圆中最值问题
上海大学研究生院-五年级上册英语期末考试卷
与圆有关的最值（取值范围）问题
引例1：在坐标系中，点A的坐标为(3
，0)，点B为y轴正半轴上的一点，点C是第一象限内一点，且AC=2．设
tan∠BOC=m，则
m的取值范围是_________．
y
B
C
xO
A
引例2：如图，在边长为1的等边
△OAB中，以边AB为直径作⊙D，以O为圆心OA长为半径作⊙O，C为
AB
上的一个动点
（不与A、B两点重合），射线AC交⊙O于点E，BC=
a
，AC=
b
，则
ab
半圆弧
的最大值为___________.
引例3：如图，∠BAC=60°，半径长为1的圆O与∠BAC的两边相切，P为圆O上一动点，以P为圆心，
PA
长为半径的圆P交射线AB、AC于D、E两点，连接DE，则线段DE长度的最大值为(
).
A．3 B．6
C．
33
D．
33
2
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一、题目分析：
此题是一个圆中的动点问题，也是圆中的最值问题
，主要考察了圆内的基础知识、基本技能和基本思维方
法，注重了初、高中知识的衔接
1．引
例1：通过隐藏圆（高中轨迹的定义），寻找动点C与两个定点O、A构成夹角的变化规律，转化
为特殊
位置（相切）进行线段、角度有关计算，同时对三角函数值的变化（增减性）进行了延伸考查，其实质
是
高中“直线斜率”的直接运用；
2．引例2：通过圆的基本性质，寻找动点C与两个定点A、B构成三
角形的不变条件，结合不等式的性
质进行转化，其实质是高中“柯西不等式”的直接运用；
3
．引例3：本例动点的个数由引例1、引例2中的一个动点，增加为三个动点，从性质运用、构图形式、
动点关联上增加了题目的难度，解答中还是注意动点D、E与一个定点A构成三角形的不变条件（∠DAE=60
°），
构造弦DE、直径所在的直角三角形，从而转化为弦DE与半径AP之间的数量关系，其实质是高
中“正弦定理”
的直接运用；
综合比较、回顾这三个问题，知识本身的难度并不大，但其难点
在于学生不知道转化的套路，只能凭直观
感觉去寻找、猜想关键位置来求解，但对其真正的几何原理却无
法通透.
二、解题策略
1．直观感觉，画出图形；
2．特殊位置，比较结果；
3．理性分析动点过程中所维系的不变条件，通过几何构建，寻找动量与定量（常量）之间的关系，建立
等式，进行转化.
1、如图，E、F是正方形ABCD的边AD上两个动点，满足
AE＝DF，连接CF交BD于点G，连接BE交AG
于点H，若正方形的边长为2，则线段DH长度的
最小值是
第1题 第2题
第3题
2、如图，P为的⊙O内的一个定点，A为⊙O上的一个动点，射线AP、AO分别与⊙O交于
B、C两点．若
⊙O的半径长为3，OP＝3 ，则弦BC的最大值为
A．23
． B．3． C．6 ． D．32 ．
3、如图，扇形AOD中，∠AOD＝90°，OA＝6，点P为弧AD上任意一点（不与点
A和D重合），PQ⊥OD
于Q，点I为△OPQ的内心，过O，I和D三点的圆的半径为
r<
br>. 则当点P在弧AD上运动时，（ ）
r
的值满足
A．
0r3
B．
r3
C．
3r32
D．
r32
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三、中考展望与题型训练
方法一、找出与圆的最近点、最远点（极端位置）
1．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=
90°，AC=4，BC=3，点D是平面内的一个动点，且AD=2，M为BD的中
点，在D点运动过
程中，线段CM长度的取值范围是 .
<
br>AB
向B点运动2．如图，⊙O的直径为4，C为⊙O上一个定点，∠ABC=30°，动点P从
A点出发沿半圆弧
（点P与点C在直径AB的异侧)，当P点到达B点时运动停止，在运动过
程中，过点C作CP的垂线CD交
PB的延长线于D点．在点P的运动过程中，线段CD长度的取值范围
为 ；
方法二、正弦定理
1、如图，△ABC中，∠B
AC=60°，∠ABC=45°，AB=
22
，D是线段BC上的一个动点，以AD为直径作
⊙O
分别交AB，AC于E，F两点，连接EF，则线段EF长度的最小值为
．
方法三、基本不等式
1、在平面直角坐标系中，以坐标原点O为圆心，2为半
径画⊙O，P是⊙O上一动点，且P在第一象限内，
过点P作⊙O的切线与
x
轴相交于
点A，与
y
轴相交于点B，线段AB长度的最小值是 .
第
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方法四、利用函数求最值
1、如图，已知半
径为2的⊙O与直线l相切于点A，点P是直径AB左侧半圆上的动点，过点P作直线l的垂
线，垂足为
C，PC与⊙O交于点D，连接PA、PB，设PC的长为x（2＜x＜4），则当x=
时，PD•CD
的值最大，且最大值是为 .
方法五、借助对称求最值
1、如图，已知，⊙O的直径CD为4，点A 在⊙O
上，∠ACD=30°，B 为弧AD
的中点，P为直径CD上一
动点，则BP+AP的最小值为___________.
【题型训练】
1、如图，已知直线l与⊙O相离，OA⊥l于点A，OA=5，O
A与⊙O相交于点P，AB与⊙O相切于点B，BP
的延长线交直线l于点C，若在⊙O上存在点Q，使
△QAC是以AC为底边的等腰三角形，则⊙O的半径r的
取值范围为
.
第1题
第2题
2、如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8
，经过点C且与边AB相切的动圆与CA、CB分别相交
于点P、Q，则线段PQ长度的最小值是(
).
A．
19
4
B．
24
5
C．5 D．
42
3、如
图，在等腰Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC=4，D是AB的中点，点E在AB边上运动（点E不与
点A
重合），过A、D、E三点作⊙O，⊙O交AC于另一点F，在此运动变化的过程中，
线段EF长度的最小值为
．
E
A
F
O
DC
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B
4、如图，线段AB=4，C为线段AB上的一个动点，以AC、
BC为边作等边△ACD和等边△BCE，⊙O外接
于△CDE，则⊙O半径的最小值为(
).
A.4 B.
2332
C.
D. 2
32
第4题
第5题 第6题
5、如图，A、B两点的坐标分别
为(2，0)、(0，2)，⊙C的圆心的坐标为(-1，0)，半径为1，若D是⊙C上的
一个动点，
线段DA与y轴交于点E，则△ABE面积的最小值是( ).
A．2
B．1 C.
2
2
D.
22
2
6、如图，已知A、B两点的坐标分别为(-2，
0)、(0，1)，⊙C的圆心坐标为(0，-1)，半径为1，D是⊙C上的
一个动点，射线AD与y
轴交于点E，则△ABE面积的最大值是( ).
A．3
B．
11
10
C．
D．4
3
3
7、如图∠BAC＝60°，半径长1的⊙O与∠BAC的两
边相切，P为⊙O上一动点，以P为圆心，PA长为半径
的⊙P交射线AB、AC于D、E两点，连接D
E，则线段DE长度的范围为 .
第7题 第8题 第9题
第10题
8、如图，已知线段OA交⊙O于点B，且OB＝AB，点P是⊙O上的一个动点，求∠OA
P的最大值。
9、如图，AB是⊙O的一条弦，点C是⊙O上一动点
，且∠ACB=30°，点E、F分别是AC、BC的中点，直
线EF与⊙O交于G、H两点，若⊙O的
半径为7，求GE+FH的最大值。
10、如
图，在Rt△AOB中，OA=OB=3，⊙O的半径为1，点P是AB边上的动点，过点P作⊙O的一条
切线PQ（点Q为切点），求PQ的最小值
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12、在平面直角坐标系xOy中，以原点O为圆心的圆过点A（13，0）
，直线y=kx﹣3k+4与⊙O交于B、C
两点，求弦BC的长的最小值。
13、如图，圆O与正方形ABCD的两边AB、AD相切，
E与圆O上一点．若圆O的半径为4，且AB=7，
求DE的最大值
14、如图，
在⊙O上有定点C和动点P，位于直径AB的异侧，过点C作CP的垂线，与PB的延长线交于点
Q，已
知：⊙O半径为，tan∠ABC=，求CQ的最大值
15、在平面直角坐标系xOy中，
已知点A（6，0），点B（0，6），动点C在以半径为3的⊙O上，连接
OC，过O点作OD⊥O
C，OD与⊙O相交于点D（其中点C、O、D按逆时针方向排列），连接AB．AC，
BC，当点C在
⊙O上运动时，求出△ABC的面积的最大值．
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16、如图，定长弦CD在以AB为直径的⊙O上滑动（点C、D与点A
、B不重合），M是CD的中点，过点
C作CP⊥AB于点P，若CD=3，AB=8，求PM长度的最
大值
第16题
第17题 第18题
17、如图，已知直角△AOB
中，直角顶点O在半径为1的圆心上，斜边与圆相切，延长AO，BO分别与圆交
于C，D．试求四边形
ABCD面积的最小值．
18、在坐标系中，点A的坐标为（3，0），点P是
y轴右侧一点，且AP=2，点B上直线y=x+1上一动点，
且PB⊥AP于点P，则tan∠ABP
=m，则m的取值范围是____________.
19、如图，在Rt△A
BC中，∠ACB=90°，D为AC的中点，M为BD的中点，将线段AD绕A点任意旋转（旋
转过程
中始终保持点M为BD的中点），若AC=4，BC=3，那么在旋转过程中，线段CM长度的取值范围是
_________.
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