经典__最值问题
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第06单元 最值问题
“最大最小、最多最少、最长最短问题”，我们称之为
“最值问题”.让我们翻开记忆，
按照“最值问题”在课本中出现的顺序搜索一下：
1、两点之间线段最短；
2、垂线段最短；
3、不等式的最大（小）值；
4、二次整式最值；
5、线段和最小差最大；
6、勾股对称最短路径；
7、一次函数最优方案；
8、圆中最长弦是直径；
9、圆的最近（远）距离；
10、二次函数的最值；
11、平方和最小问题.
以上所列，有的是同一问题，有
的具有包含关系（如“二次函数最值”包含了“二次整式最
值”），有的很少出现，为了简捷实用，我进
行了整理，就以下几个问题展开：
一、两点之间，线段最短
说明：“两点之间，线段最短”
应用非常广泛，它常与三角形、轴对称、图形表面展开图等
相结合，题目类型很多.
（一）线段和最小
说明：此乃“两点之间，线段最短”与轴对称的结合题.
通法：
求“直线上一点到这条直线同侧两点的距离和最小”：作其中一点关于这条直线的对
称点，连结这个对称
点与另一点的线段与这条直线的交点即为所求，此线段长即为该最小距
离.
例6-1-1
几何模型
（1）如图6-1-1①，点A、B位于直线m异侧，在直线m上找一点P，使AP+BP的值最小.
图6-1-1①
图6-1-1②
你作图的根据是：
.
（2）如
图6-1-1②，点A、B位于直线m同侧，在直线m上找一点P，使AP+BP的值最小.
你作图的根据是：
.
模型应用：
（3）如图6-1-1③，
正方形ABCD中，AB=4，E是BC的中点，点P是对角线AC上一动点，
则PE+PB的最小值为
.
（4）如图6-1-1④，菱形ABCD中，AB=2，∠A=120°，点E是线段CD的中点，
K为线段BD
上的任意一点，则CK+EK的最小值为 .
（5）如
图6-1-1⑤，抛物线
y=ax
2
-4x+c
与坐标轴交于点A（-1,0
）和点B（0，-5）.
点P在它的对称轴上，使△ABP周长最小的点P坐标为
.
图6-1-1③ 图6-1-1④
图6-1-1⑤
14、（2013•钦州）如图，在正方形ABCD中，E是AB上一点，
BE=2，AE=3BE，P是AC上一动
点，则PB+PE的最小值是 10 ．
考点： 轴对称-最短路线问题；正方形的性质．3718684
分析： 由正方
形性质的得出B、D关于AC对称，根据两点之间线段最短可知，连接DE，交
AC于P，连接BP，则
此时PB+PE的值最小，进而利用勾股定理求出即可．
解答：
解：如图，连接DE，交AC于P，连接BP，则此时PB+PE的值最小．
∵四边形ABCD是正方形，
∴B、D关于AC对称，
∴PB=PD，
∴PB+PE=PD+PE=DE．
∵BE=2，AE=3BE，
∴AE=6，AB=8，
∴DE==10，
故PB+PE的最小值是10．
故答案为：10．
体验与感悟
6-1-1
1、（1）如图6-1-2①，在等边△ABC中，AB=6，点E是AB的中点，AD是
高，在AD上找一
点P，使PB+PE的最小，最小值为 .
（
2）如图6-1-2②，圆O的半径为2，点A、B、C在圆O上，OA⊥OB，∠A=60°，P是OB
上一动点，则PA+PC的最小值是 .
（3）如图6-1-2③，点D、
E分别是△ABC的AC、AB边的中点，BC=6，BC边上的高为4，
P在BC边上，则△PDE周
长的最小值 .
图6-1-2①
图6-1-2② 图6-1-2③
2、（1）如图6-1-3①，菱形
ABCD中，AB=2，∠A=120°，点P、Q、K分别为线段BC、CD、
BD上的任意一点，则
PK+QK的最小值为 .
（2）如图图6-1-3②，∠AOB=45°，P
是∠AOB内一点，PO=10，Q、R分别是OA、OB上的动
点，则△PQR周长的最小值是
.
（3）如图图6-1-3③，锐角△ABC中，
AB=42
，∠BAC=45°，
AD平分∠BAC，M、N分别
是AD和AB上的动点，则BM+MN的最小值是 .
图6-1-3① 图6-1-3②
图6-1-3③
以下为补充习题：
3、如图6-1-3④，
∠MON=90°，矩形ABCD的顶点A、B分别在边OM、ON上，当B
在边ON上运动时，A随
之在边OM上运动，矩形ABCD的形状保持不变，其中AB=2，
BC=1，运动过程中，点D到点O
的最大距离为 .
图6-1-3④
4、如图6
-1-3⑤，已知边长为a的正三角形ABC，两顶点A、B分别在平面直角坐标系的x
轴、y轴的正半
轴上滑动，点C在第一象限，连结OC，则OC长的最大值是 .
图6-1-3⑤ 图6-1-3⑥
5、如图6-1-
3⑥，在△ABC中，∠ABC=90°，AB=4，BC=2，点A、B分别在x轴、y轴
上，当点A
在x轴的正半轴上运动时，点B随之在y轴上运动.在运动过程中，点C到原点
O的最大距离为
.
6、如图6-1-3⑦，正方形ABCD的边长为2，当点A在x轴上运动时，点D随之在y轴上运
动.在运动过程中，点B到原点O的最大距离与最小距离的积为 .
图6-1-3⑦
19、(2013年武汉)如图，
E
，
F
是正方形
ABCD
的边
AD
上两个动点，满足
AE
＝
DF
．连接
CF
交
BD
于
G，连接
BE
交
AG
于点
H
．若正方形的边长为2，则线段
DH
长度的最小值是 ．
EF
A
D
答案：
51
H
G
B
第16题图
C
解析：
（二）线段差最大
说明：此乃“三角形三边关系之两边之差小于第三边”的应用.
通法：求“直线上一点到这条
直线异侧两点的距离差最大”：作其中一点关于这条直线的对
称点，连接这个对称点与另一点的线段所在
直线与这条直线的交点即为所求.
例6-1-2 几何模型
（1）如图6-1-4①
，点A、B位于直线m的同侧，在直线m上找一点P，使
AP-BP
的值
最大.
图6-1-4①
你的作图根据是：
.
（2）如图6-1-4② ，点A、B位于直线m异侧，在直线m上找一点P，使
AP-
BP
的值最
大.
图6-1-4②
你的作图根据是：
.
模型应用：
如图6-1-4③，一次函数<
br>y=kx+b
的图象与
x、y
轴分别交于点A（2,0）、B（0,4），D<
br>为AB的中点，C、A关于原点对称.P为OB上一动点，请直接写出
PC-
PD
的范围： .
图6-1-4③
体验与感悟 6-1-2
1、在圆O所在的平面上有一点A，它到圆O的最近距离为3，最远距离为7，则圆O的半径
为
.
2、点A、B均在由面积为1的小正方形组成的网格的格点上，建立平面直角坐标系如图6-1-5
.
若P是x轴上使得
PA-PB
的值最大的点，OP=
.
3、如图6-1-6，抛物线
y=ax+bx-4a
经过A（-1,0）、C（0
,4）两点，与x轴交于另一
2
点B.
（1）抛物线及对称轴分别为
.
（2）点D在所求抛物线的对称轴上，求
DB-DC
的最大值.
图6-1-5
图6-1-6
（三）“小虫爬爬”问题
说明：求小虫在
柱体、物体表面爬的最短距离，题目在多数情况下是用勾股定理求物体表面
展开图上两点间距离.
通法：见“小虫爬爬问题”，作展开图构造直角三角形，再用勾股定理求之.
例6-1-3（
1）如图6-1-7①，已知长方体的长为AC=2cm，宽BC=1cm，高
AA'=
4cm
，一
直蚂蚁沿长方体的表面从A点爬到
B'
点的最短路程是多少？
规律：“小小相加凑一边时路径最短.”
（2）如图6-1-7②，圆柱形杯高为12cm，
底面周长为18cm，在杯内离杯底4cm的点C处有
一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在外壁，离杯上沿4
cm与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁达到蜂蜜
的最短距离为多少？
图6-1-7②
规律：“一内点一外点要用轴对称.”
体验与感悟 6-1-3
1、（1）如图6-1-8①，长方体的长、宽、高分别为15、1
0、20，点B与点C的距离为5，
一只蚂蚁沿着长方体的表面从点A爬到点B的最短距离是（
）
A、5 B、25 C、15
D、35
图6-1-8① 图6-1-8②
图6-1-8③ 图6-1-8④
（2）如图6-1-8②，底面半径为3cm的圆锥的主
视图是一个正三角形，C是母线OB的中点，
则在圆锥表面从A到C的最短距离等于
cm.
（3）如图6-1-8③，圆柱高是8cm，底面半径为2cm，一只蚂蚁从点A爬到点B处吃
食物，
爬行的最短路程是（ ）cm.（π取3）
A、20
B、10 C、14 D、无法确定
（4）如图6-1
-8④，ABCDEFGH是一个无上底的长方体容器.M在容器内侧，位于侧棱BF上.
已知AB=5
，BF=9，FM=3，则从外部的点A到内部的点M的最短距离等于 .
2、
如图6-1-9，是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别为20dm，3dm，2dm，A和B
是这个台阶上两个相对的点.A点处有一只昆虫想到B点去吃食物，则昆虫沿着台阶爬到B
的最短路程是多少？
3、在一个长为2米，宽为1米的矩形草地上，如图6-1-10堆
放着一根长方体的木
块，它的棱长和场地宽AD平行且大于AD，木块的正视图是边长为0.2米的正方
形，一只蚂蚁从点A处，到达C处需要走的最短路程是 米．（精确到0.01
米）
图6-1-10
（四）两“二次根式和的最小值”问题
2222
说明：形如“求
x+a+(
m-x)+b
的最小值，其中
a,b,m
为常数”的题目，转化为
几何问题再
用勾股定理来解决.（两点距离公式）
22
40≤x≤4）
例6-1-4（2012
湖北十堰改编）求代数式
x+1+(4-x)+（
的最小值.
规律：先转化为直角三角形，再根据两点之间、线段最短，借助勾股定理求最小值.
感悟与体验 6-1-4
求函数
y=
x
2<
br>+4+(12-x)
2
+9(0≤x≤12)
的最小值.
二、垂线段最短
说明：“垂线段最短”用的多，但人们
意识到用它的少.只要涉及点到线、线到线距离，用的
都是“垂线段最短”，如高、与圆有关的位置关系
等.
例6-2-1 某市正在进行商业街改造，商业街起点在古民居P的南偏西60°方向上
的A
处，如图6-2-1，现已改造至古民居P南偏西30°方向上的B处，A与B相距150m，且B
在A的正东方向．为不破坏古民居的风貌，按照有关规定，在古民居周围100m以内不得修
建
现代化商业街．若工程队继续向正东方向修建200m商业街到C处，则对于从B到C的商
业街改造是否
违反有关规定？
图6-2-1
例6-2-2 如图6-2-2，在△ABC中，AD是高，E、F分别是AC和AB边上不与A、C、
B重合
的点，AG、BH分别垂直直线EF与G、H.求证：
AG+BH>AD
.（只
考虑图示情况）
图6-2-2
体验与感悟 6-2
1、如图6-2-3①和图6-2-3②，在△ABC中，AB=13，
BC=14，
cos∠ABC=
5
.
13
探究：如图6-2-3①，AH⊥BC于点H，则AH= ，AC=
，△ABC的面积
S
△ABC
=
.
拓展：如
图图6-2-3②，点D在AC上（可与点A、C重合），分别过点A、C作直线BD的垂
线，垂足为E
、F.设BD=x，AE=m，CF=n，（当点D与A重合时，我们认为
S
△ABD
=0
)
（1）用含x，m，n的代数式表示
S
△ABD
及
S
△CBD
；
（2）求（m+n）与x的函数关系式，并求（m+n）的最大值和最小值；
（3）对给定的一个x值，有时只能确定唯一的点D，指出这样的x的求值范围．
发现：请你
确定一条直线，使得A、B、C三点到这条直线的距离之和最小（不必写出过程），
并写出这个最小值.
三、圆中最长弦是直径
说明：因四点共圆不在课标规定范围内，所以此题型不多.
例6-3 如图6-3，以边长为4的正方形的中心O为端点，引两条相互垂直的射线，分别
与正方形的
边交于A、B两点，则线段AB的最小值是 .
图6-3
规律：共圆四点中，如果相对两定点是直角顶点，则两动点连线的最小值
就是连接两直角
顶点的线段长.
四、平方和的最小值
2ab
. 说明：“平方和最小”即：
a+b≥
22
（a-b）≥0
，是初中的完全平方公式与非负数的结合，中考题中常有涉及.特别地它源自
（
a≥0，b≥0）
a
2
+b
2
≥2ab
和其变形
a
+b≥2ab
（还是高中最重要的不等式之一.
例6-4-1
阅读理解：对任意正实数
a、b
，因为所以
a-2ab+b≥0
，
（
a-b）≥0
，
所以
a+b≥2ab
，只有当
a=b
时，等
号成立.
根据上述内容，回答下列问题：
（1）若
m>0
，则
m
=
时，
m+
2
2
1
有最小值 .
m
（2）若
n>0
，则
n
=
时，
n+
2
有最小值 .
n
（3）若
x>0
，则
x
=
时，
8x+
2
2
2
有最小值 .
x
例6-4-2 如图6-4-1，AB为半圆O的直径，C为半圆上与
点A、B不重合的任意一点，过点
C作CD⊥AB，垂足为D，AD=a，DB=b.请用本题图验证：
a+b≥2ab
，并指出等号成立时
的条件.
提示：用相似证：
CD=AD•BD
；直径为最长弦.
2
体验与感悟 6-4
1、公式：对任意正数a、b，总有：
a+b≥2a
b
，并且只有当
a=b
时，等号成立.
直接应用与变形应用：
（1）已知：
y
1
=x(x>0)
，
y
2=
1
(x>0)
，则当
x=
时，
y
1
+y
2
取得最小值 .
x
（2）已知函数
y=x+
a
(a>0,x>0)
，当
x=
时，该函数有最小值 .
x
2
（3）已知函数
y
1
=x+1
与函数
y
2
=（x+1）+4
，当
x>- 1
时，求
y
1
的最小值，并指出相
y
2
应的x的值 .
实际应用
已知某汽车的一次运输成本包含 以下三个部分：一是固定费用，共360元；二是燃油费，
每千米为1.6元；三是折旧费，它与路程的 平方成正比，比例系数为0.001.设该汽车一次
运输的路程为x千米，求当x为多少时，该汽车平均 每千米的运输成本最低？最低是多少元？
五、不等式、一次函数最优方案
见第18单元：一次函数综合应用.
六、二次函数最值
2
说明：“二次整 式
ax+bx+c
最值”完全可以借助二次函数
y=ax+bx+c
最值解决 ，解
2
0
） 决方案有三：一用配方法，二用顶点公式，三图象法.（注：a,b,c为常数，且
a≠
例6-6-1 （1）
x-2x+6
的最小值是 ；
（2）二次函数
y=-x+6x
的最大值是 .
例6-6-2 如图6-6-1，在矩形ABCD中，AB=2，AD=3，P是BC上的任意一点（P 不与B、C
重合），过点P作AP⊥PE交CD于点E.设BP为x，CE为y，当x取何值时，y的值 最大？最
大值是多少？
2
2
评述：线段最值可由相似建立二次函数模型求解.
例6-6-3 如图6-6
-2，已知抛物线
y=ax
2
+bx+4
经过点B（1,0）、C（5,0）
，交y轴于点A，
对称轴
l
与x轴相交于点M.
（1）请直接写出抛物线的解析式、对称轴及点A的坐标
；
（2）连接AC，探索：在直线AC下方的抛物线上是否存在一点N，使△NAC的面积最大？若<
br>存在，请你求出点N的坐标；若不存在，请说明理由.
图6-6-2
体验与感悟 6-6
问题情境：已知矩形的面积为a
（
a
为常数，
a>0
)，当该矩形的长为多少时，它的周长最
小？最小值是多少？
数学模型：设该矩形的长为
x
，周长为
y，则
y
与
x
的函数关系式为：
y=2(x+)(x>0)
.
a
x
探究应用：（1）我们可以借鉴以前研究函数的经验，先探索函数
y=x+
性质.
①在图6-6-3中填写下表，并画出函数的图象：
x
y
...
...
1
(x>0)
的图象和
x
1
4
1
3
1
2
1
2
3
...
...
②观察图象，写出该该函数两条不同类型的性质：
③在求二次函数
y=ax
2
+bx+c(a≠0)
的最值时，除了通过观察
图象，还可以通过配方得
到.请你用配方法求函数
y=x+
1
(x>0)的最小值.
x
解决问题：
（2）用上述方法解决“问题情境”中的问题，直接写出答案.
提示：对任意非负数m，可设
m=t
，其中
t=（m）
.
提醒：回顾一下求二次函数最值有几种方法.
2
2
七、几何探究最值类
例6-7-1 请阅读下列材料：
问题
：如图6-7-1①，圆柱的高AB和它的底面半径均为5dm，BC是底面直径，求一只蚂蚁
<
br>从A点出发沿圆柱表面爬行到点C的最短路程.
小明设计了两条路线：
路线1：走圆柱表面最短路线（即图6-7-1②侧面展开图中的线段AC）.
图6-7-1① 图6-7-1②
路线2：走圆柱高线与底面直径（即6-7-1①中AB+BC的长）.
设路线1的长度为<
br>l
1
，设路线2的长度为
l
2
，则
︵
22
l
1
=AC
2
=AB
2
+
BDC²
l
2
=(AB+BC)
2
︵
将AB=
5，BC=10，半圆弧BDC长5π代入上面的式子得（请你帮小明完成下面的计算）：
l
1
=AC
2
=
；
2
l
2
=(AB+BC)
2
=
；
22
l
1
-l
2
=
；
2
∴
l
1
>l
2
∴
l
1
>l
2
∴选择路线2较短.
（1）小明对上述结
论有些疑惑，于是他把条件改成：“圆柱的底面半径为1dm，高AB为5dm”
继续按前面的路线进行
计算（请你帮小明完成下面的计算）：
路线1：
l
1
=AC
2
=
；
路线2：
l
2
=(AB+BC)
2
=
；
∵
l
1
l
2
∴
l
1
l
2
（填
>或<
）
所以选择路线 （填1或2）较短.
（2）请你帮小明继续研究：在一般情
况下，当圆柱体的底面半径为
r
，高为h时，应如何
选择上面的两条路线才能使蚂蚁从
点A出发沿圆柱表面爬行到C点的路线最短.
22
2
22
2
体验与感悟 6-7-1
A，B
到
l
的距离分别是3km和2km，
ABakm
1、在一平直河岸
l
同侧有
A，B
两个村庄，
(a1)
．
现计划在河岸
l
上建一抽水站
P
，用输水管向两个村庄供水．
方案设计
某班数学兴趣小组设计了两种铺设管道方案：图6-7-2①是方案
一的示意图，设该方案中管
道长度为
d
1
，且
d
1
PBBA(km)
（其中
BPl
于点
P
）；图6-7-2②是
方案二的示意图，
设该方案中管道长度为
d
2
，且
d
2PAPB(km)
（其中点
A
与点
A
关于
l
对称，
A
B
与
l
交于点
P
）．
A
B
l
P
图6-7-2①
观察计算
A
B
P
图6-7-2②
l
A
K
C
P
图6-7-2③
B
l
C
A
A
（1）在方案一中，
d
1
km（用含
a
的式子表示）；
（2）在方案二中，组长小宇为了计算
d2
的长，作了如图6-7-2③所示的辅助线，请你按小
宇同学的思路计算，
d<
br>2
km（用含
a
的式子表示）．
探索归纳
（1）①当
a4
时，比较大小：
d
1
d
2
(填“＞”、“＝”或“＜”）；
②当
a6
时，比较大小：
d
1
d
2
（填“＞”、“＝”或“＜”）；
（2）请你就
a
（
当
a>1
时）的所有取值情况进行分析，要使铺设的管道长度较短，应选择
方案一还是
方案二？
例6-7-2 动手操作
（1）如图6-7-3①把矩形
AA'B'B
卷成以AB为高的圆柱形，则点A与
重合，点B与
重合.
图6-7-3①
图6-7-3② 图6-7-3③
探究与发现
（2）如图6-7-3②所示，
若圆柱的底面周长是30cm，高是40cm，从圆柱底部A处沿侧面
绕一圈丝带到顶部B处做装饰，则
这条丝带的最小长度是 cm；（丝带的粗细忽略不计）
（3）若用丝带从图6-7-3②
圆柱底部A处沿侧面缠绕4圈直到顶部B处（如图6-7-3③所示），
则至少需要多长丝带？
创新与应用
（4）如图6-7-
3④，现有一圆柱形的玻璃杯，准备在杯子的外侧缠绕一层装饰带，为使带子
全部包住杯子且不重叠，需
要将带子的两端沿AE、CF方向进行裁剪，如图6-7-3⑤，若带
子宽度为1.5厘米，杯子的半径
为6厘米，裁剪角为
α
，则
sinα
= .
图6-7-3④
图6-7-3⑤
提示：（1）、（2）略；（3）可看作把圆柱切成四段，求出一段的长再乘以4；（4）动手操作试试，看看AE、BE哪个等于底面周长.
评述：本题融绕线、绕带问题于一题，是一道考察学生空间想象能力、分析能力的好题.
体验与感悟 6-7-2
1、如图6-7-4①是一个三棱柱包装盒，
它的底面是边长为10cm的正三角形，三个侧面都是
矩形.现将宽为15cm的彩色矩形纸带AMCN
裁剪成一个平行四边形ABCD（如图6-7-4②），然
后用这条平行四边形纸带按如图6-7-4③
的方式把这个三棱柱包装盒的侧面进行包贴（要求
包贴时没有重叠部分），纸带在侧面缠绕三圈，正好将
这个三棱柱包装盒的侧面全部包贴满.
A
M
B
DN
C
图6-7-4① 图6-7-4②
（1）请在如图6-7-4②中，计算裁剪的角度∠BAD；
（2）计算按图6-7-4③方式包贴这个三棱柱包装盒所需的矩形纸带的长度．
图6-7-4③
2、如图6-7-5，四边形ABCD是正方形
，△ABE是等边三角形，M为对角线BD（不含B点）
上任意一点，将BM绕点B逆时针旋转60°得
到BN，连接EN、AM、CM．
（1）求证：△AMB≌△ENB；
（2）①当M点在何
处时，AM+CM的值最小；②当M点在何处时，AM+BM+CM的值
最小，并说明理由；
（3）当AM+BM+CM的最小值为
3+1
时，求正方形的边长．
图6-7-5
例6-7-3
一种电讯信号转发装置的发射直径为31km.现要求：在
一边长为30km的
正方形城区选择若干个安装点，每个点安装一个这种转发装置，使这些装置转发的信号能完全覆盖这个城市．问：
（1）能否找到这样的4个安装点，使得这些点安装了这种转发装置后能达到预
设的要求？
（2）至少需要选择多少个安装点，才能使这些点安装了这种转发装置后达到预
设的要求？ <
br>答题要求：请你在解答时，画出必要的示意图，并用必要的计算、推理和文字来
说明你的理由．（
下面给出了几个边长为30km的正方形城区示意图，供解题时选
用）
体验与感悟
6-7-3
1、三个牧童A、B、C在一块正方形的牧场上看守一群牛，为保证公平合理，他们商量<
br>将牧场划分为三块分别看守，划分的原则是：①每个人看守的牧场面积相等；②
在每个区域内，各
选定一个看守点，并保证在有情况时他们所需走的最大距离（看
守点到本区域内最远处的距离）相等．按
照这一原则，他们先设计了一种如图1
的划分方案：把正方形牧场分成三块相等的矩形，大家分头守在这
三个矩形的中
心（对角线交点），看守自己的一块牧场．过了一段时间，牧童B和牧童C又分
别
提出了新的划分方案．牧童B的划分方案如图2：三块矩形的面积相等，牧童
的位置在三个小矩形的中心
．牧童C的划分方案如图3：把正方形的牧场分成三
块矩形，牧童的位置在三个小矩形的中心，并保证在
有情况时三个人所需走的最
大距离相等．请回答：
（1）牧童B的划分方案中，牧童
（填A、B或C）在有情况时所需走的
最大距离较远；
（2）牧童C的划分方案是否符合他们
商量的划分原则，为什么？（提示：在计
算时可取正方形边长为2）