔3、5、9、15、10分钟发一次，第一
次同时发车以后， _____分钟又同时发第二次车.
分析与解答：
依题意知,从第一次同时发车到第二次同时发车的时间是3,5,9,15和10的最小公倍数. 因为3,5,9,15和10的最小公倍数是90,所以从第一次同时发车后90分钟又同时发第二次车.

3. 动物园的饲养员给三群猴子分花生,如只分给第一群,则每只猴子可得12粒；如只分 给第
二群，则每只猴子可得15粒；如只分给第三群，则每只猴子可得20粒.那么平均给三群
猴子,每只可得_____粒.
分析与解答：
依题意得
花生总粒数=12

第一群猴子只数
=15

第二群猴子只数
=20

第三群猴子只数
由此可知,花生总粒数是12,15,20的公倍数,其最 小公倍数是60.花生总粒数是
60,120,180,„„，那么

第一群猴子只数是5，10，15，„„
第二群猴子只数是4，8，12，„„
第三群猴子只数是3，6，9，„„
所以， 三群猴子的总只数是12，24，36，„„.因此,平均分给三群猴子,每只猴子所得花生粒
数总是5 粒.