社团纳新-公路养护工作总结

求解最值问题的几种思路
最值问题涉及的知识面较广，解法灵活多变，越含着 丰富的数学思想方法，对发展学生
的思维，提升学生解题能力起着十分重要的作用.本文举例介绍这类问 题的常见思路和方法.
一、利用非负数的性质
在实数范围内，显然有mnpp
，当且仅当
mn0
时，等号成立，即
22
m
2
n
2
p
的最小值为
p
.
例1形码 设
a
、
b
为实数，求
aabba2b
的最小值.
22
解析
aabba2b
=
a(b1)ab2b

2222
b1
2
3
2
31
)bb

2424
b1
2
3
=
(a)(b1)
2
1
1
.
24
b1
当
a0,b10
，即
a0,b1
时，上式等号成立.
2
=
(a
故
aabba2b
的最小值为-1.
二、均值代换法
在一些数学问题中，常遇到含有
mnp
型条件的问题，若用
m
代换，往 往能获得简捷的妙法.
例2 已知
x
、
y
为实数，且< br>xy2
，求
(2xy)(2xy)
的最值.
22
解析 由
2xy2xy
得
xy1
，易得最小值为
3
. < br>22
22
22
pp
q,nq
来
22
设
x1k,y1k
,其中
1k1
,
(2xy)( 2xy)4x
2
y
2
4(1k
2
)k
2
3
,
又
03k313
，
即
3k34
.

(2xy)(2xy)
的最小值是
3
，最大值是2.
三、局部换元法
例3 若
abc1
，求
abc
的最小值.
解析 设
a
222
2
2
11


,b
,
33

J
则
c
1
(



)
. 3
2
11

1

a
2
b
2
c
2
(

)
2
(

)
2


(



)


33

3

11


2


2
(



)
2

.
33
1
222
故
abc
的最小值为.
3
四、积化和差法
完全平方公式
(ab)a2abb
；

(ab)a2abb
.
将这两个公式的左右两边分别相减，得
结论1
4ab(ab)(ab)
.①
由于
(ab)0
，故由①又可得如下积化和的完全平方不等式.
结论2
4ab(ab)
，当且仅当
ab
时，等号成立.②
结论①、②表明两个代数式之积可化为它们的和差的关系式.应用上述公式解题，方法
独特，别致新颖， 给人一种清晰、明快的感觉.
22
例4 设
xya,a1
，求
S1x1y
的最大值.
22
2222
2
2
22
222
222
解 把
S1x1y
两边平方得

S2(xy)21x1y
，
即
S2a21x1y
，

1x1y
由积化和差公式，得
22
22222
2222
1
2
(Sa
2
2)
.
2
1x2
1y
2
2
1x
2
1y
2
2
1x1y()()

22
22
代人上式，得
1x
2
1y
2
2
1
2
S
22
(Sa2)()()
.
222
1x
2
1y
2
2
11
()S
2
a
2
10
,
242

S
2
42a
2
,
QS0,S42a
2
.
又
xy
2
a
时,
2
a
2
S2142a
2
，
2
S
最大值
42a
2
.
注 有时将积化和差公式
4ab(ab)(ab)

化为如下形式:
22
ab(
ab
2
ab
2
)()
,
22
用起来比较方便.
五、配方法
解题时把题 中所给的代数式，应用配方法化成一个或几个完全平方式与常数的代数和的
形式;再根据
(a b)0
，可求出代数式的最小值，根据
(ab)0
，可求出代数式的
最大值.
例5 求函数
yxx1
的最值.
解析
y (x)x1(x)
2222
42
22
1
2
23
.
4
Qx
2
0
,
x
2
的最小值是0，
x
最小也是0.
当
x0
时，
y
的最小值为:
13
(0)
2
1
.
24
注 本 题如果机械地套用二次函数求极值的公式去求
y
的最值，那就错了.事实上，当
x2

b1

时，
y
取得极小值，这是不可能的。一 般情况下，如果自变量取值范围有
2a2
一定限制，不能轻易套用极值公式，而应先通过配方， 再求极值，这样做才不会得出错误的
答案.
六、增加辅助量
例6 若实数
a
、
b
、
c
、
d
、
f满足条件
abcdf8
和
a
2
b
2
c
2
d
2
f
2
16
，求
f的最值.

解
Q
abcdf8
,
abcd8f
.
设
a
8f8f8f8f< br>

，
b

，
c

，d

,
4444
则



< br>


0
,
而
abcd4(
2 222
8f
2
8f
)2(







)

2


2


2


2

44
(8f)
2

.
4
(8f)
2
2
16f
，即
5f16f0
.
4
2
0f
16
.
5
16
，最小值为
0
.
5
故
f
的最大值为
七、数形结合法
例7 已知
a
、求
a
2
b
2
a
2
(1b)< br>2
(1a)
2
(1b)
2

b
都是 小于1的正数，
(1a)
2
b
2
的最小值.
解 对形如
a
2
b
2
的问题，不妨考虑利用勾股定理和题中所给 的已知条件，构造相
应的几何图形，并根据图形中边与边之间的关系解决问题.
如图1，构造 边长为1的正方形
ABCD
，
P
是正方形内一点，它到
AB
、
BC
的距离
分别为
a
、
b
，即
PGa
，
PHb
，则由勾股定理，易得

BPa
2
b
2

PD(1a)
2
(1b)
2

APa
2
(1b)
2

PC(1a)
2
b
2

ACBD2
.
QAPPCAC
，
PBPDBD
,
则
APPBPCPD2AC
, 
a
2
b
2
a
2
(1b)
2
(1a)
2
(1b)
2
(1a)
2
 b
2
22

即所求最小值
22
.
八、构造一元二次方程
例8 若
2x3xy2y1
，求
xyxy
的最小值.
解 将
2x3xy2y1
配方，得
22
22
2(xy)
2
1xy
①
设
kxyxy

则
1xyk(xy)1

∴方程①可构造为以
xy
为主元的一元二次方程:
2(xy)
2
(xy)k10

V0

Qxy
是实数，

即
142(k1)0

解之得
k
2
9

8
9

8
即
xyxy
的最小值

点评 此题巧妙运用了构造方程的思想，并利用一元二次方程根的判别式求得
k
的最
值.
九、构造函数
由于最值问题中一般都存在某些变量变化的过程，因此解决最 值问题离不开函数，我们
常利用构造函数法使问题得到解决.
例9 求代数式:
x1x
2
的最值.
解 设
Qx1x
2
(1x1)
，
再令
xsin< br>
，


2
x

2
则有 Qx1x
2
sin

1sin
2


1
sin

cos

sin2


2
Q1sin2

1

11
Q
最小值为

，最大值为
22
十、零点分段讨论法
例10 当
x16
时，求函数
yxx2x1
的最大值.
分析 先由条件
x16
，求出
x
的取值范围，再用“零点分段讨论法”去掉函数
y
中
的绝对值符号，然后求出
y
在各个区段上的最大值并加以比较， 从中确定出在取值范围内的
最大值.
解 由
x16
6，知
7x5
.
∴当
7x0
时，
yx
2
2x1(x1)
2
2

当
0x5
时，
yx
2
2x1(x1)
2

故当
x5
时，函数
y
有最大值16.
对于最值 问题，还有更多的方法(如消元法、共轭配对法、数形结合法、和差代换法、
判别式法、参数法、等式变 形法、待定系数法、平均值不等式法等)，这里不再赘述.