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中考数学最值问题总结
考查知识点：1、“两点之间线段最短”，“垂线段最短”，“点关于线对称”，“线段的平移”。
（2、代数计算最值问题 3、二次函数中最值问题）
问题原型：饮马问题 造桥选址问题 （完全平方公式 配方求多项式取值 二次函数顶点）
出题背景变式：角、三角形、菱形、矩形、正方形、梯形、圆、坐标轴、抛物线等。
解题总思路：找点关于线的对称点实现“折”转“直”
几何基本模型： B
条件： 如下左图，
A
、
B
是直线
l
同旁的两个定点．
问 题：在直线
l
上确定一点
P
，使
PAPB
的值最小． < br>方法：作点
A
关于直线
l
的对称点
A

，连 结
A

B
交
l
于
点
P
，则
PAPBA

B
的值最小
例1、如图，四边形ABCD是正方形，△ABE是等边三
A
l
P
A

′
角形，M为对角线BD（不含B点）上任意一点，将BM绕点B逆时 针旋转60°得到BN，
连接EN、AM、CM．
（1）求证：△AMB≌△ENB；
（2）①当M点在何处时，AM+CM的值最小；
②当M点在何处时，AM+BM+CM的值最小，并说明理由；
（3）当AM+BM+CM的最小值为 时，求正方形的边长。

例2、如图13， 抛物线y=ax
2
＋bx＋c(a≠0)的顶点为（1,4），交x轴于A、B，交y轴于D，
其中B点的坐标为（3,0）
（1）求抛物线的解析式
（2）如图14，过点A的 直线与抛物线交于点E，交y轴于点F，其中E点的横坐标为2，
若直线PQ为抛物线的对称轴，点G为 PQ上一动点，则x轴上是否存在一点H，使D、G、
F、H四点围成的四边形周长最小.若存在，求出 这个最小值及G、H的坐标；若不存在，请
说明理由.
（3）如图15，抛物线上是否存在一 点T，过点T作x的垂线，垂足为M，过点M作直线
MN∥BD，交线段AD于点N，连接MD，使△D NM∽△BMD，若存在，求出点T的坐标；若不存
在，说明理由.
1 9

.

例3、如图1，四边形AEFG与ABCD都是正方形，它们的边长分别为a,b(b≥2a),且点F在
AD上（以下问题的结果可用a,b表示）
（1）求S
△DBF
;
(2) 把正方形AEFG绕点A逆时针方向旋转45
0
得图2,求图2中的S
△DB F
;
(3) 把正方形AEFG绕点A旋转任意角度,在旋转过程中,S
△DBF< br>是否存在最大值,最小值?
如果存在,试求出最大值、最小值；如果不存在，请说明理由。

例4、如图，在平面直角坐标系中，直线
y=x+1
与抛物线
y= ax
2
+bx3
交于A，B两点，
点A在x轴上，点B的纵坐标为3。点P 是直线AB下方的抛物线上一动点（不与A，B重
合），过点P作x轴的垂线交直线AB与点C，作PD ⊥AB于点D
（1）求a，b及
sinACP
的值
（2）设点P的横坐标为
m

①用含
m
的代数式表示线段PD的长，并求出线段PD长的最大值；
②连 接PB，线段PC把△PDB分成两个三角形，是否存在适合的
m
值，使这两个
三角形 的面积之比为9：10？若存在，直接写出
m
值；若不存在，说明理由.
1
2
2 9

.

例5、如图，⊙C的内接△AOB中，AB=AO=4，tan∠AOB=
与点（-2,6）.
（1）求抛物线的函数解析式；
（2）直线m与⊙C相切于点A，交y于点D.动点P在线段 OB上，从点O出发向点B运
动；同时动点Q在线段DA上，从点D出发向点A运动；点P的速度为每秒 1个单
位长，点Q的速度为每秒2个单位长，当PQ⊥AD时，求运动时间t的值；
（3）点R在抛物线位于x轴下方部分的图象上，当△ROB面积最大时，求点R的坐标.
3
2
,抛物线
yaxbx
经过点A(4,0)
4

例1、
证明：（1）∵△ABE是等边三角形，
∴BA=BE，∠ABE=60°．
∵∠MBN=60°， ∴∠MBN-∠ABN=∠ABE-∠ABN．即∠MBA=∠NBE．
又∵MB=NB， ∴△AMB≌△ENB（SAS）．（5分）
3 9

.
解：

（2）①当M点落在BD的中点时，A、M、C三点共线，AM+CM的值最小．（7分）
②如图，连接CE，当M点位于BD与CE的交点处时，
AM+BM+CM的值最小．（9分）
理由如下：连接MN，由（1）知，△AMB≌△ENB， ∴AM=EN，
∵∠MBN=60°，MB=NB， ∴△BMN是等边三角形． ∴BM=MN．
∴AM+BM+CM=EN+MN+CM．（10分）
根据“两点之间线段最短”，得EN+MN+CM=EC最短
∴当M点位于BD与CE的交点 处时，AM+BM+CM的值最小，即等于EC的长．（11
分）
例2、 解：（1）设所求 抛物线的解析式为：
ya(x1)4
，依题意，将点B（3，0）代
入，得：
a(31)40
解得：a＝－1∴所求抛物线的解析式为：
y(x1)4

（2）如图6，在y轴的负半轴上取一点I，使得点F与点I关于x轴对称，
在x轴上取一点H，连接HF、HI、HG、GD、GE，则HF＝HI…………………①
设过A、E两点的一次函数解析式为：y＝kx＋b（k≠0），
∵点E在抛物线上且点E的横坐标为2，将x＝2代入抛物线
y(x1)4
，得

y(21)43

∴点E坐标为（2，3）
又∵抛物线
y(x1)4
图像分别与x轴、y轴交于点A、B、D
4 9
2
2
2
22
2

.
∴当y＝0时，
(x1)40
，∴x＝－1或x＝3
当x＝0时，y＝－1＋4＝3,
∴点A（－1，0），点B（3，0），点D（0，3）
又∵抛物线的对称轴为：直线x＝1，
∴点D与点E关于PQ对称，GD＝GE…………………②
分别将点A（－1，0）、点E（2，3）代入y＝kx＋b，得：


2

kb0
解得：

2kb3

k1



b1
过A、E两点的一次函数解析式为：y＝x＋1
∴当x＝0时，y＝1 ∴点F坐标为（0，1）
∴
DF
=2………………………………………③
又∵点F与点I关于x轴对称，
∴点I坐标为（0，－1）
∴
EIDE
2
DI
2
2
2
4
2< br>25
………④
又∵要使四边形DFHG的周长最小，由于DF是一个定值，
∴只要使DG＋GH＋HI最小即可
由图形的对称性和①、②、③，可知，
DG＋GH＋HF＝EG＋GH＋HI
只有当EI为一条直线时，EG＋GH＋HI最小
设过E（2，3）、I（0，－1）两点的 函数解析式为：
yk
1
xb
1
(k
1
0)< br>，
分别将点E（2，3）、点I（0，－1）代入
yk
1
xb< br>1
，得：

2k
1
b
1
3



b
1
1

k
1
2 解得：


b1

1
过A、E两点的一次函数解析式为：y＝2x－1
1
；
2
1
∴点G坐标为（1，1），点H坐标为（，0）
2
∴当x＝1时，y＝1；当y＝0时，x＝
∴四边形DFHG的周长最小为：DF＋DG＋GH＋HF＝DF＋EI
由③和④，可知：
DF＋EI＝
225

∴四边形DFHG的周长最小为
225
。
5 9

.
（3）如图7，由题意可知，∠NMD＝∠MDB，
要使，△DNM∽△BMD，只要使
NMMD
MD

BD
即可，
即：
MD
2
NMBD
………………………………⑤
设点M的坐标为（a，0），由MN∥BD，可得
△AMN∽△ABD，
∴
NM
BD

AM
AB

再由（1）、（2）可知，AM＝1＋a，BD＝
32
，AB＝4
∴ < br>MN
AMBD
AB

(1a)32
4
32
4
(1a)

∵
MD
2
OD
2
OM
2
a
2
9
，
∴⑤式可写成：
a
2
9
32
4
(1a)32

解得：
a
3
2
或
a3
（不合题意，舍去）
∴点M的坐标为（
3
2
，0）
又∵点T在抛物线
y(x1)
2
4
图像上，
∴当x＝
3
2
时，y＝
15
2

∴点T的坐标为（
315
2
，
2
）.
例3、
解 ：（1）∵点F在AD上，∴AF
2
=a
2
＋a
2
，即AF =
2a
。
∴
DFb2a
。
∴
S
1
DBF

2
DFAB
1
2
（b2a） b
1
2
b
2

3
2
ab
。
（2）连接DF，AF，由题意易知AF∥BD，
∴四边形AFDB是梯形。
∴△DBF与△ABD等高同底，即BD为两三角形的底。
由AF∥BD，得到平行线间的距离相等，即高相等，
6 9

.
∴
S
DBF
S
ABD
1
2
b
。
2
（3）正方形AEFG在绕A点旋转的过程中，F 点的轨迹是以点A为圆心，AF为半径的圆。
第一种情况：当b＞2a时，存在最大值及最小值，
∵△BFD的边BD=
2b
，
∴当F点到BD的距离取得最大、最小值时，S
△BFD
取得最大、最小值。
12b
2
2ab
如图，当DF⊥BD时，S
△BFD
的最大值=
2b(
，
b2a)
222
12b
2
2 ab
S
△BFD
的最小值=
2b(
。
b2a)
222

第二种情况：当b=2a时，存在最大值，不存在最小值，
b
2
2ab
S
△BFD
的最大值=

。
2
1
例4、解：（1）由
x+1=0
，得到x=－2，∴A（－2， 0）。
2
1
由
x+1=3
，得到x=4，∴B（4，3）。
2
∵
y=ax
2
+bx3
经过A、B两点，

1
a=


4a2b3=0

2
∴< br>
，解得

。
1
16a+4b3=3


b=

2

设直线AB与y轴交于点E，则E（0，1）。
∴根据勾股定理，得AE=
5
。
∵PC∥y轴，∴∠ACP=∠AEO。
∴
sinACP=sinAEO=
OA225

。
AE5
5
7 9

.
（2）①由（1）可知抛物线的解析式为
y=x
2

1
2< br>1
x3
。
2


1
2



m
2
m3

，C

m
，
m+1

。
由点P的横坐标为
m
，得P

m
，
111

1

m+1

m
2
m3

m
2
+m+4
。
222
2



1
2
1
2

∴PC=
595

1

25
在Rt△PC D中，
PDPCsinACP=

m
2
+m+4


，
=

m1

2
+
55

2

5
595
。
<0
，∴当m=1时 ，PD有最大值
55
532
②存在满足条件的
m
值，
m=或
。
29
∵

例5、解：（1）将点A（4，0）和点（-2，6 ）的坐标代入
y=ax+bx
中，得方程组

2

16a+ 4b=0
，

4a-2b=6

1
1
2

a=
解之，得

2
.∴抛物线的解析式为
y=x-2x< br>.
2

b=-2

（2）连接AC交OB于E.
AB
»
AO
.∴AC⊥OB，∴m∥OB. ∵直线m切⊙C于A ∴AC⊥m，∵ 弦 AB=AO， ∴
»
33
，∴OD=OA·tan∠OAD=4×=3.
44
3
作OF⊥AD于F.则OF=OA·sin∠OAD=4×=2.4.
5
∴∠ OAD=∠AOB，∵OA=4 tan∠AOB=
t秒时，OP=t,DQ=2t，若PQ⊥AD，则FQ=OP= =DQ－FQ= t.
⊿ODF中，t=DF=
OD2OF2
=1.8秒.
（3）令R(x, x－2x) (0＜x＜4).
作RG⊥y轴于G 作RH⊥OB于H交y轴于I.则RG= x，OG= x+2x.
1
2
2
1
2
2
5
34
.∴IG=x IR= x,
33
4
41
2
1
2
241
2
2
Rt⊿OIH中，OI=IG－OG=x－（x+2x）=x－=（x－x）.
333
225 2
5
41
2
22
2
33
2
2
11
2
于是RH=IR－IH= x－（x－ x）=－ x+x=－ x+x=－( x－
35
15
3555
52
Rt⊿RIG中，∵∠GIR=∠AOB ，∴tan∠GIR=
8 9

.
11
2
121
)+
4
40
55
1111
2
1111
1
2
1
当x=时，RH最大.S
⊿RO B
最大.这时x－2x=×()－2×=－.∴点R(,
32
4444
22< br>55
－)
32
9 9