浙江高考录取-荏苒什么意思

如何求“最值”问题

求最大值与最小值是中学数学常见的一种题 型，在数学竞赛中作为一个靓点大量存在，解
这类题有一定的难度和技巧，所以不少同学为之感叹，这里 向大家介绍一些求最值问题的方法
与技巧。
一、 利用配方求最值
例1：若x,y是实数，则
xxyy3x3y1999
的最小值是 。
分析:由于是二次多项式，难以直接用完全平方公式，所以用配方法来解更为简捷。
22
1
2
11
(x2xyy
2
)(x
2
6x9)(y
2
6y9)1990

222
111
222
=
(xy)(x3)(y3)1990

222
原式=
显然有 (x-y)≥0, (x-3)≥0, (y-3)≥0,
所以 当x-y=0,x-3=0,y-3=0时 ,得x=y=3时, 代数式的值最小，最小是1990；
例2，设x为实数，求y=
xx
2
222
1
3
的最小值。
x
分析：由于此函数只有一个未知数，容 易想到配方法，但要注意只有一个完全平方式完不
成，因此要考虑用两个平方完全平方式，并使两个完个 平方式中的x取值相同。由于
y=
x2x1x
2
1
2
1
)1
,要求y的最小值，必须有x-1=0,且
21
=
( x1)
2
(x
x
x
x
1
x
0< br>，解得x=1,
2
于是当x=1时，y=
xx
1
3
的最小值是-1。
x
二、 利用重要不等式求最值
例3：若xy=1,那么代数式
11

的最小值是 。
x
4
4y
4
分析：已知两数积为定值，求两数平方和的最小值，可考虑用不等 式的性质来解此题，
111
2
1
2
111
()()2 ··
==1
x
4
4y
4
x
2
2y2
x
2
2y
2
(xy)
2
所以：
11

的最小值是1
x
4
4y
4
三、 构造方程求最值
例4：已知实数a、b、c满足：a+b+c=2, abc=4.求a、b、c中的最大者的最小值.
分析：此例字母较多，由已知可联想到用根与系数的关系，构造方程来解。
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4
,则a、b可以看作
c
4
4< br>x
2
(2c)x0
的两根，因为a 、b是实数，所以
(2 c)
2
4·0
，即
cc
解：设c为最大者，由已知可知，c>0 , 得：a+b=2-c, ab=
c
3
4c
2
4c160
,
(c 2)(c2)(c4)0
,得
c2
　
或c4,
因为c是最 大者,所以c
的最小值是4.
四、 构造图形求最值
例5:使
x
2
4(8x)
2
16
取最小值的实数x的值为 .
分析:用一般方法很难求出代数式的最值,由于
x
2
4(8x)
2
16

=
(x0)
2
(02)
2(x8)
2
(04)
2
,于是可构造图形,转化为:在x轴上求 一点
c(x,0),使它到两点A（0，2）和B（8，4）的距离和CA+CB最小，利用对称可求出 C点坐标，
这样，通过构造图形使问题迎刃而解。
解：
x
2
4(8x)
2
16

=
(x0)
2
(02)
2
(x8)
2
( 04)
2
.
于是构造如图所示。作A（0，2）关于x轴的
对称点A′(0,-2),,令直线A′B的解析式为y=kx+b,
3

k

0kb2

则

解得

4< br>

8kb8


b2
所以
y
3
8
x2
,令y=0,得
x
. 3
4
88
即C点的坐标是
(,0),所以当x时
　，
x
2
4(8x)
2
16有最小值
，

33
五、利用判别式求最值
3x
2
6x5
例6::求y=的最小值
2
5xx1
解：去分母可以整理出关于x的一元二次方程,
(y6) x
2
(2y12)x(2y10)0
,因为x为实数,所以△≥0
得:4≤x≤6,解得,故y的最小值是4
六、消元思想求最值
例7：已知a、b 、c为整数，且a+b=2006，c-a=2005，a年全国初中数学竞赛试题）
分析由题：由于是求三个未知数的最大值，设法将其转化成一个未知数 的形式，由题设可
得b=2006-a，c=2005+a，将其代入原式得：
a+b+c=a+2006-a+2005+a=4011+a
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又a+b=2006,a、b均为整数，a所以当a=1002时，a+b+c 的最大值是4011+1002=5013.
七、利用数的整除性求最值
例8：已知a、b为正整数，关于x的方程
x2axb0
的两个实数根
2
x
1
、x
2
，关于y的方程
y2ayb0
两个实数根为
y
1
、y
2
，且满足
x
1
y
1
、
x
2
y
2
2008,
求
2
b的最小值。（《数学周报》杯2008年全国初中数学竞试题）
2
分析与解： 因为方程
x2axb0
与
y2ayb0
有实根，所以有： 2
(2a)
2
4b0
,即
a
2
b
，由根与系数的关系，得:

x
1
x
2
2a,　　x
即

12
xb
；
y
1
y< br>2
2a,
　　y
1
y
2
b


y
1
y
2
2a(x
1
x
2< br>)(x
1
)(x
2
)


y
1
y
2
(x
1
)(x
2
)
解得：


y
1
x
1

y
1
x
2

或


y
2
x
2

y
2
x
1
把
y
1
,y< br>2
的值分别代入，
x
1
y
2
x
2
y
2
2008
得
x
1
(x
1
) x
2
(x
2
)2008
，或
x
1
( x
2
)x
2
(x
1
)2008
（不成立）
即
x
2
2
x
1
2
2008
，
(x
2
x
1
)(x
2
x
1
) 2008

12
因为
x
1
x
2
2a 0,
　　x
xb0
所以
x
1
0,
　x
2
0

于是有
2a4a
2
4b2008
即
aa
2
b15022251

因为a,b都是正整数，所以

a1

a505
< br>a2

a251

或

2
或

2
或

2

222
ab502ab1a b251

ab4
分别解得：

a1
a502

a2

a251

或或或
 
2222

b1502

b5021
b2251

b2514
经检验只有：

a251
符合题意.
，　

22

b5021
< br>b2514
a502
所以b的最小值为：
b
最小值
2 51
2
4＝62997

八、利用函数的增减性求最值
例9：设
x
1
、x
2
是方程
2x4mx2m3m20的两个实根，当m为何值时，
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22

x
1
x
2
有最小值，并求这个最小值。
解：因为方程
2x4mx2m3m20
有实根，所以
22
22
△
=
(4m)
2
8{2m
2
3m2) 0
,解得
m
2

3
2m
2
3m2
由根与系数的关系得：
x
1
x
2
2m,
　x< br>1
x
2

，
2
222
2
于是x
1
x
2
(x
1
x
2
)2x
1
x
2
4m(2m3m2)
=
2(m)
22
3
4
7

8
7
　
3
在m
时的值y随m的增大而减少，即m取最大值时y取最
　
4
8
22
22
小值，由于方程有实数根的条件是
m
，所以当
m
时，
x
1
x
2
有最小值，最小值为：
33
3 72378
22
x
1
x
2
=
2(m)
2

=
2()
2

.
483489
因为函数y=
2(m)
1
4
2


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