优秀班主任经验交流-出差补助标准

v1.0 可编辑可修改
动点问题最值
最值问题有四种情形：定点到动点的 最值，动点在圆上或直线上，就是点到圆的最近距离，
和点到直线的最近距离；三角形两边之和大于第三 边的问题，当两边成一直线最大；几条
线段之和构成一条线段最小；还有就是对称点最小问题。
一、定点到动点所在圆的最大或最小值，动点在一个定圆上运动，其实质是圆外一点到圆
的最大或最小 距离，就是定点与圆心所在直线与圆的交点的两个距离。
方法：证明动点在圆上或者去找不变的特殊三角形，证明两个三角形相似，求出某些边的
值。
1．如图，△
ABC
、△
EFG
均是边长为2的等边三角形，点
D< br>是边
BC
、
EF
的中点，直线
AG
、
FC< br>相交于点
M
．当△
EFG
绕点
D
旋转时，线段
BM
长的最小值是（ ）
A．
23
B．
31
C．
2
D．
31


提示：点M在以AC为直径的圆上
2．（2015•咸宁）如图，已知正方形
ABC D
的边长为2，
E
是边
BC
上的动点，
BF
⊥AE
交
CD
于点
F
，垂足为
G
，连结
CG
．下列说法：①
AG
＞
GE
；②
AE
=
BF
；③点
G
运动的路径长为
π
；
④
CG
的最小值为﹣1．其中正确的说法是 ②③ ．（把你认为正确的说法的序号都填上）

提示：G在以AB为直径的圆上：正确答案是：②④

3、如图，正方形ABCD的 边长为4cm,正方形AEFG的边长为1cm
G
，如果正方形AEFG绕点A
1..
A
E
F
D
BC

v1.0 可编辑可修改
旋转，那么C、F两点之间的最小距离为




4、如图，在边长为2的菱形ABCD中，∠A=60°,M是AD边的中点，N是AB边上一动点，将
△AMN沿MN所在直线翻折得到△A′MN，连接A′C，则A′C长度的最小值是






D
M
A'
A
N
B
C
5、如图，等腰直角△ACB，AC=BC=
5
， 等腰直角△CDP，且PB=
2
，将△CDP绕C点旋转.
P
（1）求证：AD=PB
（2）若∠CPB=135°，求BD；
（3）∠PBC= 时，BD有最大值，并画图说明；
∠PBC= 时，BD有最小值，并画图说明.



C





A





D


P
B
C
P
D
B
C
B
A
D
D
C
P
A
C
D
P
A
B
D
A
C
B
C
P
A
B
P
A
D
B
分析：在△ABD中有：BD≤AB+AD，当BD=AB+AD时BD最大，此 时AB与AD在一条直线上，
且AD在BA的延长线上，又△ACB是等腰直角三角形，∠CAB=45 °，由（1）知∠PBC=∠
CAD=180°-45°=135°
2..

v1.0 可编辑可修改
BD≥AB-AD，当BD=AB-AD时BD最小 ，此时，AB与AD在一条直线上，且AD在线段AB上，
此时∠CAD=45°，所以∠PBC=∠C AD=45°

6、如图，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠ACB=∠ADE= 90°,∠BAE=135°,AD=1，
B
AC=
2
，F为BE中点.
（1）求CF的长
（2）将△ADE绕A旋转一周，求点F运动的路径长；
（3）△ADE绕点A旋转一周，求线段CF的范围.



E< br>A
D
F
C
B
F
A
D
C
提示 ：本题根据中点构造三角形相似，△BOF∽△BAE,且
OF
12
E
AE 

22
7、如图，AB=4，O为AB中点，⊙O的半径为1，点P是⊙O上一动点 ，以点P为直角顶点的
等腰△PBC（点P，B，C按逆时针方向排列）则线段AC的取值范围
2
≤AP≤3
2

C
A



C


E



C
E
P
P
O
B
O
P
B
A
A
B
O
提示：发现定等腰直角△AOC与等腰直角△OBE，从而得到相似。△BOP∽△BEC CE=
2

AE=
22
在△ACE中，AE- CE≤AC≤AE+CE
8、如图，△ABC是等边三角形，边长为2，D是AC边上一动点，连接B D，⊙O为△ABD外接
圆，过点A作AE∥BC交⊙O于E，连接DE，BE.则△ADE的周长的最 小值为 2+
3

E
A






3..
E
A
D
D
BC
B
C

v1.0 可编辑可修改


9、
如图，正方形ABCD，AB=4，E为形外一点，且∠AED=90，连CE，F为CE的中E
0
点，求BF得最大值。








AD
A
E
E
D
F
A
F
H
D
F
H
G
B
G
C
B
M
C
BC
连AC,取DC中点G，取AC中点H，则△FGH∽△EDA, 又AD=4
∴
GH
1
AD2
，∠GFH=∠DEA=90°，
2
∴点F在以GH为直径的圆上，∴BF的最大值为
131

二、定点到动点所在定直线的最小值，动点在一条直线上运动，其实质是点到直线的最小
距离。
方法：
1
．在平面直角坐标系中，已知
A
(2，4)、
P
(1，0)，
B
为
y
轴上的动点，以
AB
为边构造 △
ABC
，
y
使点
C
在
x
轴上，∠
BAC
＝90°．
M
为
BC
的中点，则
PM
的最 小值为__________

A






B
M
2
O
P
M
x
CM
1
B
y
A
M
C
x
O
P
取特殊位置 考虑：
当B在原点时，
OA25
，OC=10，此时M（5,0）
当C 在原点时，B（0,5），此时M（0，
515
），所以点M在直线
yx
上运动
222
△PM
M
1
∽△
M
2
O M
1
∴PM=
45

5
∵OM=AM，∴点M在OA的垂直平分线上。

4..

v1.0 可编辑可修改
2、在平面直角坐标系中，A（-3,0），B（3 ,0），C（0，-
33
），E为y轴上一动点，以BE
为边向左侧作正△BEF，则 OF的最小值为





提示：点F在如图所示的直线AF上运动。
那两个涂色的三角形始终是全等的
∠FAO=30°∴
OF
33
23

3
2
3、如图，点D在等边△ABC的边BC的延长线上，点E、F分别是边BC、AB上的点，且A F=BE，
连接EF，以EF为边构造等边△EFG，连接DG，若BD=2，则DG的最小值是
3

A
A
F

G
E
F


G
G
D
C

BE
D
C

BE
D
H
F
B

考虑特殊位置：
当当E 与B重合时，F与A重合，此时BG∥AC，当E与C重合时，F与B重合，FG∥AC，所
有点G在过 点B且与AC平行的直线上，∴∠DBG=60°，当DG垂直于过B与AC平行的直线
垂直时，DG最 小是
3

过E作EH∥AC，则有△EFH≌△EGB ∴∠EBG=∠EHF=60°
∴点G在平行于AC的直线GB上运动。

4、如 图，OA=3，∠OAB=60°，P为射线BO上一动点，E为OB中点，以AP为边作等边△APC,
则点P运动过程中CE的最小值为
y
A
C
3

4
y
A





5.. A
E
P
O
C
B
x
x
P
OC
EB

v1.0 可编辑可修改



易证：△APH≌△ACB（H为y轴负半轴上的那个点）∴AC=BC，
∴点C在AB的垂直平分线上.

三、根据三角形两边之和大于第三边，两边之差小 于第三边，最大值就是让第三边等于其
他两边的和，最小值就是第三边等于其他两边之差
1、
15、△
ACD
中，
AD
＝
8
，
CD＝
5
，
BC
⊥
AC
于
C
，
A C
=2
BC
，
则
BD
的最大值是____________________.






C
A
C
A
B
B
E
D
D
提示：过C作CE⊥CD使CE=2CD，连接AC，DE，则有△B CD∽△ACE，则有
∴
BD
BDCD1


AECE2
1
AE
又AE≤DE+AD=13 ∴BD=
2
2、如图，AB=4，O为AB中点，⊙O的半径为1，点P是⊙O上一动点，以点P为直角顶点的等腰△PBC（点P，B，C按逆时针方向排列）则线段AC的取值范围
2
≤AP≤3
2

C
A



C


E
C
E
P
P
O
B
O
B
A
A
B
O
提示：发现定等腰直角△ AOC与等腰直角△OBE，从而得到相似。△BOP∽△BEC CE=
2

P
AE=
22
在△ACE中，AE-CE≤AC≤AE+CE
5、如图，等腰直角△ACB，AC=BC=
5
，等腰直角△CDP，且PB=
2，将△CDP绕C点旋转.
P
（1）求证：AD=PB
（2）若∠CPB=135°，求BD；
（3）∠PBC= 时，BD有最大值，并画图说明；
C
B
6..
A
D
B

v1.0 可编辑可修改
∠PBC= 时，BD有最小值，并画图说明.



C





A





D


P
B
C
P
D
B
D
C
P
A
C
D
P
A
B
D
A
C
B
C
P
A
B
P
A
D
B
分析：在△ABD中有：BD≤AB+AD，当BD=AB+AD时BD最大，此 时AB与AD在一条直线上，
且AD在BA的延长线上，又△ACB是等腰直角三角形，∠CAB=45 °，由（1）知∠PBC=∠
CAD=180°-45°=135°
BD≥AB- AD，当BD=AB-AD时BD最小，此时，AB与AD在一条直线上，且AD在线段AB上，
此时∠ CAD=45°，所以∠PBC=∠CAD=45°

四、由三角形第三边小于两边之和推广 可以得到，最小值问题，就是要两条线段的和或多
条线段的和构成一条线段，理由是两点之间线段最短。
1、如图，四边形ABCD是正方形，△ABE是等边三角形，M为对角线BD上任意一点，将BM绕点B逆时针旋转60°得到BN，连AM、CM、EN.
（1）求证：△ABM≌△ENB；



（2）①当M点在何处时，AM+CM的值最小
②当M点在何处时，AM+BM+CM的值最小并说明理由.



7..
A
E
N
M
B
D
C
A
E
D
B
C

v1.0 可编辑可修改
（3）当AM+BM+CM的值最小值为
31
时，求正方形的边长.
< br>2．（2015•天津）在每个小正方形的边长为1的网格中．点
A
，
B
，
D
均在格点上，点
E
、
F
分别为线段
BC、
DB
上的动点，且
BE
=
DF
．
（Ⅰ）如 图①，当
BE
=时，计算
AE
+
AF
的值等于
（Ⅱ）当
AE
+
AF
取得最小值时，请在如图②所示的网格中，用无刻度的 直尺，画出线段
AE
，
AF
，并简要说明点
E
和点
F
的位置如何找到的（不要求证明） 取格点
H
，
K
，连接
BH
，
CK
，
相交于点
P
，连接
AP
，与
BC
相交，得点
E
，取格点
M
，
N
连接< br>DM
，
CN
，相交于点
G
，连接
AG
，与
BD
相交，得点
F
，线段
AE
，
AF
即为所求． ．











3、已知抛物线
yx2nxnn
的顶点为
P
，直线
y
22
44
x
分别交
x，
y
轴于点
M
，
93
N
．

（1）若点
P
在直线
MN
上，求
n
的值；

（2）是否存在过（0，－2）的直线与抛物线交于
A
，
B
两点（
A
点在
B
点的下方），使
AB
为定长，若存在，求 出
AB
的长；若不存在，请说明理由；

8..

v1.0 可编辑可修改
（3）在（2）的条件下，当四边形
MAB N
的周长最小时，求
n
的值．


【意图】本题综合考查运用初中数学核心内容和重要的思想方法解决问题的能力．
【考点】抛 物线的解析式求法，坐标的方法，直线与抛物线的交点问题，一元二次方程根与
系数的关系等,坐标系中 定值和最值问题．
【解析】(1)配方
P
（
n
，
n
）代入
y
4412
x
， 得
n
=．
935
y
(2)如图1，设过（0，－2）的直线为
ykx2
，
B
设
A
(
x
1
,y
1
)，
B
(
x
2
,y
2
)
O
A
x

ykx2,
联立

， 2

y(xn)n
消元得
x(k2n)xnn20

∴
x
1
x
2
2nk,x
1
x
2
nn2
,
∴
(x
1
x
2
)(x
1
x
2
)4x
1
x
2
k8(44k)n

∴
222
2
22
第24题< br>AB
2
(1k
2
)
[
k
2
8 (44k)n
]
2
∵要使
AB
为定长，则
AB
的值与
n
的取值无关，∴4－4
k
=0．∴
k
=1 ∴存在直线
y
=
x
－2，使
AB
为定长，且
A B
=
32
．
(3)如图2，易求
M
(－3，0)，
N
(0，
4
)，平移
AB
，使
A
点于
M
点重合，则
B
的对应点
G
刚
3
好落在
y< br>轴上，因为
AB
=
32
，所以
G
（0，3）．作点< br>G
关于直线
y
=
x
－2的对称点
H
(5，－
2)．过G作GF⊥y轴，交直线AB于F，连FH，所以FH=FG=5，又∠FGA=∠AFH=4 5°,连接
NH
交直线
y
=
x
－2为点
R
（2，0）．
可证明当点
B
与
R
重合时，四边形
MABN
的周长最小．
将
R
（2，0）代入
y(xn)n
中，
得
n
1
1，n
2
4
（舍去）．
∴
n
=1．

9..
2
y
G
N
R
M
O
A
H
B
x
第24题图2

v1.0 可编辑可修改






五、利用对称求最值
1．如图，∠
AOB
＝30°，点
M
、
N
分别在边
OA
、
OB
上，且
OM< br>＝1，
ON
＝3，点
P
、
Q
分别在边
OB< br>、
OA
上，则
MP
＋
PQ
＋
QN
的 最小值是_________




2、已知抛物线
y x2nxnn
的顶点为
P
，直线
y
22
44< br>x
分别交
x
，
y
轴于点
M
，
93
N
．

（1）若点
P
在直线
MN
上，求
n
的值；

（2）是否存在过（0，－2）的直线与抛物线交于
A
，
B
两点（
A
点在
B
点的下方），使
AB
为定长，若存在，求 出
AB
的长；若不存在，请说明理由；

（3）在（2）的条件下，当四边形
MABN
的周长最小时，求
n
的值．


【意图】本题综合考查运用初中数学核心内容和重要的思想方法解决问题的能力．
【考点】抛 物线的解析式求法，坐标的方法，直线与抛物线的交点问题，一元二次方程根与
系数的关系等,坐标系中 定值和最值问题．
【解析】(1)配方
P
（
n
，
n
）代入
y
4412
x
， 得
n
=．
935
y
(2)如图1，设过（0，－2）的直线为
ykx2
，
B
设
A
(
x
1
,y
1
)，
B
(
x
2
,y
2
)
O
A
x

ykx2,
联立

， 2

y(xn)n
消元得
x(k2n)xnn20

∴
x
1
x
2
2nk,x
1
x
2
nn2
,
2
22
第24题
10..

v1.0 可编辑可修改
∴
(x
1
x
2
)(x
1
x
2
)4x
1
x
2
k8(44k)n

∴
222
AB
2
(1k
2
)
[
k
2
8(44k)n
]
∵ 要使
AB
为定长，则
AB
2
的值与
n
的取值无关， ∴4－4
k
=0．∴
k
=1
∴存在直线
y
=x
－2，使
AB
为定长，且
AB
=
32
． < br>(3)如图2，易求
M
(－3，0)，
N
(0，
4
) ，平移
AB
，使
A
点于
M
点重合，则
B
的 对应点
G
刚
3
好落在
y
轴上，因为
AB
=
32
，所以
G
（0，3）．作点
G
关于直线
y=
x
－2的对称点
H
(5，－
2)．过G作GF⊥y轴，交直线 AB于F，连FH，所以FH=FG=5，又∠FGA=∠AFH=45°,连接
NH
交直线< br>y
=
x
－2为点
R
（2，0）．

可证明 当点
B
与
R
重合时，四边形
MABN
的周长最小．
将
R
（2，0）代入
y(xn)n
中，
得
n
1
1，n
2
4
（舍去）．
∴
n
=1．




第24题图2
M
2
y
G
N
R
O
A
H
B
x
六、其他类最值
1、如图，在△
ABC
中，∠
C
＝90°，点
D
是
BC
边上一动点，过点
B
作
B E
⊥
AD
交
AD
的延长
线于
E
．若
AC
＝6，
BC
＝8，则
A．

提示：比值构造相似三角形，于是过E作EF⊥BC于F，则有△ACD∽△EFD
∴
1

2
DE
的最大值为( B )
AD
B．
1
3
C．
3

4
D．
2

2
DEEF
，而AC=6，所以只要E F最大就比值最大，当E在以AB为直径的半圆弧中点

ADAC
时，EF最大是2

2．如图，在⊙
O
中，
BC
是弦，
AD
过圆心
O
，
AD
⊥
BC
．
E
是⊙
O
上一点．
F
是
AE
延长线上一
11..

v1.0 可编辑可修改
点，
EF
=
AE
．若
AD
=9，
BC
=6．设线段
CF
长度的最小值和最大 值分别为
m
，
n
，则
mn
=( )
A
．100
B
．90
C
．80
D
．70





F
AE
O
D
B
C
E
F
A
O
DB
C
3．如图，⊙
O
的半径为2，弦
AB
的长为
23
，点
P
为优弧
AB
上一动点，
AC
⊥
AP
交直线
PB
于点
C
，则△
ABC
的面积的最 大值是（ B ）
A．
1263
B．
633
C．
1233
D．
643






C
A
C
A
O
B
P
O
B
4、△ABC中BC=
63
，∠BAC=60D为BC的中点，E为
P
AD的中点，延长CE交AB于P,则
S
PBD
0，
A
A
的最大值为





P
E
H
P
E
BDC
BDC
过D作DH∥CP交AB于H，则有BH=H P=AP
BP2

，当BC边上的高最大时，此时在优弧BC中点，其值为9，P到 BD的高也最大，
AB3
1
此时为6，故S
⊿PBD
最大值为
•33•693

2
∴



反比例函数问题：
1、如图，矩形OABC的边OA在x轴上，双曲线
y
k
与BC交于点D，与AB交于点E，
x
y
C
D
B
E
x
12..

v1.0 可编辑可修改
1
DEOB
，矩形OABC的面积为4，则k的值为
2

提示：连接AC，设坐标证明DE∥AC，又
DE
从而得到D 、E为中点，所有k=


二次函数问题：
如图，抛物线
yax bxc
与x轴交于点A（-1,0）、B（3,0），与y轴交于点C（0，

（ 1）求抛物线的解析式；
（2）点T为y轴正半轴上一点，直线AT与抛物线的另一个交点为点D，点 P为直线AT下
方的抛物线上一动点.
①若AD=5AT，求点T的坐标；
②当△ATP的面积的最大值为




T
A
O
2
1
OB

2
1

2
3
）
2
9
，求点T的坐标.
4
y< br>D
H
y
D
T
x
B
x
B
提示 ：方法一：
S
ATP
S
APH
S
TPH

A
O
C
P
C
方法二：以AT为底的△ATP的面积 当过点P的直线PF与AD平行，且直线PF与抛物线
P
F
相切时△ATP面积最大。 又
S
ATF
S
ATP


91
，而
S
ATF
CT•AO

42

13..