蒙古族的饮食-暑假工社会实践报告

1（20XX年山东济南）24．（本小题满分9分）
已知：抛物线
yax
2
bxc

a0

的对称轴为
x1与
x
轴交于
A，B
两点，与
y
轴交
，
于点
C，
其中
A

3，

0

、
C

0，2

．
（1）求这条抛物线的函数表达式．
（2）已知在对称轴上存在一点P，使得
△PBC
的周长最小．请求出点P的坐标．
（3）若点
D
是线段
OC
上的一个动点（不与点O、点C重合）．过 点D作
DE∥PC
交
x
轴
于点
E．
连接
P D
、
PE
．设
CD
的长为
m
，
△PDE< br>的面积为
S
．求
S
与
m
之间的函数关
系式． 试说明
S
是否存在最大值，若存在，请求出最大值；若不存在，请说明理由．

y



O
A
B
x




C


（第24题图）

b

2a
1


1（20XX年山东济南 24题解析）解：（1）由题意得

9a3bc0
·················· 2分




c2
2

a

3

4

解得

b

3


c2


2
2
4
··································· ············· 3分
xx2
·
33
（2）连结
AC
、
BC
.因为
BC
的长度一定，所以
△PBC
周长最小，就是使
PCPB
最小.
B
点关于对称轴的对称点是
A
点，
AC
与对称轴
x1
的交点即为所求的
点
P
.
∴此抛物线的解析式为
y
设直线
AC
的表达式为ykxb

y
E
A
P
C
O
B
D
x

3kb0，
则


b2

（第24题图）

················································ 4分
2


k
解得

3



b2
∴此直线的表达式为
y
把
x1
代入得
y
2
····························· ···························· 5分
x2．
3
4

3
4

········ ·················································· ········ 6分

·
3


∴
P点的坐标为

1，


（3）
S
存在最大值 ·················································· ··························· 7分
理由：∵
DE∥PC，
即
DE∥AC．

∴
△OED∽△OAC．

ODOE2mOE
即
， ．
OCOA23
33
∴
OE3m，AE3，OEm

22
∴
方法一：
连结
OP

SS
四边 形PDOE
S
△OED
S
△POE
S
△POD
S
△OED

=
1

3

411
3



3m



2m

1

3m



2 m


2

2

322

2
3
2
3
···························· ·················································· 8分
mm
·
42
3
∵
0

4< br>333
∴当
m1
时，
S
最大

· ·················································· ·· 9分
424
=

方法二：
SS
△OAC
S
△OED
S
△AEP
S
△PCD

=
11

3

1341
32

3 m



2m

mm1

22

2

2232
3
2
333
2················································ ······ 8分
mm

m1


·
4244
3
∵
0

4
3
∴当
m1
时，
S
最大

···················· ··············································· 9分
4
=


2（20XX年山东临沂）26．（本小题满分13分 ）
如图，抛物线经过
A(4，，0)B(1，，0)C(0，2)
三点．
（1）求出抛物线的解析式；
（2）P是抛物线上一动点，过P作
PMx
轴，垂足为M，是否存在P点，使得以A，
P，M为顶点的三角形与
△OAC
相似？若 存在，请求出符合条件的点P的坐标；若不存在，
请说明理由；
（3）在直线AC上方的抛物 线上有一点D，使得
△DCA
的面积最大，求出点D的坐标．

y



x
O
B
1
4
A

2


C

（第26题图）
< br>2（20XX年山东临沂26题解析）解：（1）
Q
该抛物线过点
C(0，2 )
，

可设该抛物线的
解析式为
yaxbx2
．
将
A(4，0)
，
B(1，0)
代入，
2
1
a，

16a4b20，


2
得

解得


5

ab20.
< br>b.

2
15

此抛物线的解析式为
yx< br>2
x2
． ················································ （3分）
22
（2）存在． ···························· ·················································· ·············· （4分）
如图，设
P
点的横坐标为
m
，
则
P
点的纵坐标为


当
1m4
时，
1
2
5
mm2
，
22
y
B
O
1
2

15
AM4m
，
PMm
2
m2
．
22
又
QCOAPMA90
°
，
AMAO2

①当

时，
PMOC1
△APM∽△ACO
，
即
4m2


D
P
A
M
E
C
4
x
（第26题图）

1
2
5

mm2

．
2

2


解得
m
1
2，m
2
4
（舍去），
P(2，
····················· ······························ （6分）
1)
． ·< br>②当
AMOC115

时，
△APM∽△CAO
，即
2(4m)m
2
m2
．
PMOA222
解得
m
1
4
，
m
2
5
（均不合题意，舍去） 
当
1m4
时，
P(2，
··············· ·················································· ···· （7分）
1)
． ·
类似地可求出当
m4
时，
P(5，
········································· ·············· （8分）
2)
． ·
当
m1
时，
P(3，14)
．
综上所述，符合条 件的点
P
为
(2，
························ （9分）
1)
或
(5，2)
或
(3，14)
． ·
（3）如图，设
D
点的横坐标为
t(0t4)
，则
D< br>点的纵坐标为
t
过
D
作
y
轴的平行线交
AC
于
E
．
由题意可求得直线
AC
的解析式为
y 
1
2
2
5
t2
．
2
1
·· ········································· （10分）
x2
．
2

1

E
点的坐标为
t，t2

．

2

151

1

DEt
2
t2

t2

t
2
2t
． ········································ （11分）
2222

1

1

S
△DAC
 

t
2
2t

4t
2
4t (t2)
2
4
．
2

2

< br>当
t2
时，
△DAC
面积最大．
··········· ·················································· ···························· （13分）
D(2，1)
． ·
3 （20XX年四川达州）23、（9分）如图11，抛物线
ya(x3)(x1)
与
x
轴相交于A、
B两点（点A在点B 右侧），过点A的直线交抛物线于另一点C，
点C的坐标为（-2，6）.
(1)求a的值及直线AC的函数关系式；
(2)P是线段AC上一动点，过点P作y轴的平行线，交抛物
线于点M，交x轴于点N.
①求线段PM长度的最大值；
②在抛物线上是否存在这样的点M，使得△CMP与△APN< br>相似？如果存在，请直接写出所有满足条件的点M的坐标（不

必写解答过程）；如 果不存在，请说明理由.
3（20XX年四川达州23题解析）解：（1）由题意得 6=a(-2+3)(-2-1)∴a=-21分
∴抛物线的函数解析式为y=-2(x+3)(x-1)与x轴交于B（-3，0）、A（1，0）
设直线AC为y=kx+b，则有0=k+b
6=-2k+b解得 k=-2
b=2
∴直线AC为y=-2x+2 （3分）
（2）①设P的横坐标为a( -2≤a≤1)，则P（a,-2a+2），M（a,-2a2-4a+6）4分
∴PM=-2a2-4a+6-(-2a+2)=-2a2-2a+4=-2a2+a+14+92
=-2a+122+92
∴当a=-
19
时，PM的最大值为（6分）
22
② M（0，6）7分

4 （10天津）（25）（本小题10分）
在平面直角坐标系中，矩形
OACB
的 顶点
O
在坐标原点，顶点
A
、
B
分别在
x
轴、
y
轴的正半轴上，
OA3
，
OB4
，
D
为边
OB
的中点.
（Ⅰ）若
E
为边
OA
上的一个动点，当△
CDE
的周长最小时，求点
E
的坐标；













O
E
A
x
O
A x
D
D
y
B
C
y
B
C 温馨提示：如图，可以作点D关于
x
轴
的对称点
D

， 连接
CD

与
x
轴交于点E，
D


第（25）题
（Ⅱ）若
E
、
F
为边
OA
上的两个动点，且
EF2
，当四边形
CDEF
的周长最小时，
求点
E
、
F
的坐标.

4 解：（Ⅰ）如图，作点
D
关于
x
轴的对称点< br>D

，连接
CD

与
x
轴交于点
E
，连接
DE
.
若在边
OA
上任取点
E

（与点
E
不重合），连接
CE

、
DE

、
D

E

.
由
DE

CE

D

E

CE

CD< br>
D

ECEDECE
，
可知△
CDE
的周长最小.
∵ 在矩形
OACB
中，OA3
，
OB4
，
D
为
OB
的中点，
∴
BC3
，
D

ODO2
，
D< br>
B6
.
∵
OE
∥
BC
，
∴ Rt△
D

OE
∽Rt△
D

BC< br>，有
∴
OE
D

OBC23
1
.
D

B6
OED

O
.

BCD

B
y
B
D
E
E


A
x
C
O
D


∴ 点
E
的坐标为（1，0）. ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分
（Ⅱ）如图，作点
D
关于
x
轴的对称点
D

，在
CB
边上 截取
CG2
，连接
D

G
与
x
轴
交于点
E
，在
EA
上截取
EF2
.
∵
GC
∥
EF
，
GCEF
，
∴ 四边形
GEFC
为平行四边形，有
GECF
.
又
DC
、
EF
的长为定值，
∴ 此时得到的点
E
、
F
使四边形
CDEF
的周长最小.
∵
OE
∥
BC
，
∴ Rt△
D

OE
∽Rt△
D

BG
, 有
∴
OE
OED

O
.

BGD

B
y
B
D
F
A
x
G
C
O
E
D


D

OBGD

O(BCCG)211
.

DBDB63
17
∴
OFOEEF2
.
33
17
∴ 点
E
的坐标为（，0），点
F
的坐标为（，0）. ．．．．．．．．．．．．．．．10分
33

下题与以上4题的解法大致相同 可供练习
（ 4 ）．在平面直角坐标系xOy中，抛物线
yx
2
bxc经过A（2，0）、B（4，0）两点，
直线
y
1
x2
交y 轴于点C，且过点
2
D(8,m)
．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在x轴上找一点P，使
CPDP
的值
最小，求出点P的坐标； （3）将抛物线
yx
2
bxc
左右平移，记
平移后点A的 对应点为
A'
，点B的对
应点为
B'
，当四边形
A'B'D C
的周
长最小时，求抛物线的解析式及此时
四边形
A'B'DC
周长 的最小值．

( 4 )．解：（1）依题意，得

42bc0,

b6,
解得

< br>
164bc0.

c8.
∴抛物线的解析式是
y x6x8
．
（2）依题意，得
C(0,2)
，
D(8,6)
．作点
C(0,2)
关于x轴的对称点
C'(0,2)
，求直线< br>C'D
的解析
式为
yx2
，直线
C'D
与x轴的 交点即为P
点．因此，P点坐标为
(2,0)
．

（3）左右 平移抛物线
yx6x8
，因为线段A′B′=2和CD=
8
2
4
2
45
均是定值，
所以要使四边形A′B′DC的周长最小，只要使A ′C+B′D的值最小； 因为A′B′=2，因
此将点C向右平移2个单位得C
1
(2，2)，作点C
1
关于x轴的对称点C
2
，C
2
点的坐 标
为 (2，-2)，设直线C
2
D的解析式为
ykxb
，将点C
2
(2，-2)、D（8，6）代入解
2
2

析式，得
4

k,


2kb2,
414

3
解得 ∴直线CD的解析式为．
yx
2


14
33

8kb6.

b.

3

∴直线C
2
D与x轴的交点即为B′点，可求B′（
所以当四边形
A 'B'DC
的周长最小时，
抛物线的解析式为
y(x)(x)
，即< br>yx5x
73
，0），因此A′（，0）．
22
3
2
7
2
2
21
． …… 6分 < br>4
∵A′C+B′D=C
2
D=
6
2
8
2
10
． ………………………………… 7分
∴四边形
A'B'DC
的周长最小值为
245101245
． …… 8分
下题解法同以上两题
东丽区20XX年第一学期期末压轴题
已知 抛物线与y轴交于点A（0,3），与x轴分别交于B、C两点，若抛物线的顶点为
(3,
12
)
， （1） 求此抛物线的解析式 （2） 若点D为线段OA的一个三等分点，
5
求直线DC的解析式 （3） 若一个动点P自OA 的中点M出发，先到达x轴上的某一点
E，再到达抛物线的对称轴上某点F，最后运动到点A，求使点P 运动的总路径最短的点E ，
点F的坐标，并求出这个最短路径的长。
提示 作点M ( 0
3
) 的对称点 N，在作点A关于对称轴的对称点H，连接NH交X
2< br>轴于点E，交Y轴于点F，则点E、F就是所求的点

102.（20XX年浙江衢州）
24. （本题14分）如图，已知点A(-4，8)和点 B(2，n)在抛物线
yax
2
上．
(1) 求a的值及点B关于x 轴对称点P的坐标，并在x轴上找一点Q，使得AQ+QB最
短，求出点Q的坐标；
(2) 平移抛物线
yax
2
，记平移后点A的对应点为A′，点B的对应点为B′ ，点C(-2，
0)和点D(-4，0)是x轴上的两个定点．
① 当抛物线向左平移到某个位置时，A′C+CB′ 最短，求此时抛物线的函数解析式；
② 当抛物线 向左或向右平移时，是否存在某个位置，使四边形A′B′CD的周长最
短？若存在，求出此时抛物线的 函数解析式；若不存在，请说明理由．


y
A

8

6
4

B
2

C
D
-4
-2
O
-2
-4

2
4
x

（20XX年浙江衢州24题解析）解：(1) 将点A(-4，8)的坐标代入
yax
2
，解得
a
……1分
1
．
2
将点B(2，n)的坐标代入
y
1< br>2
x
，求得点B的坐标为(2，2)，
2



……1分
则点B关于x轴对称点P的坐标为(2，-2)．

……1分
A
54
直线AP的解析式是
yx
．
33
令y=0，得
x
y
8
6
4
……1分
……1分
……1分
44
．即所求点Q的坐标是(，0)．
55
414
︱=，
55
(2)① 解法1：CQ=︱-2-< br>故将抛物线
y
1
2
14
x
向左平移个单位时，A′ C+CB′最短，
25
……2分
……1分
D
C
-4
-2
O
Q
2
4
x
-2
P
-4
(第24题(1))
y
8
2
B
114
此时抛物线的函数解析式为
y(x)
2
．
25
A
′

1
解法2：设将抛物线
yx
2
向左平移m个单位，则平移后A′，B′的坐标分别为A′(-4-m，
2
8)和B ′(2-m，2)，点A′关于x轴对称点的坐标为A′′(-4-m，-8)．
554
直线A′′B′的解析式为
yxm
．
333
分
要使A′C+CB′最短，点C应在直线A′′B′上，
分
将点C(-2，0)代入直线A′′B′的解析式，解得
m
故将抛物线
y
……1
……1
6
4
B
′

2
D
C
-4
-2
O 2
4
x
-2
-4
A
′′

(第24题(2)①)
14
．
5
……1分
1
2
14
x
向左平移个单位时A′C+CB′最短，此时抛物线的函数解析式为
25
……1
A
′

y
8
114
y(x)
2
．
25
分
② 左右平 移抛物线
y
1
2
因为线段A′B′和CD的长是定值，所以要使四边形A′ B′CD
x
，
2
的周长最短，只要使A′D+CB′最短；
……1分
第一种情况：如果将抛物线向右平移，显然有A′D+CB′>AD+CB，因 此不存在某个位置，
6
4
B
′′
B
′

2
D
C
-4
-2
O 2
4
x
-2
-4
A′′
(第24题(2)②)

使四边形A′B′CD的周长最短．
……1分
第二种情况：设抛物 线向左平移了b个单位，则点A′和点B′的坐标分别为A′(-4-b，8)和
B′(2-b，2)．
因为CD=2，因此将点B′向左平移2个单位得B′′(-b，2)，
要使A′D+CB′最短，只要使A′D+DB′′最短． ……1分
点A′关于x轴对称点的坐标为A′′(-4-b，-8)，
55
……1分
xb2
．
22
要使A′D+DB′′最短，点D应在直线 A′′B′′上，将点D(-4，0)代入直线A′′B′′的解析式，
直线A′′B′′的解析式为< br>y
16
．
5
故将抛物线向左平移时，存在某个位置，使四边形A′ B′CD的周长最短，此时抛物线的
解得
b
116
函数解析式为
y (x)
2
． ……1分
25
25. （本题满分 12分）已知抛物线y=ax
2
-2ax+b经过A（-1，0）、B（0，2）两点.
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图（1），C是抛物线上的一点，若△CAB的面积与△ AOB的面积相等，求C点的坐
标；
（3）如图（2），若直线a是抛物线的对称轴，在直线a上是否存在一条长度是１的线段P Q，
使得四边形ABPQ的周长最小，若存在，求出P, Q两点的坐标，若不存在，请说明理由.

y
a

y
C

B
B



A
Ox
A





o
x
如图（1）
第25题图
如图（2）
25.（1）
y
2
2
4
xx2
；
33
（2）方法一：∵△CAB与△AOB的面积相等，∴OC∥AB，
∴将直线A B向右平移1个单位得到直线OC的解析式为y=2x，设点C的坐标为（m，n），
则n=2m，∵点 C（m，2m）在抛物线上，∴
2m
2
2
4
mm2
，
33

解得：m
1
=
113113
，m
2
=，
22
113113
，
113< br>）或（，
113
）；
22
∴C点的坐标为（
方法二：设点C的坐标为（m，

2
2
4
mm2
）,
33

S
△ABC
=
S
四边形ABOC
-
S
△CBO
=
S
△ABO
+
S
△ACO
-S
△CBO
或
S
△ABC
=
S
四边形ABCO
-
S
△CBO
=
S
△ABO
+
S
△CBO
-S
△ACO
（3）四边形ABPQ的周长最小，即AQ+BP最小, 将线段AQ向上平移1个单位得到线段
A
1
Ｐ，A
1
的坐标为（－１，１），即AQ+BP＝A
1
Ｐ+BP最小．
作
Ｂ
点关于直线a的对称点B
1
点，连接A
1
B
1
，交直线a于P点，此时，P即为符合条
件的点，
∵A
１
（－1，１）、B（0，2），抛物线的对称轴为x=1，∴ B
1
（2，2），
14
x
，
33
52
5
当x=1时，
y
，∴P（1，），Q（1，）.
33
3∴直线A
1
B
1
的解析式为
y



24．(
山东省济南市
本小题满分9分)
如图所示，抛物线
y x
2
2x3
与x轴交于A、B两点，直线BD的函数表达式为
y3x 33
，抛物线的对称轴l与直线BD交于点C、与x轴交于点E．
⑴求A、B、C三个点的坐标．
⑵点P为线段AB上的一个动点（与点A、点B不重合），以 点A为圆心、以AP为半
径的圆弧与线段AC交于点M，以点B为圆心、以BP为半径的圆弧与线段BC 交于点N，
分别连接AN、BM、MN．
①求证：AN=BM．
②在点P运动的过 程中，四边形AMNB的面积有最大值还是有最小值？并求出该最大
值或最小值.

y

D
l



C

M


N

A
O
E
P
第24题图
B
x

解：⑴令
x
2
2x30
，
解得：
x
1
1,x
2
3
，
∴A(－1，0)，B(3，0) ·························2分 ∵
yx
2
2x3
=
(x1)
2
 4
，
∴抛物线的对称轴为直线x=1，
将x=1代入
y3x33
，得y=2
3
，
∴C（1，2
3
）. ····························3分
⑵①在Rt△ACE中，tan∠CAE=
M
C
F
D
l
y
N
CE
3
，
AE
E P
A O
B x
∴∠CAE=60º，
由抛物线的对称性可知l是线段AB的垂直平分线，
∴AC=BC，
第24题图
∴△ABC为等边三角形， ····························· ························ 4分
∴AB= BC =AC = 4，∠ABC=∠ACB= 60º，
又∵AM=AP，BN=BP，
∴BN = CM，
∴△ABN≌△BCM，
∴AN=BM. · ·················································· ······················ 5分
②四边形AMNB的面积有最小值． ········································· 6分
设AP=m，四边形AMNB的面积为S，
3
×4
2
=
43
，
4
∴CM=BN= BP=4－m，CN=m，
过M作MF⊥BC,垂足为F,
由①可知AB= BC= 4，BN = CM=BP，S
△
ABC
=
则MF=MC•sin60º=
3
(4m)
，
2
33
2
11
∴S
△
CMN
=
CNgMF
=
m< br>•··················· 7分
(4m)
=
m3m
， ·
24
22
∴S=S
△
ABC
－S
△
CMN
=
43
－（

=
3
2
m3m
）
4
3
···································· ························· 8分
(m2)
2
33
·
4
∴m=2时，S取得最小值3
3
. ··············································· 9分

26．如图，在平面直角坐标系中，已知点
A
坐标为（2，4），直线
x2
与
x
轴相交于点
B
，
连结
OA
，抛物线
yx
从点
O
沿
OA
方向平移，与直线
x2
交于 点
P
，顶点
M
到
A
点
时停止移动．
（1）求线段
OA
所在直线的函数解析式；
（2）设抛物线顶点
M
的横坐标为
m
,
①用
m
的代数式表示点
P
的坐标；
②当
m
为何值时，线段
PB
最短；
（3）当线段
PB
最短时，相应的抛物线上
是否存在点
Q
，使△
QMA
的面积与
△
PMA
的面积相等，若存在，请求
出点
Q
的坐标；若不存在，请说明理由．
26．
解：（1）设
OA
所在直线的函数解析式为
ykx
，
∵
A
（2，4），
k2
, ∴
2k4
,

∴
OA
所在直线的函数解析式为
y2x
.
………………………………………………2分
（2）①∵顶点M的横坐标为
m
，且在线段
OA
上移动，
∴
y2m
（0≤
m
≤2）.
∴顶点
M
的坐标为(
m
,
2m
).
O
M
2
y

A
P
B
x2

x

第26题图
(xm)2m
∴抛物线函数解析式为
y
.
(2m)2 m
∴当
x2
时，
y
（0≤
m
≤2）.
m2m4
2m4
∴点
P
的坐标是（2，
m
）
2
2
2
2

……………………………………3分
② ∵
PB
=
m
=
(
， 又∵0≤
m
≤2，
2m4
m1)3
∴当
m1
时，PB最短.
……………………………………4分

2
2


（3）当线段
PB
最短时，此时抛物线的解析式为
y
.
x1 2
2
2x3
假设在抛物线上存在点
Q
，使
S
. 设点
Q
的坐标为（
x
，
x
）.
S
V QMA

VPMA
①当点
Q
落在直线
OA
的下方时 ，过
P
作直线
PC

AO
，交
y
轴于点C
，
2
B3
，
A
∵
P
B4
，
∴
A
，∴
O
P1
C1
，∴
C
点的坐标是 （0，
1
）.
∵点
P
的坐标是（2，3），∴直线
PC
的函数解析式为
y2
.
x1
∵
S
，∴点
Q
落在直线
y2
上.
S
x1
VQMA

VPMA
2x3
∴
x
=
2x1
.
2
2,x2
解得
x
，即点
Q
（2，3）.
1

2

∴点
Q
与点
P
重合.
∴此时抛物线上不存在点
Q
，使△
QMA
与△
APM
的面积
相等.
②当点
Q
落在直线
OA
的上方时，
作点
P
关于点
A
的对称称点
D
，过
D作直线
DE

AO
，交
y
轴于点
E
，
ODA1
∵
A
，∴
E
，
P1
∴
E
、
D
的坐标分别是（0，1），（2，5），
∴直线
DE
函数解析式为
y2
.
x1
∵
S
，∴点
Q
落在直线
y2
上.
S
x1
VQMA

VPMA
2x3
∴
x
=
2x1
.
2
2
，
x
解得：
x
22
.
1
2
2

522
. 代入
y2
，得
y522
，
y
x1
2

1
