杭州职业技术学校-郑州解放军信息工程大学

专题19 最值问题
阅读与思考
在实际生活与生产中，人们总想节省时间 或费用，而取得最好的效果或最高效益，反映在数学问题上，
就是求某个量的和、差、积、商的最大值和 最小值，这类问题被称之为最值问题，在现阶段，解这类问题
的相关知识与基本方法有：
1、 通过枚举选取.
2、 利用完全平方式性质.
3、 运用不等式（组）逼近求解.
4、 借用几何中的不等量性质、定理等.
解答这类问题应当包括两个方面，一方面要说明不 可能比某个值更大（或更小），另一方面要举例说
明可以达到这个值，前者需要详细说明，后者需要构造 一个合适的例子.

例题与求解
【例1】 若c为正整数，且
abc
，
bcd
，
dab
，则（
ab
）（bc
）（
cd
）（
da
）
的最小值是 .
（北京市竞赛试题）





解题思路：条件中关于C的信息量最多，应突出C的作用，把a，b，d及待求式用c的代数式表示.
【例2】 已知实数a，b满足
ab1
，则
aabb
的最小值是（ ）
A.

2244
19
B.0 C.1 D.
88
( 全国初中数学竞赛试题)
解题思路：对
aabb
进行变形，利用完全平方公式的性质进行解题.




【例3】 如果正整数
x
1
,x
2
,x
3
,x
4
,x
5
满足
x
1< br>x
2
x
3
x
4
x
5
=x
1
x
2
x
3
x
4
x
5，求
x
5
的最大值.
解题思路：不妨设
44
x
1
x
2
x
3
x
4
x
5< br>，由题中条件可知

11111
=1.结合题意进行分析.
 
x
2
x
3
x
4
x
5
x
1
x
3
x
4
x
5
x
1
x
2
x
4
x
5
x
1
x
2
x
3
x
5
x
1
x
2
x
3
x
4





【例4】 已知
x,y,z
都为非负数，满足
xyz1
，
x2y3z4
，记
w 3x2yz
，求
w
的
最大值与最小值.
（四川省竞赛试题）
解题思路：解题的关键是用含一个字母的代数式表示
w
.







【例5】 某工程车从仓 库上水泥电线杆运送到离仓库恰为1000米的公路边栽立，要求沿公路的一边
向前每隔100米栽立电 线杆一根，已知工程车每次之多只能运送电线杆4根，要求完成运送18根的
任务，并返回仓库，若工程 车每行驶1千米耗油m升（在这里耗油量的多少只考虑与行驶的路程有关，
其他因素不计）.每升汽油n 元，求完成此项任务最低的耗油费用.
（湖北省竞赛试题）
解题思路：要使耗油费用最低，应当使运送次数尽可能少，最少需运送5次，而5 次又有不同运送方
法，求出每种运送方法的行驶路程，比较得出最低的耗油费用.







【例6】 直角三角形的两条直角边长分别为5 和12，斜边长为13，P是三角形内或边界上的一点，P
到三边的距离分别为
d
1< br>，
d
2
，
d
3
，求
d
1
+
d
2
+
d
3
的最大值和最小值，并求当
d
1
+
d
2
+
d
3
取最大值和
最小值时，P 点的位置.
（“创新杯”邀请赛试题）
解题思路：连接P点与三角形各顶点，利用三角形的面积公式来解.

能力训练
A 级
1.社a，b，c满足
abc9
，那么代数式
(ab)
2
(bc)
2
(ca)
2
的最大值是 .
（全国初中数学联赛试题）
2.在满足
x2y3,x0,y0
的条件下，< br>2xy
能达到的最大值是 .
（“希望杯”邀请赛试题）

3.已知锐角三角形ABC的三个内角A，B，C满足A＞B＞C.用

表 示A-B，B-C，以及90-A中的最小值，则

的最大值是 .

（全国初中数学联赛试题）
4.已知有理数a，b，c满足a＞b＞c，且a+b +c=0，.那么
222
c
的取值范围是 .
a
（数学夏令营竞赛试题）
5.在式子
x1x2x3x4
中，代入不同 的x值，得到对应的值，在这些对应的值中，最小的
值是（ ）.
A.1 B.2 C.3 D.4

6.若a，b，c， d是整数，b是正整数，且满足
bcd
，
dca
，
ba c
，那么
abcd
的最
大值是（ ）.
A.-1 B.-5 C.0 D.1
(全国初中数学联赛试题)

222
7.已知
xya,
zy 10,
则代数式
xyzxyyzxz
的最小值是（ ）.
A.75 B.80 C.100 D.105
(江苏省竞赛试题)


8.已知
x
，
y
，z
均为非负数，且满足
xyz
=30，
3xyz50
，又设
M5x4y2Z
，则M
的最小值与最大值分别为（ ）.

A.110，120 B.120，130 C.130，140 D.140，150


9.已知非负实数x
，
y
，
z
满足
x12yz3
，记
w3x4y5z
.求
w
的最大值和最小值
234
（“希望杯”邀请赛试题）





10.某童装厂现 有甲种布料38米，乙钟布料26米，现计划用这两种布料生产L，M两种型号的童装共50
套，已知做 一套L型号的童装需用甲种布料0.5米，乙种布料1米，可获利45元；做一套M型号的童装
需用甲种 布料0.9米，乙种布料0.2米，可获利30元，试问该厂生产的这批童装，当L型号的童装为多少
套 是，能使该厂获得利润最大？最大利润为多少？
（江西省无锡市中考试题）
专题05 数与形的第一次联姻
例1 12 提示：点A表示数为3或－3，满足条件的点B共有4个．
例2 B 提示：由数轴知a＜－1＜0＜b＜c＜1．
∴abc＜0，故①正确；由绝对值的几何意义知②正确 ；a－b＜0，b－c＜0，c－a＞0，故（a－b）（b－c）
(c－a）＞0，③正确；|a|＞ 1，1－bc＜1，|a|＞1－bc，④不正确．
例3 原点O在线段AC上．
例4 ①3，3，4 ②|x＋1| 1或－3 ③－1≤x≤2 ④997 002
例5 如图， 用A，B，C，D，E点顺时针排列依次表示一至五所小学，且顺次向邻校调给
x
1
，
x
2
，
x
3
，
x
4
，
x
5
台电脑．依题意得：7＋
x
1
－
x
2
＝ 11＋
x
2
－
x
3
＝3＋
x
3
－
x
4
＝14＋
x
4
－
x
5
＝15 ＋
x
5
－
x
1
＝10．得
x
2
＝
x
1
－3，
x
3
＝
x
1
－2，< br>x
4
＝
x
1
－9，
x
5
＝
x
1
－5．本题要求y＝|
x
1
|＋|
x
2
|＋|
x
3
|＋|
x
4
|＋|
x
5|
的最小值，依次代入，可得y＝|
x
1
|＋|
x
1< br>－3|＋|
x
1
－2|＋|
x
1
－9|＋|
x
1
－5|．
由绝对值几何意义可知，当
x
1
＝3时，y 有最小值12．此时有
x
2
＝0，
x
3
＝1，
x< br>4
＝－6，
x
5
＝－2．
所以，一小向二小调出3台，三小 向四小调出1台，五小向四小调出6台，一小向五小调出2台，这样调
动的电脑总台数最小为12台．

例6 （1）A，B，C三点在数轴上同时向正方向运动．
当点A运动到点C左侧时，
∵线段AC＝6，∴6＋6t＝30＋18＋3t，解得t＝14．
当点A运动到点C右侧时，

∵线段AC－6，∴6t－6＝30＋18＋3t，解得t＝18．
综上可知，t为14或18时，线段AC＝6．
（2）当点A，B，C三个点在数轴上同时向 正方向运动t秒后，点A，B，C在数轴上表示的数分别为：6t
－30，10＋3t，18＋3t．
（3）∵P，M，N分别为OA，OB，OC的中点．
∴P，M，N三个点在数轴上表示的数 分别为：
①若点P在M，N左边，则PM＝
6t30
103t183t
，，．且点M始终在点N左侧．
22
2
103t
6t30
18 3t
6t30
－＝20－1．5t，PN＝－＝24－1．5t．
22
22
∵2PM－PN＝2，∴2（20－1．5t）－（24－1．5t）＝2，
∴t＝
28
．
3
6t30
103t
－＝－20＋1．5t，
2
2< br>②若点P在M，N之间，则PM＝
PN＝
183t
6t30
－＝2 4－1．5t．
2
2
∵2PM－PN＝2，∴2（－20＋1．5t）－（24－1．5t）＝2，
∴t＝
44
．
3
6t30
103t
6t3 0
183t
－＝－20＋1．5t，PN＝－＝－24＋1．5t．
22
22
③若点P在M，N右边，则PM＝
∵2PM－PN＝2，∴2（－20＋1．5t）－（－ 24＋1．5t）＝2，
∴t＝12．
但此时PM＝－20＋1．5t＜0，所以此情况不成立 ．
综上可知，t＝

A级
1．2m 2．2或8

3.

2844
或时符合题意．
33
5
15
7

1

7
19
7
， 提示：AB的长为




2

＝，
A

对应的数为3 －

＝，点A移动的距离为－
42
22
4
44
< br>2

（－3）＝
19
．
4
4．b＜－a＜a＜|b| 5．C 6．B 7．C 8．C 9． 5
10．－30．06 提示：设
K
0
点表示的有理数为x，则< br>K
1
，
K
2
，…，
K
100
点所表 示的有理数分别为x－1，
x－1＋2，x－1＋2－3，…，x－1＋2－3＋4－…－99＋100 ．由题意得x－1＋2－3＋4－…－99＋100

＝19．94．
11．（1）M点对应的数为
20100120
＝40． （2）相遇时间为＝12秒，C点对应的数为100－12×6
264
＝28． （3）追击时间为60秒，D点对应的数为－260．

B级
1．－2 2．
1

3．24或40． 提示：设N点对应的数为x．根据绝对值的几何意义 可知|x|＝4|x－30|．对x分情况讨论
得出x＝24或x＝40．
4.b≤x≤a 5．A 6．C 7．D 8．C
9．原式化为|x＋2|＋|1－x|＋|y－5|＋|1＋y|＝9．
∵|x＋2|＋|1－x|≥3，当－2≤x≤1时等号成立；
|y－5|＋|1＋y|≥6，当－1≤y≤5时等号成立．
∴x＋y的最大值＝1＋5＝6；x＋y的最小值＝－2－1＝－3．
10．调运后各仓库的 存货量都相等，应为
1
3
1
×（50＋84＋80＋70＋55＋45）＝6 4吨．
6
设A库运往B库
x
B
吨，B库运往C库
x
C
吨，C库运往D库
x
D
吨，D库运往E库
x
E
吨，E库运往F库
x
F
吨，
F库运往A库
x
A
吨， 故有:50＋
x
A
－
x
B
＝84＋
x
B< br>－
x
C
＝80＋
x
C
－
x
D
＝70＋
x
D
－
x
E
＝55＋
x
E－
x
F
＝45＋
x
F
－
x
A
＝64．
所以，
x
B
＝
x
A
－14，
x
C
＝
x
B
＋20＝
x
A
＋6，
x
D
＝
x
C
＋16＝
x
A
＋22，
x
E
＝
x
D
＋6＝
x
A
＋28，
x
F
＝
x
E
－9＝
x
A
＋19．
若使调运量最小，则有y＝|
x
A
|＋|
x
B
|＋|x
C
|＋|
x
D
|＋|
x
E
|＋|< br>x
F
|
＝|
x
A
|＋|
x
A
－14|＋|
x
A
＋6|＋|
x
A
＋22|＋|< br>x
A
＋28|＋|
x
A
＋19|取最小值．
而－2 8＜－22＜－19＜－6＜0＜14，所以，当－19≤
x
A

-6时，y 有最小值，此时，-33
x
B

-20，
-13
xC

0，3
x
D

16，9
x
E

22，0
x
F

13.
当
x
A
=-19
时，
x
B
=-33,
x
c
=-13
，
x
D
=3,
x
E
=9,
x
F
=0.即A库运往B库-33吨，亦即B 库运往A库33吨.B
库运往C库-13吨，亦即C库运往B库13吨.C库运往D库3吨，D库运往E 库9吨，E库运往F库0吨，F
库运往A库19吨，总调运量为77吨.
11.首先注意8个 连续的点，例如0
，
1
，
2
，
3
，
4，
5
，
6
，
7.从中可取前4个点0
，
1，
2
，
3
，
其中任何两个
点的距离为4
：（< br>0
，
4
），（
1
，
5
），（
2，
6
），（
3
，
7
）
，所以每一组只能选一个 点，8个点中只能选出4个点，

任何两个点之间的距离都不等于4.
因为20 06=
4×501+2，8×501=4010
.故当
n=2005
时，2n+1=4011
.从左到右，每8个连续的点中取前4个点，
剩下的3个点中取2个点 ，共取2006个点，任何两点间的距离都不等于4.
另一方面，如果
n≤2004
，那么
2n+1≤4009
.从左到右，第8个连续点一组，至多
502
组， 其中最后一组
只有1个点.因此不论怎么取
2006
个点，前
501
组中总有一组取的点多于4个，从而有两个点的距离为4.
综上所述，
n
的最小值是
2005
.