清明节主题班会-活动总结

§1.1 实数的运算
1.1.1 ★ 计算：
2013×20142014－2014×20132013.

1.1. 2 ★计算：
123+246+71421
.
135+2610+72135

1.1.3 ★计算：
111
.
++„+
122399100

1.1.4 ★ 计算：

1111111111

+++++++++
18541
111
.
++„+
1232349899100
1.1.5 ★★ 计算：


1.1.6 ★★ 计算：

1111
. +++„+
1+21+2+31+2+3+41+2+„+100
111

2


)
，求与A最接近的正整数.
3444100
2
4
2
1.1.7 ★★ 设
A48(

1.1.8 ★★ 2008加上它的
得数的


1.1.9 ★ 计算：
1
1
得到一个数，再加上所得的数的，又 得到一个数，再加上这次
2
3
11
又得到一个数，„，依次类推，一直加到上 一次得数的.最后得到的数是多少？
42008
1
1111



12233420122013



1.1.10 ★ 计算：
S123420072008





1.1.11 ★★ 计算：
12+23+34+„+1920

1.1.12 ★★ 计算：
123+234+345+„+282930


111
1.1.13 ★★ 计算：
1++
2
+„+
100

222

111
1.1.14 ★★ 计算：
1++
2
+„+
10

333

1111111111
1.1.15 ★★ 计算：
(„+)(1„+)(1„+)(„+)

23999231998

1.1.16 ★★ 计算下列繁分数：
1< br>1
1

1
1
1
1
1
11
113
1
355
(2008个减号)

1.1.17 ★★ 比较
S
n



1.1.18 ★★★ 已知
a
多少？

1.1.19 ★★ 在数
23456789
，，，，，，，的前面分别添加“
+
”或“
—
”，
1010
11661267136814691570
问：a的整数部分是
100
，
1165126613671468 1569
1234n

n
与2的大小
248162
使它们的和为1，你能想出多少种方法？


(7< br>4
64)(15
4
64)(23
4
64)(31
4
64)(39
4
64)
1.1.20 ★★ 计算：
4
.
(364)(11
4
64)(19
464)(27
4
64)(35
4
64)




1.1.21 ★★★ 求和：

123100



24242424
111222333110 0100

2
n
1.1.22 ★★ 已知
a
n< br>
2n1
，其中n为正整数.证明：
a
1
a
2< br>a
2013
1
.
22
n1
2
n
1

1
2
2
2
99
2
1.1.23 ★★★ 求下列分式的值：
2
.



2
1100 50002
2
20050009999005000

1.1.24 ★★ 设
S


1111
，求4S的整数部分.
 
1
3
2
3
3
3
99
3
§1. 2 实数与数轴

1.2.1 ★ 数a、b在数轴上对应的点如图所示，试化简
abbabaa
.
a

0
b
x

1.2.2 ★ 已知
x3
，化简：
321x
.


1.2.3 ★ 若
x0
，化简


1.2.4 ★ 化简：
3x12x1



1.2.5 ★ 设
a0
，且
x


1.2.6 ★★ 化简：
x12x1


1.2.7 ★★ 若
2x45x13x4
的值恒为常数，求x满足的条件及此常数的值.


a
，试化简：
x1x2

a
x2x
x3x
.

1.2.8 ★★ 如果
yx12xx2
，且
1x2
，求y的最大值和最小值.


1.2.9 ★★ 求代数式
x11x12x13
的最小值.


1.2.10 ★★ 如果m为有理数，求代数式
m1m3m5m6
的最小值.


1.2.11 ★★ 已知
x1
，
y1
，且
kxy y12yx4
，求k的最大值和最小值.


1.2.12 ★★ 已知
y2x6x14x1
，求y的最大值.


1.2.13★★★ 设
abcd
，求
xaxbxcxd
的最小值.


1.2.14 ★★ a、b为理数，且
abab
，试求ab的值.


1.2.15 ★★ 若a、b
、
c变常数，且
ab


1.2.16 ★★★ 将1，2，„，100这100个正整数任意分成50组，每组两个数，现将每 组的
1
两个数中任一个数记为a，另一个数记为b，代入代数式
(abab)< br>中进行计算，求出
2
19
ca
99
1
，试计算
caabbc
的值.
其结果，50组都代入后可求得50个值，求这50个值的和的最大值.



1.2.17 ★★★ 设n个有理数
x
1
,x
2
,,x
n
满足
x
i
1
(i，12n,
， 且
x
1
x
2
x
n
19x
1
x
2
x
n
，求n的最小值.

§1.3 实数的判定
1.3.1 ★★ 证明循环小数
2.61545454

2.6154
是有理数.


1.3.2 ★★ 已知x是无理数，且
(x1)(x3）
是有理数，在上述假定下，分析下面四个结论： < br>（1）
x
2
有理数；（2）
(x1)(x3
是无理数；（ 3）
(x1)
2
是有理数；（4）
(x1)
2
是无理数 .
）
那些是正确的？哪些是错误的？

1.3.3 ★★ 求证：

1.3.4 ★★ 证明
2
是无理数.


1.3.5 ★★ 设n是正整数，
n
是有理数，则n必是完全平方数；反过来，如果 n是完全平
方数，则
n
是有理数（而且是正整数）.

1.3.6 ★★ 设a、b及
ab
都是整数，证明，
a
及
b
都是整数.

1.3.7 ★★ 求满足等式
3
252x12y
的有理数x、y.

1.3.8 ★★ 求满足条件
a26xy
的正整数a、x、y.

1.3.9 ★★ 若
a
1
b
1
aa
2
b
2
a
（其中
a
1
、a
2
，则
、b、b
2
为有理数，a为无理数）
1
a
1
a
2
，b
1
b
2
，反之，亦成立.

1
是有理数.
11

122

25


(n1)
n
1.3.10 ★★ 设a与b是两个不相等的有理数，试判断实数
说明理由.


a3
b3
是有理数还是无理数，并

1.3.11 ★★★ 已知a、b是两个任意有理数，且a < b，求证：a与b之间存在着无穷多个有
理数（即有理数集具有稠密性）.


1.3.12 ★★★ 已知在等式
axb
S
中，a、b、c、d都是有理数，x是无理数，问：
cxd
（1）当a、b、c、d满足什么条件时，S是有理数；
（2）当a、b、c、d满足什么条件时，S是无理数；


1.3.13 ★★ 已知a、b是两个任意有理数，且a < b，问是否存在无理数α，使得a < α < b
成立？


1.3.14
★★

已知数14
的小数部队是
b
，求
b
4
12b
337b
2
6b20
的值
.

1.3.15
★★

已知：
p
、
q
是有理数，
x

1.3.16
★★

若
n
为正整数，求证：
n< br>4
2n
3
2n
2
2n1
必为无理数
.

1.3.17 ★★★ 若m、n是正整数，a、d是实数，问是否存在三个不同的素数 p、q、r，满足
3
51
，且满足
x
3
pxq0< br>，试求
pq
的值？

2
pa
，
3
qamd
，
3
rand
？

1.3.18 ★★★★ 设
a
n
是
1
2
2
2
32
n
2
的个位数字，
n1,2,3
，求证：
0.a
1
a
2
a
3
a
n

是有 理数.


1.3.19 ★★ 已知
xy
、
xy< br>、
xy
、
x
均为有理数，如果它们中有三个数相等，求x、y的
y
值.


1.3.20 ★★★
[x]
表示不超过实数x的最大整数，令
{x}x[x]
. 
1

（1）找出一个实数x，满足
{x}

1
；

x

（2）证明：满足上述等式的x，都不是有理数.

1.3.21 ★★★★ 设a、b是实数，对所有正整数n
(2)
，< br>a
n
b
n
都是有理数，证明：a +b

是有理数.

1.3.22 ★★★★ 设A是给定的正有理数.
（1）若A是一个三边长都是有理数的直角三角形的面积，证明：一定存在3 个正整数x、y、
z，使得
x
2
y
2
y
2z
2
A
；
（2）若存在3个正有理数x、y、z，满足
x
2
y
2
y
2
z
2
A
.证 明：存在一个三边长都是
有理数的直角三角形，它的面积等于A.