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最值问题
“最大最小、最多最少、最长最短问题”，我们称之为 “最值问题”.让我们翻开记忆，按照“最值问题”
在课本中出现的顺序搜索一下：
1、两点之间线段最短；
2、垂线段最短；
3、不等式的最大（小）值；
4、二次整式最值；
5、线段和最小差最大；
6、勾股对称最短路径；
7、一次函数最优方案；
8、圆中最长弦是直径；
9、圆的最近（远）距离；
10、二次函数的最值；
11、平方和最小问题.
以上所列，有的是同一问题，有 的具有包含关系（如“二次函数最值”包含了“二次整式最值”），有的很少
出现，为了简捷实用，我进 行了整理，就以下几个问题展开：
一、两点之间，线段最短
说明：“两点之间，线段最短” 应用非常广泛，它常与三角形、轴对称、图形表面展开图等相结合，题目类型
很多.
（一）线段和最小
说明：此乃“两点之间，线段最短”与轴对称的结合题.
通法： 求“直线上一点到这条直线同侧两点的距离和最小”：作其中一点关于这条直线的对称点，连结这个对
称 点与另一点的线段与这条直线的交点即为所求，此线段长即为该最小距离.
例6-1-1 几何模型
（1）如图6-1-1①，点A、B位于直线m异侧，在直线m上找一点P，使AP+BP的值最小.

图6-1-1① 图6-1-1②

你作图的根据是： .
（2）如 图6-1-1②，点A、B位于直线m同侧，在直线m上找一点P，使AP+BP的值最小.
你作图的根据是： .

模型应用：
（3）如图6-1-1③，正方形ABCD中，AB=4，E是B C的中点，点P是对角线AC上一动点，则PE+PB的最小值
为 .
（4 ）如图6-1-1④，菱形ABCD中，AB=2，∠A=120°，点E是线段CD的中点，K为线段BD上的 任意一点，
则CK+EK的最小值为 .
（5）如图6-1-1⑤， 抛物线
y=ax-4x+c
与坐标轴交于点A（-1,0）和点B（0，-5）.点P在它的对 称轴

- 1 -
2

上，使△ABP周长最小的点P坐标为 .

图6-1-1③ 图6-1-1④ 图6-1-1⑤


体验与感悟 6-1-1
1、（1）如图6-1-2 ①，在等边△ABC中，AB=6，点E是AB的中点，AD是高，在AD上找一点P，使PB+PE的
最小，最小值为 .
（2）如图6-1-2②，圆O的半径为2，点A、 B、C在圆O上，OA⊥OB，∠A=60°，P是OB上一动点，则PA+PC
的最小值是 .
（3）如图6-1-2③，点D、E分别是△ABC的AC、AB边的中点，BC=6，BC边 上的高为4，P在BC边上，则
△PDE周长的最小值 .

图6-1-2① 图6-1-2② 图6-1-2③ < br>2、（1）如图6-1-3①，菱形ABCD中，AB=2，∠A=120°，点P、Q、K分别为线段B C、CD、BD上的任意一点，
则PK+QK的最小值为 .
（2）如 图图6-1-3②，∠AOB=45°，P是∠AOB内一点，PO=10，Q、R分别是OA、OB上的动点， 则△PQR周
长的最小值是 .
（3）如图图6-1-3③，锐角△ABC中，
AB=42
，∠BAC=45°，AD平分∠BAC，M、N分别是AD和AB上的
动 点，则BM+MN的最小值是 .

图6-1-3① 图6-1-3② 图6-1-3③
以下为补充习题：
3、如 图6-1-3④，
∠MON=90°
，矩形ABCD的顶点A、B分别在边OM、ON上，当B 在边ON上运动
时，A随之在边OM上运动，矩形ABCD的形状保持不变，其中AB=2，BC=1， 运动过程中，点D到点O

- 2 -

的最大距离为 .

图6-1-3④
4、如图6-1-3⑤，已知边长为a的正三角形 ABC，两顶点A、B分别在平面直角坐标系的x轴、y轴的正半轴
上滑动，点C在第一象限，连结OC ，则OC长的最大值是 .

图6-1-3⑤ 图6-1-3⑥
5、如图6-1-3⑥，在△ABC中，∠ABC=90°，AB=4，BC=2，点 A、B分别在x轴、y轴上，当点A在x
轴的正半轴上运动时，点B随之在y轴上运动.在运动过程中， 点C到原点O的最大距离为 .
6、如图6-1-3⑦，正方形ABCD的边长为 2，当点A在x轴上运动时，点D随之在y轴上运动.在运动过程中，
点B到原点O的最大距离与最小距 离的积为 .

图6-1-3⑦
（二）线段差最大
说明：此乃“三角形三边关系之两边之差小于第三边”的应用.
通法：求“直线上一点到这条 直线异侧两点的距离差最大”：作其中一点关于这条直线的对称点，连接这个对
称点与另一点的线段所在 直线与这条直线的交点即为所求.
例6-1-2 几何模型
（1）如图6-1-4① ，点A、B位于直线m的同侧，在直线m上找一点P，使
AP-BP
的值最大.

- 3 -

图6-1-4①

你的作图根据是： .
（2）如图6-1-4② ，点A、B位于直线m异侧，在直线m上找一点P，使
AP- BP
的值最大.

图6-1-4②
你的作图根据是： .

模型应用：
如图6-1-4③，一次函数
y=kx+b
的图 象与
x、y
轴分别交于点A（2,0）、B（0,4），D为AB的中点，C、
A关于 原点对称.P为OB上一动点，请直接写出
PC-PD
的范围： .

图6-1-4③
体验与感悟 6-1-2
1、在圆O所在的平面上有一点A，它到圆O的最近距离为3，最远距离为7，则圆O的半径为 .
2、点A、B均在由面积为1的小正方形组成的网格的格点上，建立平面直角坐标系如图6-1-5 .若P是x轴上
使得
PA-PB
的值最大的点，OP= .
3、如图6-1-6，抛物线
y=ax+bx-4a
经过A（-1,0）、C（0 ,4）两点，与x轴交于另一点B.
（1）抛物线及对称轴分别为 .
（2）点D在所求抛物线的对称轴上，求
DB-DC
的最大值.

- 4 -
2

图6-1-5 图6-1-6

（三）“小虫爬爬”问题
说明：求小虫在柱体、物体表面爬的最短距离，题目在多数情况下是 用勾股定理求物体表面展开图上两点间
距离.
通法：见“小虫爬爬问题”，作展开图构造直角三角形，再用勾股定理求之.
例6-1-3（ 1）如图6-1-7①，已知长方体的长为AC=2cm，宽BC=1cm，高
AA'=
4cm ，一直蚂蚁沿长方体
的表面从A点爬到
B'
点的最短路程是多少？

规律：“小小相加凑一边时路径最短.”
（2）如图6-1-7②，圆柱形杯高为12cm， 底面周长为18cm，在杯内离杯底4cm的点C处有一滴蜂蜜，此时
一只蚂蚁正好在外壁，离杯上沿4 cm与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁达到蜂蜜的最短距离为多少？

图6-1-7②

- 5 -

规律：“一内点一外点要用轴对称.”

体验与感悟 6-1-3
1、（ 1）如图6-1-8①，长方体的长、宽、高分别为15、10、20，点B与点C的距离为5，一只蚂蚁沿着长
方体的表面从点A爬到点B的最短距离是（ ）
A、5 B、25 C、15 D、35

图6-1-8① 图6-1-8② 图6-1-8③ 图6-1-8④
（2）如图6-1-8②，底面半径为3cm的圆锥的主视图是一个正三角形，C是母 线OB的中点，则在圆锥表面从
A到C的最短距离等于 cm.
（3）如图 6-1-8③，圆柱高是8cm，底面半径为2cm，一只蚂蚁从点A爬到点B处吃食物，爬行的最短路程
是（ ）cm.（π取3）
A、20 B、10 C、14 D、无法确定
（4）如图6-1-8④，ABCDEFGH是一个无 上底的长方体容器.M在容器内侧，位于侧棱BF上.已知AB=5，BF=9，
FM=3，则从外部的 点A到内部的点M的最短距离等于 .
2、如图6-1-9，是一个三级台阶， 它的每一级的长、宽、高分别为20dm，3dm，2dm，A和B是这个台阶上两
个相对的点.A点处 有一只昆虫想到B点去吃食物，则昆虫沿着台阶爬到B的最短路程是多少？

3、在一个长为 2米，宽为1米的矩形草地上，如图6-1-10堆放着一根长方体的木块，它的棱长和
场地宽AD平行 且大于AD，木块的正视图是边长为0.2米的正方形，一只蚂蚁从点A处，到达C
处需要走的最短路程 是 米．（精确到0.01米）

图6-1-10

（四）两“二次根式和的最小值”问题
说明：形如“求
x
2
+a< br>2
+(m-x)
2
+b
2
的最小值，其中
a,b,m
为常数”的题目，转化为几何问题再用勾
股定理来解决.（两点距离公式）
2240≤x≤4）
例6-1-4（2012湖北十堰改编）求代数式
x+1+(4-x)+（
的最小值.

- 6 -

规律：先转化为直角三角形，再根据两点之间、线段最短，借助勾股定理求最小值.

感悟与体验 6-1-4
求函数
y=x
2
+4+(12 -x)
2
+9(0≤x≤12)
的最小值.
二、垂线段最短
说明 ：“垂线段最短”用的多，但人们意识到用它的少.只要涉及点到线、线到线距离，用的都是“垂线段最
短”，如高、与圆有关的位置关系等.
例6-2-1 某市正在进行商业街改造，商业街起点 在古民居P的南偏西60°方向上的A处，如图6-2-1，
现已改造至古民居P南偏西30°方向上的 B处，A与B相距150m，且B在A的正东方向．为不破坏古民居的
风貌，按照有关规定，在古民居周 围100m以内不得修建现代化商业街．若工程队继续向正东方向修建200m
商业街到C处，则对于从 B到C的商业街改造是否违反有关规定？

图6-2-1

例6-2-2 如图6-2-2，在△ABC中，AD是高，E、F分别是AC和AB边上不 与A、C、B重合的点，AG、BH分别
垂直直线EF与G、H.求证：
AG+BH>AD.（只考虑图示情况）

图6-2-2

体验与感悟 6-2
1、如图6-2-3①和图6-2-3②，在△ABC中，AB=13， BC=14，
cos∠ABC=
5
.
13
探究：如图6-2-3①，AH⊥BC于点H，则AH= ，AC= ，△ABC的面积
S
△ABC
=
.
拓展：如图图6-2-3 ②，点D在AC上（可与点A、C重合），分别过点A、C作直线BD的垂线，垂足为E、F.
设BD= x，AE=m，CF=n，（当点D与A重合时，我们认为
S
△ABD
=0
)
（1）用含x，m，n的代数式表示
S
△ABD
及
S
△CB D
；
（2）求（m+n）与x的函数关系式，并求（m+n）的最大值和最小值；

- 7 -

（3）对给定的一个x值，有时只能确定唯一的点D，指出这样的x的求值范围．
发现：请你 确定一条直线，使得A、B、C三点到这条直线的距离之和最小（不必写出过程），并写出这个最小
值.


三、圆中最长弦是直径
说明：因四点共圆不在课标规定范围内，所以此题型不多.

例6-3 如图6-3，以边长为4的正方形的中心O为端点，引两条相互垂直的射线，分别与正方形的边交于A、B两点，则线段AB的最小值是 .

图6-3

规律：共圆四点中，如果相对两定点是直角顶点，则两动点连线的最小值就是连接两直角顶点的线段长.

四、平方和的最小值
2ab
. 说明：“平方和最小”即：
a+ b≥
（a-b）≥0
，是初中的完全平方公式与非负数的结合，中考题中常有涉及.特别地a+b≥2ab
和其它源自
（a≥0，b≥0）
变形
a+b≥2ab（还是高中最重要的不等式之一.

2
例6-4-1 阅读理 解：对任意正实数
a、b
，因为
（a-b）≥0
，所以
a-2ab+ b≥0
，所以
222
22
a+b≥2ab
，只有当
a=b< br>时，等号成立.
根据上述内容，回答下列问题：
（1）若
m>0
，则
m
= 时，
m+
1
有最小值 .
m

- 8 -

（2）若
n>0
，则
n
= 时，
n+
2
有最小值 .
n
（3）若
x>0
，则
x
= 时，
8x+
2
2
有最小值 .
x
2
例6-4-2 如图6-4-1，AB为半圆O的直径，C为半圆上与点A、B不 重合的任意一点，过点C作CD⊥AB，垂
足为D，AD=a，DB=b.请用本题图验证：
a +b≥2ab
，并指出等号成立时的条件.


提示：用相似证：
CD=AD•BD
；直径为最长弦.
体验与感悟 6-4
1、公式：对任意正数a、b，总有：
a+b≥2ab
，并且只有当
a=b< br>时，等号成立.
直接应用与变形应用：
（1）已知：
y
1
=x(x>0)
，
y
2
=
2
1
(x>0)
，则当
x=
时，
y
1
+y
2
取得最小值 .
x
（2）已知函数
y=x+
a
(a>0,x>0)
，当
x=
时，该函数有最小值 .
x
2
（ 3）已知函数
y
1
=x+1
与函数
y
2
=（x+1 ）+4
，当
x>-1
时，求
y
1
的最小值，并指出相应的x 的值.
y
2
实际应用
已知某汽车的一次运输成本包含以下三个部分：一 是固定费用，共360元；二是燃油费，每千米为1.6元；
三是折旧费，它与路程的平方成正比，比例 系数为0.001.设该汽车一次运输的路程为x千米，求当x为多少
时，该汽车平均每千米的运输成本 最低？最低是多少元？

五、不等式、一次函数最优方案
见第18单元：一次函数综合应用.
六、二次函数最值
2
说明：“二次整 式
ax+bx+c
最值”完全可以借助二次函数
y=ax+bx+c
最值解决 ，解决方案有三：一用
2
0
） 配方法，二用顶点公式，三图象法.（注：a,b,c为常数，且
a≠
例6-6-1 （1）
x-2x+6
的最小值是 ；
（2）二次函数
y=-x+6x
的最大值是 .

- 9 -
2
2

例6-6-2 如图6-6-1 ，在矩形ABCD中，AB=2，AD=3，P是BC上的任意一点（P不与B、C重合），过点P作
A P⊥PE交CD于点E.设BP为x，CE为y，当x取何值时，y的值最大？最大值是多少？

评述：线段最值可由相似建立二次函数模型求解.
例6-6-3 如图6-6-2，已知抛物 线
y=ax
2
+bx+4
经过点B（1,0）、C（5,0），交y轴于点A ，对称轴
l
与x轴
相交于点M.
（1）请直接写出抛物线的解析式、对称轴及点A的坐标 ；
（2）连接AC，探索：在直线AC下方的抛物线上是否存在一点N，使△NAC的面积最大？若存 在，请你求出
点N的坐标；若不存在，请说明理由.

图6-6-2

体验与感悟 6-6
问题情境：已知矩形的面积为
a（
a
为常数，
a>0
)，当该矩形的长为多少时，它的周长最小？最小值 是多
少？
数学模型：设该矩形的长为
x
，周长为
y
，则< br>y
与
x
的函数关系式为：
y=2(x+)(x>0)
. a
x
探究应用：（1）我们可以借鉴以前研究函数的经验，先探索函数
y=x+< br>①在图6-6-3中填写下表，并画出函数的图象：

1
1


x ...
3
4
y ...
1
(x>0)
的图象和性质.
x
1

2

1

2

3

...
...

- 10 -

②观察图象，写出该该函数两条不同类型的性质：

③在求二次函数
y=a x
2
+bx+c(a≠0)
的最值时，除了通过观察图象，还可以通过配方得到.请你 用配方法
求函数
y=x+
1
(x>0)
的最小值.
x

解决问题：
（2）用上述方法解决“问题情境”中的问题，直接写出答案.

提示：对任意非负数m，可设
m=t
，其中
t=（m）
.
提醒：回顾一下求二次函数最值有几种方法.

七、几何探究最值类
例6-7-1 请阅读下列材料：
问题：如图6-7-1①，圆柱的高AB和它的底面半径均 为5dm，BC是底面直径，求一只蚂蚁从A点出发沿圆柱
表面爬行到点C的最短路程.
小明设计了两条路线：
路线1：走圆柱表面最短路线（即图6-7-1②侧面展开图中的线段AC）.
2
2

图6-7-1① 图6-7-1②
路线2：走圆柱高线与底面直径（即6-7-1①中AB+BC的长）.
设 路线1的长度为
l
1
，设路线2的长度为
l
2
，则

- 11 -

︵
22

l
1
=AC
2
=AB
2
+
BDC

²
l
2
=(AB+BC)
2

︵
将AB=5，BC=10，半圆弧BDC

长5π代入上面的式子得（请你帮小明完成下面的计算）：
l
1
=AC
2
=
；
2
l
2
=(AB+BC)
2
= ；
22
l
1
-l
2
= ；
2
∴
l
1
>l
2
∴
l
1
>l
2
∴选择路线2较短.
（1）小明对上述结 论有些疑惑，于是他把条件改成：“圆柱的底面半径为1dm，高AB为5dm”继续按前面的
路线进行 计算（请你帮小明完成下面的计算）：
路线1：
l
1
=AC
2
=
；
路线2：
l
2
=(AB+BC)
2
= ；
∵
l
1

l
2
∴
l
1

l
2
（填
>或<
）
所以选择路线 （填1或2）较短.
（2）请你帮小明继续研究：在一般情 况下，当圆柱体的底面半径为
r
，高为h时，应如何选择上面的两条路
线才能使蚂蚁从 点A出发沿圆柱表面爬行到C点的路线最短.

体验与感悟 6-7-1
1、在一 平直河岸
l
同侧有
A，B
两个村庄，
A，B
到
l< br>的距离分别是3km和2km，
ABakm

22
2
22< br>2
(a1)
．现计划在河岸
l
上建一抽水站
P
，用 输水管向两个村庄供水．
方案设计
某班数学兴趣小组设计了两种铺设管道方案：图6-7- 2①是方案一的示意图，设该方案中管道长度为
d
1
，且
；图6-7-2②是 方案二的示意图，设该方案中管道长度为
d
2
，且
d
1
P BBA(km)
（其中
BPl
于点
P
）
．
d
2
PAPB(km)
（其中点
A

与点
A关于
l
对称，
A

B
与
l
交于点P
）

A

B

l

P

图6-7-2①

观察计算
A A
K
l
C
P
图6-7-2③
B
P
图6-7-2②
B
l
C
A


A


（1）在方案一中，
d
1

km（用含
a
的式子表示）；
（2）在方案二中，组长小宇为了计算
d2
的长，作了如图6-7-2③所示的辅助线，请你按小宇同学的思路计算，

- 12 -

．
d
2

km（用含
a
的式子表示）
探索归纳
（1）①当
a4
时，比较大小：
d
1

d
2
(填“＞”、“＝”或“＜”）；
②当
a6
时，比较大小：
d
1

d
2
（填“＞”、“＝”或“＜”）；
（2）请你就
a
（ 当
a>1
时）的所有取值情况进行分析，要使铺设的管道长度较短，应选择方案一还是方案二？
例6-7-2 动手操作
（1）如图6-7-3①把矩形
AA'B'B
卷成以AB为高的圆柱形，则点A与 重合，点B与
重合.

图6-7-3① 图6-7-3② 图6-7-3③
探究与发现
（2）如图6-7-3②所示， 若圆柱的底面周长是30cm，高是40cm，从圆柱底部A处沿侧面绕一圈丝带到顶部
B处做装饰，则 这条丝带的最小长度是 cm；（丝带的粗细忽略不计）
（3）若用丝带从图6-7-3② 圆柱底部A处沿侧面缠绕4圈直到顶部B处（如图6-7-3③所示），则至少需要多
长丝带？

创新与应用
（4）如图6-7-3④，现有一圆柱形的玻璃杯，准备在杯子的外侧 缠绕一层装饰带，为使带子全部包住杯子且
不重叠，需要将带子的两端沿AE、CF方向进行裁剪，如图 6-7-3⑤，若带子宽度为1.5厘米，杯子的半径为
6厘米，裁剪角为
α
，则sinα
= .

图6-7-3④

图6-7-3⑤
提示：（1）、（2）略；（3）可看作把圆柱切成 四段，求出一段的长再乘以4；（4）动手操作试试，看看AE、BE
哪个等于底面周长.

- 13 -

评述：本题融绕线、绕带问题于一题，是一道考察学生空间想象能力、分析能力的好题.
体验与感悟 6-7-2
1、如图6-7-4①是一个三棱柱包装盒，它的底面是边长为10 cm的正三角形，三个侧面都是矩形.现将宽为15cm
的彩色矩形纸带AMCN裁剪成一个平行四边形 ABCD（如图6-7-4②），然后用这条平行四边形纸带按如图6-7-4
③的方式把这个三棱柱包 装盒的侧面进行包贴（要求包贴时没有重叠部分），纸带在侧面缠绕三圈，正好将这
个三棱柱包装盒的侧 面全部包贴满.
A
M
B
DN
C


图6-7-4① 图6-7-4②
（1）请在如图6-7-4②中，计算裁剪的角度∠BAD；
（2）计算按图6-7-4③方式包贴这个三棱柱包装盒所需的矩形纸带的长度．

图6-7-4③
2、如图6-7-5，四边形ABCD是正方形，△ABE是等边三角形，M为对角线 BD（不含B点）上任意一点，将
BM绕点B逆时针旋转60°得到BN，连接EN、AM、CM．
（1）求证：△AMB≌△ENB；
（2）①当M点在何处时，AM+CM的值最小；②当M 点在何处时，AM+BM+CM的值最小，并说明理
由；
（3）当AM+BM+CM的最小值为
3+1
时，求正方形的边长．

图6-7-5

- 14 -

例6-7-3 一种电讯信号转发装置的发射直径为31km.现要求： 在一边长为30km的正方形城区选择若
干个安装点，每个点安装一个这种转发装置，使这些装置转发的 信号能完全覆盖这个城市．问：
（1）能否找到这样的4个安装点，使得这些点安装了这种转发装置后能达到预设的要求？
（2）至少需要选择多少个安装点，才能使这些点安装了这种转发装置后达到预设的要求？
答 题要求：请你在解答时，画出必要的示意图，并用必要的计算、推理和文字来说明你的理由．（下
面给出 了几个边长为30km的正方形城区示意图，供解题时选用）


体验与感悟 6-7-3
1、三个牧童A、B、C在一块正方形的牧场上看守一群牛，为保证公平合理，他们商量将 牧场划分为三
块分别看守，划分的原则是：①每个人看守的牧场面积相等；②在每个区域内，各选定一个 看
守点，并保证在有情况时他们所需走的最大距离（看守点到本区域内最远处的距离）相等．按
照这一原则，他们先设计了一种如图1的划分方案：把正方形牧场分成三块相等的矩形，大家
分头守在这 三个矩形的中心（对角线交点），看守自己的一块牧场．过了一段时间，牧童B和牧
童C又分别提出了新 的划分方案．牧童B的划分方案如图2：三块矩形的面积相等，牧童的位置
在三个小矩形的中心．牧童C 的划分方案如图3：把正方形的牧场分成三块矩形，牧童的位置在
三个小矩形的中心，并保证在有情况时 三个人所需走的最大距离相等．请回答：
（1）牧童B的划分方案中，牧童 （填A、B或C）在有情况时所需走的最大距离较远；
（2）牧童C的划分方案是否符合他们商量的划 分原则，为什么？（提示：在计算时可取正方形
边长为2）


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