军中绿花歌词-细节

几何最值问题

一．选择题（共6小题）
1．（2015孝感一模 ）如图，已知等边△ABC的边长为6，点D为AC的中点，点E为BC的
中点，点P为BD上一点，则 PE+PC的最小值为（ ）

3
A． B． C． D．
3 2 3

考点：轴 对称-最短路线问题．
分析：由 题意可知点A、点C关于B D对称，连接AE交BD于点P，由对称的性质可得，PA=PC，
故PE+PC=AE，由两点之间线 段最短可知，AE即为PE+PC的最小值．
解答：解 ：∵△ABC是等边三角形，点D为AC的中点，点E为BC的中点，
∴BD⊥AC，EC=3，
连接AE，线段AE的长即为PE+PC最小值，
∵点E是边BC的中点，
∴AE⊥BC，
∴AE==
．
=3，
∴PE+PC的最小值是3
故选D．

点评：本 题考查的是轴对称﹣最短路线问题，熟知等边三角形的性质是解答此题的关键．

2．（2 014•鄂城区校级模拟）如图，在直角坐标系中有线段AB，AB=50cm，A、B到x轴的
距离分 别为10cm和40cm，B点到y轴的距离为30cm，现在在x轴、y轴上分别有动点P、
Q，当四 边形PABQ的周长最短时，则这个值为（ ）

50
A． B． C．
50
50

考点：轴 对称-最短路线问题；坐标与图形性质．
﹣50
D．
50+50

专题：压 轴题．
分析：过 B点作BM⊥y轴交y轴于E点，截取EM=BE，过A点作AN⊥x轴交x轴于F点，截取NF=AF，连接MN交X，Y轴分别为P，Q点，此时四边形PABQ的周长最短，根
据题目 所给的条件可求出周长．
解答：解 ：过B点作BM⊥y轴交y轴于E点，截取EM=BE，过A点作 AN⊥x轴交x轴于F
点，截取NF=AF，连接MN交x，y轴分别为P，Q点，
过M点作MK⊥x轴，过N点作NK⊥y轴，两线交于K点．
MK=40+10=50，
作BL⊥x轴交KN于L点，过A点作AS⊥BP交BP于S点．
∵LN=AS=
∴KN=60+40=100．
∴MN==50．
=40．
∵MN=MQ+QP+PN=BQ+QP+AP=50．
∴四边形PABQ的周长=50+50．
故选D．

点评：本 题考查轴 对称﹣最短路线问题以及坐标和图形的性质，本题关键是找到何时四边形
的周长最短，以及构造直角三角 形，求出周长．

3．（2014秋•贵港期末）如图，AB⊥BC，AD⊥DC，∠BA D=110°，在BC、CD上分别找一点
M、N，当△AMN周长最小时，∠MAN的度数为（ ）

A． 30° B． 40° C． 50° D． 60°

考点：轴 对称-最短路线问题．
分析：根 据要使△AMN的周长最小，即利用点的对称， 使三角形的三边在同一直线上，作
出A关于BC和CD的对称点A′，A″，即可得出∠AA′M+∠A ″=∠HAA′=70°，
进而得出∠MAB+∠NAD=70°，即可得出答案．

解答：解 ：作A关于BC和CD的对称点A′，A″，连接A′A″，交BC于M，交 CD于N，
则A′A″即为△AMN的周长最小值，作DA延长线AH，．
∵∠DAB=110°，
∴∠HAA′=70°，
∴∠AA′M+∠A″=∠HAA′=70°，
∵∠MA′A=∠MAB，∠NAD=∠A″，
∴∠MAB+∠NAD=70°，
∴∠MAN=110°﹣70°=40°．
故选B．
点评：本 题考查的是轴对称 ﹣最短路线问题，涉及到平面内最短路线问题求法以及三角形的
外角的性质和垂直平分线的性质等知识， 根据已知得出M，N的位置是解题关键．

4．（2014•无锡模拟）如图，∠MON= 90°，矩形ABCD的顶点A，B分别在OM、ON上，当
B在边ON上运动时，A随之在边OM上运 动，矩形ABCD的形状保持不变，其中AB=2，
BC=．运动过程中，当点D到点O的距离最大时， OA长度为（ ）

2
A． B．

C． D．


考点：勾 股定理；三角形三边关系；直角三角形斜边上的中线．
分析：取 AB的中点，连接OE、DE，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求出OE，利用勾股定理列式求出DE，然后根据三角形的任意两边之和大于第三边判断出O、E、
D三点共线 时点D到点O的距离最大，过点A作AF⊥OD于F，利用∠ADE的余弦列
式求出DF，从而得到点F 是OD的中点，判断出AF垂直平分OD，再根据线段垂直平
分线上的点到两端点的距离相等可得OA= AD．
解答：解 ：如图，取AB的中点，连接OE、DE，
∵∠MON=90°，
∴OE=AE=AB=×2=1，
∵三边形ABCD是矩形，
∴AD=BC=，
==2， 在Rt△ADE中，由勾股定理得，DE=
由三角形的三边关系得，O、E、D三点 共线时点D到点O的距离最大，
此时，OD=OE+DE=1+2=3，
过点A作AF⊥OD于F，则cos∠ADE=
即=，
=，

解得DF=，
∵OD=3，
∴点F是OD的中点，
∴AF垂直平分OD，
∴OA=AD=．
故选B．

点评：本 题考查了勾股定理，三角形的任意两边之和大于第三边，直角三角形斜边上的中线
等于斜边的一半的性质 ，线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等的性质，作辅助
线并判断出OD最大时的情况是解题的关键 ，作出图形更形象直观．

5．（2015•鞍山一模）如图，正方形ABCD的边长为4 ，点E在边BC上且CE=1，长为的
线段MN在AC上运动，当四边形BMNE的周长最小时，则ta n∠MBC的值是（ ）

A．

B．

C．

1
D．

考点：轴 对称-最短路线问题；正方形的性质．
分析：
据题意得出作EF∥AC且EF=，连结DF交AC于M，在AC上截取MN=，此时 根
四边形BMNE的周长最小，进而利用相似三角形的判定与性质得出答案．
解答：
：作EF∥AC且EF=，连结DF交AC于M，在AC上截取MN=，延长DF交BC解
于P，作F Q⊥BC于Q，
则四边形BMNE的周长最小，
由∠FEQ=∠ACB=45°，可求得FQ=EQ=1，
∵∠DPC=∠FPQ，∠DCP=∠FQP，
∴△PFQ∽△PDC，
∴
∴
=
=，
，
解得：PQ=，

∴PC=，
由对称性可求得tan∠MBC=tan∠PDC==．
故选：A．

点评：此 题主要考查了正方形的性质以及相似三角形的判定与性质，得出M，N的位置是解
题关键．

6．（2015•江干区一模）如图，△ABC中，CA=CB，AB=6，CD=4，E是高线CD的 中点，以
CE为半径⊙C．G是⊙C上一动点，P是AG中点，则DP的最大值为（ ）

A．

B．

C．
2
D．


考点：圆 的综合题．
分析：根 据等腰三角形的性质可得点D是AB的中点，然 后根据三角形中位线定理可得
DP=BG，然后利用两点之间线段最短就可解决问题．
解答：解 ：连接BG，如图．
∵CA=CB，CD⊥AB，AB=6，
∴AD=BD=AB=3．
又∵CD=4，
∴BC=5．
∵E是高线CD的中点，
∴CE=CD=2，
∴CG=CE=2．
根据两点之间线段最短可得：BG≤CG+CB=2+5=7．

当B、C、G三点共线时，BG取最大值为7．
∵P是AG中点，D是AB的中点，
∴PD=BG，
∴DP最大值为．
故选A．

点评：本 题主要考查了圆的综合题，涉及了等腰三角形的性质、三角形 中位线定理、勾股定
理、两点之间线段最短等知识，利用三角形中位线定理将DP转化为BG是解决本题
的关键．

二．填空题（共3小题）
7．（2014•江阴市校级模拟 ）如图，线段AB的长为4，C为AB上一动点，分别以AC、BC
为斜边在AB的同侧作等腰直角△A CD和等腰直角△BCE，那么DE长的最小值是 2 ．


考点：等 腰直角三角形．
分析：
设AC=x，BC=4﹣x，根据等腰直角三角形性质，得出CD=
据勾股定理然后用配方法即可求解．
解答：解 ：设AC=x，BC=4﹣x，
∵△ABC，△BCD′均为等腰直角三角形，
∴CD=x，CD′=（4﹣x），
x，CD′=（4﹣x），根
∵∠ACD=45°，∠BCD′=45°，
∴∠DCE=90°，
∴DE
2
=CD
2
+CE
2
=x
2
+（4﹣x）
2
=x
2
﹣4x+8=（x ﹣2）
2
+4，
∴当x取2时，DE取最小值，最小值为：4．
故答案为：2．
点评：本 题考查了二次函数最值及等腰直角三角形，难度不大，关键是掌握 用配方法求二次

函数最值．

8．（2012•河南校级模拟）如 图，矩形ABCD中，AB=4，BC=8，E为CD边的中点，点P、Q
为BC边上两个动点，且PQ =2，当BP= 4 时，四边形APQE的周长最小．


考点：轴 对称- 最短路线问题．
专题：压 轴题．
分析：要 使四边形APQE的周长最小，由于AE与P Q都是定值，只需AP+EQ的值最小即可．为
此，先在BC边上确定点P、Q的位置，可在AD上截取 线段AF=DE=2，作F点关于BC
的对称点G，连接EG与BC交于一点即为Q点，过A点作FQ的 平行线交BC于一点，
即为P点，则此时AP+EQ=EG最小，然后过G点作BC的平行线交DC的延 长线于H
点，那么先证明∠GEH=45°，再由CQ=EC即可求出BP的长度．
解答：解 ：如图，在AD上截取线段AF=DE=2，作F点关于BC的对称点G，连接EG与BC
交于一点即为 Q点，过A点作FQ的平行线交BC于一点，即为P点，过G点作BC
的平行线交DC的延长线于H点．
∵GH=DF=6，EH=2+4=6，∠H=90°，
∴∠GEH=45°．
设BP=x，则CQ=BC﹣BP﹣PQ=8﹣x﹣2=6﹣x，
在△CQE中，∵∠QCE=90°，∠CEQ=45°，
∴CQ=EC，
∴6﹣x=2，
解得x=4．
故答案为4．

点评：本 题考 查了矩形的性质，轴对称﹣最短路线问题的应用，题目具有一定的代表性，是
一道难度较大的题目，对学 生提出了较高的要求．

9．（2013•武汉）如图，E，F是正方形ABCD的边AD 上两个动点，满足AE=DF．连接CF交
BD于点G，连接BE交AG于点H．若正方形的边长为2， 则线段DH长度的最小值是
1 ．
﹣

考点：正 方形的性质．
专题：压 轴题．
分析：根 据正方形的性质可得AB= AD=CD，∠BAD=∠CDA，∠ADG=∠CDG，然后利用“边角
边”证明△ABE和△DCF 全等，根据全等三角形对应角相等可得∠1=∠2，利用“SAS”
证明△ADG和△CDG全等，根据 全等三角形对应角相等可得∠2=∠3，从而得到∠1=
∠3，然后求出∠AHB=90°，取AB的中 点O，连接OH、OD，根据直角三角形斜边上
的中线等于斜边的一半可得OH=AB=1，利用勾股定 理列式求出OD，然后根据三角
形的三边关系可知当O、D、H三点共线时，DH的长度最小．
解答：解 ：在正方形ABCD中，AB=AD=CD，∠BAD=∠CDA，∠ADG=∠CDG，
在△ABE和△DCF中，
，
∴△ABE≌△DCF（SAS），
∴∠1=∠2，
在△ADG和△CDG中，
，
∴△ADG≌△CDG（SAS），
∴∠2=∠3，
∴∠1=∠3，
∵∠BAH+∠3=∠BAD=90°，
∴∠1+∠BAH=90°，
∴∠AHB=180°﹣90°=90°，
取AB的中点O，连接OH、OD，
则OH=AO=AB=1，
在Rt△AOD中，OD===，
根据三角形的三边关系，OH+DH＞OD，
∴当O、D、H三点共线时，DH的长度最小，
最小值=OD﹣OH=﹣1．
（解法二：可以理解为点H是在Rt△AHB，AB直径的半圆 上运动当O、H、D三点

共线时，DH长度最小）
故答案为：﹣1．

点评：本 题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，直角三角形斜边上的中线等于
斜边的一半的性质，三角形的三边关系，确定出DH最小时点H的位置是解题关键，
也是本题的 难点．

三．解答题（共1小题）
10．（2015•黄冈中学自主招生）阅读下面材料：
小伟遇到这样一个问题：如图1，在 △ABC（其中∠BAC是一个可以变化的角）中，AB=2，
AC=4，以BC为边在BC的下方作等 边△PBC，求AP的最大值．
小伟是这样思考的：利用变换和等边三角形将边的位置重新组合．他的 方法是以点B为旋
转中心将△ABP逆时针旋转60°得到△A′BC，连接A′A，当点A落在A′C 上时，此题可
解（如图2）．
请你回答：AP的最大值是 6 ．
参考小伟同学思考问题的方法，解决下列问题：
如图3，等腰Rt△ABC．边AB=4，P为△ABC内部一点，则AP+BP+CP的最小值是
（或不化简为） ．（结果可以不化简）


考点：旋 转的性质；全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质；勾股定理；等腰直角三
角形．
专题：几 何综合题．
分析：（ 1）根据旋转的性质知A′A=AB=BA′=2，AP= A′C，所以在△AA′C中，利用三角
形三边关系来求A′C即AP的长度；
（2）以B为 中心，将△APB逆时针旋转60°得到△A'P'B．根据旋转的性质推知
PA+PB+PC=P'A ′+P'B+PC．当A'、P'、P、C四点共线时，（P'A′+P'B+PC）最短，即线
段A' C最短．然后通过作辅助线构造直角三角形A′DC，在该直角三角形内利用勾股
定理来求线段A′C的 长度．
解答：解 ：（1）如图2，∵△ABP逆时针旋转60°得到△A′BC，

∴∠A′BA=60°，A′B=AB，AP=A′C
∴△A′BA是等边三角形，
∴A′A=AB=BA′=2，
在△AA′C中，A′C＜AA′+AC，即AP＜6，
则当点A′A、C三点共线时，A′C=AA′+AC，即AP=6，即AP的最大值是：6；
故答案是：6．

（2）如图3，∵Rt△ABC是等腰三角形，∴AB=BC．
以B为中心，将△APB逆时针旋转60°得到△A'P'B．则A'B=AB=BC=4，PA=P′ A′，
PB=P′B，
∴PA+PB+PC=P′A′+P'B+PC．
∵当A'、P'、P、C四点共线时，（P'A+P'B+PC）最短，即线段A'C最短，
∴A'C=PA+PB+PC，
∴A'C长度即为所求．
过A'作A'D⊥CB延长线于D．
∵∠A'BA=60°（由旋转可知），
∴∠1=30°．
∵A'B=4，
∴A'D=2，BD=2，
∴CD=4+2．
在Rt△A'DC中A'C===
）．
=2+2；
∴AP+BP+CP的最小值是：2+2（或不化简为
故答案是：2+2（或不化简为）．


点评：本 题综合考查了旋转的性质、等腰直角三角形的性质、勾股定理以及等边 三角形的判
定与性质．注意：旋转前、后的图形全等．