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例5、如图，⊙C的内接△AOB中，AB=AO=4，tan∠AOB=
与点（-2,6）.
（1）求抛物线的函数解析式；
3
2
,抛物线
yaxbx经过点A(4,0)
4
（2）直线m与⊙C相切于点A，交y于点D.动点P在线段OB上 ，从点O出发向点B运
动；同时动点Q在线段DA上，从点D出发向点A运动；点P的速度为每秒1个单
位长，点Q的速度为每秒2个单位长，当PQ⊥AD时，求运动时间t的值；
（3）点R在抛物线位于x轴下方部分的图象上，当△ROB面积最大时，求点R的坐标.
















5

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例1、
证明：（1）∵△ABE是等边三角形，
∴BA=BE，∠ABE=60°．
∵∠MBN=60°， ∴∠MBN-∠ABN=∠ABE-∠ABN．即∠MBA=∠NBE．
又∵MB=NB， ∴△AMB≌△ENB（SAS）．（5分）
解：

（2）①当M点落在BD的中点时，A、M、C三点共线，AM+CM的值最小．（7分）
②如图，连接CE，当M点位于BD与CE的交点处时，
AM+BM+CM的值最小．（9分）
理由如下：连接MN，由（1）知，△AMB≌△ENB， ∴AM=EN，
∵∠MBN=60°，MB=NB， ∴△BMN是等边三角形． ∴BM=MN．
∴AM+BM+CM=EN+MN+CM．（10分）
根据“两点之间线段最短”，得EN+MN+CM=EC最短
∴当M点位于BD与CE的交点 处时，AM+BM+CM的值最小，即等于EC的长．（11
分）





6

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例2、 解：（1）设所求抛物线的解析式为 ：
ya(x1)4
，依题意，将点B（3，0）代
入，得：
a(31)40
解得：a＝－1∴所求抛物线的解析式为：
y(x1)4

（2）如图6，在y轴的负半轴上取一点I，使得点F与点I关于x轴对称，
在x轴上取一点H，连接HF、HI、HG、GD、GE，则HF＝HI…………………①
设过A、E两点的一次函数解析式为：y＝kx＋b（k≠0），
∵点E在抛物线上且点E的横坐标为2，将x＝2代入抛物线
y(x1)4
，得
2
22
2
(21)4

3

y
∴点E坐标为（2，3）
又∵抛物线
y(x1)4
图像分别与x轴、y轴交于点A、B、D
∴当y＝0时，
(x1)40
，∴x＝－1或x＝3
当x＝0时，y＝－1＋4＝3,
∴点A（－1，0），点B（3，0），点D（0，3）
又∵抛物线的对称轴为：直线x＝1，
∴点D与点E关于PQ对称，GD＝GE…………………②
分别将点A（－1，0）、点E（2，3）代入y＝kx＋b，得：


2
2
2

kb0
解得：

2kb3

k1



b1
过A、E两点的一次函数解析式为：y＝x＋1
∴当x＝0时，y＝1 ∴点F坐标为（0，1）
∴
DF
=2………………………………………③
又∵点F与点I关于x轴对称，
∴点I坐标为（0，－1）
∴
EIDE
2
DI
2
2
2
4
2< br>25
………④

又∵要使四边形DFHG的周长最小，由于DF是一个定值，
∴只要使DG＋GH＋HI最小即可
由图形的对称性和①、②、③，可知，
DG＋GH＋HF＝EG＋GH＋HI
只有当EI为一条直线时，EG＋GH＋HI最小
设过E（2，3）、I（0，－1）两点的函数解析式为：
yk
1
xb
1
(k
1
0)
，
分别将点E（2，3）、点I（ 0，－1）代入
yk
1
xb
1
，得：

2k
1
b
1
3



b
1
1

7

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解得：


k
1
2

b1

1
过A、E两点的一次函数解析式为：y＝2x－1
∴当x＝1时，y＝1；当y＝0时，x＝
1
2
；
∴点G坐标为（1，1），点H坐标为（
1
2
，0）
∴四边形DFHG的周长最小为：DF＋DG＋GH＋HF＝DF＋EI
由③和④，可知：
DF＋EI＝
225

∴四边形DFHG的周长最小为
225
。
（3）如图7，由题意可知，∠NMD＝∠MDB，
要使，△DNM∽△BMD，只要使
NMMD
MD

BD
即可，
即：
MD
2
NMBD
………………………………⑤
设点M的坐标为（a，0），由MN∥BD，可得
△AMN∽△ABD，
∴
NMAM
BD

AB


再由（1）、（2）可知，AM＝1＋a，BD＝
32
，AB＝4
∴ < br>MN
AMBD(1a)32
AB

4

32
4
(1a)

∵
MD
2
OD
2OM
2
a
2
9
，
∴⑤式可写成：
a
2
9
32
4
(1a)32

解得：
a
3
2
或
a3
（不合题意，舍去）
∴点M的坐标为（
3
2
，0）
又∵点T在抛物线
y(x1)
2
4
图像上，
∴当x＝
315
2
时，y＝
2

∴点T的坐标为（
315
2
，
2
）.

8

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例3、
解：（1）∵点F在AD上，∴AF
2
=a
2
＋a
2
，即AF=
2a
。
∴
DFb2a
。
∴
S
DBF

1 113
DFAB（b2a）bb
2
ab
。
2222
（2）连接DF，AF，由题意易知AF∥BD，
∴四边形AFDB是梯形。
∴△DBF与△ABD等高同底，即BD为两三角形的底。
由AF∥BD，得到平行线间的距离相等，即高相等，
∴
S
DBF
S
ABD

1
2
b
。
2
（3）正 方形AEFG在绕A点旋转的过程中，F点的轨迹是以点A为圆心，AF为半径的圆。
第一种情况：当b＞2a时，存在最大值及最小值，
∵△BFD的边BD=
2b
，
∴当F点到BD的距离取得最大、最小值时，S
△BFD
取得最大、最小值。
12b
2
2ab
如图，当DF⊥BD时，S
△BFD
的最大值=
2b(
，
b2a)
222
12b
2
2 ab
S
△BFD
的最小值=
2b(
。
b2a)
222

第二种情况：当b=2a时，存在最大值，不存在最小值，
b
2
2ab
S
△BFD
的最大值=

。
2





9

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例4、解：（1）由
x+1=0
，得到x=－2，∴A（－2，0）。
由
x+1=3
，得到x=4，∴B（4，3）。
∵
y=ax
2
+bx3
经过A、B两点，
1
2
1
2

1
a=


4a2b3=0< br>
2
∴

，解得

。

16a+ 4b3=3

b=
1

2

设直线AB与y轴 交于点E，则E（0，1）。
∴根据勾股定理，得AE=
5
。
∵PC∥y轴，∴∠ACP=∠AEO。
∴
sinACP=sinAEO=
OA225

。
AE5
5
（2）①由（1）可知抛物线的解析式为
y=x
2

1
2
1
x3
。
2


1
2



m
2
m3

，C

m
，
m+1

。
由点P的横坐标为
m
，得P

m
，
111

1

m+1

m
2
m3

m
2
+m+4
。
222
2



1
2
1
2

∴PC=
595

1

25
=
在Rt△PCD中，
PDPCsinACP=

m
2
+m+ 4


，

m1

2
+
55

2

5
595
。
<0
，∴当m=1时 ，PD有最大值
55
532
②存在满足条件的
m
值，
m=或
。
29
∵










10

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例5、解：（1）将 点A（4，0）和点（-2，6）的坐标代入
y=ax+bx
中，得方程组

2

16a+4b=0
，

4a-2b=6

1
1
2

a=
解之，得

2
.∴抛物线的解 析式为
y=x-2x
.
2

b=-2

（2）连接AC交OB于E.
∵直线m切⊙C于A ∴AC⊥m，∵ 弦 AB=AO， ∴
ABAO
.∴AC⊥OB，∴m∥OB.
33
，∴OD=OA·tan∠OAD=4×=3.
44
3
作OF⊥AD于F.则OF=OA·sin∠OAD=4×=2.4.
5
∴∠ OAD=∠AOB，∵OA=4 tan∠AOB=
t秒时，OP=t,DQ=2t，若PQ⊥AD，则FQ=OP= =DQ－FQ= t.
⊿ODF中，t=DF=
OD2OF2
=1.8秒.
（3）令R(x, x－2x) (0＜x＜4).
作RG⊥y轴于G 作RH⊥OB于H交y轴于I.则RG= x，OG= x+2x.
1
2
2
1
2
2
345
.∴IG=x IR= x,
3
3
4
41
2
1
2
2 41
2
2
Rt⊿OIH中，OI=IG－OG=x－（x+2x）=x－=（x－x） .
333
2252
541
2
22
2
332
2
11
2
于是RH=IR－IH= x－（x－ x）=－ x+x=－ x+x=－( x－
35
351555
52
11
2
121
)+ < br>440
111
2
111
2
115511
当x=时，R H最大.S
⊿ROB
最大.这时x－2x=×()－2×=－.∴点R(,
42244 324
55
－)
32
Rt⊿RIG中，∵∠GIR=∠AOB ，∴tan∠GIR=


11