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几何图形中的最值问题
引言:最值问题可以分为最大值和最小值。在初中包含三个方面的问题:
1.函数:①二次函数有最大值和最小值；②一次函数中有取值范围时有最大值和最小值。
2.不等式: ①如x≤7，最大值是7；②如x≥5，最小值是5.
3.几何图形： ①两 点之间线段线段最短。②直线外一点向直线上任一点连线中垂线段
最短，③在三角形中，两边之和大于第 三边，两边之差小于第三边。
一、最小值问题
A
B
L
C

图1
B'
例1. 如图4，已知正方形的边长是8，M在DC上，且DM=2，N为线
段AC上的一动点，求DN+MN的最小值。
解: 作点D关于AC的对称点D，则点D与点 B重合，连BM,交AC于N，
连DN，则DN+MN最短,且DN+MN=BM。
∵CD=BC=8,DM=2, ∴MC=6,
在Rt△BCM中,BM=
22
8

6
=10,

A
D
M
N
B
C
图4
A
∴DN+M N的最小值是10。
例2，已知，MN是⊙O直径上，MN=2,点A在⊙O上，∠AMN=30,B
0
B
M
O
P
N
是弧AN的中点，P是MN上的一动 点，则PA+PB的最小值是
解:作A点关于MN的对称点A,连AB,交MN于P，则PA+PB最短。
连OB，OA,
∵∠AMN=30,B是弧AN的中点，
∴∠BOA=30, 根据对称性可知
∴∠NOA=60, ∴∠MOA=90,
在Rt△ABO中，OA=OB=1,
∴AB=
2
即PA+PB=
2



00
0
0

< br>A
E
M
O
P
B
N
A

.

.
例3. 如图6，已知两点D(1,-3),E(-1,-4),试在直线y=x上确定一点P，使 点P到D、E
两点的距离之和最小，并求出最小值。
解:作点E关于直线y=x的对称点M，
连MD交直线y=x于P，连PE，
则PE+PD最短；即PE+PD=MD。
∵E(-1,-4), ∴M(-4,-1),
过M作MN∥x轴的直线交过D作DN∥y轴的直线于
N，
E
M
- 4
-3
-2
-1
-1
y
2
1
y=x
O
12
34
x
N
P
-2
-3
-4
D
则MN⊥ND, 又∵D(1,-3),则N(1,-1),
在Rt△MND中,MN=5,ND=2, ∴
MD=
2
2
5

2
=
29
。
图6
∴最小值是
29
。
练习
1.（2012山东青岛 3分）如图，圆柱形玻璃杯高为12cm、底面周长为18cm，在杯内
离杯底4cm的点C处有一滴蜂 蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿4cm与蜂蜜相对
的点A处，则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为 ▲ cm．





【答案】15。
【解】如图，圆柱形玻璃杯展开（沿点A竖直剖开）后侧面是一个长18宽12的矩形，
作点A关于杯上 沿MN的对称点B，连接BC交MN于点P，
连接BM，过点C作AB的垂线交剖开线MA于点D。
由轴对称的性质和三角形三边关系知
AP＋PC为蚂蚁到达蜂蜜的最短距离，且AP=BP。
由已知和矩形的性质，得DC=9，BD=12。
在Rt△BCD中，由勾股定理得
BCDC
2
BD
2
9
2
12
2
 15
。
.

.
∴AP＋PC=BP＋PC=BC=15，
即蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为15cm。
2.正方形ABCD边长是4，∠DAC的平分线交 CD与点E，点P,Q分别是AD,AE上的动
点（两动点不重合），则PQ+DQ的最小值是
解：过点D作DF⊥AC，垂足为F，
则DF即为PQ+DQ的最小值．
∵正方形ABCD的边长是4，
∴AD=4，∠DAC=45°，
在直角△ADF中，∠AFD=90°，∠DAF=45°，AD=4，
∴DF=AD•sin45°=4×
故答案为2
3.（2009•）如图，在锐角△ ABC中，AB＝4，∠BAC＝45°，
2
=2
2

2
∠BAC的平分线交BC于点D，M、N分别是AD和AB上的动点，
则BM ＋MN的最小值是______．
解:过B作关于AD的对称点B,则B在AC上，
且AB =AB=4



C
M
D
B
,MB=MB,BM N最短，即为BH最短。

A
N
在Rt△AHB中，
∠B
AH＝45°，AB=4
∴BH=4,
∴BM ＋MN的最小值是4.
4.如图，菱形ABCD中，AB=2，∠A=120°，点P，Q，K分
别为线段BC，CD ，BD上的任意一点，则PK+QK的最小值
为 ，
解：∵四边形ABCD是菱形，∴AD∥BC，
∵∠A=120°，∴∠B=180°﹣∠A=180°﹣120°=60°，
作点P关于直线BD的对称点P′，连接PQ，PC，
则PQ的长即为PK+QK的最小值，由图可知，
当点Q与点C重合，CP
⊥AB时PK+QK的值最小，





B

M
C
D
H
B
，
A
N
.

.
在Rt△BCP中，∵BC=AB=2，∠B=60°，
∴CP
=BC•sinB=2×


=．

5. ( 2012兰州)如图，四边形ABCD中，∠BAD＝120°，∠B＝∠D＝90°，在BC、CD
上 分别找一点M、N，使△AMN周长最小时，则∠AMN＋∠ANM的度数为【 】
A．130° B．120° C．110° D．100°
解：作A 关于BC和ED的对称点A′，A″，连接A′A″，
交BC于M，交CD于N，则A′A″即为△AM N的周长最小值．作
DA延长线AH，
∵∠EAB＝120°，
∴∠HAA′＝60°，
∴∠AA′M＋∠A″＝∠HAA′＝60°，
∵∠MA′A＝∠MAA′，∠NAD＝∠A″，
且∠MA′A＋∠MAA′＝∠AMN，∠NAD＋∠A″＝
∠ANM，
∴∠AMN＋∠ANM＝∠MA′A＋∠MAA′＋∠NAD
＋∠A″
＝2(∠AA′M＋∠A″)＝2×60°＝120°，
故选：B．

6. （2011•贵港）如图所示，在边长为2的正△ABC中，E、F、G分别为AB、AC、BC
的中点，点P为线段EF上一个动点，连接BP、GP，则△BPG的周长的最小值是
解：要使△PBG的周长最小，而BG=1一定，
只要使BP+PG最短即可，
连接AG交EF于M，
∵等边△ABC，E、F、G分别为AB、AC、BC的中点，
∴AG⊥BC，EF∥BC，
∴AG⊥EF，AM=MG，
∴A、G关于EF对称，
.

.
即当P和E重合时，此时BP+PG最小，即△PBG的周长最小，
AP=PG，BP=BE，
最小值是：PB+PG+BG=AE+BE+BG=AB+BG=2+1=3．
故答案为：3．

7.（第二阶段十三）在平面直角坐标系中，Rt△OAB的顶点 A的坐标是（9，0），tan∠BOA=
点C的坐标为（2，0），点P为斜边OB上的一个动点，则 PA+PC的最小值为
解：作A关于OB的对称点D，连接CD交OB于P，
连接AP，过D作DN⊥OA于N，则此时PA+PC的值最小，
∵Rt△OAB的顶点A的坐标为（9，0），∴OA=9，
∵tan∠BOA=
3
，
3
67

3
∴AB=3
3
，∠B=60°，
3
∴∠AOB=30°，∴OB=2AB=6
3

由三角形面积公式 得：S
△OAB
=
即9×3
3
=6
3
AM，
∴AM=
11
×OA×AB=×OB×AM，
22
99
，∴AD=2×=9，
22
∵∠AMB=90°，∠B=60°，∴∠BAM=30°，
∵∠BAO=90°，∴∠OAM=60°，
∵DN⊥OA，∴∠NDA=30°，∴AN=
1

2
2
9

9

93
2
AD=，由勾股定理得：DN=
AD
2
AN
2
=
9

=，
2
2
2

∵C（2，0），∴CN=9――2
95
=，
2 2
2
2

935

在Rt△DNC中，由勾股定理得： DC=
DN
2
CN
2
=


=
67


2




2

即PA+PC的最小值是
67
，

.

.
8.（2013苏州）如图，在平面直角坐标系中，Rt△OAB的顶点A在x轴的正半轴上，顶点 B
的坐标为（3，
3
），点C的坐标为（
1
，0），点P为斜边OB上的一动点，则△PAC
2
周长的最小值为（ ）
解：作A关于OB的对称点D，连接CD交OB于P，连接
AP，过D作DN⊥OA于N，
则此时PA+PC的值最小，
∵DP=PA，∴PA+PC=PD+PC=CD，
∵B（3，），
∴AB=，OA=3，∠B=60°，由勾股定理得：OB=2
由三 角形面积公式得：×OA×AB=×OB×AM，
∴AM=，∴AD=2×=3，
∵∠AMB=90°，∠B=60°，∴∠BAM=30°，
∵∠BAO=90°，∴∠OAM=60°，
∵DN⊥OA，∴∠NDA=30°，
∴AN=AD=，由勾股定理得：DN=
∵C（，0），∴CN=3﹣﹣=1，
在Rt△DNC中，由勾股定理得：
DC==，
，
，
即△PAC周长的最小值为

5
+
2
，
9.（2 013•徐州模拟.仿真一）在平面直角坐标系中，矩形ABCD的顶点A,B,C的坐标分别是
（0， 0），（20，0）（20，10）。在线段AC、AB上各有一动点M、N，则当BM+MN为
最小值 时，点M的坐标是（ ）
解：如图，作点B关于AC的对称点B′，过点
B′作B′N⊥ OB于N，B′N交AC于M，则
B′N=B′M+MN=BM+MN，B′N的长就是
BM+ MN的最小值．连接OB′，交DC于P．
∵四边形ABCD是矩形，∴DC∥AB，
∴∠BAC=∠PCA，
∵点B关于AC的对称点是B′，∴∠PAC=∠
BAC，
.

.
∴∠PAC=∠PCA，∴PA=PC．
令PA=x，则PC=x，PD=20-x．
在Rt△ADP中，∵PA=PD+AD，
∴x=（20-x）+10，∴x=12.5．
∵cos∠B′ON=cos∠OPD，∴ON：OB′=DP：OP，
∴ON：20=7.5：12.5，∴ON=12．
∵tan∠MON=tan∠OCD，∴MN：ON=OD：CD，
∴MN：12=10：20，∴MN=6．
∴点M的坐标是（12，6）．故答案为（12，6）．
10.如图，在矩形ABCD中，A B=20,BC=10,在AC、AB上各取一点M、N,使得BM+MN有最
小值，求最小值。
解：如图，作点B关于直线AC的对称点B′，交
AC与E，连接B′M，
过B′作B′G⊥AB于G，交AC于F，
由对称性可知，B′M+MN=BM+MN≥B′G，
当且仅当M与F、点N与G重合时，等号成立，
AC=10
5
，
∵点B与点B′关于AC对称，∴BE⊥AC，
∴S
△ABC
=
得BE=4
222
222
11
AC•BE=AB•BC，
22
5
，BB′=2BE=8
5

B'
D
M
AB
C
因∠B′BG+∠CBE=∠ACB+∠CBE=90°，
则∠B′BG=∠ACB，
又∠B′GB=∠ABC=90°，
B

GB

B

得△B′GB∽△ABC，

ABAC
B′G=16，故BM+MN的最小值是16cm．
故答案为：16cm．
N
11.如图，已知正方形ABCD的边长为10，点P是对角线BD上的一个动点，M、N分 别是
BC、CD边上的中点，则PM+PN的最小值是
解:作点N关于BD的对称点N′，交AD
与N，连接NM，则NM=AB最短。
故答案为：MN=10cm


A
N'
P
D
N
.
B
M
C

.

12.（仿真六）如图，正方形ABCD的边长为2，E是BC中点．P是BD上的一个 动点（P与
B、D不重合）
（1）求证：△APB≌△CPB；
（2）设折线EPC的长为y，求y的最小值，
并说明点P此时的位置．
解：AE=
5
,BD=2
2
,
可证BP=
AD< br>P
B
E
C
1
22
BD,∴BP=
2
,距B点
2
。
3
33
0
13.如图，△ABC是等腰直角 三角形，∠C=90，BC=2
2
，B是三角形的角的平分线，点E、
F是BD和BC 上的动点，则CE+EF的最小值
解：作C关于BD的对称点C,
过C作CF⊥BC于F，则 CE+EF
的最小值是CF。
CF∥AC，∴




< br>A
A
C'
BCCF
=

BAAC

E
B
F
D
C
E
B
F
D
C
2 2CF
∴
=
4
22
∴CF=2, CE+EF的最小值是2. < br>
14.如图，已知梯形ABCD中，AD∥BC,AD=DC=4,BC=8,N中BC上，CN =2,E是BC的中点，
M是AC上的一个动点，则EM+MN的最小值
解：作N点关于AC的对称点N’，连接N’E交AC于M
∴∠DAC=∠ACB，∠DAC=∠DCA，∴∠ACB=∠DCA，
∴点N关于AC对称点N′在CD上，CN=CN′=2，
又∵DC=4，
∴EN’为梯形的中位线，
∴EN′=
1
（AD+BC）=6，
2
∴EM+MN最小值为：EN′=6．
16.已知等腰梯形
ABCD，AD∥
.
A
M
P< br>D
N
C
B
A
M
D
N
P
N'
C
B
H

.
BC,AB=DC,AC平分∠BCD,BA⊥AC,若AC=4
3
,P、M、N 分别是AC、AD、DC上的任意一
点，则PM+PN的最小值
解：作点N关于AC的对称点 N,过N作BC的垂线交AD于M,MN交AC于点P，则MN最
短是夹在AD与BC间的垂线段最短。 可知∠B=60,在Rt△ABC中，AC=4
3
，则AB=4.
0

在Rt△ABH中，AH=sin60×4=
二，最大值问题
0
3
×4=2
3
.即PM+PN的最小值是2
3
。
2
知识点:求
PAPB
的最大值；①A,B在直线l的同侧.②A,B在直 线l的两侧.
A
B
P
B

A
P

P
l
B
P
l
1.两点A,B在直线MN外的同侧，点A到MN的距离 AC=8，点B到MN的距离
BD=5,CD=4，P在直线MN上运动，则
PAPB
的最大值是 。
A
B
B
A
E
PC
l




D
P
C
l
P

D

解：延长AB交L于点P′，
∵P
A-PB=AB，由三角形三边关系可知AB＞|PA-PB|，AB＞|PA-PB|，
∴当点P运动到P′点时，|PA-PB|最大，
∵BD=5，CD=4，AC=8，
过点B作BE⊥AC，则BE=CD=4，AE=AC-BD=8-5=3，
∴AB
= AE+BE=16+9=25．∴AB=5．
222

.

.
∴|PA-PB|=5为最大． 故答案为：5．
2.已知在△ABC中，AB=3, AC=2,以BC为边的△BCP是等边△，求AB的最大值和最小
值。
解:将△PAC绕P点逆时针旋转60得到△PBA,则AA=AP
AB=AC,∠APA=60,可得到等边三角形AAP.
∴AB=3,AC=AB=2,则AA：
∴AB-AB≤AA≤AB+AB
即1≤AA≤5,故AP的最大值是5，最小值是1.
3.如图，正方形ABCD的边长为1 ，点P为边BC上任意



0
0
P
C
A
B
A

一点（可与B点或C点重合），分别过B、C、D作射线AP的垂线，垂足分别 是B′、C′、
D′，则BB′+CC′+DD′的最大值为2 ，最小值为
2

解：连接AC、DP， S
正方形ABCD
=1×1=1，由勾股定理得：AC=
2

∵AB=1，∴1≤AP≤
2

S
△DPC
=S
△APC
=
1
AP×CC′，
2
1
·AP（BB′+DD′+CC′），
2
1=S正方形ABC D=S△ABP+S△ADP+S△DPC=
∴
1
·AP=1BB′+DD′+CC′
2
1
1
≤AP≤
，
2
2
∵1≤AP≤< br>2
,即
∴
1
1111
≤1BB′+DD′+CC′≤
（如
≤≤
）
2432
2
∴
2
≤BB′+CC′+DD′≤2，
故答案为：2，
2






.

.






.