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专题：几何最值问题解法探讨

在平面几何的动态问题中，当某几何元素在给定 条件变动时，求某几何量（如线段的长
度、图形的周长或面积、角的度数以及它们的和与差）的最大值或 最小值问题，称为最值问
题。
解决平面几何最值问题的常用的方法有：（1）应用两点间线段 最短的公理（含应用三角
形的三边关系）求最值；（2）应用垂线段最短的性质求最值；（3）应用轴对 称的性质求最值；
（4）应用二次函数求最值；（5）应用其它知识求最值。下面通过近年全国各地中考 的实例
探讨其解法。
一、应用两点间线段最短的公理（含应用三角形的三边关系）求最值：

典型例题：
【版权归锦元数学工作室，不得转载】
例1. （2012山东济南3分 ）如图，∠MON=90°，矩形ABCD的顶点A、B分别在边OM，
ON上，当B在边ON上运动时 ，A随之在边OM上运动，矩形ABCD的形状保持不变，
其中AB=2，BC=1，运动过程中，点D 到点O的最大距离为【 】

A．
21
B．
5
C．
145
5
5 D．
5
2< br>例2.（2012湖北鄂州3分）在锐角三角形ABC中，BC=
42
，∠ABC=45 °，BD平分∠ABC，
M、N分别是BD、BC上的动点，则CM+MN的最小值是 。
[

例3.（2011四川凉山5分）如图，圆柱底面半径为
2cm
，高为
9

cm
，点A、B分别是圆
柱两底面圆周上的点，且A、B 在同一母线上，用一棉线从A顺着圆柱侧面绕3圈到B，
求棉线最短为 ▲
cm
。

例4. （2012四川眉山3分）在△ABC中 ，AB＝5，AC＝3，AD是BC边上的中线，则AD
的取值范围是
．
练习题：
1. （2011湖北荆门3分）如图，长方体的底面边长分别为2
c m
和4
cm
，高为5
cm
.若一
只蚂蚁从P点开
始经过4个侧面爬行一圈到达Q点，则蚂蚁爬行的最短路径长为【 】

A.13cm B.12cm C.10cm D.8cm
2.（2011四川广安3分）如图，圆柱的底面周长为6cm，AC是底面圆的直径，高 BC=6cm，
点P是母线BC上一点，且PC=
的最短距离是【 】
2
BC．一只蚂蚁从A点出发沿着圆柱体的表面爬行到点P
3

A、
(4
6

)
㎝ B、5cm C、
35
㎝ D、7cm
3.（2011广西贵港2分）如图所示，在边长为2 的正三角形ABC中，E、F、G分别为AB、
AC、BC的中点，点P为线段EF上一个动点，连接B P、GP，则△BPG的周长的最小值是
_ ▲ ．

二、应用垂线段最短的性质求最值：

典型例题：
【版权归锦元数学工作室，不得转载】
例1. （2012山东莱芜4分 ）在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6．若点P在边AC上移动，
则BP的最小值是 ▲ ．

。
例2.（2012浙江台州4分）如图，菱形ABCD中，AB=2，∠A =120°，点P，Q，K分别为
线段BC，CD，BD上的任意一点，则PK+QK的最小值为【 】

A． 1 B．
3
C． 2 D．
3
＋1
例4.（2012四川广元3分） 如图，点A的坐标为（-1，0），点B在直线
yx
上运动，当
线段AB最短
时，点B的坐标为【 】

A.（0，0） B.（

2
222
11
，

） C.（，

） D.（

，

）
222
2
22

例5.（2012四川乐山3分）如图，在△ABC中，∠C= 90°，AC=BC=4，D是AB的中点，
点E、F分别在AC、BC边上运动（点E不与点A、C重 合），且保持AE=CF，连接DE、
DF、EF．在此运动变化的过程中，有下列结论：
①△DFE是等腰直角三角形；
②四边形CEDF不可能为正方形；
③四边形CEDF的面积随点E位置的改变而发生变化；
④点C到线段EF的最大距离为
其中正确结论的个数是【 】
．

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
例6.（2012四川成都4分）如图 ，长方形纸片ABCD中，AB=8cm，AD=6cm，按下列步骤
进行裁剪和拼图：

第一步：如图①，在线段AD上任意取一点E，沿EB，EC剪下一个三角形纸片EBC(余< br>下部分不再使用)；
第二步：如图②，沿三角形EBC的中位线GH将纸片剪成两部分 ，并在线段GH上任
意取一点M，线段BC上任意取一点N，沿MN将梯形纸片GBCH剪成两部分；
第三步：如图③，将MN左侧纸片绕G点按顺时针方向旋转180°，使线段GB与GE
重合，将MN右侧纸片绕H点按逆时针方向旋转180°，使线段HC与HE重合，拼成一个
与三角形 纸片EBC面积相等的四边形纸片．
(注：裁剪和拼图过程均无缝且不重叠)
则拼成的这个四边形纸片的周长的最小值为 ▲ cm，最大值为 ▲ cm．

例8. （2012浙江宁波3分）如图，△ABC中，∠BAC=60°，∠ABC= 45°，AB=2
2
，D
是线段BC上的一个动点，以AD为直径画⊙O分别交AB， AC于E，F，连接EF，则线段
EF长度的最小值为 ▲ ．

例9. （2012四川自贡12分）如图所示，在菱形ABCD中，AB=4，∠BAD=120°，△AEF
为正三角形，点E、F分别在菱形的边BC．CD上滑动，且E、F不与B．C．D重合．
（1）证明不论E、F在BC．CD上如何滑动，总有BE=CF；
（2）当点E、F在BC ．CD上滑动时，分别探讨四边形AECF和△CEF的面积是否发生变
化？如果不变，求出这个定值； 如果变化，求出最大（或最小）值．


三、应用轴对称的性质求最值：

典型例题：
【版权归锦元数学工作室，不得转载】
例1. （2012山东青岛3分 ）如图，圆柱形玻璃杯高为12cm、底面周长为18cm，在杯内离
杯底4cm的点
C处有 一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿4cm与蜂蜜相对的点A处，则蚂
蚁到达蜂蜜的最
短距离为 ▲ cm．

例2. （2012甘肃兰州 4分）如图，四边形ABCD中，∠BAD＝120°，∠B＝∠D＝90°，在
BC、CD上分别找一 点M、N，使△AMN周长最小时，则∠AMN＋∠ANM的度数为【 】
[来源学&科&网Z&X&X&K]

A．130° B．120° C．110° D．100°
例3. （2012福建莆田4分）点A、Ｂ均在由面积为1的相同小矩形组成的网格的格点上，
建立平面直角
坐标系如图所示．若P是x轴上使得
PAPB
的值最大的点，Q是y轴上使得QA十 QB
的值最小的点，
则
OPOQ
＝ ．

例4. （2012四川攀枝花4分）如图，正方形ABCD中，AB=4，E是BC的中点，点P是< br>对角线AC上一动点，则PE+PB的最小值为 ．

。
例5. （2012广西贵港2分）如图，MN为⊙O的直径，A、B是O上的两点，过A作AC⊥MN
于点C，
过B作BD⊥MN于点D，P为DC上的任意一点，若MN＝20，AC＝8，BD＝6，则PA＋PB的最小值是
。

例6. （2012湖北十堰6分）阅读材料：
例：说明代数式
解：
x
2
1(x3)
2
＋4
的几何意义，并求它的最小值．
x
2
1(x3)
2
4 (x0)
2
 1
2
(x3)
2
2
2
，如图，建立平面直角坐标系，
点P（x，0）是x轴上一点，则
(x0)
2
1
2
可以 看成点P与点A（0，1）的距离，
(x3)
2
2
2
可以看成点 P与点B（3，2）的距离，所以原代数式的值可以看成线段PA与PB长度之和，
它的最小值就是PA ＋PB的最小值．
设点A关于x轴的对称点为A′，则PA=PA′，因此，求PA＋PB的最小值， 只需求PA′＋PB
的最小值，而点A′、B间的直线段距离最短，所以PA′＋PB的最小值为线段A ′B的长度．为
此，构造直角三角形A′CB，因为A′C=3，CB=3，所以A′B=3
2
，即原式的最小值为3
2
。

根据以上阅读材料，解答下列问题：
（1）代数式
(x1)
2
1(x2)
2
9
的值可以看成平面直角坐标系中点P（x，0）与点
A（1，1）、点B 的距离之和．（填写点B的坐标）
（2）代数式
x
2
49x
2
12x37
的最小值为 ．

例7. （2012四川凉山8分）在学习轴对称的时候，老师让同学们思考课本中的探究题。

如图 （1），要在燃气管道l上修建一个泵站，分别向A、B两镇供气．泵站修在管
道的什么地方，可使所用 的输气管线最短？
你可以在l上找几个点试一试，能发现什么规律？你可以在
l
上找 几个点试一试，
能发现什么规律？

聪明的小华通过独立思考，很快得出了解决这个 问题的正确办法．他把管道l看成一条直线
（图（2）），问题就转化为，要在直线l上找一点P，使A P与BP的和最小．他的做法是这
样的：
①作点B关于直线l的对称点B′．
②连接AB′交直线l于点P，则点P为所求．
请你参考小华的做法解决下列问题．如图在△ ABC中，点D、E分别是AB、AC边的中点，
BC=6，BC边上的高为4，请你在BC边上确定一 点P，使△PDE得周长最小．
（1）在图中作出点P（保留作图痕迹，不写作法）．
（2）请直接写出△PDE周长的最小值：
．
[来源学§科§网]

练习题：
1. （2011黑龙江大庆3 分）如图，已知点A(1，1)、B(3，2)，且P为x轴上一动点，则△ABP
的周长的

最小值为 ．

2. （2011辽宁营口3分）如图 ，在平面直角坐标系中，有A(1，2)，B(3，3)两点，现另取
一点C(a，1)，当a＝ 时，AC＋BC的值最小．


5.（2011辽宁阜新3分）如图，在矩形ABC D中，AB＝6，BC＝8，点E是BC中点，点F
是边CD上的
任意一点，当△AEF的周长最小时，则DF的长为【 】

A．1 B．2 C．3 D．4
7.（2011甘肃天水4分）如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，∠BAD=9 0°，AB=6，对角线
AC平分∠BAD，点E在AB上，且AE=2（AE＜AD），点P是AC上 的动点，则PE+PB
的最小值是 ．

四、应用二次函数求最值：
【版权归锦元数学工作室，不得转载】
典型例题：

例1. （2012四川自贡4分）正方形ABCD的边长为1cm，M、N分别是BC ．CD上两个
动点，且始终保持AM⊥MN，当BM= cm时，四边形ABCN的面积最大，最大面
积为 cm．
2
例2.（2012江苏扬州3分）如图，线段AB的长为2，C为AB上一个动点，分别以AC、
B C为斜边在AB的同侧作两个等腰直角三角形△ACD和△BCE，那么DE长的最小值是
▲ ．