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差倍问题



1. 掌握差倍问题的基本解法以及相关的年龄等应用题.
2. 熟练应用通过图示来表示数量关系．
教学目标
知识精讲
知识点说明：

差倍问题就是已知大小两数的差，以及大小两数的倍数关系，求大小两数的问题．
差倍问题的 特点与和倍问题类似。解答差倍问题的关键是要确定两个数量的差及相对应的倍数差，一
般情况下，在题 目中不直接给出，需要经过调整和计算才能得到。
解题思路：首先要在题目中找到1倍量，然后画图确 定解题方法.被除数的数量和除数的倍数关系要
相对应，相除后得到的结果是一倍量
差倍问题的基本关系式：
差÷(倍数－
1
)=
1
倍数(较小数)
1
倍数×几倍=几倍数(较大数)或较小数+差=较大数
解决差倍问题，关键是学会画线段图，这样可以帮助我们更好的弄清各数量之间的关系．
年龄问题的和差问题主要利用的年龄差不变。
例题精讲
板块一、和差问题
【例 1】

李爷爷家养的鸭比鹅多
18
只，鸭的只数是鹅的3
倍，你知道李爷爷家养
的鸭和鹅各有多少只吗？
【解析】
引导学生 画图，但是一定要强调差所对应的份数，这样我们就可以求一
份量（一倍量），从而解决题目．与
18
只相对应，这样就可以求出一倍
数也就是鹅的只数，求出了鹅的只数，鸭的只数就容易求 出来了．鸭与
鹅只数的倍数差是
312
（倍），鹅有
1829
(只)，鸭有
9327
(只).

【巩固】 两个书架，甲书架 存书相当于乙书架存书量的
5
倍，甲书架比乙书架
存书多
120
本， 则乙书架存书多少本？
【解析】
多的
120
本相当于乙书架的
4
倍，则乙书架的书为：
120430
（本）．
【巩固】 某小学原来参 加室外活动的人数比参加室内活动的人数多
480
人，现在把室内活动的
50
人改为
室外活动，这样室外活动的人数正好是室内人数的
5
倍，则参加室内、室外活动 的共有多少人
【解析】
原来室外、室内活动人数相差
480
人，现把室内 的
50
人改为室外活动，这
样室外活动人数比室内人数多
480502 580
(人)，这时室外活动人数正好
是室内人数的
5
倍，
580< br>人相当于现在室内活动人数的
514
(倍)，这样可
先求出现在室内活动人 数为
5804145
，再求出室内、外人数之和：
145(51)870< br>人．
【巩固】 师、徒两人共加工
105
个零件，师父加工的个数比徒弟的< br>3
倍还多
5
个，师父和徒弟各加工零件
多少个？
【解析】
把徒弟加工的个数看作
1
份数，师父加工的个数就比
3
份数还多5
个，如果师父少加工
5
个，两人加工的总数就
少
5
个 ，总数变为
(1055)
个，就可以求出师父和徒弟各加工多少个了．徒弟做了：
1 00(31)25
(个)，
师父做了：
253580
(个)．
【巩固】 甲班的图书本数比乙班多80本，甲班的图书本数是乙班的3倍，甲班和乙班各有图书多少本？
【解析】
乙班的本数：80÷（3-1）=40（本）
甲班的本数：40×3=120（本）或40＋80=120（本）。
【例 2】 有两根铁 丝，第一根长
18
米，第二根长
10
米，两根铁丝用去同样长的一段后，第一 根剩下的长
度是第二根剩下长度的
3
倍，两根铁丝各剩下多少米？
【解析】
引导学生画图，并找出本题中数与份数之间的关系．以学生探索为主，
教师指导为铺．用去同样 长的一段后，两段长度差为：
18108
（米），
且第一根比第二根多：
312
（倍），则第二根剩下：
824
（米），第
一根剩下：
4312
（米）．
【巩固】 有两条纸带，一条长
21
厘米，一条长
13
厘米，两条纸带都剪下同样的
一段后，长纸带剩下的长度是短纸带剩下的
3
倍，问剪下的一段有多长？
【解析】
长纸带剩下长度比短纸带剩下的长度长：< br>21138
（厘米），短纸带剩下：
8(31)4
（厘米），剪下：
1349
（厘米）．
【巩固】 二⑴班的图书角里有故事书和连环画共
47
本，如果故事书拿走
7
本后，故事书的本数就是连环

画的
4
倍.原有连环画和故事书各有多少本？
【解析】
可引导学生，让他们自 己画图来分析，教师辅导指正．从线段图可以看
出，如果故事书拿走
7
本以后，则正好 是连环画的
4
倍.这时故事书与连环
画总数应减少
7
本，列式成47740
(本)，正好是连环画本数的(
1+4
)倍.
⑴如果故事书拿走
7
本，总本数为：
47740
(本)
⑵现在连环画与故事书的倍数和为：
4+1=5

⑶连环画有：
4058
(本)
⑷故事书有：
84739
(本)
【例 3】 有两根同样长的绳子，第一根截 去12米，第二根接上14米，这时第二根长度是第一根长的3
倍，两根绳子原来各长多少米？
【解析】
如上图，两根绳子原来的长度一样长，但是从第一根截去12米，第二根
绳 子又接上14米后，第二根的长度是第一根的3倍.应该把变化后的第
一根长度看作1倍，而12+14 =26（米），正好相当于第一根绳子剩下的
长度的2倍.所以，当从第一根截去12米后剩下的长度可 以求出来了，
那么第一根、第二根原有长度也就可以求出来了。
第一根截去12米剩下的长度：（12+14）÷（3-1）＝13（米）
两根绳子原来的长度：13＋12＝25（米）
【巩固】 有甲、乙两艘货船，甲船所载货物 是乙船的3倍．若甲船增加货
物1200吨，乙船增加货物900吨，则甲船所载货物是乙船的2倍．甲
船原载货物多少吨
【解析】
甲船所载货物是乙船所载货物的3倍，乙船增加900 吨，甲船就应增加
900×3＝2700(吨)，实际少增加2700－1200＝1500(吨)．少 增加的重量
等于乙船现有货物的3－2＝1(倍)，所以甲船原载货物(1500－900)×3
＝1800(吨)．
【例 4】 某迎春茶话会上，买来苹果
4
箱，已知每箱苹果 取出
24
千克后，剩余的各箱苹果总和等于原来
一箱苹果的重量，问原来一箱苹果多重 ？

【解析】
此题目较难找出数量间的关系，但是一定还的让学生自己动脑想 一想，
之后，教师再引导学生画图，共同探讨分析．取出
24496
千克，即原来
的比剩下的多
96
千克，原来有
4
箱，剩下一箱的重量，即原来的是 剩下的
4
倍，所以
96(41)32
（千克）为剩下的重量，即一箱的 重量．
【巩固】 菜站运来的白菜是萝卜的3倍，卖出白菜1800千克，萝卜300千克，剩下的两 种蔬菜的重量相
等，菜站运来的白菜和萝卜各是多少千克？
【解析】
这样想：根据 “菜站运来的白莱是萝卜的3倍”应把运来的萝卜的重量
看作1倍；“卖出白菜1800千克，萝卜30 0千克后，剩下两种蔬菜的重
量正好相等”，说明运来的白菜比萝卜多
180030015 00
(千克).这个重量
相当于萝卜重量的
312
(倍)，这样就可以先 求出运来的萝卜是多少千
克，再求运来的白菜是多少千克.所以运来萝卜：
(1800300 )(31)750
(千
克)，运来白菜：
75032250
(千克 )．
【例 5】 有大小两个桶原来水一样多，如果从小桶倒
8
千克水到大桶，则大 桶中水是小桶的
3
倍，求原来
大桶有水多少千克？
【解析】
现在 大桶水比小桶水多：
8216
（千克），所以现在小桶中的水是：
16(31 )8
（千克），而原来大桶中有水是：
8216
（千克）．
【巩固】 某校五年级比六年级人数少
154
人，若六年级学生再转来
46
人，则六年< br>级学生是五年级学生的
3
倍，问五、六年级各有多少人？
【解析】
五年级人数为：（人），六年级的人数：（人）．
(15446)(31)100
100154254
【巩固】 小云比小 雨少20本书，后来小云丢了5本书，小雨新买了11本书，这时小雨的书比小云的书
多2倍.问：原来 两人各有多少本书？
【解析】
小雨的书比小云的书多2倍”，即小雨的书
是小云的 书的3倍.这个“倍数”是变化后的，
所以“1倍”数应是小云变化后的书(见下图).
“差” 是20＋5＋11＝36(本).
小云现有书：(20＋5＋11)÷(3-1)＝18(本)；小云原来有书18＋5＝23(本)，
小雨原来有书23＋20＝43(本).
【巩固】 三（1）班与三（2）班原有图书数一样 多.后来，三（1）班又买
来新书74本，三（2）班从本班原书中拿出96本送给一年级小同学，

这时，三（1）班图书是三（2）班的3倍，求两班原有图书各多少
本？
【解析】
两个班原有图书一样多.后来三（1）班又买新书74本，即增加了74本；
三（2）班从本班原有图书中取出96本送给一年级同学，则图书减少了
96本.结果是一个班增加， 另一个班减少，这样两个班图书就相差96+74
＝170（本），也就是三（1）班比三（2）班多了 170本图书.又知三（1）
班现有图书是三（2）班图书的3倍，可见这170本图书就相当于三（2 ）
班所剩图书的3-1=2倍，三（2）班所剩图书本数就可以求出来了，随之
原有图书本数也 就求出来了（见上图）。
后来三（1）班比三（2）班图书多多少本？74＋96=170（本）
三（2）班剩下的图书是多少本？170÷（3-1）=85（本）
三（2）班原有图书多少本？85＋96=181（本）（两个班原有图书一样
多）
综合算式：（74＋96）÷（3-1）＋96＝170÷2+96＝85＋96=181（本）
【例 6】
甲、乙俩人存款若干元，甲存款是乙存款的3倍．如果甲取出80元，
乙 存入20元，甲、乙的存款正好相等．问甲、乙俩人原来各存款多少
元？

【解析】
“甲存款数是乙存款数的3倍”，乙存款数就是l倍数，而甲存款数比
乙存款数多的倍数是312
倍．因为“甲取出80元，乙存入20元，甲、
乙的存款正好相等”，可知甲的 存款数比乙的存款数多
8020100
(元)．利
用差倍问题的公式，可求出1倍 数，即乙原来的存款数
100250
(元)，从
而求出甲原来的存款数
5 03150
(元)．
【巩固】 甲、乙各有若干本书,若甲给乙
45
本 ,则二人的书相等,若乙给甲
45
本
则甲的本数是乙的
4
倍,甲、乙 各有书多少本？

【解析】
乙给甲
45
本书后剩下的书：< br>(452452)(41)60
（本），乙原有书：
6045105< br>（本），甲原有书：
105452195
（本）．
【巩固】 学而思图 书馆书架上下两层放着一批书，如果上层少放8本，上下两层的本书就一样多，如果
下层少放8本，上层 的书就是下层的2倍，问书架上下两层各有多少本书？
【解析】
如果上层少放8本，上下两 层的本书就一样多，说明上层比下层多8本；
如果下层少放8本，上层的书就是下层的2倍，把下层书作 为一倍量，
下层少放8本之后与上层相差的本数是：
8816
(本)，此时下层书 的本
数是：所以下层有
16824
(本)书，上层有
24832(本)．
16(21)16
(本)，
【例 7】 (2008年第八届“ 春蕾杯”小学数学邀请赛初赛)兄妹俩人去买文具，哥哥带的钱是妹妹的两倍，
哥哥用去180元，妹妹 用去30元，这时兄妹俩人剩下的钱正好相等，哥哥带了________元钱，
妹妹带了______ __元钱．
【解析】
由题目的条件“哥哥带的钱是妹妹的两倍”知：哥哥的钱比妹妹的钱多
一倍，又由“哥哥用去180元，妹妹用去30元，这时兄妹俩人剩下的钱
正好相等，知：哥哥 比妹妹多
18030150
（元），则知妹妹带了150元，
哥哥带了300元．
【巩固】 食堂里有94千克面粉，138千克大米，每天用掉面粉和大米各9千克，几天后剩下的大米 是面
粉的3倍？
【解析】
因每天用掉的面粉和大米数量相等，不论经过多少天，面 粉和大米的数
量差都不变，仍然是：138-94=44（千克）。
我们把几天后剩下的面粉 重量看作1份，大米重量也就是3份，则几天
后剩下面粉：44÷（3-1）=22（千克）。用掉的面 粉总量除以每天用面
粉数量，可以得出所求的天数：（94-22）÷9=8（天）。
【例 8】 幼儿园大班每人发
17
张画片，小班每人发
13
张画片，小班人数是大 班人数的
2
倍，小班比大班
多发
126
张画片，那么小班有多少人？
【解析】
小班每
2
个人就会发
13226
张画片，那 么，小班的
2
个人比大班的
1
个人
多发了
26179< br>张画片，总共多发了
126
张，所以小班有
1269228
人．
【巩固】
实验小学一校区人数比实验小学二校区人数少540人，因为第三校区建
成 ，从两个校区各调走200人，这时实验小学二校区人数恰好是实验小

学一校区人数的4 倍，那么实验小学一校区和实验小学二校区原来各有
多少人？
【解析】
两校区各调 走200人之后还是相差540人，对应的倍数是：
413
倍，实
验小学一校区调 走200人后剩下的人数是：
540(41)180
(人)，实验小学
一校区原 有：
180200380
(人)，实验小学二校区为：
380540920< br>(人).
【例 9】 有两盘苹果，如果从第一盘中拿
2
个放到第二个盘里， 那么两盘的苹果数相同；如果从第二个
盘中拿
2
个放到第一盘里，那么第一盘的苹果数 是第二盘的
2
倍．第一盘有苹果多少个
【解析】
原来第一盘比第二盘多：
224
(个)，从第二盘拿
2
个到第一盘里，第一
盘就比第二盘 多：
4(22)8
(个)，第二盘拿走
2
个后剩下的苹果数为：
8(21)8
(个)，第一盘原有苹果：
82214
(个)．
【巩固】 小青和小红每人都有一些水彩笔，如果小青给小红1支，两人就一样
多，如果小红给 小青1支，小青的水彩笔就是小红的2倍，那么小青和
小红各有多少支水彩笔？
【解析】 < br>“小青给小红1支，两人就一样多”说明小青原来比小红多
112
(支)，
“如果小红给小青1支，小青的水彩笔就是小红的2倍”则小红给小青1
支后，小青就比小红多
2114
(支)，这与倍数差
211
（倍）相对应，
这样就可以求 到小红的水彩笔现在是
414
(支)，她原来就是
415
(支)，小 青原来是：
527
(支).
【巩固】
小明和小刚各有玻璃弹球若干个 .小明对小刚说：“我若给你两个，我们
的玻璃弹球一样多.”小刚说：“我若给你两个，你的弹球数量 将是我的
3倍.”小明和小刚共有玻璃弹球多少个？
【解析】
由小明说的话推知， 小明的玻璃球比小刚多4个，如果小刚给小明2个，
那么小明比小刚多8个.
8个是小刚还剩 下玻璃球数量的3-1＝2倍，此时小刚有玻璃球8÷2
＝4（个），小明有玻璃球4+8＝