公共政策分析报告-服务员工作总结

第11讲 和差倍分问题
内容概述
在和差倍问题中引入“分数倍”的概念 ，并理解其含义。解题中应合理选取
单位“1”；题目中隐藏的不变量或公共量往往是关键。

兴趣篇
1．有红、黄两种颜色的小球，其中红色小球有60个，黄色小球的数量比红
5
色小球的倍还多1个，那么一共有小球多少个？
4

答案：136个
5
解析：黄色小球的数量是：
60176
个．
4
共有小球的总数量是：60 +76=136个．

5
2．运输 连要将450枚弹药送到前线，其中炮弹占了，其余都是手榴弹，
9
23
由于遇上敌军 伏击，炮弹损失了，而手榴弹只剩下．送到时还剩多少枚弹药？
58

答案：225枚
55
解析：炮弹占了总弹药数的，因此450枚弹药中炮弹有
450250
枚，
99
剩下的都是手榴弹，那么手榴弹有450-250=20 0枚．
遭到敌军伏击后，炮弹损失了
3
2

2

，还剩下
250

1

250150
枚，手5
5

5

3
榴弹还剩下
20075枚。
8
因此最后剩下150+75=225枚弹药。

3．有水果糖和奶糖共800颗，其中水果糖的数量是奶糖的
有多少颗？

答案：350颗
解析：水果糖和奶糖的数量比是7:9，因此水果糖占总数的
水果糖 的数量是
800

7
350
颗．
16
7
，那么水果糖
9
77

。
79 16
4．学校举行新年自助餐会，一共准备了1000瓶饮料，其中一部分是可乐，
1
剩下的全是果汁．一个小时后，果汁已经减少了，但可乐的数量却没有改变．如
5

果此时饮料还剩872瓶，那么可乐的数量是多少瓶？

答案：360瓶
解析： 因为可乐没变，因此饮料减少的1000-872=128瓶，也就是果汁减少
1
的数量，它占 果汁原来总数的。
5
1
于是果汁原来有128÷=640瓶，
5
从而，可乐有100O-640=360瓶．

1
5．口袋里装 着红、黄、绿三种颜色的球，其中红球占总球数的，黄球占
3
1
总球数的，绿球比黄球 多50个．口袋里一共有几个球？
4

答案：300个
11115
解析：红球占总数的，黄球占总数的，那么绿球就占总数的
1
。
343412
511
于是绿球比黄球多出的部分占总数的

，它所对应的是50个。
1246
1
因此口袋里一共有
50300
个球．
6

5
6．游戏公司计划生产一批限量版的游戏机．现在已完成计划的，如果 再
12
1
生产340台。总产量就超过计划的．原计划生产多少台？
8

答案：480台
57
解析：根据题意可知，现在未完成的部分占原计划的
1
。
1212
1
如果再生产340台，就能超额完成原计划的，那么这340台相当于原计划
8
7117
的

．
12824
17
所以原计划生产
340480
台。
24

1
7．一个工人加工一批机器零件，第一天完成了任务的，第二天完成 了剩
5
1
下部分的，前两天一共完成了56个．请问：这批零件共有几个？
3
答案：120个

114
解析：该工人第一天完成了任务的 ，还剩下任务的
1
。
555
1414
第二天该工人完成了剩下 部分的，因此第二天完成了总任务的

．
35315
147
于是前两天一共完成任务的

，是56个零件．
51515
7
所以这批零件一共有
56120
个．
15

11
8．甲桶中的水比乙桶中的多，丙桶中的水比甲桶中的少．请问： 乙、
55
丙两桶哪桶水多？如果把三桶水倒入一个大缸里，甲桶中的水占其中的几分之
几？

30
答案：乙；
79
1
解析：已知甲比乙多，假 设乙桶中的水有5份，那么甲桶中的水就比乙桶
5
1
多1份，因此甲桶有6份水。再由 丙桶的水比甲桶少，可知丙桶中的水有
5
4

1

6
1

4
份．
5

5

4
5比
4
大，所以乙桶中的水比丙桶多．
5
4
甲桶、乙 桶、丙桶中的水分别有6份、5份、
4
份，都倒入一个大水缸里，
5
30则甲桶占其中的
6

654.8


。
79

3
9．墨莫和卡莉亚都有很多科普书，墨莫的科普书数量是卡 莉亚的．后来
8
4
卡莉亚送给墨莫11本书后，墨莫的科普书数量就变成了卡莉亚的． 原来墨莫
7
比卡莉娅少多少本书？

答案：55本
解析：依题意 ，墨莫和卡莉亚两人的书的总数并没有改变，则可把两人的书
的总数看作单位“1”．
3开始时墨莫的书的数量是卡莉亚的，那么墨莫的书本数就是总数的
8
3338
< br>，卡莉亚的书本数就是总数的
1
．
83111111

< br>后来送给墨莫11本书后，墨莫的书的数量是卡莉亚的
书本数变成了总数的
4
， 所以这时墨莫的
7
44

．
4711
431
墨 莫比原来增加了总数的

，这所对应的就是卡莉亚送给墨莫酌
111111
1
11本书，因此两人书的总数是
11121
本。
11
83
所以原来墨莫比卡莉亚少
12112155
本．
1111

2
10．课间很多同学在操场上活动，其中女生占总人数的，后来 又来12个
9
3
女生，使得女生人数达到男生人数的，操场上现在有多少名同学？
7

答案：120名
解析：依题意，整个过程中男生人数没有改变过，则把男生的人数看作是1
份。
22 7
开始时女生占总人数的，所以男生占学生总数的
1
，因此总人数为
99 9
7992
1
份，那么女生人数就是
1
份．
97 77
3
之后来了12个女生，女生人数变成了男生人数的，因此后来的女生人数
73
为份．
7
1
后来女生比开始时增加了份，对应的就是增加的12人， 因此1份为
7
1
1284
人。
7

3

所以现在操场上的总人数为
84

1

120< br>人。

7


拓展篇
1．等候公共汽车的人整齐 地排成一列，小高也在其中，他数了一下人数，
21
发现排在他前面的人数占总人数的，排在他 后面的人数占总人数的．从前往
34
后数，小高排在第几个？

答案：第9个
21111
解析：站在小高前后的人一共占总人数的
，那么剩下的就是小
341212

高．
1
12
人。
12
2
小高前面有
128人，也就是说小高排在从前往后数的第9个．
3

所以总人数为
1< br>2．五年级原来有学生325人，新学期男生增加25人，女生减少了
1
，结
2 0
果总人数增加了16人，请问：现有男生多少人？

答案：170人
解 析：因为新学期男生增加25人．但总人数只增加16人，所以女生减少了
1
25-16=9人 ，这9人就对应的是女生人数的．
20
1
所以原来女生人数为
9180
人，于是原来男生的人数为325-180=145
20
人，那么现在男生的人数是1 45+25=170人．

3．墨莫、小高两人玩电子游戏，通过第一关后，墨莫得了120 分，小高得
了200分．接下来，他们俩在第二关得到了相同的分数，累加两关总得分，墨莫
3
的得分是小高的．两人在第二关各得了多少分？
4

答案：120分
解析： 因为墨莫和小高第二关的得分是相同的，所以分的差不会变．第一
关后，墨莫的得分 比小高少200-120=80分．那么最后总得分墨莫也比小高少80
分．
331
墨莫的总分是小高的，因此墨莫比小高少的得分就是小高的
1
，因
444
1
此小高的总分为
80320
分．
4
所以两人在第二关都得了320-200=120分。

1
4． 有一堆砖，搬走总数的后又运来306块．这时这堆砖比最开始还多了
4
1
．这堆砖原 来有多少块？
5

答案：680块
解析：依题意可知，运来的砖不仅补上 了原来搬走的这部分，而且还比最开
1119
始的总数多出了，因此这306块砖是原来砖块总 数的

．
54520
9
所以原来这堆砖有306÷=680块．
20

5．用一批纸装订一种练习本，第一天装订了120本，还剩全 部纸张的
2
；
5
第二天又装订了65本，还剩下1350张纸．这批纸原来一 共有多少张？

答案：18000张
23
解析：第一天还剩的纸，那么装 订用了总数的，这部分对应的是120本
55
3
练习本，因此所有的纸一共可以装订的 练习本数量为
120200
本．
5
第二天又装订了65本练习本，这样 剩下的纸还能装订200-120-65=15本，
因此每本练习本需要使用1350÷15=90张纸 ．
因此这批纸一共有90×200=18000张。

6．刚打完篮球，小高觉得 非常渴，就拿起一大瓶矿泉水狂喝。他第一口就
11
喝了整瓶水的一半，第二口又喝了剩下的， 第三口则喝了剩下的，第四口再
34
11
喝剩下的，第五口喝了剩下的．此时瓶子里还 剩0.5升矿泉水，那么最开始
56
瓶子里有几升矿泉水？

答案：3升
11
解析：喝完第一口后，这瓶水还剩下
1
。
22
1

1

1
喝完第二口后，剩下的水占整瓶水的


1


。
2

3

3
1

1

1
喝完第三口后，剩下的水占整瓶水的


1


。
3

4

4< br>1

1

1
喝完第四口后，剩下的水占整瓶水的
< br>
1


。
4

5

5
1

1

1
最后喝完第五口后，剩下的水占整瓶水的

1


，由已知条件可知
5

6

6
这部分就是0.5升．
因此原来这瓶水有
0.5

7．红星机械厂有三个车间，第一车间的人数是第二、三车间人数和的
1
，
2
1
3
升．
6
1
第二车间的人数是第一、三车间人数和的 ，第三车间有105人，求该厂工人的
3

总数．

答案：252
1111

，第二车间占总人数的

． < br>123134
115
第三车间占总人数的
1
，对应了105 人，因此总人数是
3412
5
105252
．
12

8．现有苹果、橘子、梨、菠萝四种水果各若干个，苹果的数目是其他三种
15
水果总 数的，橘子的数目是其他三种水果总数的，梨的数目是其他三种水
616
2
果总数的， 菠萝有56个，这些水果一共有多少个？
5

答案：168个
111解析：苹果占其他三种总数的，那么苹果占所有水果总数的

．类
61675522
似地，橘子占所有水果总数的

，梨占所有水果总数的

．
51621257
1521
于是菠萝占所有水果总数的
1
，也就是56个。
72173
1
所以所有水果一共有
56168
个．
3

9．2008年5月，某爱心慈善组织向四川大地震中受灾严重的汶川地区捐赠< br>3
帐篷．他们第一次向汶川运去了全部帐篷的，第二次运了50顶帐篷，这时，
8
5
已运去的帐篷数恰好是没运去的．请问：还有多少顶帐篷没有运去？
7

答案：700顶
3
解析：把总帐篷数看作单位“1”，第一次运了总数的，而第二次 运完后，
8
555
已经运去的占没有运去的，因此这时已经运去的占总数的

。
77512
531
于是第二次运的50顶帐篷对应的是总数的

。
12824
1
所以全部的帐篷有
50
顶，那么现 在没有运去的帐篷数量为
1200
24
解析：第一车间占总人数的
5

1200

1

700
顶。
12


35
，竹林占圆形的，
47
正方形和圆形 的公共部分是水池．已知竹林的面积比草地的面积少450平方米，
问：水池的面积是多少平方米？






答案：900平方米
解析：把水池的面积看作1份。
331
因为草地占正方形的，所以水池占正方形的< br>1
，那么正方形的面积
444
1
就是
14
份 ，于是草地的面积是4-1=3份。
4
552
因为竹林占圆形的，所以水池占圆形的
1
，那么圆形的面积就是
777
2
13.5
份，于 是竹林的面积是3.5-1=2.5份。
7
竹林面积比草地面积小3-2.5=0.5份，对 应的正是450平方米，那么1份就
是450÷0.5=900平方米，即水池的面积是900平方米。

11.如图11-2，甲、乙、丙三根木棒插在水池中，它们的长度之和是360厘
34
米．甲木棒有露在水面上，乙木棒有露在水面上，
47
2
深是多 少厘米？
丙木棒有露在水面上．请问：水
5






答案：45厘米
解析：三根木棒浸在水中的长度是相等的，则以浸在水里的长度为1份．
331
甲木 棒有露在水面外，因此甲有
1
浸在水中，于是甲的长度为
444
1
14
份．
4
443
类似地，乙木棒有露在水面外，有
1
浸在水里，所以乙的长度为
777
37223
1
份．丙木棒有露 在水面外，有
1
浸在水里，所以丙的长度为
73555
10．图11-1 是某市的园林规划图，其中草地占正方形的

1
35

份．
53
75

三根木棒的总长度为360厘米，因此1份的长度为
3 60

4

45
厘
33

米， 即水深为45厘米．

3
12．小高和墨莫一起玩游戏牌．开始时小高手里的牌数是 墨莫手里牌数的；
5
玩了若干局后，小高赢了墨莫的20张牌，此时小高手里的牌数是墨莫手里 牌数
7
的．请问：小高此时一共有多少张牌？
5

答案：56张
解析：依题意，玩牌的过程中两人牌的总数是不变的，则可以把牌的总数作
为单位“1”．
33
开始的时候．小高手里的牌是总数的

．
358
7 7
赢了20张牌之后，小高手里的牌变成了总数的

，比原来多了
7512
7355
，这部分正是小高赢的20张牌，因此牌的总数为
20
=96张．

1282424
7
所以现在小高手里的牌有
9656
张．
12

5
13．口袋里有若干个球，其中红球占了总球数的．后来又 放入8个红球，
12
1
这时红球占了总球数的．现在口袋里有多少个球？
2

答案：56个
解析：依题意，袋子里除红球外其他球的数量没有变，则把其他球的总数看
作是1份。
57712
开始的时候，其他球占总数的
1
，因此口袋里球的总数是
1 
1212127
份．
11
放入8个红球之后，其他球占总数的
1
，因此这时口袋里球的总数是
22
1
12
份．
2
122
后来球的总数比开始时增加了
2
份，对应的就是增加的8个球， 因
77
2
此1份为
828
个．
7

所以现在口袋里有28×2=56个球．

14．水池中 立着长短两根木桩．长木桩露出水面部分比短木桩露出部分长
2
，
5
3
当水面升高1l厘米后，短木桩露出水面的部分比长木桩露出部分短．问水面
5
1
再 升高多少厘米，短木桩露出水面长度将是长木桩露出水面长度的？
12

5
答案：
3
厘米
11
解析：两根木桩露出水面的长度差是 不变的，就是两根木桩的长度差，则把
两根木桩的长度差看作1份。开始的时候，长木桩露出水面部分比 短木桩露出部
225
分长，这部分正是1份，因此短木桩露出水面的长度是
1份，于是长木
552
57
桩露出水面的长度是
1
份． 22
3
水面上升11厘米之后，短木桩露出水面的部分比长木桩露出部分短，这
5
35
部分也是1份，因此长木桩露出水面的长度是
1
份．
53
75
因此水面上升11厘米后，长木桩露出水面的长 度从份变成了份，减少23

52

的部分对应的就是11厘米，因此1份是
11< br>


6
厘米．

23

5< br>于是此时长木桩露出水面长度为
610
厘米，短木桩露出水面长度为
310-6=4厘米．
1
要使短木桩露出水面长度为长木桩的，它们的长度差就是长木桩的
12
111116
1
，因此这时长木桩的长度为
66
厘米，所以水面需要再上升
12121211
65
1063
厘米．
1111

超越篇
1．装订车间的工人要将一批书打包后送往邮局，每包中 装的书一样多．第
7
一次，他们领来这批书的，结果打了14个包还多35本，第二次他们把剩 下
12
的书全部取来，连同第一次多出的零头一起，刚好又打了11包．请问：这批书
共有多少本？

答案：1500本

解析：这批书正好一共打了14 +11=25包，所以第一次领来的书共有
77
2514
包。
121 2
由已知条件，这部分书打了14个包还多35本，因此35本书对应
777
141 4
包，所以每包中有书
3560
本
121212
因此这批书共有60×25=1500本．

1
2． 劳动小学五年级选出女生总人数的和22名男生参加数学竞赛，剩下
11
的女生人数是剩下男生 人数的2倍．如果女生的总人数比男生的总人数多2人，
那么劳动小学五年级共有多少人？

答案：86人
解析：把女生总人数看作1份．
11010
有的女生参加竞 赛，那么还剩下的女生没参加，因此剩下的女生有
111111
105
份．又已知剩下 的女生人数是剩下的男生的2倍，那么剩下的男生有
2
1111
份。 < br>已知男生的总数比女生总数少2人，也就是男生总数比1份少2人，而男生
56
有22人 参加了竞赛，所以2+ 22=24人对应的就是
1
份。
1111
5< br>
因此1份为

222



1
44
人，从而五年级共有44+(44 -2)=86人。

11


3．有三堆棋子，每堆棋子数一样多，并且都只有黑、白 两色棋子，已知第
2
一堆里的黑子和第二堆里的白子一样多，第三堆里的黑子占全部黑子的．把 这
5
三堆棋子集中在一起，白子占全部棋子的几分之几？

4
答案：
9
23
解析：把全部黑子看成1份，那么第三堆黑子是份 ，前两堆黑子总数是
55
份。
根据已知条件，第一堆里的黑子和第二堆里的白子一样 多，那么第一堆黑子
与第二堆黑子的总数也就等于第二堆白子和第二堆黑子的总数了．所以第二堆棋3
子的总数是份．
5
39
因为三堆棋子一洋多，所以所有棋子共有3
份．全部黑子是1份，那
55

94494
么全部白 子共有
1
份，因此白子占全部棋子的

．
55559

4．某工厂有A，B，C，D，E五个车间，人数各不相等．由 于工作需要，把
111
B车间工人的调入A车间，C车间工人的调入B车间，D车间工人的调入 C
234
1
车间，E车间工人的调入D车间．现在五个车间都是30人．原来每个车间 各
6
有多少人？

答案：11，38，33，32，36人
1< br>解析：E车间调出了的工人后变成了30人，那么E车间原来有
6

1

30

1

36
人，所以E车间向D车间调入了3 6-30=6人。

6

再看D车间．先调出了
1
工人到 C车间后又调入了E车间的6人，最后变成
4
1

1

30 人．因此D车间原来有

306



1
< br>32
人，其中调出了
328
人到C
4

4
车间．

1

再看C车间．与上面类似，可以算出C车间原 来有

308



1

33人，

3

1
其中调出了
3311
人到B 车间．
3
1

1

再看B车问．B车间原来有

3011



1

38
人，其中 调出了38×=19
2

2

人到A车间．
最后看A车间.A车间只有调入，因此A车间原来有30-19=11人。
综上所述，A，B，C，D，E车间原来分别有11，38，33，32，36人．

5．从飞机的窗口向外望去，萱萱看见部分海岛、部分白云以及不大的一片
1
海域．其中白云 占去了窗口画面的一半，它遮住了全部海岛的，因此海岛只占
4
1
窗口画面的．请问： 被白云遮住的那部分海洋占窗口画面的几分之几？
4

5
答案：
12
1
解析：把窗口的面积看作1份，那么窗口上白云的面积是份，窗口上海岛
2

1
的面积是份．
4
13
，所以窗口上看见的海岛只是整 个海岛面积的，
44
131111
因此整个海岛的面积是

份，其 中白云遮住了

份．
4433412
白云除了遮住海岛一部分外，剩下的 部分就是遮住海洋的，因此白云遮住的
11555
海洋是

份，占了整个窗 口画面的
1
．
212121212

6．有A，B，C，D四 根材料相同的蜡烛，其中A和B一样粗，C和D一样粗，
A和C一样长，B和D-样。把四根蜡烛同时点 燃，过了6小时，D首先烧完，此
时B所剩长度是C的2倍；再过1小时40分钟，C正好烧完．请问： A，B还可
以再燃烧多久？

75
答案：A还能燃烧
9
小时，B还能燃烧
5
小时
126
解析：D首先烧完，那么D就应该是又短又细的那根，由题目条件知A，B
是粗的；C ，D是细的；A，C是长的；B，D是短的．如下图所示：





6小时后D首先烧完，这时候C，D烧掉的长度相等，A，B烧掉的长度也相
等，再 经过1小时40分钟后，C正好烧完，因此如果D的长度是6份，那么C
2
烧了6小时后剩下的 长度为
1
份．
3
210
此时B所剩长度是c的两倍，为
1 2
份，那么B在6小时内烧掉的长
33
10889
度是
6< br>份，每1份燃烧的时间是
6
小时．
3334
91
因此B 整根蜡烛能燃烧时间是
613
小时，A整根蜡烛能燃烧的时间是
42
92 127
(61)17
小时，现在已经燃烧了
7
小时，因此A还能燃烧< br>9
小时，B
434312
5
还能燃烧
5
小时．
6

7．如图11-3所示，两根粗细相同、材质相同但长度不同的蜡烛竖直 地漂在
水面上．一开始，长蜡烛露出水面的部分是短蜡烛总长度的一半；将两根蜡烛同
时点燃1 小时后，长蜡烛露出水面的部分与短蜡烛总长度相等．已知蜡烛漂在水
1
面上时，露出水面的长 度始终等于蜡烛在水下长度的，那么短蜡烛还可再烧多
9
注意到白云遮住了海岛的

久，长蜡烛还可再烧多久？




4
答案：小时；8小时
5
1
解析：蜡烛漂在水面上时，露出水面的 长度始终等于蜡烛在水下长度的，
9
说明蜡烛的总长度是其水上部分的10倍。
设蜡 烛露出水面的部分为1份，则总长度为10份。长蜡烛露出水面的长度
为5份，总长度为50份．两根蜡 烛的长度差为40份。
燃烧了1小时后，长蜡烛露出水面的部分与短蜡烛总长度相等，说明此时长蜡烛长度是短蜡烛的10倍，而它们的长度差不会改变，是40份，因此此时短蜡
444
烛 长
40

101

4
份，长蜡烛长
440 44
份．
999
4459
1个小时燃烧了
1045
份，每1份可以燃烧
15
小时．
99950
94494
因此短 蜡烛还可以燃烧
4
小时，长蜡烛还可以燃烧
448
小
509 5509
时．

8．甲、乙、丙三个好朋友去超市买了100元的商品．如 果甲付钱，那么甲
2
剩下的钱将是乙、丙剩下钱的；如果乙付钱，那么乙剩下的钱将是甲、丙剩
13
9
下钱的；如果丙付钱，丙用他的会员卡就可以享受9折优惠，只需付90元，< br>16
1
那么丙剩下的钱将是甲、乙剩下钱的．问：甲、乙、丙开始时一共带了多少钱？
3

答案：850元
解析：设三人开始时带了
x
元钱．如 果甲付钱，则甲剩下的钱是乙、丙剩下
2222
钱的，是三人剩下的总钱数的

，即

x100

，于是甲原来的钱为
132131515< br>29
，丙原来的钱为

x100

100
．同理 ，乙原来的钱为

x100

100
1525
1

x90

90
．三人的总钱数为
x
，于是可以列出 方程：
4
291

x100

100
< br>x100

100

x90

90x< br>，
15254
解方程，得
x850
.三人开始时一共带了850元．