盈亏问题公式
湖心亭看雪教案-开业对联
【盈亏问题公式】
（1）一次有余（盈）,一次不够（亏）,可用公式：（盈+亏）÷（两次每人分配数的差）
=人数.
（2）两次都有余（盈）,可用公式：（大盈-小盈）÷（两次每人分配数的差）=人数.
（3）两次都不够（亏）,可用公式：（大亏-小亏）÷（两次每人分配数的差）=人数.
（4）一次不够（亏）,另一次刚好分完,可用公式：亏÷（两次每人分配数的差）=人数.
（5）一次有余（盈）,另一次刚好分完,可用公式：盈÷（两次每人分配数的差）
盈亏问题的关系式：
1、（盈＋亏）÷两次分配的差＝份数
2、（大盈－小盈）÷两次分配的差＝份数
3、（大亏－小亏）÷两次分配的差＝份数
每次分的数量×份数＋盈＝总数量,每次分的数量×份数－亏＝总数量,
1、幼儿
园中（1）班的小朋友分橘子,若每人分4个橘子就多出10个,若每人分
6个橘子,就少6个橘子,请
问该班有多少个小朋友?橘子有多少个?
2、五（4）班同学春游去划船,如果少租一条船,每条船上
正好坐9个人,如果多
租一条船,每条船上正好坐6个人,五（4）班有学生多少人?
3、学
校将一批钢笔奖给三好学生,若每人奖8支就缺11支；若每人奖7支就缺
7支.问：这批钢笔有多少只
?三好学生有多少人?
4、同学们打羽毛球,若没组分6个羽毛球,则少10个球；若每组分4个羽毛
球,
则少2个球.问：共有多少个学生打球?有多少个羽毛球?
5、饲养员分桃子给小猴,如
果每只小猴分10个桃子,则有两个小猴没有；如果每
只小猴分7个桃子,则还会剩下10个桃子.请问
：桃子有多少个?小猴有多少只?
6、甲、乙两个工程队同时抢修两短距离同样长的铁路,开工12天
后,乙队完成了
任务,甲队还需再修300米才能完成任务.问：两条铁路全长多少米?
7、
同学们修补图书,若每人修5本,还剩5本,若其中两人各修4本,其余人就要
各修6本,正好修完,这
里有多少名同学?多少本书?
8、工人们修公路,如果每天修200米,那么修完全程就得延期10天
；如果每天修
220米,那么修完全程就得延期5天.问：这条路全长多少米?
9、幼儿园某
班学生做游戏,如果每个学生分得的子弹一样多,弹子就多12颗,如
果再增加12颗子弹,那么每人正
好分的12颗.问：这个班有多少学生?有多少颗
子弹?
10李娟从家去学校,如果每分钟走
60米,那么要迟到5分钟；如果每分钟走90
米,那么能提前4分钟到.请问：李娟的家到学校的距离
是多少米?
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2014-11-06
1、老师拿来一批
树苗，分给一些同学去栽，每人每次分给一棵，一轮一轮往下分，当分
剩下12棵时不够每人分一棵了，
如果再拿来8棵，那么每个同学正好栽10棵。问参加栽树
的有多少名同学？原有树苗多少棵？
【分析】：当分剩下12棵时不够每人分一棵了，如果再拿来8棵，那么每个同学正好
栽1
0棵。通过这一句话，我们可以知道参加种树的同学一共有12+8=20人，加上再拿来的
8棵，一共
有20*10=200棵。所以，原有树苗=200-8=192棵。
解答：有同学12+8=20名，原有树苗20*10-8=192棵。
2、少先
队员去植树，如果每人挖5个树坑，还有3个树坑没人挖；如果其中两人各挖
4个树坑，其余每人挖6个
树坑，就恰好挖完所有的树坑。请问，共有多少名少先队员？共
挖了多少树坑？
分析：这
是一个典型的盈亏问题，关键在于要将第二句话“如果其中两人各挖4个树坑，
其余每人挖6个树坑，就
恰好挖完所有的树坑”统一一下。即：应该统一成每人挖6个树坑，
形成统一的标准。那么它就相当于每
人挖6个树坑，就要差（6-4）*2=4个树坑。这样，盈
亏总数就是3+4=7，所以，有少先队员
7（6-5）=7名，共挖了5*7+3=38个坑。
解答：盈亏总数等于3+（6-4）*2=
7，少先队员有7（6-5）=7名，共挖了5*7+3=38
个树坑。
3、学校安排学
生到会议室听报告。如果每3人坐一条长椅，那么剩下48人没有坐；若
每5人坐一条长椅，则刚好空出
两条长椅。问听报告的学生有多少人？
分析：典型盈亏问题。盈亏总数48+5*2=58，所以
，长椅的数量就等于58（5-3）=29
条。那么，听报告的人数等于29*3+48=135人。
解答：长椅有（48+5*2）（5-3）=29条，听报告的学生有29*3+48=135人。
4、钢笔与圆珠笔每支相差1元2角，小明带的钱买5支钢笔差1元5角，买8支圆珠
笔多
6角。问小明带了多少钱？
分析：在盈亏问题中，我们得到的计算公式是指同一对象的。而现在分
别是圆珠笔和钢
笔两种东西。因此，我们要利用盈亏问题的公式计算就必须将它转化成为同一对象--
钢笔或
者圆珠笔。
小明带的钱买5支钢笔差1元5角，我们可以将它转化成买5支圆珠笔
，因为我们知道
钢笔与圆珠笔每支相差1元2角，把买5支钢笔改买5支圆珠笔，就要省下6元钱，也就
是
比原来差1元5角，反而可以多出6元-1元5角=4元5角。这样我们就将原来的问题转化
成了：小明带的钱买5支圆珠笔多4元5角，买8支圆珠笔多6角。问小明带了多少钱？那
么，盈亏总数
=4元5角-6角=3元9角，每支圆珠笔价钱=3元9角（8-5）=1元3角。所
以，小明共有8*
1元3角+6角=11元。
解答：买5支钢笔差1元5角，相当于买5支圆珠笔多4元5角，每支
圆珠笔的价钱=
（4元5角-6角）8-5）=1元3角。小明带了8*1元3角+6角=11元。
5、幼儿园将一筐苹果分给小朋友。如果分给大班的小朋友每人5个则余10个；如果分
给
小班的小朋友每人8个则缺2个。已知大班比小班多3个小朋友，问这筐苹果共有多少个？
分析：与上一题类似，需要转化成两次对同一对象。
解答：分给大班的小朋友每人5个则余10个
，大班比小班多3个小朋友，相当于分给
小班的小朋友每人5个则余10+3*5=25个，盈亏总数=
25+2=27，小班人数=27（8-5）=9人，
苹果有9*5+25=70个。
6
、某校到了一批新生，如果每个寝室安排8个人，要用33个寝室；如果每个寝室少安
排2个人，寝室就
要增加10个，问这批学生可能有多少人？
分析：如果每个寝室安排8个人，要用33个寝室，那
么人数肯定多于32*8=256人，但
不超过33*8=264人；如果每个寝室少安排2个人，寝室
就要增加10个，即如果每个寝室安
排6个人，要用43个寝室，那么人数肯定多于42
*6=252人，但不超过43*6=258人；两次
比较，人数应该多于256人，不超过258人。
所以，这批学生可能有257或258人。
解答：8*32=256，6*42=252，256
>252，人数超过256人；8*33=264，6*43=258，258<264，
人数不超过2
58人。这批学生可能有257或258人。
7、幼儿园老师给小朋友分糖果。若每人分8块，还
剩10块；若每人分9块，最后一人
分不到9块，但至少可分到一块。那么糖果最多有多少块？
分析：最后一人分不到9块，那么最多可以分到8块，即若每人分9块，还差1块。根
据盈
亏计算公式，人数有（1+10）（9-8）=11人，糖果最多有9*11-1=98块；最后一人分
不到9块，但至少可分到一块，即最少是最后一人差8块，根据盈亏计算公式，人数有（8+10）
（9
-8）=18人，糖果最多有9*18-8=154块；所以，这批糖果最多有154块。
解答：9-1=8，人数最多有（10+8）（9-8）=18人，糖果最多18*9-8=154快。
8、有48本书分给两组小朋友，已知第二组比第一组多5人。如果把书全部分给第一组，
那么每人4本，有剩余；每人5本，书不够。如果把书全分给第二组，那么每人3本，有剩
余；每人4本
，书不够。问第二组有多少人？
分析：如果把书全部分给第一组，那么每人4本，有剩余；每人5
本，书不够。说明第
一组人数少于484=12人，多于485=9......3，即9人；如果把书
全分给第二组，那么每
人3本，有剩余；每人4本，书不够。说明第二组人数少于483=16人，多于
484=12人；
因为已知第二组比第一组多5人，所以，第一组只能是10人，第二组15人。
解答：484=12，485=9......5，483=16，第一组少于12人，多于9人；
第二组少于
16人，多于12人。因为已知第二组比第一组多5人，所以，第二组有15人。
9、在若干盒卡片，每盒中卡片数一样多。把这些卡片分给一些小朋友，如果只分一盒，
每人均至少可得
7张，但若都分8张则还缺少5张。现在把所有卡片都分完，每人都分到
60张，而且还多出4张。问共
有小朋友多少人？
分析：607=8......4，608=7......4，说明卡片的盒
数是8盒，“若都分8张则还缺
少5张”，即如果我们在每盒中加5张（8盒共加40张），每人就可以
得到8*8=64张，现
在实际每人得到60张，即每人需要退出4张，其中要有4张是每人60张后多
下来的，还有
40张是我们一开始借来的要还出去，即要退出44张，44==11，说明有11人。
解答：607=8......4，608=7......4，卡片有8盒，小朋友人数有（4+
5*8）4=11
人。
10、用绳测井深，把绳三折，井外余2米，把绳四折，还差1米
不到井口，那么井深多
少米？绳长多少米？
分析：典型盈亏问题。盈亏总数=3*2+4*1=10米。
解答：井深=（3*2+4*1）（4-3）=10米，绳长=（10+2）*3=36米。
11
、有两根同样长的绳子，第一根平均剪成5段，第二根平均剪成7段，第一根剪成的
每段比第二根剪成的
每段长2米。原来每根绳子长多少米？
分析：第一根剪成的每段比第二根剪成的每
段长2米。那么，如果同样是5段的话，第
二种就要比第一种少5*2=10米，现在第二种7段和第一
种5段一样长，说明第二种的两段
长是10米，也就是说每一段为102=5米。所以，绳子长为5*7
=35米。
解答：原来每根绳子长为7*（2*52）=35米。
12、有一个班
的同学去划船。他们算了一下，如果增加1条船，正好每条船坐6人；如
果减少1条船，正好每条船坐9
个人。问：这个班共有多少名同学？
分析：增加一条和减少一条，前后相差2条，也就是说，每条
船坐6人正好，每条船坐
9人则空出两条船。这样就是一个盈亏问题的标准形式了。
解答：增加一条船后的船数=9*2（9-6）=6条，这个班共有6*6=36名同学。
13、
张宇上午7时20分从家里出发到校上课。如果每分钟走50步，离上课还有7分钟；
如果每分钟走35
步，就要迟到5分钟。求学校的上课时间。
分析：这种盈亏问题的另一种比较常见的类型。主要是
在计算盈亏总数时必须注意量的
单位的统一。这里，盈亏总数不是7+5=12分，而是7*50+5*
35=525步。所以，准点到校用
时为525（50-35）=35分钟。所以，上课时间是7点55
分。
解答：准点到校的用时=（7*50+5*35）（50-35）=35分钟，学校上课时间
为7点55
分。
14、六一儿童节，小明到商店买了一盒花球和一盒白球，两盒内的球的
数量相等。花
球原价1元钱2个，白球原价1元钱3个。因节日商店优惠销售，两种球的售价都是2元钱
5个，结果小明少花了4元钱，那么小明共买了多少个球？
分析：花球原价1元钱2个，
白球原价1元钱3个。即花球原价10元钱20个，白球原
价10元钱30个。那么，同样买花球和白球
各30个，花球要比白球多花102=5元，共需要
302+303=25元。现在两种球的售价都是2
元钱5个，花球和白球各买30个需要（305）
*2*2=24元，说明花球和白球各买30个能省下
25-24=1元。现在共省了4元，说明花球和
白球各有30*4=120个，共买了120*2=2
40个。
解答：花球和白球各买30个时，可比原来省下=（302+303）-（305）*2
*2=1元，
省下4元，花球和白球各买30*4=120个。所以，小明共买了240个球。
15、苹果和梨各有若干只。如果5只苹果和3只梨装一袋，苹果还多4只，梨恰好装完；
如果7只苹果和3只梨装一袋，苹果恰好装完，梨还多12只。那么苹果和梨共有多少只？
分析：
7只苹果和3只梨装一袋比5只苹果和3只梨装一袋多了2只苹果，梨从刚好到
多12只，相当于把原来
装好的袋拿出了123=4袋，抽出其中的苹果（4*5=20只）和原来
剩下的4只（共20+4=2
4只）苹果，添加到其余原来装好的袋子中去。每袋添加2只，添加
了242=12袋刚好装完。所以，
原来装了12+4=16袋，苹果有16*5+4=84只，梨有16*3=48
只，合起来有84+4
8=132只。
解答：（123）*5+4=24，5只苹果和3只梨装一袋，共装了242+4
=16袋，所以，苹
果和梨共有=16*（3+5）=4=132只。
例1.某班学生去划
船，如果增加一条船，那么每条船正好坐6人；如果减少一条船，那么
每条船就要坐9人。问：学生有多
少人？
分析：本题也是盈亏问题，为清楚起见，我们将题中条件加以转
化。假设船数固定不变，
题目的条件如果增加一条船……表示如果每船坐6人，那么有6人无船可坐；如
果减少
一条船……表示如果每船坐9人，那么就空出一条船。这样，用盈亏问题来做，盈亏总
额
为6＋9=15（人），两次分配的差为9--6＝3（人）。
解：（6＋9）÷（9
--6）＝5（条），6×5＋6=36（人），答：有36名学生。
例2.少先队员
植树，如果每人挖5个坑，那么还有3个坑无人挖；如果其中2人各挖4
个坑，其余每人挖6个坑，那么
恰好将坑挖完。问：一共要挖几个坑？
分析：我们将其中2人各挖4个坑，其余每人挖
6个坑转化为每人都挖6个坑，就
多挖了4个坑。这样就变成了典型的盈亏问题。盈亏总额为4＋3＝7
（个）坑，两次分配
数之差为6--5＝1（个）坑。
解：[3＋（6-4）×2]÷（6-5）＝7（人），5×7＋3＝38（个）。答：一共要挖38个坑。
例3.在桥上用绳子测桥离水面的高度。若把绳子对折垂到水面，则余8米；若把绳子三
折垂到水面，则余2米。问：桥有多高？绳子有多长？
解：因为把绳子对折余
8米，所以是余了8×2=16（米）；同样，把绳子三折余2米，就
是余了3×2＝6（米）。两种方
案都是盈，故盈亏总额为16--6=10（米），两次分配数之差
为3-2＝1（折），所以桥高（8
×2-2×3）÷（3-2）＝10（米），绳子的长度为2×10＋8×2＝36
（米）。
例4.有若干个苹果和若干个梨。如果按每1个苹果配2个梨分堆，那么梨分完时还剩2
个
苹果；如果按每3个苹果配5个梨分堆，那么苹果分完时还剩1个梨。问：苹果和梨各有
多少个？
解：容易看出这是一道盈亏应用题，但是盈亏总额与两次分配数之差很难找到。原因在<
br>于第一种方案是1个苹果搭配个梨，第二种方案是3个苹果搭配个梨。如果将这两
种方案统一为1
个苹果搭配若干个梨，那么问题就好解决了。将原题条件变为个苹果搭
配2个梨，缺4个梨；有梨15×
2-4＝26（个）。
例5.乐乐家去学校上学，每分钟走50米，走了2分钟后，发
觉按这样的速度走下去，
到学校就会迟到8分钟。于是乐乐开始加快速度，每分钟比原来多走10米，结
果到达学校
时离上课还有5分钟。问：乐乐家离学校有多远？
解：乐乐从改变
速度的那一点到学校，若每分钟走50米，则要迟到8分钟，也就是到
上课时间时，他离学校还有50×
8＝400（米）；若每分钟多走10米，即每分钟走60米，则
到达学校时离上课还有5分钟，如果一
直走到上课时间，那么他将多走（50＋10）×5＝300
（米）。所以盈亏总额，即总的路程相差:
400＋300＝700（米）。
两种走法每分钟相差10米，因此所用时间为700
÷10＝70（分），也就是说，从乐乐改
变速度起到上课时间有70分钟。所以乐乐家
到学校的距离为:50×（2＋70＋8）＝4000（米），
或50×2＋60×（70--
5）＝4000（米）。
例6.王师傅加工一批零件，每天加工20个，可以提前1天
完成。工作4天后，由于改
进了技术，每天可多加工5个，结果提前3天完成。问：这批零件有多少个？
解：每天加工20个，如果一直加工到计划时间，那么将多加工20个零件；改进技术后
，
如果一直加工到计划时间，那么将多加工（20＋5）×3＝75（个）。盈亏总额为75--20＝
55
（个）。两种加工的速度比较，每天相差5个。根据盈亏问题的公式，从改进技术时到计划
完工的时间是55÷5＝11（天），计划时间为11＋4＝15（天），这批零件共有20×（15--
1）＝
280（个）。
1
非封闭线路上的植树问题主要可分为以下三种情形:
⑴如果在非封闭线路的两端都要植树,那么:
株数＝段数＋1＝全长÷株距+1 全长＝株距
×(株数－1) 株距＝全长÷(株数－1)
⑵如果在非封闭线路的一端要植树,另一端不要植树,那么: 株数＝段数＝全长÷株距
全长
＝株距×株数 株距＝全长÷株数
⑶如果在非封闭线路的两端都不要植树,那么:
株数＝段数－1＝全长÷株距－1 全长＝株
距×(株数＋1) 株距＝全长÷(株数＋1)
2 封闭线路上的植树问题的数量关系如下 株数＝段数＝全长÷株距 全长＝株距×株数
株
距＝全长÷株数
就这个 可以相互转换的
时间=（桥长+车长）速度
速度=（桥长+车长）时间
桥长+车长= 速度*时间
桥长=速度*时间-车长
车长= 速度*时间-桥长
速度和×相遇时间＝相遇路程
相遇路程÷速度和＝相遇时间
相遇路程÷相遇时间＝速度和
追及路程=速度差×追及时间
追及时间=追及路程÷速度差
速度差=追击路程÷追及时间
速度差=速度快的速度=速度慢的速度
追及问题：
（相向而行）：追及路程追及速度和=追及时间 （同向而行）：追及路程追及
速度差=追及时间
顺水速度=静水船速+水流速度
逆水速度=静水船速-水流速度
静水船速=（顺水速度+逆水速度）除以2
水流速度=（顺水速度-逆水速度）除以2